球面镜成像

于轴的所有入射光线,经凹面镜反射后都将能到达该圆形屏幕,试求圆形屏幕直径.
如图所示,O为凹面镜的曲率 中心, h表示凹面镜孔镜之半,
P h2αα α F
过P点的平行于主轴的光线
F1
O
反射后交主轴于F1点,则
Q
FF1
OF1
OF
R 2 cos α
R 2
在直角三角形F1FQ中,应用小量近似,可得
x
FF1
tan 2α
P1
S
P2
M ab
N
A
B
P1
S
P2
M ab
N
A
B
P1
S EF
P2
M
ab
N
A
B
S′ （眼的像的位置）
图一
P1
SEF
P2
M
ab
N
A
B
M′
a′ b′ （屏的像N的′位置）
P1′
P2′
（尺的像的位置）
图二
如图所示，用作图法确定人在镜前通过平面镜可看到AB完 整像的范围。
A M
B N
如图所示，用作图法确定人在镜前通过平面镜可看到AB完 整像的范围。
r
aiˆ
bˆj
ckˆ
方向由（a, b, c）决定
Z
建立直角坐标，使得三个反射面分别为
XOY(z=0), YOZ(x=0), ZOX(y=0)三个平面 X O
Y
设入射光线的方向为( a, b, c)
Z
O
经过 x=0 的平面反射后光线的方向变
X
为 ( -a, b, c)
同理，依次经过 y=0、z=0的平面反射后光线的 方向变为( -a, -b, -c)，原题得证
■ 光在同一种均匀介质中沿直线传播．小孔成像、本影、
半影、日食、月食等都是光的直线传播的典型例子．
■ 分析
（1）小孔成像（倒立实像）； （2）影的形成
太阳
本影区 月球
伪本影区 半影区
地球
■ 光的反射：当光从一种介质射入另一种介质，在两种介质的界面 上，光的传播方向发生改变，一部分光返回原来介质中，这种现象叫 做光的反射．
球面的球心叫做曲率中心,镜面的中心叫做镜的顶点,顶点与曲率 中心的连线叫做主光轴
凹镜对光线有会聚作用,其焦点为实焦点;凸镜对光线有发散作 用,其焦点为虚焦点.
对近轴光线:球面镜的焦距与球面的半径之间的关系为 f R 2
R为球面的半径. 凹镜焦距为正;凸镜焦距为负.
球面镜成像作图中常用的三条特殊光线:
h 2 3 R R 9.87 105 m 3
■ 成像特点；等大、正立、虚像，物像关于镜面对称，但左右倒置． ■ 平面镜的作用：平面镜改变光的传播方向，而不改变光束的性质．
S
平行光束
S′ 发散光束
S
S′ 会聚光束
一个点源S 对平面镜成像，设光源不动，平面镜以速率v 沿OS 方向向光源平 移，镜面与OS 方向之间的夹角为30º，则光源的像S ′将
n1sini＝n0sinr
q ＝i+
（1） （2）
在△PAC中，由正弦定理，有
R PC
sin sin i
考虑近轴光线成像，、i、r 都是小角度，则有
r n1 i n0
（4）
R i
PC
（5）
由（2）（4）（5）式、n0、nl、R的数值及
可得
q ＝1.31i
（6）
r ＝1.56i
（7）
FF1
sin2α
R ( 2 cos α
R ) s in 2α
2
x R sinα R sin2α R sinα(1 cos α) R sinα α 2 h3
2
2 2R2
将数值代入后可得 x=1.95mm, 因此,圆形屏幕直径为3.9mm
、 如图所示, 半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置,两镜顶点O1
θ
A
C
AC 2θ1 3 5 2m 1
m2
AC 2m2θ
θ
S AC 2m2θ
✓令 m＝100，并且 S AB ，则有：
AB θ 2m2 AC
106 弧度
B
D
3θ
M1
2θ M2 θ
A
C
q （AB=1mm , AC=5cm)
球面镜: 反射面是球面的一部分.反射面如果是凹面的,叫做凹 面镜, 简称凹镜; 反射面是凸面的,叫做凸面镜,简称凸镜.
A．以速率0.5v 沿S ′S 连线向S 运动 B．以速率v 沿S ′S 连线向S 运动
C．以速率 3υ 沿S ′S连线向S运动
D．以速率2v 沿 S ′S 连线向S 运动
速度分解法、解析法（镜移至点光源S处，简单）、相对运动法。
30o
O
S
如图中AB表示一直立的平面镜，P1P2是水平放置的米尺(有刻度的一 面朝着平面镜)，MN是屏，三者互相平行．屏MN上的ab表示一条竖 直的缝(即a、b之间是透光的．)某人眼睛紧贴米尺上的小孔S(其位置 见图)，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度．试在本题的图上用三角 板作图求出可看到的部位，并在P1P2上把这部分涂以标志．
f f' 1 s s'
β ns' 1 n' s
β s' s
β 1
β fs' f 's
以像作物 最终性质
β=β1β2β3┄
21届预赛 2004
有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸 起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面 的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。 在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点 6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方 向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再 在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。 已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。 试通过分析计算与论证解释这一现象。
● 平面反射有两个对称:反射光线与入射光线关于法线对
称;反射光线与入射光线的延长线关于界面对称.因此常用于 进行光路控制.
一个绕地球赤道上空飞行的人造卫星, 在日落2小时后 仍能在正上方看到它,求它飞行的最低高度.(地球半径 为6.38×106m)
θR
地球自转24小时转过360o,则2个小时中转过 的角度为360o/12=30o, 飞行的最低高度为:
该例题的引申：
如果给定入射光线的方向( a, b, c)和入射点的 坐标(x0, y0, z0)，如何求反射光线和入射光线 的垂直间距？
Y
Y
r
aiˆ
bˆj
r
aiˆ
bˆj
X
例5、两平面镜M1和M2夹一很小的角θ，当一根光线从M1的A点以垂直于 AB的方向射到M2上时，如果这根光线经过100次来回反射后仍然跑不出 两镜面，则θ角不能超过多少？（AB=1mm, AC=5cm)
O2相距2.6R,现于主轴上距凹透镜顶点O1为0.6R处放一点光源S,设 点光源的像只能直接射到凹镜上,问S经凹镜和凸镜各反射一次后 所成的像在何处?
o1
s s2
o2
s1
n
n′
P
O
rC
P′ s′
物像距公式 n n' n'n s s' r
β>0 正立 β<0 倒立
横向放大率
β y' y
β 1 β 1 β 1来自物体AB经凹面镜成像为A1B1,
图中u为物距, v为像距
A
由于△ABC∽ △ A1B1C1, 故
u 2 f AB
B
2 f v A1B1
又由于△ABF∽ △ DOF (近轴),故
B1 F
O
C
（C1）A1
D
v u
u f AB AB
f OD A1B1
因此
u2f u f 2f v f
整理后得
1 1 1 2 u v f R
C
D
1
α
θ2
三角形内角： θ 180 1 2
B
M2
α 2θ
θ=90o时，α=180o
出射光线与入射光线反平行
角反射器： 三块平面镜相互垂直 反向作用
三面互成直角
长方形玻璃体切出一只角 自行车尾灯反射罩
角锥棱镜
证明入射光线经过角反射器三次反射后的出射光线与入射光线反向平行.
证明：
光线可以可以用矢量表示：
q
θ 很小，两个镜面间的间距可近似地认为都等于AC， 因此第m次在M2上反射后的光线在M1上的入射点相对于第（m－1）次的移 动的距离可近似地等于AC×2 (2m-1)θ
第m次在M2上反射后的光线在M1上的入射点相 对于A点的的距离为：
S AC 2θ 6θ 22m 1θ
B
D
3θ
M1
2θ M2
像的长度放大率
m A1B1 f v AB u f u
上面的公式只适用于近轴光线成像的情况.
如图所示，一物体在曲率半径为12cm的凹面镜的顶点左方 4cm处，求像的位置及横向放大率，并作出光路图。
C
F
O
如图所示，一物体在曲率半径为12cm的凹面镜的顶点左方
4cm处，求像的位置及横向放大率，并作出光路图。 O点之右12cm处；放大率为3
B
D
光线在每个镜面上反射时，入射角依次
M1 3q
增加θ q
在M2镜面上的入射角依次为θ， 3θ ， 5θ ，.. .. .., A
2q M2
C
（2m－1) θ ，.. ..
在M2镜面上的入射光线和反射光线的夹角依
次为2 θ ， 6 θ ， 10 θ ，.. .. ..,