振动理论 第五讲 有阻尼自由振动
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《阻尼和振动公式》课件
线性阻尼的数学模型通常表示为： y''(t) + 2*zeta*omega*y'(t) +
omega^2*y(t) = 0，其中 y(t) 是振动 位移，zeta 是阻尼比，omega 是无阻
尼自然频率。
该模型描述了阻尼振动的基本特征，即 线性阻尼适用于描述大多数物理系统的
振幅随时间衰减的现象。
阻尼行为。
故障诊断与预测
通过监测机械设备的振动数据，结合振动公式，可以对设备故障进 行诊断和预测，及时发现潜在问题，提高设备维护效率。
在航空航天中的应用
1 2 3
飞行器稳定性分析
航空航天领域的飞行器在飞行过程中会受到各种 气动力的作用，振动公式的应用可以帮助分析飞 行器的稳定性。
结构强度与疲劳寿命评估
航空航天器的结构和零部件在长期使用过程中会 受到疲劳损伤，振动公式的应用可以评估结构的 强度和疲劳寿命。
受迫振动
当物体受到周期性外力作用时， 会产生受迫振动。受迫振动公式 的推导基于牛顿第二定律和周期
性外力模型。
多自由度系统的振动公式推导
多自由度系统
当一个物体有多个自由度时，其运动可以用多个振动公式 的组合来表示。多自由度系统的振动公式推导基于牛顿第 二定律和多自由度系统模型。
耦合振动
当多个自由度之间存在耦合作用时，其振动规律更为复杂 。耦合振动公式的推导需要考虑各自由度之间的相互作用 。
实验步骤与操作
步骤一
准备实验器材，包括振动平台、 阻尼器、测量仪器等。
步骤三
启动振动平台，记录物体在不同 阻尼条件下的振动情况。
步骤二
将待测物体放置在振动平台上， 调整阻尼器以模拟不同阻尼情况 。
阻尼对振动的影响
m
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A F
2 2
, B F
2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y {et C1cosrt C2 sinrt} +{Asin θt +Bcos θt }
2f 4.48 1s
(3)阻尼特性
1 ln 2 0.0355, 2 1.6
r
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6
e t0 e (t0 6T )
e6T
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主
要由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷 载处理。
•当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对
说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
y yP sin(t ), FS ky kyP sin(t ), FI my m 2 yP sin(t ), FD cy c yP cos(t )
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
设
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A F
2 2
, B F
2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y {et C1cosrt C2 sinrt} +{Asin θt +Bcos θt }
2f 4.48 1s
(3)阻尼特性
1 ln 2 0.0355, 2 1.6
r
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6
e t0 e (t0 6T )
e6T
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主
要由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷 载处理。
•当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对
说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
y yP sin(t ), FS ky kyP sin(t ), FI my m 2 yP sin(t ), FD cy c yP cos(t )
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
设
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
1.3有阻尼的自由振动解析
例题2
对于阻尼较小 的 0系.1统 ，实验中有时可用半振幅
方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线
上已测得相隔N个周期的两点 P 、 R之间幅值减小一
半，试确定 。
解：振幅衰减曲线的包络线方程为
设 R、 P两点在包络线上的幅值为
则
xP e0NTd 2
xR
当 = 时1可近似为
2 N ln 2
一、粘性阻尼系统的自由振动
定义:
粘性阻尼——物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时的阻尼。
粘性阻尼力 Fc cx
c 为粘性阻尼系数
粘性阻尼系统的运动微分方程为： mx cx kx 0
标准型： &x& 2 x& 02 x 0
令 x et
无阻尼系统的固有频率 0
k m
阻尼系数 c
2m
导入本征方程为： 2 20 02 0 阻尼比
0.56cm
0.11 =0.049
2.25
注意：公式使用范围为幅值减小一半
2.临界阻尼状态 1
1,2 0
通解： x(t) (C1 C2 x)et
初始值 x(0) x0 x(0) x0
x(t) [x0 (x& 0 x0 )t]e0t
可以看出：
t 时，
e0t 0
指数衰减运动，非振动。
2
在单自由度欠阻尼自由振动线性系统中，常用两种方 法求对数减缩率：
1 j
ln
A1 A j1
2 1 2
2
1
例题1 系统衰减振动的振幅在10次振动的过程中，由 A1=3cm缩小到A2=0.06cm，求对数减缩率。
解：
1 j
ln
第五章-隔振技术-第六章-阻尼技术
(5) 阻尼有助于降低结构传递振动的能力。
6.1.2 阻尼的产生机理 从工程应用的角度讲，阻尼的产生机理就 是将广义振动的能量转换成可以损耗的能量，
从而抑制振动、冲击、噪声。 1 ．工程材料的内阻尼 材料阻尼的机理是：宏观上连续的金属材
料会在微观上因应力或交变应力的作用产生 分子或晶界之间的位错运动、塑性滑移等，
产生阻尼。在低应力状况下由金属的微观运
动产生的阻尼耗能，称为金属滞弹性。
当金属材料在周期性的应力和应变作用
下，加载线 和卸载线 在一次周期的应力循 环中，构成了应力 - 应变的封闭回线 ABCDA ，阻尼耗能的值正比于封闭回线的面 积。
粘弹性材料属于高分子聚合物，从微观结构上
看，这种材料的分子与分子之间依靠化学键或物 理键相互连接，构成三维分子网。高分子聚合物 的分子之间很容易产生相对运动，分子内部的化 学单元也能自由旋转，因此，受到外力时，曲折 状的分子链会产生拉伸、扭曲等变形；分子之间 的链段会产生相对滑移、扭转。当外力除去后， 变形的分子链要恢复原位，分子之间的相对运动 会部分复原，释放外力所做的功，这就是粘弹材 料的弹性；但分子链段间的滑移、扭转不能全复 原，产生了永久性变形，这就是粘弹材料的粘性， 这一部分功转变为热能并耗散，这就是粘弹材料 产生阻尼的原因。
系统频率。如果系统干扰频率 比较低，系
统设计时很难达到 的要求，则必须通
过增大隔振系统阻尼的方法以抑制系统的振
动响应。
5.2 隔振设计与隔振器 在隔振设计中，通常把 100Hz 以上的干 扰振动称作高频振动， 6-100Hz 的振动定义 为中频振动， 6Hz 以下的振动为低频振动。 常用的绝大多数工业机械设备所产生的 基频振动都属于中频振动，部分工业机械设
6.1.2 阻尼的产生机理 从工程应用的角度讲，阻尼的产生机理就 是将广义振动的能量转换成可以损耗的能量，
从而抑制振动、冲击、噪声。 1 ．工程材料的内阻尼 材料阻尼的机理是：宏观上连续的金属材
料会在微观上因应力或交变应力的作用产生 分子或晶界之间的位错运动、塑性滑移等，
产生阻尼。在低应力状况下由金属的微观运
动产生的阻尼耗能，称为金属滞弹性。
当金属材料在周期性的应力和应变作用
下，加载线 和卸载线 在一次周期的应力循 环中，构成了应力 - 应变的封闭回线 ABCDA ，阻尼耗能的值正比于封闭回线的面 积。
粘弹性材料属于高分子聚合物，从微观结构上
看，这种材料的分子与分子之间依靠化学键或物 理键相互连接，构成三维分子网。高分子聚合物 的分子之间很容易产生相对运动，分子内部的化 学单元也能自由旋转，因此，受到外力时，曲折 状的分子链会产生拉伸、扭曲等变形；分子之间 的链段会产生相对滑移、扭转。当外力除去后， 变形的分子链要恢复原位，分子之间的相对运动 会部分复原，释放外力所做的功，这就是粘弹材 料的弹性；但分子链段间的滑移、扭转不能全复 原，产生了永久性变形，这就是粘弹材料的粘性， 这一部分功转变为热能并耗散，这就是粘弹材料 产生阻尼的原因。
系统频率。如果系统干扰频率 比较低，系
统设计时很难达到 的要求，则必须通
过增大隔振系统阻尼的方法以抑制系统的振
动响应。
5.2 隔振设计与隔振器 在隔振设计中，通常把 100Hz 以上的干 扰振动称作高频振动， 6-100Hz 的振动定义 为中频振动， 6Hz 以下的振动为低频振动。 常用的绝大多数工业机械设备所产生的 基频振动都属于中频振动，部分工业机械设
机械振动阻尼自由振动
利用能量守恒原理——求系统微分方程和固有频率的重要手段
例2.3 如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与 弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时 系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。
解： 原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x ，滑轮 沿顺时针方向转过一个角度 x/r 系统的势能为
2
以 0.05 为例，算得 e
1
2
1.37
即物体每振动一次，振幅就减少27%。由此 可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微 小（ Td=1.00125T，周期 Td 仅增加0.125% ）， 但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰 减的。
例 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1 , 在粘性液体中振 动周期为T2 , 液体阻尼力可表示为f d 2 Au, 其中2 A为板的面积， 为粘性系数，为板 u 运动的速度。求证： 2 m 2 2 T2 T1 ATT2 1
d
sin d t )
d n
nTd 2
即
阻尼比较大的系统其自由振动衰减的较快。 如果两个系统的阻尼比相同，则具有较高固有 频率的系统其自由振动衰减较快。这也就是常 说的“高频成分衰减快”
具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻
尼系统。质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。自由 振动时系统不受外界激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。
自由振 动的运 动微分 方程：
x" x 0 x(0) x0 , x' (0) x'0 通解为： x A cos t A sin t A cos( t ) n 1 n 2 n
例2.3 如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与 弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时 系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。
解： 原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x ，滑轮 沿顺时针方向转过一个角度 x/r 系统的势能为
2
以 0.05 为例，算得 e
1
2
1.37
即物体每振动一次，振幅就减少27%。由此 可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微 小（ Td=1.00125T，周期 Td 仅增加0.125% ）， 但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰 减的。
例 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1 , 在粘性液体中振 动周期为T2 , 液体阻尼力可表示为f d 2 Au, 其中2 A为板的面积， 为粘性系数，为板 u 运动的速度。求证： 2 m 2 2 T2 T1 ATT2 1
d
sin d t )
d n
nTd 2
即
阻尼比较大的系统其自由振动衰减的较快。 如果两个系统的阻尼比相同，则具有较高固有 频率的系统其自由振动衰减较快。这也就是常 说的“高频成分衰减快”
具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻
尼系统。质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。自由 振动时系统不受外界激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。
自由振 动的运 动微分 方程：
x" x 0 x(0) x0 , x' (0) x'0 通解为： x A cos t A sin t A cos( t ) n 1 n 2 n
理论力学 第5章 小振动
A sin( 0 t )
2. 单自由度系统的小振动
三、复摆系统的自由振动 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
d M mgl sin I 2 d t ( 5 )
d mgl I 2 dt
2
2
M l F
转动正向 O 向外
l
*C
d 2 0 2 dt
2. 单自由度系统的小振动
例2：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率 解：系统的动能和势能 1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos 1 2 2 2 ~ T ( mL 6mL2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4mgL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m (0) q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL 2 2
3.1 多自由度系统小振动问题（推导）
ˆ 0 ˆ A ˆ 2M K
本征值问题（求本征值 2 和本征矢量 A ）
f ( 2 ) det k m 2 0
即
k11 m11 2 k21 m21 2 ks1 ms1 2
k12 m12 2
T ——周期，每振动一次所经历的时间。 T
2
0
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
0 —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
2. 单自由度系统的小振动
2. 单自由度系统的小振动
三、复摆系统的自由振动 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
d M mgl sin I 2 d t ( 5 )
d mgl I 2 dt
2
2
M l F
转动正向 O 向外
l
*C
d 2 0 2 dt
2. 单自由度系统的小振动
例2：已知 m, OA=AB=L, 求系统微振动固有频率 解：系统的动能和势能 1 1 1 1 2 2 2 2 T J o mv c J c mv B 2 2 2 2 xc 1.5L cos , yc 0.5L sin , xB 2L cos 1 2 2 2 ~ T ( mL 6mL2 sin 2 ) k 6g 2 3 ~ V 4mgL(1 cos ) m L 2 2 1 1~ 2 ~ 2 m mL mq T m (0) q 3 2 2 1 1~ 2 ~ 2 V (q) V " (0)q k q k 4mgL 2 2
3.1 多自由度系统小振动问题（推导）
ˆ 0 ˆ A ˆ 2M K
本征值问题（求本征值 2 和本征矢量 A ）
f ( 2 ) det k m 2 0
即
k11 m11 2 k21 m21 2 ks1 ms1 2
k12 m12 2
T ——周期，每振动一次所经历的时间。 T
2
0
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
0 —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
2. 单自由度系统的小振动
03-单自由度系统：阻尼自由振动
整理得：
2W 2 2 T1 T gAT 1 T
μ的物理意义是单位面积的阻尼系数。
23
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
24
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
25
第2章 单自由度系统--阻尼自由振动
例
习题课—单自由度系统阻尼简谐振动
解
26 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
粘性阻尼－若物体以较大速度在空气或液体中运 动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘 性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以 认为阻尼与速度成正比。
物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系
Fc cx
4 Theory of Vibration with Applications
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--阻尼自由振动 第 2章 --阻尼自由振动 第 2章 单自由度系统 单自由度系统 引言
• 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。 • 最常见的阻尼是
2 2
xe
nt
(C1e
n2 - p2 t
C2 e
n2 - p2 t
)
临界阻尼(n = p )情形 r1 r2 n
Theory of Vibration with Applications
x e nt (C1 C2 t )
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第2章
单自由度系统--阻尼自由振动 运动微分方程
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x ( x0
N
k
) sin(t )
“初始”条件
N x( ) ( x0 2 ), x(0) 0 k
初始时向右运动，速度方向为正
N N A sin( ) ( x0 2 ) k k A cos( ) 0
例、计及弹簧质量，试确定系统的固有频率 当系统具有位移x 和速度 上端
。 处的位移为 x 速度为 x l l
x
时， 距离
l
k
系统动能有两部分： 质量块m的动能
d
1 2 T1 mx 2
m
O
弹簧质量所具有的动能 1 l r 2 2 T1 x d 0 g l2 2
c 2m
定义 临界阻尼系数
c0 2 mk
c c c0 2 m k
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (1)
0
方程的解
x (t ) A cos n t ） （
A
0 / n ) 2 x (x
2 0
x 0 n x0 π arc tan x0 n
2 2
k c
？
四、受干摩擦阻力作用的振动
Fd Nsign ( x)
N 为物块与界面间的压力
m Nsign ( x) kx 0 x
x m kx N , x 0 x m kx N , x 0
N x A sin(t ) k , x 0 N x A sin(t ) , x0 k
x (t ) A1e A2 e
s1t
s2t
x 0） x 0 （ x 0） x 0 （
1 x (t ) s1 s 2
( x
0
x0 s2 ) e
s1 t
( x 0 s1 x 0 ) e
s2 t
振动特性
•无阻尼 0：
简谐运动 •弱阻尼 0 < <1： 振幅按指数衰减的准周期振动 •临界阻尼 =1：
dx r
p1 p
τ
根据牛顿粘性定律
再考虑到
则有
du dr dp p dx L
du p r dr 2L
速度分布规律与流量
对上式作不定积分，
u
p 2 r c 4L
c
边界条件： r = R，u = 0；则可得定积分常数 则
p 2 R 4L
p u (R2 r 2 ) 4L
x
x
1 rl 2 1 m1 2 x x 2 3g 2 3
系统的总动能为
1 m1 2 T T1 T2 (m ) x 2 3 1 rl 2 1 m1 2 x x 2 3g 2 3
系统的势能为
1 2 U kx 2
3m k 3m m1 m
u umax
τ
dr R
τ0
圆管层流的速度和剪应力分布
最大流速与平均流速 由
u p (R2 r 2 ) 4L
知，r=0时有最大流速 u max，且
u max u (r ) r 0
平均流速
p 2 R 4L
pD 2 U 32L
32 L p U 2 D
圆管内层流的摩擦系数
64 64 f Re UD
一、粘性阻尼
1 1 2 2 2( D ) Ut d vt 4 4
1 d 2 U ( ) v 2 D
2
32 L p U 2 D
32L 1 d 2 d p ( ) v 16L 4 v 2 D 2 D D
由于压差作用于活塞而造成的阻力为
c c 2mn 2 8 25 400N.s / m
系统的阻尼比为
c 0.2 0.5 c c 0.4
系统为弱阻尼系统，有阻尼固有频率为
d 1 0.52 25 21.65rad/s
n 0.5 25 12.5
系统自由振动的位移表达式为
2012年3月15日
能量法
无阻尼 无能量耗散 机械能守恒
T U E
d (T U ) 0 dt
式中T是动能
常量
1 2 T mx 2
势能=重力势能+弹簧势能
势能 的变化=力所作功的负值
1 2 U [mg k ( st )]d kx 0 2
x
d 1 2 1 2 ( mx kx ) 0 dt 2 2
第四节 有阻尼自由振动 阻尼：粘性阻尼、库伦阻尼、 干摩擦阻尼和结构阻尼等
圆管层流
圆管层流时的运动微分方程（牛顿力学分析法）
取长为dx 半径为r 的圆柱体，不计重力 和惯性力，仅考虑压力和剪应力，则有
u r p+dp dx L p2
r 2 p r 2 ( p dp) 2rdx 0 dp 2
tn1 tn d
x n1 Ae
n t n1
x n1 Ae
n ( t n d )
对数衰减率
exp( nt n ) ln ln x n 1 exp[ n (t n d )] xn n d n 2
x0 n x0 arc tan d x0 x0 n x0 arc tan d x0
x0 0 x0 0
特征值
s1, 2 n n 2 1
N A x0 3 k 2
x ( x0 3
N
k
) cos( t )
N
k
2
2 t
半个周期内振幅减少了
N
k
x(t ) A exp(12.5t ) sin(21.65t )
由边界条件确定其他未知量
例、3 确定使水准仪不发生振动的阻尼系数（42页例3）
cy
m x gAx
m
y l x L
力矩平衡：
cy l m L gAx L 0 x cl 2 x m L gAx L 0 x L
系统对初始扰动的响应 讨论 (3)
1
s2t
方程的解
x (t ) A1 A2 t e
x 0） x0 （ x 0） x0 （
x (t )e [ x0 ( x0 x0 s ) t ]
st
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (4) 1 方程的解
衰减运动，在初始扰动下回零时间最短
•过阻尼 >1： 衰减运动
例、1 有一阻尼系统，质量为 m, 弹簧常数为 k，测得 其振动数据，试确定其阻尼大小。
首先从形状可 以判断其为弱 阻尼振动，因 而有
x n Ae
n tn
cos ( d tn ) cos ( d tn1 ) cos ( d tn )
x 2 t 为方程的特解
稳态响应或零初始条件的解
振动微分方程
m c x k x 0 x
设 有
x (t ) A e s t
特征方程
c2 k 2 4m m
m s2 c s k 0
s1, 2 n n 2 1
阻尼比或阻尼因子
s1, 2
m L2 cl 2 x L2 gAx 0 x
临界阻尼：
2 (ccl 2 )2 4(mL )(L2 gA)
L cc l
2
4mgA
L c cc l
2
4mgA
三、结构阻尼
由于材料受力变形而产生的内摩擦
力和变形之间产生了相位之后 迟滞曲线所包含的面积就是每一加载 循环中的能量耗散
d Fd p 4L 4 v v 4 D
d
2
4
d c 4L D
4
第2章 单自由度系统
第四节 有阻尼自由振动
二、粘性阻尼自由振动
振动微分方程
m cx kx F (t ) x
方程的解
x(t)x1 (t) x2 (t)
其中， x1 t 为相应齐次方程的解 瞬态响应
初始条件
x(0) x0 , x(0) 0
初始时向左运动，速度方向为负
N A sin( ) x0 k A cos( ) 0
N A x0 k 2
x ( x0
N
k
) cos( t )
N
k T t 2
(m kx) x 0 x
m kx 0 x x 0 静平衡条件
当系统在平衡位置时，速度为最大，势能为零，动能
具有最大值Tmax；
当系统在最大偏离位置时，速度为零，动能为零，而
势能具有最大值Umax。
由于系统的机械能守恒 ,因而
Tmax U max
可以作为基于能量法的固有频率计算公式
E Fdx
实验表明：其与材料刚度成正比，与振幅 平方成正比 E kA2
等效阻尼系数
对于简谐振动，粘性阻尼力为
Fd cx cA cos(t )
每一循环耗散的能量为
E cxdx cx 2 dt cA2
E kA cA
arc tan
x0
x0 0 x0 0
特征值
s1, 2 n n 2 1
系统对初始扰动的响应 讨论 (2) 0 1