1.3有阻尼的自由振动解析
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
第四节有阻尼的自由振动
第四节有阻尼自由振动（Damped Free Vibration）前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。
实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。
尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。
一、粘性阻尼（Viscous Damping）------------- 最常见的阻尼力学模型在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度成正比，即=&F cxF--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度⋅c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m二、粘性阻尼自由振动()k x∆+以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
由牛顿运动定律，得运动方程mx cx kx++=&&&（2-10）设方程的解为()stx t Ae=代入式（2-10），得2()0stms cs k Ae++=因为0A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为20ms cs k++=（2-11）------ 系统的特征方程（频率方程）它的两个根为1,22csm=-±（2-12）则方程（2-10）的通解为1211212s t s t c t mx A e A e eA A e=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（2-13）式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件00(0),(0)x x x x ==&&确定。
显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于是实数、零，还是虚数。
当202c k m m⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。
因此02n c m ω==令02nc c cc m ζω===叫做阻尼比。
∵022n c c m mζζω==∴ 式（2-12）可写成(1,2n s ζω=-± （2-14）可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。
自由振动与受阻尼振动的比较
自由振动与受阻尼振动的比较振动是物体在某一平衡位置附近来回运动的现象。
在物理学中，振动可以分为自由振动和受阻尼振动两种类型。
这两种振动形式虽然有些相似之处，但在许多方面还是存在着明显的差异。
自由振动是指物体在没有外力作用下，自身具有的固有频率下进行的振动。
当物体受到扰动后，它会沿着平衡位置周围的路径来回振动，直到最终停下。
自由振动的特点是振幅和频率保持不变，振动过程中能量的转换是完全的，即机械能守恒。
这种振动形式常见于弹簧振子、摆锤等系统中。
受阻尼振动则是在振动过程中受到外部阻力的影响，使得振动逐渐减弱并最终停止的一种振动形式。
阻尼力的存在使得振动系统的能量逐渐耗散，振幅逐渐减小。
受阻尼振动的特点是振幅随时间的推移而减小，频率也会发生变化。
这种振动形式常见于摩擦力的作用下，如空气阻力、摩擦力等。
自由振动和受阻尼振动在能量转换、振幅变化和频率变化等方面存在明显的差异。
在自由振动中，能量的转换是完全的，振幅和频率保持不变；而在受阻尼振动中，能量会逐渐耗散，振幅和频率会随时间的推移而减小。
这意味着自由振动能够持续一段时间，而受阻尼振动则会逐渐停止。
另外，自由振动和受阻尼振动在实际应用中也有不同的用途。
自由振动常用于钟摆、弹簧振子等精确计时设备中，因为它的振幅和频率保持不变，可以提供稳定的计时基准。
而受阻尼振动则常用于减震器、避震器等阻尼装置中，因为它的能量耗散特性可以有效减少振动对其他设备的影响。
总的来说，自由振动和受阻尼振动虽然都是物体在平衡位置附近来回振动，但在能量转换、振幅变化和频率变化等方面存在明显的差异。
自由振动具有能量守恒和稳定的特点，而受阻尼振动则会逐渐减弱并停止。
这两种振动形式在不同的应用领域中发挥着重要的作用，对于我们理解和利用振动现象具有重要的意义。
1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
2022-2023年注册结构工程师《结构专业基础考试一级》考前冲刺卷②(答案解析24)
2022-2023年注册结构工程师《结构专业基础考试一级》考前冲刺卷②（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第I卷一.综合考点题库(共70题)1.施工方案的选择一般不包括（）。
A.施工方法B.施工机械C.施工时间D.施工顺序正确答案：C本题解析：施工方案主要包括施工方法、施工机械、施工顺序三部分。
施工时间是施工进度计划的内容。
2.采用摩擦型高强度螺栓或承压型高强度螺栓的抗拉连接中，二者承载力设计值（）。
A.相等B.前者大于后者C.后者大于前者D.无法确定大小正确答案：D本题解析：高强螺栓是预应力螺栓，摩擦型用扭矩扳手施加规定预应力，承压型拧掉梅花头。
对于摩擦型螺栓，只要轴力小于此摩擦力，构件便不会滑移，连接就不会受到破坏；对于承压型高强度螺栓则是以杆身不被剪坏或板件不被压坏为设计准则。
因此，二者的承载力设计值无法确定大小。
3.正常使用极限状态比承载能力极限状态（）。
A.允许出现的概率高些B.出现的概率相同C.失效概率小些D.允许出现的概率相差不大正确答案：A本题解析：超过承载能力极限状态，可能会造成结构的整体倒塌或严重破坏，以致造成人身伤亡和重大经济损失，故允许其出现的概率非常小；超过正常使用极限状态，一般只是损害结构的使用功能或耐久性，通常不会造成人员伤亡和重大损失，故允许其出现的概率相对大些。
4.图示结构杆件1的轴力为（）。
A.－PB.－P/2C.D.正确答案：A本题解析：沿I—I剖面将结构截开，由于结构水平方向不受力，则杆2为零杆。
对节点A受力分析可得，杆3受到大小为P的拉力。
题37解图（a）沿II—II剖面将结构截开，由于轴力N2＝0，N3＝P，对左上部结构进行水平方向受力分析，由∑X＝0，N1＋N3＝0，解得N1＝－P。
题37解图（b）5.若荷载作用在静定多跨梁的基本部分上，附属部分上无荷载作用，则（）。
A.基本部分和附属部分均有内力B.基本部分有内力，附属部分无内力C.基本部分无内力，附属部分有内力D.不经计算无法判定正确答案：B本题解析：对于多跨静定梁一般的求解步骤是先求附属部分，然后再求基本结构，附属部分受不受力和基本结构是没有关系的，若附属部分没有力则基本结构就不受来自附属部分的力。
结构力学-阻尼对振动的影响
r
T
1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r
2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
单自由度系统强迫振动汇总
x2(t) Bsin( pt )
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
x2(t) Bsin( pt ) 代入 x 2nx 2 x hsin pt
h B
( 2 p2 )2 4n2 p2
tan
2np 2 p2
特解：
x2(t)
h
sin( pt )
( 2 p2 )2 4n2 p2
全解：
稳态响应： x2(t) Bsin( pt )
B
h ( 2 p2 )2 4n2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
tan
2np 2 p2
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。
第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。
讨论影响振幅、相位差的因素：
mx cx kx H sin pt
x 2nx 2 x hsin pt x2(t) Bsin( pt )
B
( 2
h p2 )2
4n2 p2
h
2
1
1
p
2
2
2
n
p
2
B0
1 2 2 22
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
激振力的幅 值引起的静
变形
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
（单自由度系统）
1.1 无阻尼自由振动—简谐运动 1.2 有阻尼自由振动—衰减运动 强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。
强迫振动从外界不断获取能量来补偿阻尼所消耗的能 量，使系统维持持续的振动。
外界激励周期激励简F (谐t 激T )励
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例题2
对于阻尼较小 的 0系.1统 ，实验中有时可用半振幅
方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线
上已测得相隔N个周期的两点 P 、 R之间幅值减小一
半，试确定 。
解：振幅衰减曲线的包络线方程为
设 R、 P两点在包络线上的幅值为
则
xP e0NTd 2
xR
当 = 时1可近似为
2 N ln 2
一、粘性阻尼系统的自由振动
定义:
粘性阻尼——物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时的阻尼。
粘性阻尼力 Fc cx
c 为粘性阻尼系数
粘性阻尼系统的运动微分方程为： mx cx kx 0
标准型： &x& 2 x& 02 x 0
令 x et
无阻尼系统的固有频率 0
k m
阻尼系数 c
2m
导入本征方程为： 2 20 02 0 阻尼比
0.56cm
0.11 =0.049
2.25
注意：公式使用范围为幅值减小一半
2.临界阻尼状态 1
1,2 0
通解： x(t) (C1 C2 x)et
初始值 x(0) x0 x(0) x0
x(t) [x0 (x& 0 x0 )t]e0t
可以看出：
t 时，
e0t 0
指数衰减运动，非振动。
2
在单自由度欠阻尼自由振动线性系统中，常用两种方 法求对数减缩率：
1 j
ln
A1 A j1
2 1 2
2
1
例题1 系统衰减振动的振幅在10次振动的过程中，由 A1=3cm缩小到A2=0.06cm，求对数减缩率。
解：
1 j
ln
A1 Aj 1
1 10
ln
3 0.06
0.391
二． 等效粘性阻尼
阻尼的主要作用是转移系统的能量。当无简谐激励作用 时，由于阻系统能量的损失，导致自由振动幅值的衰减；当有 简谐激励作用时，由于简谐激励不断做功，对系统输入的能量 平衡阻尼引起的能量损失，简谐激励的稳态响应时等幅振动。
等效阻尼的原则是令在一个周期内， (1) 非粘性阻尼耗散的能量与等效粘性阻尼耗散的能量相等 (2) 具有相同的简谐运动幅值。
x Aent 、xR xP
2 N ln 2 1 2
Td
2 d
0
2 1 2
ln 2 0.11 2 N N
N是周期数
ln 2 0.11 2 N N
= 1
此式对工程估算微弱阻尼系统的 值很方便的。
例如
在衰减曲线的 点P xp 1.12cm
测出经过2.25个周期的 点R测出
xR
xP 2
Fd FN sgn x 为摩擦因数
1
x& 0
sgn x为符号函数，定义为：
3.过阻尼状态 1
1,2 ( 2 1)0
通解： x(t) C1e( 2 1)0t C2e( 2 1)0t
可以看出： t
时，
x(t) 0
是指数衰减运动，非振动。
例题1
由弹簧k、阻尼器c及质量为m的匀质杆，组成的系统如图。 试求：
系统的动力学方程； 发生自由振动的条件； 最大初始转角； 不产生振动的条件；
常数A1、A2由初始条件决定，x(0)
x0 ,
x(0)
x 0
A1 x0 ,
A2
x0 0 x0 1 20
方程通解可表示为： x(t) Aet sin(dt )
有阻尼振动的初始幅值
A
A12 A22
x02
x0 x0 d
2
有阻尼振动的初相角
arctan
d x0 x0 x0
有阻尼振动的固有频率 d 0 1 2
第三节 有阻尼的自由振动
在无阻尼的自由振动中，由于机械能守恒，系统保持 等幅振动。实际上，在振动时，系统中不可避免地存在 着阻尼，振幅将会随时间的延长而衰减，逐渐趋于零， 因此阻尼对振动的影响不可忽略。
阻尼有各种来源。 两物体之间的干摩擦， 在润滑表面之间的滑动摩擦， 气体或液体等介质阻尼以及材料的内阻尼等。
结论：有阻尼振动的固有频率小于无阻尼振动的固有频 率，是系统固有的物理参数。
有阻尼振动的周期大于无阻尼振动的周期
2
2
Td
d
0
1 2
由于阻尼作用引起能量耗散，在欠 阻尼的情况下，阻尼使无阻尼自由 振动的固有周期增加，频率降低。
当 时1，阻尼对频率或周期的
影响可以忽略，但它对振幅按
几何级数衰减，即
相邻两个振幅之比——减缩系数，非常明显地反映阻尼造成的衰减效果，
3
发生自由振动的条件：
lc 1 2a mk
3
c 2a mk l3
（3）原长处 (0) xj a
(0)
mgl 2a2k
（4）不产生振动的条件：
根据 M A 0
kx ja
mg
l 2
xj
mgl 2ka
1
（5）对数减缩率
1
c 2a mk l3
2 2 lc 3lc
2a mk a mk 3
对数减缩率。 1
解：（1）由动量矩定理
Jo&& Mo
J A&& akx lcx& a2k l 2c&
系统的动力学方程：
J A&& l 2c& a2k 0
&& l2c & a2k 0
JA
JA
（2）由上式得：
0 a
k JA
l2c
2J A
JA
1 ml 2 3
lc 0 2a mk
记做，
Ai eTd
Ai1
Ai Aeti
A Ae (ti1 Td ) i 1
实际计算时，常用对数系数， n Td 0Td
2
即
1 2
Td
2 d
0
2 1 2
一般为：
1 j
ln
A1 A j1
用途：此公式在振动实验中有重要应用 （利用实验测出对数减缩并换算出阻尼比）
当 时1 ，
c 0 2 km
本征值： 1,2 ( m 2 1)0
方程通解的性质分三种情况讨论：本征值依赖于阻尼比
1.欠阻尼状态 1
1,2 ( i 1 2 )0
x(t) C1e1t C2e2t
e t {C1ei( 1 20t ) C2ei( } 1 20t )
et{A1 cos( 1 20t) A2 sin( 1 20t)} et{A1 cosdt A2 sin dt}
实用意义： 将复杂的阻尼机理用等效粘性阻尼替代，简化了分析过程。
当系统作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量 E
近似利用无阻尼振动规律 x Asin(0t ) 得：
E
cxdx
T 0
cx2 dt
c02
A2
T 0
cos2
(0t
)dt
c0
A2
1.干摩擦阻尼
(dx xdt)
遵循库仑定律，即摩擦力与接触物体间的正压力 FN成正比，与运动方向相反。