工程力学a参考习题之扭转解题指导
工程力学第9章(扭转)
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
《工程力学》第 8 章 扭 转解析
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变 了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量 （以弧度计）称之为切应变。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
18
T
g (rad)
T
φ
l
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系
11:02
工程力学电子教案
扭
转
25
理论分析和实验都表明，对于各向同性材料， 剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n 之间存在下列 关系：
E G 2(1 n )
泊松比
以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。 它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
26
§8-2 圆杆扭转时的应力与变形
11:02
工程力学电子教案
扭
转
4
T a
A m O o
m
b b T o′ b′ O B
m
l
T
m
MT x
由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条 件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于 横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩， 常用符号MT表示。
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工程力学电子教案
扭
转
5
T
a A O o
工程力学电子教案
扭
转
1
第8章 扭
转
§8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能
工程力学9-扭转
实心圆：
Ip
d 4
32
空心圆：
I
p
(D4
32
d4)
D4
32
(1 4 )
抗扭截面系数
实心圆：
d 3
Wp 16
空心圆：
Wp
D3
16
(1 4 )
工程64力学
例题
传动轴如图所示，动力经齿轮2输送给传动轴，然 后由1、3两轮输出。若齿轮1和3输出的功率分别为 0.76kW和2.9kW，轴的转速为180rpm, 材料为45号钢， 轴的直径为28mm, 则该轴的最大切应力是多少，位于 哪段？
变形特征：横截面绕轴线转动。
工程14力学
扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征 的变形形式。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶 扭力偶矩：扭力偶的矩 轴：凡是以扭转为主要变形的直杆
轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移即扭转角表示。
工程15力学
§9-2 动力传递与扭转 一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
工程25力学
取3-3截面右侧分析
列方程
Mx 0
T3 M D 0 T3 MD 2859 N m
工程26力学
由上述计算得到扭矩值
T1 4300N m T2 6690N m T3 2859N m
画扭矩图
TB
1 TC 2 TA 3 TD
B1C MTx（kN·m）
dA
r
O
M Mx
对圆心O 的微力矩 dM t (r)dAr
内力矩，扭矩 Mx
Mx
dM t (r)rdA A
代入物理关系和几何关系： M x
第八章工程力学之扭转全解
设 d DO2 D为半径转过的角度，亦即楔形体左、右两截面 间的相对扭转角。 设 dad ，由图形可以看出 dd dx d d 即： dx d 式中 代表扭转角沿轴线方向的变化率。对于同一截面，它 dx 是一个定值。由此可见，剪应变 与半径 成正比。
例如作图8-4（a）所示轴的扭矩图。
AB轴可以分为等扭矩的AC段和CB 段，AC段各截面的扭矩都等于T1， CB段各截面的扭矩都等于T2。建立 如图8-7所示坐标，水平轴代表各截 面的位置，垂直轴代表扭矩的大小， 正扭矩画在水平轴的上方，负扭矩画 在水平轴的下方，得到图8-7所示扭 矩图。
例8-3 图8-8（a）、图8-8（b）所示传动轴，转速n=300r/m。 A为主动轮，输入功率NA=10kW； B、C、D为从动轮，输出功 率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。试绘轴的扭矩 图。
径线性分布。楔形体上的剪应力分布如图8-14所示。 结论： 圆轴扭转时横截面上的扭转剪应力 垂直于半径， 并与半径 成正比。横截面中心处的剪应力为零，外表面上 剪应力最大，在半径为 的各点处剪应力大小相等。 实心圆截面轴和空心圆截面轴横截面上的扭转剪应力的分 布情况分别如图8-15（a）、图8-15（b）所示。
2. 物理方面 以 代表横截面上半径为 处的剪应力，即d点处的剪应 力，根据剪切虎克定律，在弹性范围内，剪应力 和剪应变 成线性关系，即有 G
d 将（8-3）式代入上式，得： G dx 上式表明： 扭转剪应力 与半径 成正比，即剪应力沿半
'
上式表明： 在相互垂直的两个截面上，剪应力 必然成对存在，大小相等，都垂直于两个截面的 交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这 一规律称为剪应力互等定理。
工程力学扭转详解
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
工程力学 扭转
第7章 扭转7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题扭转变形是杆件的基本变形之一。
它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。
杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。
如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。
根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。
此轴产生的变形即为扭转变形。
在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。
如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。
圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。
BAMAB ϕ图7-1图7-2图7-3图7-47. 2 杆件扭转时的内力要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。
一、外力偶矩的计算作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。
此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。
以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。
因为功率是每秒钟内所做的功，有602101033πωn M M P e e ⨯⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为nPM e 9550= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·mP —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。
扭转习题课工程力学重点整理及考试题型
扭转习题课工程力学重点整理及考试题型扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比21A A 有四种答案： (A) 21α-； (B)324)1(α-；(C) 3242)]1)(1[(αα--；(D) 23241)1(αα--。
2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。
4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。
扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭径d ，材料的切变模量Ge M ，有四种答案：(A)a G d 128π34ϕ； (B) (C) a G d 32π34ϕ；8. 一直径为1D9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。
对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。
10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。
1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；34 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。
证：截面切应力 R Rs ≤≤-=ρτρτρ0 )341( 截面扭矩 ⎰⎰=⋅-==Rs As d RdA T 00π2)341(ρρτρρρτ证毕。
工程力学中的扭转力学分析
工程力学中的扭转力学分析扭转力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到扭转力作用时产生的变形和应力分布。
在工程实践中，扭转力学的应用非常广泛，特别是在建筑、机械、航空航天等领域。
一、引言扭转力学研究的对象是物体在受到外界扭转力矩作用下的行为。
扭转力学涉及到以下几个关键概念：扭转角、扭转应变、扭转应力等。
二、基本原理与公式推导在扭转力学分析中，我们需要借助一些基本原理和公式来描述扭转的行为。
其中，最基本的原理是胡克定律，它表明物体在弹性阶段的扭转行为与受到的扭转力矩成正比。
公式推导过程如下：（1）胡克定律：θ = T / (G * J)其中，θ表示物体的扭转角，T表示扭转力矩，G表示切变模量，J 表示抗扭转性能指标。
（2）扭转应变：γ = θ * r / L其中，γ表示扭转应变，r表示被扭转物体的半径，L表示物体的长度。
（3）扭转应力：τ = G * γ其中，τ表示扭转应力。
三、典型扭转问题的分析在工程实践中，我们常常遇到一些典型的扭转问题，如轴材料的扭转分析、螺旋桨的扭转分析等。
下面以轴材料的扭转分析为例，介绍典型问题的求解过程：（1）问题描述：一根长度为L，半径为r的均质轴材料，在受到扭转力矩T作用下，求解轴的扭转角和轴的最大扭转应力。
（2）解答过程：首先，根据胡克定律可以得到轴的扭转角：θ = T / (G * J)，其中G 为轴材料的切变模量，J为轴的惯性矩。
然后，根据扭转应变公式可以得到轴的扭转应变：γ = θ * r / L。
最后，根据扭转应力公式可以得到轴的扭转应力：τ = G * γ。
四、工程应用示例扭转力学在工程中的应用非常广泛，例如在机械工程中，通过对扭转力学的分析，我们可以设计出更加合理的轴、齿轮等零件；在建筑工程中，我们可以通过扭转力学的分析，预测结构在风荷载下的变形和损伤等。
五、总结扭转力学是工程力学中的重要分支，研究物体在受到扭转力作用下的变形和应力分布。
本文通过引言、基本原理与公式推导、典型扭转问题的分析以及工程应用示例的介绍，对扭转力学的相关内容进行了阐述。
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工程力学A参考习题之扭
转解题指导
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
剪切和扭转
1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。
已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓
头所需的高度h 。
解题思路：
（1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面；
（2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。
答案：mm 3.13≥h
2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。
试件的直径mm 15=d ，当压力
kN 5.31=F 时，试件被剪断。
试求材料的名义剪切强度极限。
若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大
解题思路：
（1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力； （2）圆试件有2个剪切面；
（3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。
答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n
3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖
板厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力
MPa 280][bs =σ。
若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。
解题思路：
（1）每个铆钉受力相等；
（2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数；
（3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数；
（4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。
答案：7=n
4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ，
铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。
假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。
解题思路：
（1）四个铆钉所受的剪力相等；
（2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载； （3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载；
（4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸
强度条件（7-14）求许可荷载； （5）综合以上的结果，确定许可荷载。
答案：kN 134][P =F
5实心圆轴的直径mm 100=d ，长m 1=l ，两端受扭转外力偶矩m kN 14e ⋅=M 作用，设
材料的切变模量GPa 80=G ，试求：
（1）最大切应力max τ 及两端截面间的扭转角； （2）图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值及方向；
（3）C 点处的切应变。
解题思路：
（1）确定各横截面的扭矩；由式（8-10）和（8-11）求实心圆轴的I P 和W P ；由式（8-8）
求最大切应力max τ；由式（8-17）求两端截面间的扭转角；
（2）由式（8-7）求图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值；其各点切应力的方向与截
面上扭矩的转向一致；
（3）由式（8-2）求C 点处的切应变。
答案：（1）MPa 3.71max =τ，
02.1=ϕ（2）MPa 3.71==B A ττ，MPa 65.35=C τ
（3）310446.0-⨯=C γ
6图示一直径为mm 80的等截面圆轴作匀速转动，转速r/min 200=n ，轴上装有五个轮
子，主动轮II 输入的功率为kW 60，从动轮I ，III ，IV ，V 依次输出功率kW 18，
kW 12，kW 22和kW 8，切变模量GPa 80=G 。
试：
（1）作轴的扭矩图； （2）求各段内的最大切应力； （3）求轴两端截面间的相对扭转角。
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在各轮上的转矩；分别写出各段的扭矩，作扭矩图； （2）由式（8-11）求实心圆轴的W P ；由式（8-8）求各段内的最大切应力；
（3）由式（8-10）求实心圆轴的I P ；由式（8-18b ）求轴两端截面间的相对扭转
角。
答案：MPa 05.20)(III II m ax =-τ， 008.1-=ϕ
7图示水轮发电机的功率为15000kW ，水轮机主轴的正常转速n =250r/min ，外径D =55cm ，内径d =30cm ，材料的许用切应力[]=50MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭转角[ ]=1º/ m ，试校核水轮机主轴的强度和刚度。
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在水轮机主轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小； （2）由式（8-12）和（8-13）分别计算空心轴的I P 和W P ； （3）由强度条件（8-20）校核水轮机主轴的强度；
（4）由刚度条件（8-25）校核水轮机主轴的刚度。
答案：MPa 2.19m ax =τ，m /05.0m ax =θ
8某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min ，输入功率P 1=370kW ，输出功率为P 2=150kW 及
P 3=220kW 。
已知材料的许用切应力[]=70MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭转角[ ]=1º/ m 。
试确定： (1) AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2 ； (2) 若全轴选同一直径，该值应为多少
(3) 主动轮与从动轮如何安排才使传动轴的受力更为合理
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小； （2）写出实心轴圆截面极惯性矩和扭转截面系数表达式；
（3）由强度条件（8-20）和刚度条件（8-25）确定AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2； （4）主动轮与从动轮的安排使传动轴上最大扭矩的数值较小的方案更为合理。
答案：（1）m m 851=d ，m m 752=d （2）略
（3）略
9变截面圆轴受力如图所示。
已知扭转外力偶矩M e1=1765N m ，M e2=1171N m ，材料的
切变模量G =，试：
（1）确定轴内最大切应力，并指出其作用位置； （2）确定轴内最大相对扭转角 max 。
解题思路：
（1）确定轴横截面上的扭矩大小；
（2）由式（8-10）和（8-11）分段计算I P 和W P ； （3）由式（8-8）分段计算最大切应力并作比较； （4）由式（8-18b ）确定轴内最大相对扭转角 max 。
答案：（1）MPa 7.47max =τ（BC 段）
（2）rad 1027.22m ax -⨯=ϕ。