弹塑性力学有限单元法-交通运输工程学院-中南大学
弹塑性力学第01章
学习目的
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而 且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是 它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由 于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解 法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变 分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元方法， 为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。 弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体 应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件 和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题 建立必要的理论基础。
钱学森，著名科学家。我国 近代力学事业的奠基人之一。 在空气动力学、航空工程、 喷气推进、工程控制论、物 理力学等技术科学领域做出 许多开创性贡献。为我国火 箭、导弹和航天事业的创建 与发展做出了卓越贡献，是 我国系统工程理论与应用研 究的倡导人。1991年10月 16日，国务院、中央军委 授予钱学森"国家杰出贡献 科学家"荣誉称号和一级英 雄模范奖章。
粘弹性?
§1-2 弹塑性力学的研究内容
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支， 是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学 科，它推理严谨，计算结果准确，是分析和 解决许多工程技术问题的基础和依据。
目录
CH1 绪论 CH2 弹性力学基本理论 CH3 弹性力学平面问题 CH4 弹性力学空间问题 CH5 薄板的小挠度弯曲 CH6 弹性力学问题的变 分解法 CH7 简单应力状态下的弹 塑性问题 CH8 应力应变分析和屈服 条件 CH9 塑性本构关系 CH10 简单弹塑性问题 CH11 理想刚塑性体的平 面应变问题 CH12 结构的塑性极限分 析
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
弹塑性力学第一章
1.4 弹塑性力学发展史
1.弹性力学发展史 古代弓箭的例子 共分四个时期： 第一时期（初期）：1678年，虎克定律； 第二时期： 十七世纪末，只要研究梁； 1822年-1828年，法国柯西提出了应力、应变概念 ，建立了弹性力学三大方程；
1.4 弹塑性力学发展史
第三时期：广泛用于解决工程问题 1855年，法国圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲 的论文； 1881年，德国赫兹解决了两弹性体局部接触问题 ； 1898年，德国基尔施发现了圆孔处的应力集中问 题； ……………………………………. 建立了能量原理，发展了许多实用的计算方法。
1.4 弹塑性力学发展史
二十世纪二十年代起，发展了一些边缘学 科：
非线性板壳理论 热弹性力学 力学 气动弹性力学、水弹性 磁弹性力学
1.4 弹塑性力学发展史
2.塑性力学发展史 1864年，Tresca提出了最大剪应力屈服准则， 二十世纪初，证实了此准则； 1904年及1913年，Huber和Mises提出了Mises屈 服准则； 1923年，Nadai研究了柱体扭转； 1950年，开始研究塑性本构关系；
1.6 下标记号法和求和约定
2.求和约定 在一项中，有一个下标出现两次，则对 此下标从1至3求和，并限定同一项中不能有 同一下标出现三次或三次以上。
ai bi ai bi a1b1 a2b2 a3b3
i 1
3
aii aii a11 a22 a33
i 1
3
继续研究塑性本构关系 之后，分为两大分支： 数值计算方法的研究
1.5 简化模型
简化模型的特点： （1）比较真实地反映材料的真实特性； （2）便于计算及理论研究。 根据有无明显的屈服阶段，分为两大类： 理想塑性模型 强化模型
有限元资料
《弹塑性力学与有限元》大作业姓名：罗有为学号：201330131883学院：土木工程与力学学院专业：建筑与土木工程指导教师：印长俊导师签名：完成日期： 2014年2月28日地基基础弹塑性力学与有限元计算比较分析罗有为201330131883湘潭大学土木工程与力学学院湘潭411105摘要：以受集中荷载作用的无筋扩展基础为例，采用Abaqus有限元软件对其进行受力分析。
首先针对问题得到简化模型，然后用Abaqus软件进行有限元分析得到模拟值，将粗细网格进行对比，可知只要网格划分合理，Abaqus有限元分析可以得到满足精度要求的数值解。
关键字：无筋扩展基础；弹塑性力学；Abaqus；结果对比1 问题描述用Abaqus软件分别求无筋扩展基础在均布荷载作用下的应力、应变及位移，并对两者计算结果进行对比，得到Abaqus计算误差。
2 计算模型图1 计算简图计算参数：①截面尺寸：a=c=150mm；b=240mm；B=540mm；H=350mm；用C30混凝土；②受荷载：受集中力F=300kN，e=120mm。
基础混凝土弹性模量E=30GPa，泊松比μ=0.3，密度2600kg/m3。
地基土弹性模量E=207MPa, 泊松比μ=0.35,密度1900kg/m3,剪切角20，膨胀角0，塑性应力69kpa。
3 Abaqus模型用ABAQUS有限元软件进行模拟，单位体系采用国际制单位SI（m）。
3.1 PartName: foundationModeling Space: 2DPlanarType: DeformableBase Feature: ShellApproximate size: 10图2 Part生成部件1Name: dijiModeling Space: 2DPlanarType: DeformableBase Feature: ShellApproximate size:10图3 Part生成部件23.2 PropertyCreate Material: Name=FOU, Elastic, Isotropic, Young’s Modulus = 30000000000, Poisson’s Ratio = 0.3; Plastic, Yield Stress=30000000000, Plastic Strain=0Create Section: Name=Section-1, Category: Solid, Type: Homogeneous, Material: Materal-1, Plane stress/strain thickness: 1Assign Section: Region: (Picked), Section: Section-1, Material: Material-1, Thickness Assignment: From sectionCreate Material: Name=DIJI, Elastic, Isotropic, Young’s Modulus = 20700000, Poisson’s Ratio = 0.35; Mohr Coulomb Plastic, Friction angle=20, Cohesion yield stress=690000Create Section: Name=Section-2, Category: Solid, Type: Homogeneous, Material: Materal-2, Plane stress/strain thickness: 1Assign Section: Region: (Picked), Section: Section-2, Material: Material-2, Thickness Assignment: From section图4 材料本构模型3.3 Assembly由于该模型只含有一个部件，故只需组装Part-1。
弹塑性有限元方法-1
{ } [ D ]{ } 简写成：
弹性矩阵: 平面应力： 平面应变：
1 E [ D] 1 2 0
1 0
0 0 1 2
E 在平面应力的 [ D ] 中，用 1 2
边界条件： 力边界 S 上：
x nx yx n y qx xy nx y n y q y
u E [1 1] 1 l u2
(2) x
u du (2) 1 [1 1] 2 dx l u3
u E [1 1] 2 l u3
(2) (2) x E x
4．建立有限元方程 基于虚功原理来建立。 虚功原理：
L
0
x x Adx q udx P u x L
弹塑性有限元方法
主要参考书：
1.谢贻权，何福保. 弹性和塑性力学中的有限元方法，机械工业出版社，1981 2.冯肇华. 有限单元体法基础，吉林人民出版社，1984 3.卓家寿，弹性力学中的有限元方法，高等教育出版社，1987 4.王勖成，邵敏. 有限单元的基本原理与数值方法，清华大学出版社，1997 5.彭颖红. 金属塑性成形仿真技术，上海交通大学出版社，1999 6.李尚健. 金属塑性成形过程模拟，机械工业出版社，1999
{ }T { }d { f }T { p}d { f }T {q}ds { f }T {P}
S
平面问题：
( x x y y xy xy )tdxdy ( px u p y v)tdxdy (qx u q y v)tds Px u Py v
Байду номын сангаас0 0 0 1 2 2(1 )
弹塑性力学讲稿
教学大纲
三、本课程的基本内容以及重点难点
绪
论（2学时）
弹、塑性变形特点与研究内容；本课程学习目的、意义等。 第一章 应力应变分析（6学时）
点的应力状态的定义、描述、分解；特殊应力；点的应变状态的定义；应力与应变分析
的相似性与差异性；变形力学图。应力张量的分解与图示是本章的重点。
第二章 弹性力学基础（14学时）
研究方向：铝、铜、锌合金材料及加工工艺与模 具设计、数值模拟等。
联系方式：0731-8830266（O），8660299（H）； e-mail: gylin6609@
开场白（Opening Remarks）
2． 关于这门课（About this course）
弹塑性力学属于固体力学的一个重要分支， 包括弹性力学、塑性力学和断裂力学基础三部分 内容。本课程属于材料科学与工程专业本科生学 科基础课程，是本学科的主干课程之一（必选）， 共32学时，2学分。其任务是系统地介绍弹性、 塑性及断裂力学的基本方程、基本原理及基本求 解方法；其目的是使学生通过该门课程的学习， 掌握弹性与塑性力学的基本知识，建立起一种系 统的力学分析概念，并为后继课程，尤其是《金 属塑性加工原理》的学习打下基础。
先修课程要求：
在学习本课程前应学完高等数学、线性代数、工程力学、理论力 学等基础课程，要求有较为扎实的数学基础；本课程又是后继重点 课程《金属塑性加工原理》的基础。
适应专业：材料科学与工程专业本科生
参考教材：
– 王仲仁等：《弹性与塑性力学基础》，哈尔滨工业大学出版社，1997
– 彭大暑：《金属塑性加工力学》，中南工业大学出版社，1989
教学大纲
二、本课程的基本要求
1．要求掌握弹性和塑性变形的力学特点； 2．要求掌握弹性力学的5组基本方程、2组基本原理和2种基本
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
第3讲—弹性力学问题的有限单元法
1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵： 单元节点坐标列阵： 单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法 崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2
ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法 崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非 常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作 功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。
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中南大学2014年博士研究生入学考试
《弹塑性力学有限单元法》考试大纲
本考试大纲由交通运输工程学院教授委员会于2013年7月通过。
I.考试性质
弹塑性力学有限单元法是我校“载运工具运用工程”专业博士生入学考试的专业基础课，它是为我校招收本专业博士生而实施的具有选拔功能的水平考试；其目的是科学、公平、有效地测试考生掌握弹性力学、塑性力学及有限单元数值方法课程的基本知识、基本理论，以及相关理论和方法分析解决实际问题的能力；评价的标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到的及格或及格以上水平，以保证被录取者能较好的掌握了本专业必备的基础知识。
II.考查目标
弹塑性力学有限单元法课程考试弹性力学、塑性力学及有限单元数值方法等内容，重点在检查力学基本概念与基本方法的掌握和应用，难度适中，覆盖主要章节，能区分学生优劣层次。
要求考生：（1）掌握弹塑性力学的基本知识、结构有限元分析的基本方法和过程，要求学生具备使用有限元方法进行车辆结构强度分析的能力。
Ⅲ.考试形式和试卷结构
1、试卷满分及考试时间
本试卷满分为100 分，考试时间为180 分钟
2、答题方式
答题方式为闭卷，笔试。
3、试卷内容结构
弹性力学约30 % 30
有限单元法约50 % 50
塑性力学基本理论约20 % 20
Ⅳ.考查内容
1. 弹性力学
（1）掌握弹性力学问题基本方程及边界条件。
（2）掌握应力理论及变形理论、二阶张量的坐标转换；
（3）掌握使用位移法和应力法求解弹性力学问题；
（4）掌握使用半逆解法求解简单平面问题；
2. 有限单元法
（1）掌握有限元方法的基本概念；
（2）掌握平面、空间及等参单元分析的过程
（3）掌握有限单元位移模式的选取、刚度矩阵数值积分方法；（4）掌握结构刚度矩阵性质、边界条件处理；
（5）掌握薄板弯曲问题有限元分析方法；
（6）掌握车辆典型结构有限元分析的步骤和处理技巧；
3. 塑性力学
（1）掌握塑性力学的基本概念；
（2）掌握Tresca和Mises屈服条件；
（3）掌握几种常用的弹塑性力学模型；
（4）掌握应力空间和屈服曲面的概念、加载曲面和塑性流动法则；。