第十三章 振动分析的矩阵迭代法
线性振动理论和振动近似解法简略史 正文
线性振动理论和振动近似解法简略史摘要：读史使人明智，本文意在对线性振动理论和工程振动近似解法的发展做简要明了的阐述，其中线性振动理论史以科学家对具体模型的解答为路线，依次阐述：单摆、弦线、梁、膜、板壳、三维弹性体理论、激励响应和强迫振动理论。
工程近似解法以时间为顺序依次阐述各近似解法，依次简要阐述：邓克莱法、逐步近似法、阵型叠加法，传递矩阵法、瑞立法、里茨法、有限元法。
部分近似解法做了较为详细的解释。
关键词线性振动近似解法简略史1线性振动理论1.1单摆单摆是最早引起人们注意的振动之一，真正对单摆的研究要追溯到16世纪，早在1581年，伽利略发现了摆的等时性，之后科学家对单摆的研究主要就是计算摆的周期，当然也包括伽利略本人。
伽利略在1638年用落体公式推得摆动周期正比于摆长与重力加速度比的平方根,还从能量的角度讨论摆的周期，但始终没得到正确的比例系数。
结束摆周期的计算是在17世纪中后叶，惠更斯利用几何方法，得到摆振动周期的正确公式。
1678年牛顿在其划时代的《自然哲学的数学原理》中建立运动变化与受力的关系，使振动问题的动力学研究成为可能,假设了介质阻力与速度及速度平方成正比,形成阻尼概念的雏形，在1728年欧拉考察了摆在有阻尼介质中的运动建立并求解了相应的二阶常微分方程，至此单摆在无阻尼和有阻尼的条件下的周期计算基本结束，后期对摆的研究主要集中在摆的大幅振动和其具有的非线性特征。
1638年伽利略摆动周期正比于摆长与］重力加速度比的平方根，即：T二1LJ(1673年伽利略利用几何方法得到单摆振动周期的正确公式\准确解：T二4j(l/g)*K(sin(a/2))广1728年欧拉建立并求解了摆在有阻尼、介质中的运动相应的二阶常微分方程I)图一单摆周期的发现及求解简略图1.2弦线在振动力学研究兴起之前,有两个典型的振动问题引起注意,一个是单摆摆动，另一个就是弦线振动。
弦线振动是无穷多自由度连续系统的振动,单摆摆动是单自由度离散系统的振动,振幅不大时都可认为是线性的。
结构动力学振动分析的矩阵迭代法
（13-28）
在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是应用滤型 矩阵 S1
~
其中
（0） 2
（0） 2
1 T (0 ) (0 ) - φ1 φ 1 m 2 S1 2 M1
（13-29）
1 T S1 Ι - φ 1φ 1 m M1
（13-30）
在这种情况下，式（13-5）可以写成
1 （1） （0） D ~ ~2 2 2 2
克拉夫书P205 例题E13-1 通过计算图E11-1的三层建筑框架的第一振型和频率来说 明矩阵迭代法。虽然用例题E11-1中导得的刚度矩阵求逆可以很容易 求得该结构的柔度矩阵，但是为了说明柔度矩阵的求法，这里对每 一个自由度相继施加单位荷载进行推导。根据定义，由这些单位荷 载所产生的位移表示柔度影响系数。
（0） 1
(0 )
φY
（0） 1 1
φ Y
（0） 2 2
φ Y
（0） 3 3
（13-14）
第一振动频率的振动形状所对应的惯性力为
(0 ) 2 f(0) 12m1 1 m(0)
2 2 2 ( / ) 记 1 ，展开得 n 1 n
（13-15）
（ 1） 1
D
（0） 1
（13-7）
（ 1） 来进行规格 1
该向量除以向量中最大的元素max（ 化，得到改进的迭代向量：
）
（1） 1
max （ ）ຫໍສະໝຸດ （1） 1 （1） 1（13-8）
设 k 为向量中任一自由度，频率近似值为：
2 1
(1)
(0 ) k1 (1) k1
机械振动教学大纲
《机械振动》教学大纲一、课程基本信息二、课程目的和任务《机械振动》是理论与应用力学等力学类本科专业必修的专业课程，同时也是机械、土建等工程学科本科和研究生培养的一门专业基础课程。
《机械振动》是一门系统地研究自然界和工程技术领域中振动现象的产生机理、运动规律、描述和控制方法的科学。
本课程教学应立足于加强学生的振动力学基础理论素养和相关基本技能培养，并着眼于拓宽学生的相关工程背景，提高科学建模能力，为今后学生能够创造性的从事相关理论研究或工程技术实践奠定必要的基础。
三、本课程与其它课程的关系本课程学习所需的主要选修课程为微分方程、矩阵理论、概率与统计、理论力学、材料力学等一系列数学、力学基础课程。
本课程教学应紧密结合相关的实验力学教学共同完成。
通过本课程的学习，为学生完成相关毕业设计课题奠定必备的基础。
四、教学内容、重点、教学进度、学时分配第一章绪论（2学时）1、主要内容机械振动的概念、振动理论研究体系、振动系统分类、简谐振动以及振动发展历史概述（选）2、本章重点机械振动的概念，振动理论研究体系，简谐振动3、本章难点振动系统分类4、教学要求从工程实践方面介绍广泛存在的振动现象，概括其特点和共同性，由此给出机械振动的科学概念。
指出振动理论的研究体系，分类的方法及振动力学的发展历史与现状，特别是指出振动力学在工程中的应用前景和应用价值；介绍相关参考书，提示学生在今后的学习中，从全书观点逐步理解分类的系统性。
第二章单自由度系统的自由振动（10学时）1、主要内容单自由度系统的无阻尼自由振动、等效质量与等效刚度、等效黏性阻尼和有阻尼自由振动。
2、本章重点建立振动微分方程、固有频率和振型、阻尼比、幅频和相频曲线与共振。
3、本章难点建立微分方程、固有频率、振幅减缩率和阻尼比。
4、教学要求介绍单自由度振动系统的工程实际背景，给出描述这一自然现象的力学模型，通过牛顿法和拉氏法建立数学模型及其简化理由和适用条件。
给出固有频率、阻尼特性及它们在自由振动中的物理意义，着重讲解幅频特性、相频特性曲线的物理意义及其在工程设计、控制中的重要作用。
第十三章 振动分析的矩阵迭代法
(13-27)
M1
不包含第一振型的试探形状为
0 0 20 v v 1Y 2 1
(13-28)
§13.4 高阶振型分析 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1
2 v 0 v 0 2 1 11T mv 0 S1v 0 2 2 M1
ˆ ˆ v=n 2Dvn
v1 =Dv1
1 0
(13-5)
(13-5a)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
1
2 1
1 =v1 v
1 1
(13-6*)
考虑任一点k的位移
1
12
1 vk0 =vk1 1
(13-7*)
2 1
0 v
k1 1 vk1
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.1 3
2s
(13-23)
最终结果可视为
v1
s
1Y1(0) 1 (0) max(1Y1 )
(13-24)
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
(13-32)
D2 =DS1
(13-33)
此时可用下式计算频率
2 2 (1)
(1) T (v 2 ) mv(0) 2 (1) (1) v 2 mv 2
(13-34)
v 2 D 2 v(0) 2
§13.4 高阶振型分析 第三和更高振型的分析
高等结构动力学
净化了的第三振型的形状为
(0) 3 v (0) Y (0) Y (0) v 3 1 1 2 2
N
k
i
传递矩阵法
传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型
多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统
特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动 系统 特点：将链状结构划分为一系列单元，每对相邻单元之间的传 递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵 法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加 以综合，从而大大减少计算工作量。 （1）轴盘扭转振动系统 （2）梁的横向弯曲振动系统
第 i 个梁段左端与第i-1梁段右端状态变量的传递关系：
1 li li /(2 Ei I i ) li /(6 Ei I i ) y y 2 0 1 li /( Ei I i ) li /(2 Ei I i ) 0 0 M M 1 li F 0 1 s i 0 0 Fs i 1
Z0R H0P Z0L , Z1LA H1f Z0R , Z1RA H1P Z1LA , Z2R H2Z1RA , Z3R H3Z2R
• 这时需要考虑分支系统对齿轮A的影响，重新推导。
• 假定齿轮A、B的转动惯量可以忽略不计，其传动比为 n，由于是外啮合，则其转角关系为： 1B n1A R • 扭矩关系为： M1R A nM1B • 分支系统的传递关系为： Z R H Z R
M 1 A
R
1 2 2 n I4 2 1 I4 k4
0 L 1 M 1 A
其中
1 2 2 n I4 P H1 2 I 4 1 k4
0 1
L
I1
1 R R 1 1 1 k 98 2 M I M M 2 2 2 2 I 1 1 1 9.8 1 9.8 / 98 k 1 R R 1 1 R 1 k 98 2 M M 2 2 3 2 I 1 I M 2 19.6 1 19.6 / 196 2 k
振动分析矩阵迭代法ppt课件
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10
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11
(s)
max(v1 )
v(4) 11
v(5) 11
210.77
12
(1)
(v1
)T
mv1(0)
(1)
(v1
)T
(1)
mv1
(22.5, 24.5,18)(1,1,1)T 3600 (22.5, 24.5,18)(22.5,16.5,9)
218
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6
二、高阶阵型分析
第二振型以及更高振型的分析可以通过引入淘汰矩阵的方法 实现更高一阶收敛，依次就能求得相关振型。
• 计算自由振动的频率常常是利用柔度法的公 式进行迭代。 由用公迭式代法(m反复12进)X行0迭，代可，以就得可到以：得m到X 体1系2 X的 最低频率和相应的阵型。
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2
迭代收敛性的证明：
Stodola法和Holzer法 Stodola法是先假定初始振型并不断迭代调整
获得一个实际振型的适当近似形式为止， 然后从运动方程确定振动频率。 Holzer法，恰好与之相反，先假定振动频率 并迭代调整直到满足边界条件为止，频率 和振型就在满足边界条件的过程中确定了。 Stodola法（迭代分析法）
(o) 2
T 1
m
1Y
(o 1
)
T 1
m
1Y
2
(o
)
由阵型的正交性可知：
Y1(o )
T 1
m
(o) 2
M1
消去
~
( 2
o
)
(o) 2
Y 1( o ) 1
线性振动近似计算方法 振动力学课件
1
i 1
i 1
以外，第二阶以上的固有频率 2 ,
远,小n 于 可近似1 地
1 12
忽略，导出基频近似公式。
导出基频近似公式
1
12
n
1
2
=
n
i1 i i1
fii mi
此公式算出的基频必小于实际基频，成为实际基频的下限。
例题1： 用邓克利法估计系统的基频下限。
解：
1 0 0
M m 0 1 0
a j
aT Ka
2
aT a j
Ka ,
a j
aT Ma
2
aT a j
Ma
其中
aT a j
Ka
eTj
j为1r,阶,n单 位阵地第阶，得到的r个方程综合为
K 2M a 0 又归结为本征值问题。
注意：
与原系统的本征值问题比较，矩阵的阶数r小于原系统的 阶数n。所以说，里茨法实质上起着使坐标缩并的作用。 缩并后的本征值问题计算与原系统类似，可导出r个固有频 率和r个模态，此缩并后的模态同样具有正交性。由于满足 瑞利商 的驻值条件，用里茨法计算模态比瑞利法更为合理， 但毕竟不是真实的模态，所得出的固有频率仍高于真实值。
必须满足i 方程。
Di ii
其中 i为第 阶i 固有频率平方的倒数。
任意选定系统的一个假设模态 ，它一般不是真实模
态，但总能表示为真实模态的线性组合式
n
ai i
i 1
左乘D矩
阵D
n i 1
ai D i
n
iai i
i 1
1
a1
1
n i2
ai
i 1
i
再左乘一次D矩阵，
用于振动分析的有限元方法概要
对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩 阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵 会转换成相关的更高维的空间。使用一致的和集中质量矩 阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。
最后,使用序得到在轴向载荷下的指定节点 位移,固有振动频率和特征值分析。
本章目的
用于振动分析的有限元方法
指导老师：陈益
报告人：成志斌 韩宗彪
何瑜 宁鹏
内容
有限元介绍 单个元素的运动方程 单个元素的质量矩阵、刚度矩阵、力矢量及其转化 整个系统的运动方程 整个系统的边界条件的加载及质量矩阵
MATLAB实例及总结
有限元法简介
有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的 振动问题的数值方法。
把上式写成矩阵形式： （13）
所以等效节点力可以写成：
t k ut f t mu
（14）
如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节 点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一种是角位移。
二 梁单元
图中， f1 t , f 3 t 是力，
二 单元矩阵的坐标变换
局部坐标系：以各个单元本身的轴线为基准所设立的坐标系。便于计算节点位移。 缺点：如果整个系统里各个单元取向各异，各个节点位移方向不一致，如下图。如 何使汇交于一个节点的各个杆件的节点位移真正相等? 解决方法：进行坐标变换
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k
i
k , xk 1
1 0
§13.3 收敛性的证明 由(11-39)得
高等结构动力学
2 n
n fmn
(13-25*)
则由(13-17)可写为
v1 n Yn Y
1 1 1 n=1 N
（13-26*）
作下一次迭代循环得到第二次循环产生的挠度
2 1
v v
1
1 1 1
T
mv1
0
T
mv11
(13-11)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
重复上述过程s次，能求得较近似的解,即s次循环之后
v1
s
1
2 1
v1
s 1
1
2 1
1
(13-12)
2 1
max(v1 ) 1 (s) s max(v1 ) max(v1 )
收敛性的证明（第2种方法）
i
1
i K 1Mi
即:
K M
迭代格式
Kxk 1 Mxk
x1 i
i i
x 0 1
Kx2 Mx1
x2 K Mx1 K Mii i K Mi i
1 1 1 i 1 i 1 i 1 N N N
（13-9）
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
真正的第一振型频率介于上式求得的最大值和最小值 之间:
vk0 1 1 v k1 vk0 2 1 1 v 1 min k1
max
(13-10)
取平均值求频率的近似值
(13-43)
§13.4 高阶振型分析
高等结构动力学
最高振型的分析
由(13-1)式得
ˆ ˆ v=Ev
2
(13-44) (13-45)
E m-1k D1
若代入最高振型的试探形状
1 2 N vN
0 Ev N
（13-46）
§13.4 高阶振型分析 第N振型频率的近似值为
2 N
1 T (0) 2 mv3 M2
(13-36a) (13-36b)
代入(13-35)得
(0) 3 v(0) 1 v 3
或
M1
(0) T mv3 1 1
1 (0) 22T mv3 M2
(0) 3 I 1 T mv(0) 1 T mv(0) v(0) v 1 1 3 M2 2 2 3 3 M1
2s 2s
(13-23)
§13.4 高阶振型分析
高等结构动力学
§13.4 高阶振型分析
第二振型分析 展开(13-21)得
0 0 0 v 1 Y1 2 Y2 3 Y3 1 2 3
D
i 1 n
n
2 n
Yn
0
1 2
2
(13-17)
n Dn
2 n
(13-18)
§13.3 收敛性的证明 则由(13-17)可写为
高等结构动力学
1 v1 n Yn （13-19） n=1 n 1 然后，用最大的基准元素 max(v1 )去除 v11 ，使之规格化， 从而得到改进的第一次迭代循环的形状 ，因此
§13.1 引言
高等结构动力学
§13.1 引言
振型位移叠加法提供了一种计算结构动力反应的有效方 法，即无阻尼振型用于对结构运动方程组解耦。 问题——如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假定初始振型并迭代调整至 实际振型的适当近似,再由运动方程确定振动频率.
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
vkN
1 kN
0 v
T 1 mvN 0 mvN
（13-47a）
2 N
v
vN
1
1 N
T
（13-47b）
其中
vN EvN
1 0
证明最高振型收敛与最低振型收敛的区别是
N 1 N 2 N 3 1 N N N
1
1
i
x3 K 1Mx2
1 i i i 1
N
2
i
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
1 xk 1 K Mxk i i 1 i
1
N
k
i
1 1
k
1 i i 1 i
(13-16)
§13.3 收敛性的证明 由这些惯性力产生的挠度是
v1
1
高等结构动力学
0 0 2 k -1f I k -1m 11 Y1
2 0 1 22 Y2 2
2
或
v1
1
(13-13)
s-1
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
§13.3 收敛性的证明
最初假定的形状用正规坐标表示为
v1 Y 1Y 2Y2 3Y3 1
0 0 0 0 0
(13-14)
第一振型频率的振动形状所对应的惯性力为
f I
0
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.
1 1 2
2s
1 3
2s
(13-23)
最终结果可视为
v1
s
1Y1(0) 1 (0) max(1Y1 )
(13-24)
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
(13-40)
§13.4 高阶振型分析 求第四振型计算第三淘汰矩阵
S3 S2
(0) v
4
高等结构动力学
1 T 33 m M3
(13-41) (13-42)
S3 v(0) 4
D4 DS3
相应的动力矩阵 依次类推
Sn Sn-1
1 T nn m Mn
Dn+1 DSn
s s 1 v1 Y n
2s
0 Yn
0 1Y1
(13-28*)
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.
1 1 1 2 3
§13.4 高阶振型分析
高等结构动力学
由第一淘汰矩阵减去第二振型的项可得第二淘汰矩阵
1 T S2 S1 22 m M2
(13-38)
(0) (0) v3 S2 v3
其中淘汰矩阵的运算表示为 第三振型的Stodola关系式为
1
(13-39)
2 3
v
(1) 3
(0) 3 =DS v(0) D v(0) Dv 2 3 3 3
高等结构动力学
(13-29)
其中
S1 I 1 11T m M1
(13-30)
在这种情形中,(13-5)能写成
1 v (1) 2 2 2
(0) Dv 2
(13-31)
§13.4 高阶振型分析 代入(13-31)得
高等结构动力学
2
其中
1
v(1) DS1v(0) D2v(0) 2 2 2 2
(13-35)
利用正交特性
T (0) 1 mv3 T (0) 2 mv3
(0) 0 1T mv3 M1Y1(0) (0) 0 2T mv3 M 2Y2(0)
§13.4 高阶振型分析 则
Y1(0)
(0) Y2
高等结构动力学
1 T (0) 1 mv3 M1
ˆ ˆ v=n 2Dvn
v1 =Dv1
1 0
(13-5)
(13-5a)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
1
2 1
1 =v1 v
1 1
(13-6*)
考虑任一点k的位移
1
12
1 vk0 =vk1 1
(13-7*)
2 1
0 v
k1 1 vk1
(13-27)
M1
不包含第一振型的试探形状为
0 0 20 v v 1Y 2 1
(13-28)
§13.4 高阶振型分析 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1
2 v 0 v 0 2 1 11T mv 0 S1v 0 2 2 M1
高等结构动力学
பைடு நூலகம்
§13.2 基本振型分析—Stodola法
fI n
ˆ =n 2 mvn
n
（13-1） （13-2）
ˆ vn=k -1f I
或者用式（13-1）则为
ˆ ˆ v=n 2 k-1mvn
可记作
(13-3)
D=k -1m
(13-4)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
先假定试探形状,它尽可能接近第一振型的形状,而振 幅是任意的,即：
N 4
0
v1
2
（13-21）
s次循环后
v1
s s v1 1 (0) (0) 1 2 S Y 2Y2 ( ) ... (s) 1 1 s 2 max(v1 ) max(v1 )