振型叠加法(新)
03-4 振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法
将振型函数对于质量ρ(x)A(x) 的正交性关系
L
L 0
( x) A( x)Yr ( x)Ys ( x)dx 0 (r s) 代入式(3)
2
d 0 Ys ( x) dx2
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
2 L 2
dYr ( x) d Ys ( x) d Ys ( x) d Yr ( x) EJ ( x) EJ(x) 2 2 d x d x d x d x 0 0
L
注意 :上式右边是 x=0和 x=L的端点边界条件。对于固支 端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都 等于零。
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
用途：对振型函数正则 化，确定正则化系数
考虑如下关系
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
YJK2.0.0版本升版说明201904
29
0014 增加“转换结构构件（三、四级）的水平地震作用效应放大 系数”参数
《高规》10.2.4条规定“特一、 一、二级转换结构构件的水平地 震作用计算内力应分别乘以增大 系数1.9、1.6、1.3”，当抗震等 级为三、四级时，规范未给出调 整做法。
30
04 增加“转换结构构件（三、四级）的水平地震作用效应放大 系数”参数
填充墙定义对话框
10
0012
支持按网格建模的填充墙在计算模型中考虑刚度
第二步：参数设置勾选考虑填充墙刚度
前处理目前支持按网格建模的填 充墙在计算模型中考虑刚度，软 件将自动计算出填充墙的抗剪刚 度（可考虑填充墙上布置的洞 口），并将该刚度加载到填充墙 两端的结构竖向构件上。 软件对填充墙只考虑其抗剪刚度， 不考虑竖向刚度等其他刚度。默 认不勾选。
27
0013
wmass风荷载输出增加横向风振结果
1.9.3.1版及之前版本考虑横风向风振时，设计文本结果wmass中未输出 横风向风荷载结果，而是在“倾覆力矩及0.2V0调整”结果中查看横风 向风荷载内容，程序修改后，可直接在wmass中查看横风向风荷载内容。
勾选考虑横向风振
28
03 wmass风荷载输出增加横向风振结果
0111
增加与Etabs软件的对比功能
可读取Etabs导出的Access数据库内容，目前可对比的主要指标有 位移比、位移角、层剪力、层倾覆力矩。
自动出YJK与Etabs对比结果，包含表格与对比图，为Word格式。
41
11 增加与Etabs软件的对比功能
42
11 增加与Etabs软件的对比功能
旧版不可以考虑 自定义工况
动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
主振型叠加法解题步骤
{ }
{ }
ห้องสมุดไป่ตู้
{Y ( ) } = Y1 {Y ( ) } ；
i i (i ) max
注意：若是求解频率方程/特征方程 [ K ] − ω 2 [ M ] = 0 所得的自振频率有重根，而重 根的自振频率所对应的主振型未必正交， 则需利用主振型的正交性对非正交的主振型进 行正交化处理。
7) 用正则坐标对基本振动方程进行解耦，也即正则坐标变换：
i ( t ) + ciη i ( t ) + K iηi ( t ) = Fi ( t ) M iη
( i = 1, 2,", i,", n )
或
i ( t ) + 2ωiξiη i ( t ) + ωi2ηi ( t ) = η
3.4.4 用主振型叠加法/模态叠加法求解多自由度结构体系振动方程的解题步骤
} + [ K ]{ y} = { P ( t )} ； 1) 构造基本振动方程： [ M ]{ y} + [C ]{ y
y} + [ K ]{ y} = {0} ， 并得到动位移幅值 {Y } 2) 构造相应的无阻尼自由振动方程： [ M ]{
1 Fi ( t ) Mi
( i = 1, 2,", i,", n ) ；
⎧η1 ⎫ ⎪η ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎪#⎪ ⎪ 8) 求解 {η} = ⎨ ⎬ ； ⎪ηi ⎪ ⎪#⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩η n ⎪ ⎭
9) 由 { y} = [Y ]{η} 可得直角坐标系下的振动方程的解。
的齐次方程： ([ K ] − ω 2 [ M ]) {Y } = {0} ；
振型叠加法
第 六章
代入 第 2 节 振 型 叠 加 法
ua t u t
p i 1
i
1 t i 2 i
可得
ua t i t i i t i
i 1 i p 1
p
n
即
ua t ud t i t i
ri t
i i
——第 i 阶模态阻尼比，由实验得出。
i2 i —已求出！ ——第 i 阶固有频率，
——第 i 阶模态力向量。
2、通过积分求解 n 个单自由度振动微分方程（c） 解出 i t ①初始条件为零时解：
0 0 0 0
第 六章
②初始激励（初始条件）不为零，但外激振力为零， 即由于初始条件引起的自由振动解（即瞬态解）：
第 六章
第 2 节 振 型 叠 加 法
0 0 i i i i t exp ii t sin i t 0 cosi t i i 1,2 n
第 2 节 振 型 叠 加 法
n
表明： 任何瞬时系统的位移响应，等于该瞬时的准静 态位移再附加一项动态位移。后者是以模态加 速度和模态速度的线性表示。 4、当忽略阻尼时，
ut u t
n i 1
i
1 t i 2 i
可见：动态位移仅是模态加速度的线性函数， 因此，“模态加速度法”也因此得名。
第 六章
3、还原求得系统的物理坐标表示位移响应
当求得了 n 个模态位移 i t i 1, 2n 后，通过坐
第 2 节 振 型 叠 加 法
标变换， 即对每一阶振动的响应进行叠加， 就可求得系统的物理位移响应：
振型叠加法
基本方程的求解
由于整体质量矩阵、整体阻尼矩阵和整体刚度 矩阵阶次都较高，一般认为下面几种方法求解是较 为有效。
ɺ M { ɺɺ( t )} + D { y( t )} + K { y( t )} = { f ( t )} y
其中： 其中： M：质量矩阵；D：阻尼矩阵；K：刚度矩阵 ：质量矩阵； ：阻尼矩阵； ：
3.2 振型叠加法基本步骤
1
大型特征值问题 固有特性） （固有特性）
3
矩阵、 矩阵、向量乘法 振型叠加） （振型叠加）
2
数值/ 数值/解析积分 （单自由度 系统响应） 系统响应）
3.2.1 系统固有特性的求解
动荷载作用下无阻尼系统时域运动微分方程：
y [ M ]{ɺɺ( t )} + [ K ]{ y( t )} = { f ( t )}
{ y( t )} = ∑ {φi } zi ( t )
i =1
n
振型叠加法
2.牛顿法
• 牛顿法是求解非线性方程的重要方法之一，一 般也称作Newton-Raphson方法，牛顿发的基本 思想是将非线性方程f(x)=0逐步线性化，每一步 求解线性方程的根。
f (x) (x ϕ ( x) = x − f ′( x)
• 缺点： • 局部收敛 • 对初值依赖大
3.振型叠加法
直接积分法的基本要点是将整个动力学响应 的历程划分为若干时间步长，而为了求解的精度 要求，每个步长要求得很小，至少分为十步，每 一步都要对线性方程组进行求解，因此要耗费相 当多的机时，所以从一般意义上讲，计算短时间 的动力学响应，使用直接积分法比较有效，若长 时间的动力学响应采用该方法分析就不可取了。
1.直接积分法
结构动力学7
{ψ } [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = {ψ }T [ M ]{ψ }
T
若假设振型{ψ}接近结构的基本振型，则Rayleigh熵为：
{ψ }T [ K ]{ψ } ρ (ψ ) = ≈ ω12 {ψ }T [ M ]{ψ }
7.1 Rayleigh法 ——近似的证明
假设振型可表示为结构固有振型的线性组合
{ } = ∑{φ}iYi = [φ ]{Y } ψ
i =1
N
设振型为正交归一化振型，则Rayleigh熵可表示为
{Y }T [φ ]T [K ][φ ]{Y } = N Y 2ω 2 / N Y 2 ρ (ψ ) = T T ∑i i ∑i {Y } [φ ] [M ][φ ]{Y } i =1 i =1
7.2 Rayleigh-Ritz法 虽然用Rayleigh法能获得较为满意的结构基频的 近似解，但在动力分析中，为得到足够精确的 结果，常常需要使用一阶以上的振型和频率。 Rayleigh法的Ritz扩展可以求得结构前若干阶固 有频率的近似值，同时还可以获得相应阶数的 振型。 Rayleigh-Ritz法首先通过假设一组振型，要求其 Rayleigh熵取极值，从而获得一低阶的特征方程 组，由此低阶方程组可以获得体系的一组自振 频率和自振振型。
7.1 Rayleigh法
结构最大动能：
T=
1 2 2 Z ω {ψ }T [ M ]{ψ } cos2 ωt 2
E=
1 2 Z {ψ }T [ K ]{ψ }sin 2 ωt 2
Tmax
：
Emax
1 2 = Z {ψ }T [ K ]{ψ } 2
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
关于线性振动系统模态叠加法的一个注记
作者简 介：谢能刚（ ９ １） 男 ， １７ － ， 安徽 当诗 人 ， 副教授 ， 士， 博 主要从事 结构设计 理论和方法研究
维普资讯
第１ 期
谢 能 刚 ， ： 于 线性 振动 系 统 摸 态 叠 加 法 的 一 个 注 记 等 关
（ ｌ
（） Ｊ
。
…
可采 用 矩阵 迭代法 求解前 Ⅳ个模态 的振 型和 频率． 态截断 的一 般依据 是位移 级数 的 收敛性 ． 于一 般 模 对 系统 ， 将少量 的几个模态进 行叠加 就可保证 位 移级 数的收敛 ， 时为 了加快位 移级数 的收敛性 ， 可采 用模态 有 还
５ ３
加速度法 …等 ； 但对 于模态密集 型系统 （ 高拱坝等 ）位移 级数收敛 较慢 ， 如 ， 仅根 据位 移级 数 的收敛性进 行模 态
截断就 比较 困难 ， 仍需使用 大量的主模 态参与叠加才 能保 证位移级数 收敛． 文给 出一个 能量范数形 式 的判断 本 指标 ， 以判断模态 截断 时截 尾模态 的阶数 ．
（ ．Ｍｅ ａ ｉ ｌ ｎ ｉ ｅ ｎ ｏｌ ｅ Ａ ｈ ｉ ｎ ｅ ｉ ，Ｔｃｎ ｌ ｙ ａ ａ ，ａ ２ ３０ ，Ｃ ｉａ ２ ａｆ ｇ １ ｃ ｎｃ ｇｎ ￣ ｇ Ｃ ｌｇ ｎ ｕ ｉ ｒ ｔ ｈ ａＥ ｅ ｅ Ｕ ｖ ｓｙＤ ｅ ｏｏ ，Ｍ ｎｈ ｎ ４ ０ ２ ｈ ； ．Ｎ ｎ ｎ ｈ ｇ ￣ ｎ ｉ
Ｄ ｔｎａ ｄＲ ｓ ｒ ｎｔｕｅ Ｍｉｉｒ ｎ ｇ ｎ ｅ ａｃ Ｉｓｔｔ ｅ ｈ ｉ ｎｓｙ《 Ｃ ａ ｎ ｕｔ Ｎ 峨ｎ ２ ０ ３ ， ｈ ａ ｔ ｏ ｌ ｄ ｓｙ ａ ｇ １０ １ Ｃ ｉ 、 Ｉ ｒ ｎ
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ：Ｂｙ ｕ ｉｇ ｔｅ ｍｏ ａ ｕ ｒ ｓｔ ｎ ｍ ｅｈ ｄ ｆ ｒ ｔｅ ｄ ｎ ｍ ｉ ｅ ｐ ｎ ｅ ａｃ ｌ ｔ ｎ ｏ ｈ ｉ ｅ ｒｏ ｃｌａｉ ｎ ｓｒ ｃ ｓｎ ｈ ｄ ｌｓ ｐｅｐｏ ｉ ｏ ｔ ｏ ｏ ｈ ｙ ａ ｃ ｒ ｓ ｏ ｓ ｓ ｃ ｌｕ ａ ｉ ｆｔ ｅ ｌｎ ａ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｌ ｏ
正则坐标与振型叠加法
y Y
y Y 1 Y
1
1 Y Y
Y Y
2 3
2
2
Y
n
Y
n
n
上式就是按主振型分解的展开公式。因此正则坐标就是把实 际位移按主振型分解时的系数。
y Y
几何意义：体系中每个质点的位移可以看做是由两部分组合 而成，也就是说体系的实际位移可以看做是由固定振型各乘以 对应的组合系数η1、η2后叠加而成的。这种方法就称为（主）振 型分解法或（主）振型叠加法。
上述做法不难推广到n个自由度的一般情形，可以将原几何坐 标y1、y2、...yn表示为n个标准化的振型与正则坐标的组合:
T T T
* * * M K F ( t )
i2
2 i i
1 i t t Fpi t Mi
以上就是以正则坐标表示的n个独立的微分方程，与单自由 度不考虑阻尼的运动方程完全相似。当初始条件为零时，杜哈 梅积分解为： 1 i t Fpi sin i t d 0 M ii
T
0 1 180 0 0 270 0 0.667 t 330.06t 0 0 270 0.333
T
1 M 2 0.663 0.664 1 M 3 3.022 4.032
0 1 180 0 0 270 0 0.663 t 417.72t 0.664 0 0 270 0 1 180 0 0 270 0 3.022 t 7035.17t 4.032 0 0 270
梁横向弯曲振动的振型正交性及振型叠加法
梁横向弯曲振动的振型正交性),(]),()([),(222222t x p x t x u x EI x t t x u m =∂∂∂∂+∂∂齐次方程为：0]),()([),(222222=∂∂∂∂+∂∂x t x u x EI x t t x u m ]),()([),(222222x t x u x EI x t t x u m ∂∂∂∂-=∂∂根据分离变量法，设：)()(),(t q x t x u φ=，可得：0)()(2=+t q t qω )(])()([22222x m dxx d x EI dx d φωφ= 上式即为分析频率和振型的特征方程。
设对于第i 、j 两阶频率，有：)(])()([22222x m dx x d x EI dx d i i i φωφ= )(])()([22222x m dx x d x EI dx d j j j φωφ= 上面第一式两边乘以)(x j φ，并沿杆长积分得：)()(])()([)(22222x x m dx x d x EI dx d x j i i i j φφωφφ=⎰⎰⎰==l j i i l j i i li j dx x x m dx x x m dx dx x d x EI dx d x 020202222)()()()(])()([)(φφωφφωφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=-=-==l j i li j li j l j i li j li j i l j l i j l j i li j l j i li j l i j li j dx dx x d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d x EI d dx x d dx x d x EI dx d x xd dx x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x dx x d x EI dx d d x dx dx x d x EI dx d x 0222202222022022022220022022*********02202222)()()(])()([)(])()([)()()()(])()([)(])()([)(])()([)(])()([)()(])()([])()([)()(])()([])()([)(]))()([()(])()([)(φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ 对于基本边界条件，有：0])()([)(022=li j dx x d x EI dx d x φφ0])()([)(022=li j dx x d x EI dx x d φφ 则有：⎰⎰⎰==lj i i l j i li j dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 同理有：⎰⎰⎰==lj i j l j i lj i dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 两式相减得到：0)()()(022=-⎰lj i j i dx x x m φφωω当22j i ωω≠时，有：0)()(0=⎰ljidx x x m φφ令：iliiM dx x x m =⎰0)()(φφ为振型i 对应的广义质量。