主振型叠加法解题步骤
第四章 多自由度体系(振型叠加法)
2. 有阻尼体系的振型叠加法
1、满足阻尼阵正交条件
N
∑ {u(t)} = {φ}n qn (t) n=1
多自由度体系有阻尼运动的方程为：
[M ]{u}+ [C]{u}+ [K]{u}= {p(t)}
28B − 5mλ −6B
6B
[K ] − λ[M ] = −6B 7B − mλ 3B = 0
6B
3B 7B − mλ
λ3 −19.6λ 2D + 104λD2 − 80D3 = 0
式中
B = 3EI 10L3
D = 3EI 10mL3
λ =ω2
解法一：
λ3 −19.6λ 2D + 104λD2 − 80D3 = 0
其中：
M n = {φ}nT [M ]{φ}n Kn = {φ}nT [K ]{φ}n pn (t) = {φ}nT {p(t)}
分别为n阶振型的广义(振型)质量、广义(振型)刚度和 广义(振型)荷载。
从上面的正交性证明中已给出 Mn和Kn的关系：
Kn = ωn2M n
ωn—体系第n阶自振频率。
1. 无阻尼体系的振型叠加法
因此结构的质量矩阵
u2
u1
u3
⎡5 0 0⎤ [M ] = m ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
解法一： 结构的柔度矩阵
⎡2 3 −3⎤
[δ
]
=
L3 6EI
⎢ ⎢ ⎢⎣
8
对称
−6⎥⎥ 8 ⎥⎦
结构的刚度矩阵
⎡28 −6 6⎤
[K ] = 3EI 10L3
⎢ ⎢ ⎢⎣
对称
7
3⎥⎥ 7⎥⎦
求固有频率和振型
03-4 振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法
3.6 连续系统的响应· 振型叠加法
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
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因此，上述方程可以简化为
2 r
2 s
L 0
( x) A( x)Yr ( x)Ys ( x)dx 0
按照假设， Yr(x)和 Ys(x)是对应于不同固有频率的振 型函数(rs，rs)，由此得出
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
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d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
(1)
用Ys(x)乘方程(1)，并在梁全长上进行积分
d2 dx 2
xL
(2)
用Yr(x)乘方程(2)，并在梁全长上进行积分
d 2Yr ( x ) d2 2 EJ ( x ) r ( x ) A( x )Yr ( x ) 2 2 dx dx
(1)
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d2 0 Ys ( x) dx 2
L
L d 2Yr ( x) 2 EJ ( x ) d x r 0 ( x ) A( x )Yr ( x )Ys ( x )dx 2 dx
振型叠加法
(2)将阻尼矩阵假设为比例阻尼 将阻尼矩阵假设为比例阻尼
[C ] = ao [M ] + a1 [K ]
[C P ] = ao [M p ] + a1 [K p ]
(3)由实验确定各阶振型的相对阻尼比。 由实验确定各阶振型的相对阻尼比。 由实验确定各阶振型的相对阻尼比
有阻尼系统响应的振型叠加法
4、对初始条件和激振力作变换: 、对初始条件和激振力作变换 {y (0)} = [M p ]−1 [Φ ]T [M ]{x0 } , {y (0)} = [M p ]−1 [Φ ]T [M ]{x0 } & &
[K 特征方程 构成振型矩阵: 构成振型矩阵
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
[Φ ] = [{φ }1 {φ }2 L {φ }n ]
T p
=0
2 i
求出固有频率 ω i
i
i = 1,2,L , n
求出主振型 { }i φ
3、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵: 、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵
{Q(t )} = [Φ ]T {P(t )}
& y 解耦方程为: 解耦方程为 M pi &&i + C pi y i + K pi y i = Qi (t )
2 i
C pi
M pi 5、求系统在主坐标上的响应 、求系统在主坐标上的响应:
−ξ iω i t
M pi 1 &&i + 2ξ iω i yi + ω yi = & y Qi (t ) ξ i 第 i 阶模态阻尼比 M pi 1 1 & & {φ }T [M ]{x0 } , {φ }T [M ]{x0 } y i ( 0) = y i ( 0) = i i
动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
三层框架的振型叠加法手算过程
设计任务1、试设计一个3层框架，给出框架结构的一致质量矩阵、一致刚度矩阵，建立框架结构的运动微分方程，求出该框架结构的各阶频率和振型；并采用振型分解法，选定一个正弦动力荷载，求3层框架对于该荷载的位移反应；1．1结构几何特性图１．１结构平面布置图如图 1.1所示的三层钢筋混凝土框架结构平面布置,采用横向框架承重方案,层高3.6m.全部采用C30混凝土.结构构件尺寸表如图1.1阴影部分所示，取一品框架进行计算，则结构的计算图式如图1.2所示：图1.2 框架横向计算图式1．2 结构离散化图1.3 结构离散化0.03.67.210.8360036003600660030006600250*650250*650框架主梁：250*650250*650250*650250*650250*450250*450250*450400*400400*400400*400400*400400*400400*400400*400400*400400*400400*400400*400400*400(屋面板厚90mm)(屋面板厚90mm)(屋面板厚90mm)(楼面板厚80mm)(楼面板厚80mm)(楼面板厚80mm)(楼面板厚80mm)(楼面板厚80mm)(楼面板厚80mm)x1239152181471320194561817161011121(0,0,0)2(1,0,2)3(3,0,4)4(5,0,6)5(0,0,0)6(1,0,7)7(3,0,8)8(5,0,9)9(0,0,0)10(1,0,10)11(3,0,11)12(5,0,12)13(0,0,0)14(1,0,13)15(3,0,14)16(5,0,15)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=222234661200266120000000026046061206120ˆL L L L L L L L L L L L L EI k1.3.2 整体坐标下单元刚度矩阵①梁单元刚度矩阵在整体坐标系下，梁单元的刚度矩阵与其在单元坐标系下的刚度矩阵相等。
结构动力学采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力.docx
采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力一、作业数据某两层钢筋混凝土框架（图1）,集中于楼盖和屋盖出的重力荷载值为：Gi = HOOkN, G2 = 1300kNo 柱截面尺寸为b x h = 450mm x 450mm,结构层高H = 3.9m,结构采用C45混凝土，弹性模量E。
= 3.35 x 104N/m2o场地类别为II第三组，地震加速度为0. 15g,地震影响按多与地震考虑，烈度为7级。
试采用振型叠加法求解结构的地震内力，并绘制内力图。
计算步骤1.基本数据计算各层刚度计算：I = ^ = 45Q^5°3 = 3.417 x 109mm4】 1 ] 24E1 24X3.35X104- “4“/k t = k2 = k = = —— = 4.632 x 104N/mm柔度系数计算：5ii = J = = 2.159 x 10-8 m/N812 = S2i = 8n = 2.159 x 10-8 m/N822 =- + - = 4.318 x IO-8 m/N K K 质量: u Gi图2集中质量模型H3390034.632X104Gi 1100X103 mi = 7 = ^^ 1.122 x 105kg2. 求频率和振型Sum! + 622m 2 = 2.159 x 10~8 x 1.122 x 105 + 4.318 x 10~8 x 1.327 x 105 =8.152 x KT?(§i 』22 — 5i252i)m 1m 2 = (2.159 x 10~8 x 4.318 x 10~8 — 2.159 x IO"8 x 2.159 x IO -8) x 1.122 xl05 x1.327 xlO 5=6.940 x 10-61 ( 8 ]]旳 + 5 221叱)± 7(( 5 u mi + 5 22m 2)2 - 4(8^622 - 512621)m 1m 2)A 9 = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------228.152 x 10~3 ± J (8.152 x 10~3) 2 - 4 x 6.940 x 10~6= 2_ r 0.0072一 t 0.0010故频率为： 1 1 , 1 1 z (JL )X= —= = -7 ------------------------------------------------------------------ = 11.785 rad/s, a )2 = —= = -7 = 31.623rad/s庆 V0.0072/馮 VO.OOIO振型为：丫扌 _ m 2S 12 _ 1.327 xl05 x 2.159 xlO -8 _ -0.600 可=_ = - 1.122 x 105 x 2.159 x 10~8 - 0.0072 = 1.000 2mi%-苗 Yf _m 2512 _ 1.327 x 105 x 2.159 x IO -8 _ 3.484_= - 1.122 x 105 x 2.159 x IO"8 - 0.0016 = 1.00025%-時3. 求振型参与系数1.327 x 105kg1300x103 9.8_ {Y}⑴_ nhYf + gY 孑 _ 1.122 x ( - 0.6) + 1.327 x 1 Y1{Y}(1)T[M]{Y}(1)mi(Y 打2 + m2(Y 孑)2i.i22 x ( - 0.6) ? + 1.327 x 1=0.378,_ {Y}⑵T[M ]{1} _ mi Yf + m 2Y^ _ 1.122 x 3.484 + 1.327 x1丫2 = {Y }(2)T [M ]{Y}⑵=mi(Yf)2 + m2(Y 夕尸=1.122 x 3.4842 + 1.327 x1=0.3504. 求自振周期及特征周期2TT T I =—= 2nT 2 =——二2TT 二 =0.533S11.785 21T =———=0.199S 场地类别为II 第三组，查表知T g = 0.45s表5. 1- 4-2特征周期值(s)5. 求水平地震影响系数a 19 a 2地震影响烈度为7度，地震加速度为0. 15g,按多遇地震考虑，查下表得：a max = 0.12表5. 1.4-1水平地雀影响系数最犬值的地区。
振型叠加法
基本方程的求解
由于整体质量矩阵、整体阻尼矩阵和整体刚度 矩阵阶次都较高，一般认为下面几种方法求解是较 为有效。
ɺ M { ɺɺ( t )} + D { y( t )} + K { y( t )} = { f ( t )} y
其中： 其中： M：质量矩阵；D：阻尼矩阵；K：刚度矩阵 ：质量矩阵； ：阻尼矩阵； ：
3.2 振型叠加法基本步骤
1
大型特征值问题 固有特性） （固有特性）
3
矩阵、 矩阵、向量乘法 振型叠加） （振型叠加）
2
数值/ 数值/解析积分 （单自由度 系统响应） 系统响应）
3.2.1 系统固有特性的求解
动荷载作用下无阻尼系统时域运动微分方程：
y [ M ]{ɺɺ( t )} + [ K ]{ y( t )} = { f ( t )}
{ y( t )} = ∑ {φi } zi ( t )
i =1
n
振型叠加法
2.牛顿法
• 牛顿法是求解非线性方程的重要方法之一，一 般也称作Newton-Raphson方法，牛顿发的基本 思想是将非线性方程f(x)=0逐步线性化，每一步 求解线性方程的根。
f (x) (x ϕ ( x) = x − f ′( x)
• 缺点： • 局部收敛 • 对初值依赖大
3.振型叠加法
直接积分法的基本要点是将整个动力学响应 的历程划分为若干时间步长，而为了求解的精度 要求，每个步长要求得很小，至少分为十步，每 一步都要对线性方程组进行求解，因此要耗费相 当多的机时，所以从一般意义上讲，计算短时间 的动力学响应，使用直接积分法比较有效，若长 时间的动力学响应采用该方法分析就不可取了。
1.直接积分法
采用振型叠加法 求地震作用下框架结构内力
《结构动力学》课程设计采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力姓名：谢聂强学号：U200915849专业班级:土木工程0905班指导老师：龙晓鸿完成时间：2012年3月25日一 、课程大作业任务某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为121350kN,1150kN G G ==（图2），层高 3.9m H =柱截面尺寸为()400400mm b h ⨯=⨯，梁刚度EI =∞,砼强度为40C ,混凝土强度等级423.2510N/mm c E =⨯，地震设防烈度为7度，地震加速度为0.15g ，场地类别为Ⅱ，第二组。
请采用振型叠加法求解该结构的地震内力，并绘制内力图。
图1 两层框架结构图二、计算步骤1.计算截面参数柱子截面惯性矩：3394011400400 2.133310mm 1212I bh ==⨯⨯=⨯ 每层刚架侧移刚度：496270123332424 3.2510 2.13331010N m 2.805110N/m 3.9mc E I k k k H -⨯⨯⨯⨯⨯∙=====⨯ 二层楼板质量：3311135010137.755110kg 137.7551t 9.8G m g ⨯===⨯=屋盖质量：3322115010117.346910kg 117.3469t 9.8G m g ⨯===⨯=其中121.1739m n m == ，令2m m =。
2.求出频率和振型+k 2图3由图3（a ）和（b ）可求出结构的刚度系数如下：11122121222222,,k k k k k k k k kk k k k=+==-=-=-=-==那么则两频率分别为-11-120.63099.75s1.717526.55s ωω======第一主振型：()()1711227231111122.80511012 2.8051109.75137.755110 1.5332Yk k m Y ω-⨯=-=-=-⨯⨯-⨯⨯()211221212121220.851912 1.1739120.39802.9499k k m m k k m m kmk m k mω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡⎛⎫=+⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎡=⨯+⎢⎣⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩第二主振型：()()271122723211212 2.80511012 2.80511026.55137.7551100.6841Y k k m Y ω-⨯=-=-=--⨯⨯-⨯⨯ 3.求振型参与系数由{}()[]{}{}()[]{}()()1211njj Ti ii j n j T j j i i i m YY M Y M Y m Y γ====∑∑，得 ()()()()()()()11122211212222211.17391 1.55320.7601.17391 1.55321.173910.68410.2981.173910.6841ni ii niii ni ii niii m Y m m m m m Y m Y m m m m m Y γγ====⨯+⨯===⨯+⨯⨯-⨯===⨯+⨯-∑∑∑∑4.求自振周期自振周期为1122220.644s 9.75220.236s26.55T T ππωππω======场地类别为Ⅱ第三组，查表得特征周期0.40s g T =。
振型叠加法
2、对相应的无阻尼系统作模态分析，求出特征值和特征向量: 、对相应的无阻尼系统作模态分析，求出特征值和特征向量
[K ] − ω 2 [M ]
带入特征方程: 带入特征方程 构成振型矩阵: 构成振型矩阵
([K ] − ω [M ]){φ } = {0}
[Φ ] = [{φ }1 {φ }2 L {φ }n ]
有阻尼系统响应的振型叠加法
振动理论与测试技术 88学时 讲课教师 殷祥超
中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二○一○年八月
有阻尼系统响应的振型叠加法
1、建立系统的力学模型，列出系统的振动微分方程: 、建立系统的力学模型，列出系统的振动微分方程
& [M ]{&&} + [C ]{x} + [K ]{x} = {P(t )} x
T p
=0
2 i
求出固有频率 ω i
i
i = 1,2,L , n
求出主振型 { }i φ
3、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵: 、作坐标变换，使方程解耦，求出主质量矩阵、主刚度矩阵和模态阻尼矩阵
[M ] = [Φ ] [M ][Φ ] [K ] = [Φ] [K ][Φ] [C ] = [Φ] [C ][Φ ]
T
T
p
p
将阻尼矩阵处理为对角矩阵: 将阻尼矩阵处理为对角矩阵 (1)忽略矩阵中的非对角线元素 忽略矩阵中的非对角线元素
cij = 0
i≠ j
cii = C pi
称为第 i 阶模态阻尼
(2)将阻尼矩阵假设为比例阻尼 将阻尼矩阵假设为比例阻尼
[C ] = ao [M ] + a1 [K ]
正则坐标与振型叠加法
y Y
y Y 1 Y
1
1 Y Y
Y Y
2 3
2
2
Y
n
Y
n
n
上式就是按主振型分解的展开公式。因此正则坐标就是把实 际位移按主振型分解时的系数。
y Y
几何意义：体系中每个质点的位移可以看做是由两部分组合 而成，也就是说体系的实际位移可以看做是由固定振型各乘以 对应的组合系数η1、η2后叠加而成的。这种方法就称为（主）振 型分解法或（主）振型叠加法。
上述做法不难推广到n个自由度的一般情形，可以将原几何坐 标y1、y2、...yn表示为n个标准化的振型与正则坐标的组合:
T T T
* * * M K F ( t )
i2
2 i i
1 i t t Fpi t Mi
以上就是以正则坐标表示的n个独立的微分方程，与单自由 度不考虑阻尼的运动方程完全相似。当初始条件为零时，杜哈 梅积分解为： 1 i t Fpi sin i t d 0 M ii
T
0 1 180 0 0 270 0 0.667 t 330.06t 0 0 270 0.333
T
1 M 2 0.663 0.664 1 M 3 3.022 4.032
0 1 180 0 0 270 0 0.663 t 417.72t 0.664 0 0 270 0 1 180 0 0 270 0 3.022 t 7035.17t 4.032 0 0 270
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{ }
{ }
ห้องสมุดไป่ตู้
{Y ( ) } = Y1 {Y ( ) } ；
i i (i ) max
注意：若是求解频率方程/特征方程 [ K ] − ω 2 [ M ] = 0 所得的自振频率有重根，而重 根的自振频率所对应的主振型未必正交， 则需利用主振型的正交性对非正交的主振型进 行正交化处理。
7) 用正则坐标对基本振动方程进行解耦，也即正则坐标变换：
i ( t ) + ciη i ( t ) + K iηi ( t ) = Fi ( t ) M iη
( i = 1, 2,", i,", n )
或
i ( t ) + 2ωiξiη i ( t ) + ωi2ηi ( t ) = η
3.4.4 用主振型叠加法/模态叠加法求解多自由度结构体系振动方程的解题步骤
} + [ K ]{ y} = { P ( t )} ； 1) 构造基本振动方程： [ M ]{ y} + [C ]{ y
y} + [ K ]{ y} = {0} ， 并得到动位移幅值 {Y } 2) 构造相应的无阻尼自由振动方程： [ M ]{
1 Fi ( t ) Mi
( i = 1, 2,", i,", n ) ；
⎧η1 ⎫ ⎪η ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪#⎪ ⎪ 8) 求解 {η} = ⎨ ⎬ ； ⎪ηi ⎪ ⎪#⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩η n ⎪ ⎭
9) 由 { y} = [Y ]{η} 可得直角坐标系下的振动方程的解。
的齐次方程： ([ K ] − ω 2 [ M ]) {Y } = {0} ；
3) 求 解 频 率 方 程 / 特 征 方 程 ：
[K ] − ω2 [M ] = 0
，得到自振频率：
ω1 < ω2 < " < ωi < " < ωn ；
4) 将自振频率代入动位移幅值 {Y } 的齐次方程：([ K ] − ω 2 [ M ]) {Y } = {0} ，求解各个
5) 用两两相互正交的主振型向量构造主振型矩阵： ⎡Y1(1) ⎢ (1) ⎢Y2 ⎢ # ⎤=⎢ ⎦ ⎢Y (1) ⎢ i ⎢ # ⎢ (1) ⎣Yn Y1( 2) " Y1( i ) " Y1( n ) ⎤ ⎥ Y2( 2) " Y2( i ) " Y2( n ) ⎥ # % # " # ⎥ ⎥； Yi ( 2) " Yi ( i ) " Yi ( n ) ⎥ ⎥ # " # % # ⎥ ⎥ Yn( 2) " Yn( i ) " Yn( n ) ⎦
Y (1) , Y ( 2) ," , {Y (i ) } ," , {Y ( n ) } [Y ] = ⎡ ⎣{ } { }
⎧η1 ⎫ ⎪η ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪#⎪ ⎪ ⎪ 6) 引入正则坐标： {η} = ⎨ ⎬ ，令 { y} = [Y ]{η} ； ⎪ηi ⎪ ⎪#⎪ ⎪ ⎪ ⎪η n ⎭ ⎪ ⎩