工程力学扭转资料
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工程力学之扭转
x
②计算并校核剪应力强度
max
T Wt
1.55 103
0.073 16
23MPa
[ ]
③此轴满足强度要求。
材料力学讲义（扭 转 ）
§3–5 圆轴扭转时旳变形
一、扭转时旳变形
由公式
d T
dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角φ 为
l
d
T
dx
0 GI p
Tl (若T 值不变） GI p
[]=30MPa，试设计杆旳外径；若[φ]=2º/m ，试校核此杆旳刚
度，并求右端面转角。
解：①设计杆旳外径
Wt
Tmax
[ ]
Wt 1D6（3 1 4）
1
D
16Tmax
（1义（扭 转 ）
T 40Nm
1
D
16Tmax
（1 4）[
]
3
代入数值得： D 0.0226m。
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处旳与到圆心旳距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。
dx
材料力学讲义（扭 转 ）
2. 物理关系：
虎克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
材料力学讲义（扭 转 ）
3. 静力学关系：
T A dA
A
G
2
d
dx
dA
G
2 0
0.033 (弧度）
T
40Nm
x
材料力学讲义（扭 转 ）
[例4] 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
工程力学 第6章扭转
max
M n max Wn
式中：
max — —横截面圆周处的最大 剪应力。
M n max — —横截面上的最大扭矩 。 Wn — —抗扭截面系数 (m m3 ),只与截面形状和大小有 关的几何量。
抗扭截面系数计算公式： Wn
对于直径为D的实心圆截面： Wn
I R
0.2 D 3
A
2 dA
2 4 令： dA I — —极惯性矩（ mm ） A
得：
Mn I
剪 应 力 分 布 图
结论：（1）圆轴扭转时其横截面上只有剪应力而无正应力。 （2）圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力与该点到 圆心的距离成正比，与半径垂直。
三.圆轴扭转强度计算
3.圆轴扭转的强度条件:
D 3
16
D D 3 对于内外径比为 的空心圆截面： Wn 1 4 0.2 D 3 1 4 d 16
三.圆轴扭转强度计算
4.强度条件的应用
（1）校核轴的扭转强度。
（2）确定圆轴的直径。 （3）确定轴所能传递的功率或转速。
解：（1）求A、B、C点的剪应力
截面上的扭矩： M n M e 4 106 N mm
一.扭转的概念
1.扭转变形 受力特点——两外力偶作用面与杆件轴线垂直。 变形特点——杆件相邻两横截面绕轴线发生相对转动。
2.在工程中，作用在圆轴上的外力偶矩通常根据轴所传递的 功率和轴来的转速来计算。 外力偶矩的计算公式：
N (kW ) m 9549 n(r / min)
式中： m——外力偶矩（牛米） N——轴传递的功率（千瓦） n——轴的转速为（转/分）
工程力学：第六章 扭转
9.55
150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55
P4 n
9.55
200 300
6.37
(kN m)
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
例 已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功率
P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW， P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
500 300
15.9(kN m)
A
BC
m2
m3
9.55
P2 n
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
m 0 , T3 m4 0, T3 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图 m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
6.37kN.m
扭矩图
–
–
4.78kN.m
9.56kN.m
T 9.56 kN m, BC段为危险截面。 max
6.3 圆轴扭转时的应力及强度条件
第6章 扭转
6.1 扭转的概念 6.2 圆轴扭转时的内力 6.3 圆轴扭转时的应力及强度条件 6.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件
6.1 扭转的概念
汽车传动轴
汽车方向盘
看到图片后大家再仔细想想我们日常生活中还有哪些属于 扭转变形？拧衣服
工程力学C-第9章 扭转
T 1000 0.04 3 Wp (1 0.54 )
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学第九章 扭转
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
第二节 动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
max
Tmax WP
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
Ip＝
d
32
4
对于实心圆截面
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 PP[θ12==]=31164087/kkmWW，，，G从 P=3动=802轮G221P、akW。3分，试别按[τ输强]=出度7功条0M率件P为求a，AB段的直 径定dd1的；大B小C段。的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 解 (1)求外力偶矩
16T1
3
16 2819 3.14 70 106
0.059m 59mm
同理
d2 3
16T2
3
16 4238 3.14 70 106
0.068m 68mm
若两段采用同一直径，则取 d 68mm
【工程力学】扭转变形【工程类精品资料】
第四章扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似 4、纯剪切切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变剪切虎克定律对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1)圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2)圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数图实心圆截面324D I p π=，163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π，)1(1643απ-=D W p（D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =m ax τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
工程力学 扭转.
该轮所传递的功率为 {a }rad {P}kw {M e }Nm 10-3 {t}s
{M e }Nm rad 10-3
s
60 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e }Nm {P}kw 103 60 3 {P}kw 9.5510 2π{n} r {n} r
m
横截面上的应力：
t
(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
(3) 横截面上无正应力。
21
第九章 扭转
Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
t d A r T 根据应力分布可知 由 A
3
14
第九章 扭转
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 -M 2 -4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内：T2 M 2 M 3 9.56kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
15
第九章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
例题1 一传动轴如图，转速 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
13
第九章 扭转
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9 10 3 N m 15.9 kN m 300 150 3 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78 10 3 N m 4.78 kN m 300 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 10 3 N m 6.37 kN m 300
{M e }Nm rad 10-3
s
60 因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的
转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式 计算作用于每一轮上的外力偶矩：
{M e }Nm {P}kw 103 60 3 {P}kw 9.5510 2π{n} r {n} r
m
横截面上的应力：
t
(1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同；
(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；
(3) 横截面上无正应力。
21
第九章 扭转
Ⅱ. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：
t d A r T 根据应力分布可知 由 A
3
14
第九章 扭转
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 -M 2 -4.78 kN m
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内：T2 M 2 M 3 9.56kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
15
第九章 扭转
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
例题1 一传动轴如图，转速 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
13
第九章 扭转
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9 10 3 N m 15.9 kN m 300 150 3 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78 10 3 N m 4.78 kN m 300 200 3 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 10 3 N m 6.37 kN m 300
工程力学扭转详解
G：材料剪切弹性模量（切变模量），量纲与 相同，通过实
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
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②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
3
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R RL
´
a
b
´
c
d
dx
4
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
P
7.5
Mx
M Tx
9549
n
9549 100
716.2N m
max 1
Mx WP1
16Mx
d13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
tg
G1G dx
d
dx
G
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
——
扭转角沿长度方向变化率。
12
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
13
3. 静力学关系：
dA
Mx A dA
A
G
2
d
dx
dA
O
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
G 、E和 是表明材料弹性性质的三个常数。对
各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推
导详见后面章节）： G
E
2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，
第三个量就可以推 · 强度条件
①变形几何方面
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重
量轻，结构轻便，应用广泛。
17
⑤ 确定最大剪应力：
由
Mx
Ip
知：当
R
d 2
,
max
max
Mx d 2
Ip
Mx
Ip
d 2
Mx Wt
(令 W
Ip
d) 2
max
Mx Wt
Wt — 抗扭截面系数,单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
15
d
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
对于实心圆截面：
I p A 2dA
D
02
2
2
d
D4
32
对于空心圆截面：
D
I p A 2dA d2 2 2 d
2
d
(D4 d 4 ) D4 (1 4 )
32
32
( d )
D
O
d
O
D
D
16
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
第七章 圆轴扭转时的应力
1
§7–1 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
2
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
d2＝0.5D2=23 mm
22
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
23
3
已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，
n3＝n1
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
24
3、计算各轴的横截面上的
6
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
a
´ b
dy
´
c
d
t
z
dx
7
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
8
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模
量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;
d1=70mm, d2=50mm,d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速
2、计算各轴的扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
M1=Mx1=1114 N.m M2=Mx2=557 N.m M3=Mx3=185.7 N.m
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
5
三、切应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
上式称为切应力互等定理。
a
dy ´
c
z
dx
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上， 剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两 平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
21
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切 应力不得超过40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
max 2
Mx WP 2
16Mx
D23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
Wt I p R D3 16 Wt I p R D3(1 4) 16
18
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
19
[练习]判别下面截面上剪应力分布是否正确。
MT
MT
MT
MT
a
b
c
d
20
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切 应力不得超过40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察： 各圆周线的形状、大小
和间距均未改变，仅绕轴线 作相对转动；各纵向线均倾
斜了同一微小角度 。
10
可假设： 1. 横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆 轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
圆周扭转时可视为:许多薄壁筒镶套而成。
11
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
d
Mx GI p dx
d Mx
dx GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
Mx
Ip
14
Mx
Ip
—横截面上距圆心处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面直杆。
② 式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
3
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R RL
´
a
b
´
c
d
dx
4
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
P
7.5
Mx
M Tx
9549
n
9549 100
716.2N m
max 1
Mx WP1
16Mx
d13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
tg
G1G dx
d
dx
G
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
——
扭转角沿长度方向变化率。
12
2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
13
3. 静力学关系：
dA
Mx A dA
A
G
2
d
dx
dA
O
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
G 、E和 是表明材料弹性性质的三个常数。对
各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推
导详见后面章节）： G
E
2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，
第三个量就可以推 · 强度条件
①变形几何方面
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重
量轻，结构轻便，应用广泛。
17
⑤ 确定最大剪应力：
由
Mx
Ip
知：当
R
d 2
,
max
max
Mx d 2
Ip
Mx
Ip
d 2
Mx Wt
(令 W
Ip
d) 2
max
Mx Wt
Wt — 抗扭截面系数,单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
15
d
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
对于实心圆截面：
I p A 2dA
D
02
2
2
d
D4
32
对于空心圆截面：
D
I p A 2dA d2 2 2 d
2
d
(D4 d 4 ) D4 (1 4 )
32
32
( d )
D
O
d
O
D
D
16
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
第七章 圆轴扭转时的应力
1
§7–1 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
2
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
d2＝0.5D2=23 mm
22
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
23
3
已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，
n3＝n1
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
24
3、计算各轴的横截面上的
6
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
a
´ b
dy
´
c
d
t
z
dx
7
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
8
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模
量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;
d1=70mm, d2=50mm,d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速
2、计算各轴的扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
M1=Mx1=1114 N.m M2=Mx2=557 N.m M3=Mx3=185.7 N.m
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
5
三、切应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
上式称为切应力互等定理。
a
dy ´
c
z
dx
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上， 剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两 平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
21
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切 应力不得超过40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
max 2
Mx WP 2
16Mx
D23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
Wt I p R D3 16 Wt I p R D3(1 4) 16
18
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
19
[练习]判别下面截面上剪应力分布是否正确。
MT
MT
MT
MT
a
b
c
d
20
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切 应力不得超过40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察： 各圆周线的形状、大小
和间距均未改变，仅绕轴线 作相对转动；各纵向线均倾
斜了同一微小角度 。
10
可假设： 1. 横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆 轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
圆周扭转时可视为:许多薄壁筒镶套而成。
11
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
d
Mx GI p dx
d Mx
dx GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
Mx
Ip
14
Mx
Ip
—横截面上距圆心处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面直杆。
② 式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。