机械振动3强迫振动1-4
机械振动的概念
第一章绪论1-1机械振动的概念振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。
如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。
振动在大多数情况下是有害的。
由于振动，影响了仪器设备的工作性能：降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。
此外, 由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。
但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程, 如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。
这些都在生产实践中为改善劳动条件、提髙劳动生产率等方而发挥了积极作用。
研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防I匕与限制英危害，同时发挥其有益作用。
任何机器或结构物，由于具有弹性与质疑，都可能发生振动。
研究振动问题时，通常把振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。
实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。
为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。
振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。
苴中质量（包括转动惯虽:）只具有惯性: 弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧：在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。
连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。
机械振动系统与机械振动分类
机械振动系统与机械振动分类1. 机械振动系统简介机械振动系统是指由于外界激励或系统自身特性而引起的物体或结构产生振动运动的系统。
机械振动系统广泛应用于工程领域，如机械制造、工程结构、航空航天等。
了解机械振动系统及其分类对于研究和应用机械振动具有重要意义。
2. 机械振动分类机械振动可以根据不同的分类标准进行分类，包括运动形式、激励方式、振动特性等。
2.1 运动形式机械振动根据物体或结构的运动形式可以分为自由振动和强迫振动。
2.1.1 自由振动自由振动是指系统在无外界激励的情况下，由于系统本身的特性而产生的振动。
自由振动分为自由衰减振动和自由无衰减振动两种形式。
自由衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，由于系统阻尼的存在而衰减的振动。
在自由衰减振动中，振动幅值呈指数衰减。
自由无衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，没有阻尼或阻尼较小而不影响振动的情况下产生的振动。
在自由无衰减振动中，振动幅值保持不变。
2.1.2 强迫振动强迫振动是指系统由外界激励引起的振动。
外界激励可以是周期性的，也可以是非周期性的。
强迫振动分为共振和非共振两种形式。
共振是指外界激励频率与系统的固有频率相等，从而使得系统振动幅值达到最大的状态。
共振时，振动幅值会明显增大，甚至会出现破坏性振动。
非共振是指外界激励频率与系统的固有频率不同，振动幅值会有所减小。
2.2 激励方式机械振动根据激励方式可以分为有源振动和无源振动。
有源振动是指通过外部能量源对振动系统进行能量输入的振动。
典型的有源振动系统包括激励器、驱动器等。
无源振动是指在自由振动状态下，由于外界条件或系统初始激励引起的振动。
无源振动通常分为两种情况，即系统外力激励和几何和材料非均匀性。
2.3 振动特性机械振动根据振动特性可以分为单自由度振动和多自由度振动。
单自由度振动是指一个自由度的振动系统，在一个平面或轴向上只有一个振动方向的振动。
典型的单自由度振动系统包括单摆、弹簧振子等。
什么是机械振动？
什么是机械振动？各种⼯程机械与结构，⼤到航天飞机，⼩到微型马达，或多或少都存在振动问题，为了保证这些结构的可靠性，振动问题已成为⼯程技术领域⾥普通需要认真研究和解决的重要课题。
掌握振动理论已经成为⼯程技术⼈员正在进⾏产品或结构的动⼒学特性设计所必需的基本要求。
本⽂主要内容包括：1. 基本概念；2. 振动的分类；3. “输⼊-振动系统-输出”模型；4. 振动要解决的问题。
1基本概念振动是指机械或结构围绕其平衡位置作往复运动。
从⼴义上讲，表征运动的物理量作时⽽增⼤时⽽减⼩的反复变化，就可以称这种运动为振动。
如果变化的物理量是机械量或⼒学量，例如物体的位移、速度、加速度、应⼒及应变、噪声等，这种振动便称为机械振动。
相对⽽⾔，我们经常⽤位移、速度和加速度来描述机械振动，这些振动物理量有别于我们通常所说的位移、速度和加速度。
在这，以车辆的⾏驶加速度与振动加速度来说明⼆者的区别。
我们通常所说的振动加速度不是汽车⾏驶过程中的加速度。
当汽车原地不动时，发动机怠速，我们可以测量汽车不同位置的振动加速度，如⽅向盘、座椅导轨等处的振动加速度。
⽽此时汽车的⾏驶加速度却是零。
因此，通过这⼀点，我们可以明⽩了⼆者虽然都是加速度，但是有着本质的区别，我们通常所说的汽车振动加速度不是汽车⾏驶中的加速度。
实旨上，我们在《信号AC与DC的区别》⼀⽂中，已经解释过它们的区别了：车辆实际⾏驶的加速度对应是0Hz的速度，也就是DC部分，车体振动加速度是⾮零频信号，即AC部分，但是⾏驶的加速度并不是振动加速度的直流分量。
机械振动对于⼤多数的⼯业机械、⼯程结构及仪器等结构都是有害的，如共振会导致灾难性的事故，如⼤桥坍塌、结构疲劳断裂等。
例如，1940年美国tacoma⼤桥风毁事故，是⼀定流速的流体（风速19m/s）流经边墙时，产⽣了卡门涡街；卡门涡街后涡的交替发放，会在物体上产⽣垂直于流动⽅向的交变侧向⼒，迫使桥梁产⽣振动，当发放频率与桥梁结构的固有频率相耦合时，就会发⽣共振，造成⼤桥坍塌，如下⾯的视频所⽰。
机械振动学基础知识强迫振动的共振现象分析
机械振动学基础知识强迫振动的共振现象分析机械振动学是研究物体在受到外力作用下产生振动的学科，强迫振动是指物体在外力作用下产生振动，其中一个重要的现象就是共振。
共振是指在一定条件下，外力的频率与物体的固有频率相同或相近时，物体的振动幅度会出现显著增强的现象。
本文将从振动的基本概念入手，详细分析强迫振动的共振现象。
1. 振动的基本概念振动是指物体围绕静态平衡位置做周期性的往复运动。
在机械系统中，振动通常由质点系统、连续弹性系统或混合系统引起。
质点系统振动时，其动力学模型可用简谐振动方程描述；连续弹性系统则需要运用弹性力学理论和波动理论。
振动的主要参数包括振动的频率、振幅、相位和周期。
2. 强迫振动的特点当物体受到外力作用时，如果外力的频率与物体的固有频率相同或相近，就会出现强迫振动。
外力会引起系统振动，并在系统中储存和释放能量。
强迫振动的特点是振幅可随时间周期性变化，当外力频率接近系统的固有频率时，振幅达到极大值。
3. 共振现象的分析共振是强迫振动的一个重要现象，当外力频率等于系统固有频率时，共振现象最为显著。
共振会导致系统振幅呈指数级增长，可能引起系统失稳和破坏。
共振现象在实际工程中需要引起重视，设计中需考虑控制外力频率或调整系统固有频率以避免共振。
4. 共振现象的应用虽然共振现象可能带来负面影响，但在某些情况下也可以利用共振来实现特定的功能。
例如，共振现象在音响设备、机械传动系统和通信系统中有广泛应用。
利用共振可提高系统性能和效率，但需注意共振可能带来的危险性。
结语：机械振动学中的强迫振动和共振现象是一门重要的研究领域，对于了解和应用振动学知识具有重要意义。
了解振动的基本概念、强迫振动的特点以及共振现象的分析可以帮助工程师和科研人员更好地设计和优化机械系统，提高系统的效率和稳定性。
在实际工程应用中，需要谨慎对待共振现象，合理设计系统参数以避免共振带来的危害，同时可以利用共振现象来优化系统性能。
愿本文对读者对机械振动学基础知识和强迫振动的共振现象有所帮助。
机械故障诊断—第四章 旋转机械故障诊断
2
制造原因
1制造误差大 2材质不均匀 3动平衡精度低 1转子上零部件安装错误 2零件漏装
3
安装维修
1转子有较大预负荷
4
操作运行
1介质带液，造成腐蚀 2介质脏，造成结垢
1超速、超负荷运行 2入口阻力大，导致部件损坏，进人 流道松动
1转子回转体结垢 2转子腐蚀
图4.1 转子力学模型
由于有偏心质量m和偏心距e的存在，当转子转动 时将产生离心力、离心力矩或两者兼而有之。离心 力的大小与偏心质量m、偏心距e及旋转角速度ω有 F me 2 。众所周知，交变的力(方向、大小 关，即 均周期性变化)会引起振动，这就是不平衡引起振动 的原因。转子转动一周，离心力方向改变一次，因 此不平衡振动的频率与转速相一致。
例2：某52万吨／年尿素装置CO2压缩机组低压缸转子，大修后开车振动值 正常，但在线监测系统发现其振动值有逐步增大的趋势。其时域波形为 正弦波，分析其频谱，以1×频为主，分析其矢量域图，相位有一个缓慢 的变化。如图4.7所示。
(a)时域波形
(b)幅值谱
(c)振动趋势
(d)矢量域图
图4.7 CO2压缩机渐变不平衡振动特征
3.非定常强迫振动 非定常强迫振动是由外来扰动力而引起的一种强迫振动。其特点是 与扰动力具有相同的频率；振动本身反过来会影响扰动力的大小与相 位；振动的幅值和相位都是变化的。比如转子轴上某一部位出现不均 匀的热变形，就相当于给转子增加了不平衡质量，它将会使振动的幅 值和相位都发生变化。反过来，振动幅值和相位的变化又影响不均匀 热变形的大小与部位，从而使强迫振动连续不断地发生变化。 二、旋转机械常见故障及其特点 1.不平衡 转子不平衡是旋转机械的常见故障之一。在制造与维修过程中，虽 都要对转子作仔细平衡，使不平衡量小于限定值。但经过一段时间的 运行，不平衡量会逐渐增大。由于转子处于高速运行状态，偏心量的 少许增加，都会使惯性离心力剧增，使机器的功能下降，甚至无法继 续运行。 转子不平衡引起的振动有以下特点： 1. 振幅随转速的上升而增加； 2. 振动的频率与转子的旋转频率相同； 3. 振动方向以径向为主； 4. 振动相位常保持一定角度。 当不平衡重量只存在于一个平面内时，这种不平衡称为静不平衡；而当 在多个平面内有不平衡情况时，就是动不平衡。
(完整版)大学机械振动课后习题和答案(1~4章总汇)
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+&故等效刚度为：12eq P c c c x ==+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 1122P x c P x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩&&，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+&1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
机械加工过程中机械振动的成因及解决方法
机械加工过程中机械振动的成因及解决方法摘要：机械加工过程中机械振动会影响加工的质量，因此在开展机械加工的过程中，需要采取有效控制措施来使机械振动得到降低。
本文对机械加工过程中发生振动的原因和特点进行了介绍，希望能够通过更加有效地方式解决机械振动的问题，从而更好地促进机械加工行业的发展。
关键词：机械加工；机械振动；成因；解决措施引言在以往的机械加工过程中，经常会出现振动现象，使加工的精准度和精细度受到严重影响。
机械加工中的振动会使加工刀具在加工的过程中出现位置偏移，从而使加工产品出现瑕疵，影响了加工产品的质量。
同时，机械振动还会使刀具出现磨损现象，影响了刀具的使用寿命，同时对机床整体系统产生影响，使加工系统在振动反作用力的影响下难以正常运行。
在开展机械加工工作的过程中，机械振动的现象通常情况下来源于对机械设备的不合理使用，从而导致机械技工的设备操作不能够符合相应的规范性特点，使机械振动现象对机械加工产生严重影响。
在开展机械加工的过程中，需要提高操作规范性，使机械振动现象能够得到有效改善。
1在机械加工时发生振动的原因和对应特点1.1 自由振动在开展机械加工工作的过程中，经常会出现零部件自由振动的现象，这种振动现象产生的原因也最为简单。
在机械加工零部件的时候，机械切削加工通常会导致操作波动，进而引发整个机械系统的自由振动。
同时，自由振动现象的出现还与外界各种力的因素有关，外力通过对振动力的影响，使振动力能够通过自由振动的方式逐渐衰弱，从而能够在机械振动的过程中确保机械的正常运转，使机械加工自由振动工作能够更好地得以发展。
在出现自由振动之后，由于缺乏外力的补充，使自由振动在发生一段时间后自动减弱。
因此，从整体上来看，自由振动对整个机械加工过程的影响不大。
但是，相关施工人员也要注意在开展机械加工的过程中对自由振动加以控制，避免自激振动的发生。
1.2 强迫振动在开展机械加工的过程中，通常会受到干扰力的影响而出现强迫振动，因此在开展强迫振动消除的过程中，首先要借助一定的技术和方式来消除干扰力。
36机械振动专题第三十六讲 机械振动-强迫振动
专题一机械振动基础1. 单自由度系统无阻尼自由振动2. 求系统固有频率的方法3. 单自由度系统的有阻尼自由振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动5. 单自由度系统的有阻尼强迫振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(ϕω+=t H F 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力：φ—激振力的初相位H —力幅ω—激振力的圆频率4.1 强迫振动的概念无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。
)sin(ϕω++−=t H kx x m 则令 , 2m Hh m k n ==ω)sin(2ϕωω+=+t h x x n 4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解全解为：稳态强迫振动21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 为对应齐次方程的通解为特解)sin(22222ϕωωωωω+−=−=t h x h b n n ,)sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n(3) 强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
(1) 在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
(2) 强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。
4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(222ϕωωω+−=t h x n 稳态响应(1) ω=0时(2) 时，振幅b 随ω增大而增大；当时，n ωω<(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。
n ωω>b 随ω增大而减小；kHh b n ==20ωn ωω →∞→b rad π22ωω−=n hb β：振幅比或动力系数λ：频率比β−λ曲线：幅频响应曲线（幅频特性曲线）10 ; , 20→∞→==b b b n 时时ωωω)sin(222ϕωωω+−=t hx n(4)共振现象，这种现象称为共振，无稳态解。
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2
X
F0
F0 sin cX
(k m 2 ) 2 (c ) 2 c tan k m 2
x2 X sin(t )
X
F0 (k m 2 ) 2 (c ) 2
（3.1.2） c tan k m 2
x X 0 sin(t )
F0 m X0 F0 / 3k 3F0 2 4c / mn 4cn 4c k
3.2 复频率响应
复数形式的求解有时更方便
F (t ) F0e
it
k
F(t)
x
c
F0 (cost i sin t )
F为复数形式 F0
外力幅值 外力的激励频率
方程的解（系统的响应）为 0 x F0 x x0 cosnt sin nt (sin t sin nt ) 2 n k m n
方程的全解：
F0 x x0 cosnt sin nt (sin t sin nt ) 2 n k m n 0 x
结论：共振， 振幅无穷大.
振幅无极值
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 λ =1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降, 阻尼较强时振幅变化平缓。
• 稳态响应特性
X 1 ( ) X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
5 4 3 2 1 0
( )
0
0 .1
共振峰
0.25 0.375 0 .5 1
kx cx m F(t)
动力学方程（非齐次微分方程）：
F0eit cx kx m x cx kx F0eit m x
（2.1.2）
激励为复变量，其实部和虚部分别表示对系统作用的是 余弦激励和正弦激励。 响应 x 也为复变量，其实部和虚部分别表示系统对余弦 激励和正弦激励的响应。
稳态响 X [cos(t ) i sin(t )]
（3.2-3）
其中X为稳态响应的复振幅，φ为相位差。 代入方程，得到： X (m 2 ic k )ei (t ) F0eit F0 （3.2-5） Xe i 2 k m ic 显见x(t)与F(t)/k成正比，比例系数为：
暂态振动包括两部分： ①初始条件响应和自由伴随振动 两部分都是衰减的自由振动
x1 x2
②稳态振动
t
t
x
两种振动叠加的结果如图。
随着时间的推移，暂态响应 逐渐消失，而转化为稳态响 应。
t
瞬态过程
稳态过程
例3.1-2 图示振动系统，刚性杆不计重量，在水平位置平衡，
端部受激励 F F0 sin t，试列出振动微分方程， 并求当ω =ω n时质点的振幅。 解：设钢杆摆角为θ ，由动力学得：
max 并 （4）对于有阻尼系统， 不出现在λ =1处，而且稍偏左
d 0 d
0 1 2 3
1 2
2
1 2 2 2 3 / 2 2 2 2 2 [(1 ) (2 ) ] [4 (1 ) 8 ] 0 1 2 0 2
求系统响应。
F0 sin t 解：方程的通解为 x C1 cos n t C2 sin nt 2 k m 将初始条件代上式： F0 (0) C2n 0 x(0) C1 x0 , x x 2 k m 得： 0 F0 ( / n ) x C1 x0 , C2 n k m 2
1 2 3
（2）当 1 ( n )
（3）当 响应与激振力反相
相频特性曲线
1
n
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
有阻尼单自由度系统几个图形比较 假设系统固有频率： n 1 外部作用力规律：
F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
c k n 2 km m
分子分母同除以k，并利用
X F0 / k (1 ) (2 )
2 2 2
频率比 n
2 tan 1 2
（3.1.7）
从特解看出 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是简谐振动，振动频率 等同于激振频率、而相位滞后激振力。 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（ m, k, c）和激励力的大小和频率，而与初始条件无关 .
引入：
X0
F0 k X X0
常值力F0作用下的静变形
放大因子（幅频特性）
（3.1.10）
0
0 .1
得到：
X 1 ( ) X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
( )
5
随λ 的增大，β 先由小变大， 后从大变小.
幅频特性曲线
（ 1 ）当 1 ( n )
cx kx F0 sin t x m ( 0) x 0 x ( 0) x 0 , x
利用前述相同的方法，有：
x(t ) e
初始条件响应 d X 0 e t [sin cosd t n ( sin cos ) sin d t ] X 0 sin(t ) d
第三章 受迫振动
• 在外部持续激励作用下所产生的振动 • 从外界不断获得能量补偿阻尼消耗的能量， 使系统得以维持振动。 • 研究的次序从简到繁： 简谐激励、周期激励、非周期激励
本章内容： 3.1 对简谐激励的响应 3.2 复频率响应 3.3 隔振 3.4 振动测量仪器 3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数 3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分
3.9 系统对任意激励的响应·傅里叶积分
3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数 3.11 复频率响应与脉冲响应之间的关系
3.1 对简谐激励的响应 立动力学方程：
cx kx F (t ) F0 sin t （3.1.1） m x
F0
k
F(t)
x
c
外力幅值
外力的激励频率
0.75 1.25
O
F0t 2 m
t
T
共振时振幅增大过程
的区间为共振区，
在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。
例3.1-1 无阻尼质量-弹簧系统，方程和初始条件为：
kx F0 sin t m x (0) x 0 t 0 : x(0) x0 , x
非齐次微分方程 通解
kx cx
m
F(t)
＝
齐次微分方程 通解 阻尼自由振动
＋
非齐次微分方程 特解 持续等幅振动 稳态振动 本节内容
逐渐衰减
瞬态振动
先求稳态响应即方程的特解。它也是简谐振动 由方程非齐次项的形式判断，特解也是简谐函数，设为：
x2 X sin(t )
（3.1.2）
其中X为稳态响应的振幅， φ为相位差，是待定常数。
（2）当 1 ( n )
激振频率远大于系统固有频率
2 3
lim ( ) 0
结论：响应的振幅可能很小.
在λ 远离1时，
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 结论：在λ远离1时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
• 稳态响应特性
X 1 ( ) X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
( )
5 4 3 2 1 0 0 1
0
0 .1
0.25 0.375 0 .5 1
（3）当 1
n
对应于较小 值， ( s) 迅速增大 1 X0 F0 若 1 , X . 2 2 cn
当 0
2 3
( )
当
1/ 2
1
代入方程，得到：
X (k m 2 ) sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
F0 sin(t ) F0 sin(t ) cos F0 cos(t ) sin
比较方程等号两边同类项系数，得到：
cx kx me 2 sin t Im(me 2eit ) M x cx kx me 2eit的解，其虚部就是本题 的答案。 求 M x F0 me 2 1 i (t ) 设方程的解为 x Xe ，则： X k (1 2 ) 2 (2 ) 2 2 k arctan 2 其中 , n 1 M
n
n
n
无阻尼时，若λ =1 ，强迫振动动力学方程为：
kx F0 sin t m x
特解为： x2 (t )
F0t F0t cos t sin(t ) （3.1.18） 2m 2m 2
x
无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大； 响应初相位滞后于激励π/2. 共振现象是工程中需要研究的 重要课题，工程中通常取
初始条件响应 强迫响应 自由伴随振动 特点：以系统固有 频率为振动频率
如果是零初始条件
(0) 0 t 0 : x(0) 0, x
F0 x (sin t sin nt ) 2 k m n
强迫响应 自由伴随振动
即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生
讨论有阻尼系统对简谐激励的响应(过渡阶段)
1 （ 1 ） （ 2）
2 2 2
（3.2-7）
H(ω)又称为幅频特性。 为求出相位差，由（3.2-6）式得：
Xe
i
F0 1 X (cos i sin ) k 1 2 i 2