工程力学扭转
工程力学C-第9章 扭转
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学第9章(扭转)
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
工程力学——圆轴的扭转
Wn=
Ip d
d 3 0.2d 3 16
(9-5)
2
图9.9(a)
第9章 圆轴的扭转
(2) 空心圆截面(见图 9.9(b))
Ip = D4 d 4 D4 1 4 0.1D4 1 4 (9-6)
32
32
Wn
=
Ip D
D3
16
14
0.2D3
1 4
2
(9-7)
式中，α = d ，为空心圆轴 D
图9.11
第9章 圆轴的扭转
解：由图 9.11 可知，各段扭矩大小相等，各段的极惯性
矩为 AC 段：Ip= D4 = 3.14 304 =7.952×104mm4
32
32
CB 段：Ip= D4 32
14
3.14 304 32
1
20 30
4
6.381104
mm4
所以根据式(9-12)得
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
(2) 按强度条件设计轴的直径 d1。由式(9-8)得
τmax=
Mn Wn
Mn 0.2d13
≤[τ]
得
d1≥
3
Mn
0.2
3
1080 103 0.2 40
=51.3mm
第9章 圆轴的扭转
工程力学教学实验圆轴扭转实验
圆轴扭转实验一、试验目的⒈观察低碳钢和铸铁的扭转破坏现象, 比较其试件断口形状并分析破坏原因。
⒉测定低碳钢的剪切屈服极限, 剪切强度极限和铸铁的剪切强度极限。
⒊分析比较塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）受扭转时的破坏特征。
二、实验设备和仪器⒈扭转实验机⒉游标卡尺三、实验原理圆轴扭转时, 横截面上各点均处于纯剪切状态, 因此常用扭转实验来测定不同材料在纯剪切作用下的机械性能。
利用实验机的自动绘图装置, 可记录T—曲线, 低碳钢的T—曲线如图3－9所示。
图 3-9扭矩在以内, 与T呈线形关系, 材料处于弹性状态, 直到试件横截面边缘处的剪应力达到剪切屈服极限, 这时对应的扭矩用表示横截面上的剪应力分布如图3-10（a）所示。
图3-10 低碳钢圆轴在不同扭矩下剪应力分布图在扭矩超过以后, 材料发生屈服形成环形塑性区, 横截面上的剪应力分布如图3-10（b）所示。
此后, 塑性区不断向圆心扩展, T—曲线稍微上升, 然后趋于平坦, 扭矩度盘上指针几乎不动或摆动所示的最小值即是扭矩, 这时塑性区占据了几乎全部截面, 横截面上剪应力分布如图3-10（c）所示。
剪切屈服极限近似等于（a）式中, , 是试件的抗扭截面系数试件继续变形, 进入强化阶段, 到达T- 趋线上的C点, 试件发生断裂。
扭矩度盘上的从动指针指出最大扭矩, 扭转剪切强度极限的计算式为(b)试件扭转时横截面上各点处于纯剪切状态如图3-11所示, 在于杆轴成±45°角的螺旋面上, 分别受到主应力为和的作用, 低碳钢的抗拉能力大于抗剪能力, 故以横截面剪断。
铸铁扭转时, 其T—曲线如图3-12所示。
从扭转开始到断裂, 近似为一直线, 故其剪切强度极限可近似地按弹性应力公式计算(c)图3-11 纯剪应力状态图3-12 铸铁T—曲线试件的断口面为与试件轴线成45°角的螺旋面。
这说明脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力, 它的断裂是由于最大拉应力过大引起的。
工程力学第6章 扭转
T 2 A0
6.2.2 切应力互等定理
从薄壁圆筒中包括横截 面取出一个单元体
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
根据力偶平衡理论
y
(dydz )dx ( dxdz)dy
dy
dz
在相互垂直的两个平面 上，切应力必成对出现， 两切应力的数值相等， 方向均垂直于该平面的 x 交线，且同时指向或背 离其交线。
对于各向同性材料，在弹性变形范围内，切变 模量G 、弹性模量E 和泊松比之间有下列关系：
G
E （1 ） 2
6-3 实心圆轴扭转时的应力和强度条件
6.3.1 、 扭转剪应力在横截面上的分布规律
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
例题 3
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。
10 kN
30 kN 50 kN
10 kN
20 kN
50 kN 30 kN
20 kN
30 kN
6.2.3 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 圆截面轴（实心、空心）
工程力学扭转详解
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
工程力学 扭转
第7章 扭转7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题扭转变形是杆件的基本变形之一。
它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。
杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。
如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。
根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。
此轴产生的变形即为扭转变形。
在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。
如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。
圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。
BAMAB ϕ图7-1图7-2图7-3图7-47. 2 杆件扭转时的内力要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。
一、外力偶矩的计算作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。
此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。
以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。
因为功率是每秒钟内所做的功，有602101033πωn M M P e e ⨯⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为nPM e 9550= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·mP —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。
工程力学中的扭转力学分析
工程力学中的扭转力学分析扭转力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到扭转力作用时产生的变形和应力分布。
在工程实践中，扭转力学的应用非常广泛，特别是在建筑、机械、航空航天等领域。
一、引言扭转力学研究的对象是物体在受到外界扭转力矩作用下的行为。
扭转力学涉及到以下几个关键概念：扭转角、扭转应变、扭转应力等。
二、基本原理与公式推导在扭转力学分析中，我们需要借助一些基本原理和公式来描述扭转的行为。
其中，最基本的原理是胡克定律，它表明物体在弹性阶段的扭转行为与受到的扭转力矩成正比。
公式推导过程如下：（1）胡克定律：θ = T / (G * J)其中，θ表示物体的扭转角，T表示扭转力矩，G表示切变模量，J 表示抗扭转性能指标。
（2）扭转应变：γ = θ * r / L其中，γ表示扭转应变，r表示被扭转物体的半径，L表示物体的长度。
（3）扭转应力：τ = G * γ其中，τ表示扭转应力。
三、典型扭转问题的分析在工程实践中，我们常常遇到一些典型的扭转问题，如轴材料的扭转分析、螺旋桨的扭转分析等。
下面以轴材料的扭转分析为例，介绍典型问题的求解过程：（1）问题描述：一根长度为L，半径为r的均质轴材料，在受到扭转力矩T作用下，求解轴的扭转角和轴的最大扭转应力。
（2）解答过程：首先，根据胡克定律可以得到轴的扭转角：θ = T / (G * J)，其中G 为轴材料的切变模量，J为轴的惯性矩。
然后，根据扭转应变公式可以得到轴的扭转应变：γ = θ * r / L。
最后，根据扭转应力公式可以得到轴的扭转应力：τ = G * γ。
四、工程应用示例扭转力学在工程中的应用非常广泛，例如在机械工程中，通过对扭转力学的分析，我们可以设计出更加合理的轴、齿轮等零件；在建筑工程中，我们可以通过扭转力学的分析，预测结构在风荷载下的变形和损伤等。
五、总结扭转力学是工程力学中的重要分支，研究物体在受到扭转力作用下的变形和应力分布。
本文通过引言、基本原理与公式推导、典型扭转问题的分析以及工程应用示例的介绍，对扭转力学的相关内容进行了阐述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M e2
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000(N.m)
W
Me
2
n 60
Pk
Pk
8
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
T = Me
9
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
T = Me
10
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭转强度条件 扭转刚度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
28
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
29
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
21
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
6
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
22
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大
切应力不得超过40MPa,空心圆轴的
23
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
24
§7-4、圆轴扭转时的变形计算
第七章 扭转
1
第七章 扭 转
§7-1、概述 §7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 §7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 §7-4、圆轴扭转时的变形计算 §7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
2
标题
§7-1、概述
汽车传动轴
一、概
3
述
§7-1、概述
汽车方向盘 4
§7-1、概述
丝锥攻丝
5
§7-1、概述
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
解：1.外力
M e1
9549 P1 n
9549 400 500
7640N m
160 M e2 400 M e1 3060N m
240 M e3 400 M e1 4580N m
30
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
16
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
17
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
1、切应力计算
令
抗扭截面系数
18
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
2. Ip 与 Wp 的计算
实心轴
19
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
空心轴
令
则
20
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
四、圆轴扭转时的变形计算
相对扭转角
抗扭刚度
n
Tili
i1 GI Pi
25
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
26
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
单位长度扭转角 扭转刚度条件
许用单位扭转角
27
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
11
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
12
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
13
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩图
14
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
15
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
31
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
4.直径d2的选取
d1
C d2
按强度条件
A
B
M e1
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
d2
π[ ]
π 70106
4580N m
69.3103 m 69.3mm
内外直径之比 = 0.5。二轴长度
相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
T T max2
Mx WP 2
16M x
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
7640N m
按刚度条件
d2
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm
5.选同一直径时 d d1 86.4mm
32
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
受力合理
d1
C d2
A
B
M e1
2.扭矩图
3.直径d1的选取
按强度条件
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
max
16T
d13
4580N m
7640N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
按刚度条件
m ax
32T
Gd14
180
d1
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4