2020.06德州市高三第二次模拟考试数学试卷
山东省德州市2020届高三第二次(6月)模拟考试数学试题
2020.01
2020.02
2020.03
2020.04
2020.05
月份编号
1
2
3
4
5
竞拍人数 （万人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程： ，并预测2021年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；
7． 的展开式的各项系数和为 ，则该展开式中含 项的系数是（）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）的定义域为R，且 ，则不等式 解集为（）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若正实数a，b满足 则下列说法正确的是（）
A．ab有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值2D． 有最大值
10．直线 与圆C： 相交于A、B两点,则AB长度可能为（）
附： ,其中 .
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
15．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵 中， 且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑 ，现将鳖臑 沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑 经翻折后，与鳖臑 拼接成的几何体的外接球的表面积是______.
2020年山东省德州市高考数学二模试卷(理科)
2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）设全集U＝R，集合M＝{x|x2≤x}，N＝{x|2x≤1}，则M∩∁U N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．（5分）已知复数z1＝l+ai（a∈R），z2＝1+2i（i为虚数单位），若为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．3．（5分）港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长5多千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．.300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.354．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐进线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x5．（5分）的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣60B．﹣12C．12D．606．（5分）已知△ABC的面积是，AB＝1，，则AC＝（）A．5B．或1C．5或1D．7．（5分）如图，在且角坐标系xOy中，过原点O作曲线y＝x2+1（x≥0）的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A，B，在矩形OAPB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设a，b都是不等于1的正数，则“log a2＜log b2”是“2a＞2b＞2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知函数f（x）＝（[x]表示不超过x的最大整数），若f（x）﹣ax ＝0有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（）A．（]B．[）C．[）D．（]10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，若实数a满足f（log2a）＜f（2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（）C．（，4）D．（4，+∞）11．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点．若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知△ABC中，|＝﹣2．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2B．﹣C．﹣2D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设x、y满足约束条件的最小值是﹣1，则m的值为．14．（5分）若，则sin2α＝．15．（5分）如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．（5分）已知函数f（x）＝2a（lnx﹣x）+x2（a＞0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．数列{b n}满足b n＝log2a n，其前n 项和为T n．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前项和∁n．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，E，F分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：B1E∥平面ACF；（2）求平面CEB1与平面ACF所成二面角（锐角）的余弦值．19．（12分）2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查．统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人．（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X，求X的分布列及期望E （X）．．P（K2≥k）0.250.100.05k 1.323 2.706 3.84120．（12分）已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．21．（12分）已知函数．（1）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线，（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h（x）＝max{xf（x），xg（x）}（x＞0），当0＜a＜3时，讨论h（x）零点的个数．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ+3．（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝2．求直线l的方程．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x+|x+l|的解集；（2）若函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的定义域为R．求实数a的取值范围．2020年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把正确答案涂在答题卡上．1．（5分）设全集U＝R，集合M＝{x|x2≤x}，N＝{x|2x≤1}，则M∩∁U N＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]【解答】解：M＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|2x≤1}＝{x|x≤0}，则∁U N＝{x|x＞0}，M∩∁U N＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]，故选：B．2．（5分）已知复数z1＝l+ai（a∈R），z2＝1+2i（i为虚数单位），若为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．2C．﹣D．【解答】解：∵z1＝l+ai（a∈R），z2＝1+2i，∴＝，∵为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：C．3．（5分）港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长5多千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．.300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.35【解答】解：由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的频率为0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数为：0.3×1000＝300，行驶速度超过90km/h的频率为：（0.05+0.02）×5＝0.35．故选：B．4．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐进线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：依题意椭圆＝1（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，可得：a2﹣b2＝a2+b2，即a2＝3b2，∴，可得∴双曲线的渐近线方程为：y＝±x故选：A．5．（5分）的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣60B．﹣12C．12D．60【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝3，求得r＝1，可得含x3项的系数为﹣12，故选：B．6．（5分）已知△ABC的面积是，AB＝1，，则AC＝（）A．5B．或1C．5或1D．【解答】解：∵△ABC的面积是，AB＝1，BC＝，∴•AB•BC•sin B＝，解得sin B＝，∴B＝，或，当B＝时，由余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B＝1+2﹣2×1××（﹣）＝5，则AC＝，当B＝时，由余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B＝1+2﹣2×1××＝1，解得AC＝1．故选：B．7．（5分）如图，在且角坐标系xOy中，过原点O作曲线y＝x2+1（x≥0）的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为A，B，在矩形OAPB中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设P的坐标为（m，m2+1），则切线的斜率k＝＝，又由y＝x2+1，其导数y′＝2x，则点P处切线的斜率k＝y′|x＝m＝2m，则有＝2m，解可得m＝±1，又由m＞0，则m＝1，即P（1，2），故切线的方程为y＝2x，矩形OAPB的面积S＝2×1＝2，阴影部分的面积S′＝[（x2+1）﹣2x]dx＝（﹣x2+x）＝，则点在阴影部分的概率P＝＝＝；故选：A．8．（5分）设a，b都是不等于1的正数，则“log a2＜log b2”是“2a＞2b＞2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“”，得＜，得：或log2a＞log2b＞0或0＞log2a＞log2b，即或a＞b＞1或0＜b＜a＜1，由2a＞2b＞2，得：a＞b＞1，故“”是“2a＞2b＞2”的必要不充分条件，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝（[x]表示不超过x的最大整数），若f（x）﹣ax ＝0有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（）A．（]B．[）C．[）D．（]【解答】解：当0≤x＜1时，[x]＝0，当1≤x＜2时，[x]＝1，当2≤x＜3时，[x]＝2，当3≤x＜4时，[x]＝3，若f（x）﹣ax＝0有且仅有3个零点，则等价为f（x）＝ax有且仅有3个根，即f（x）与g（x）＝ax有三个不同的交点，作出函数f（x）和g（x）的图象如图，当a＝1时，g（x）＝x与f（x）有无数多个交点，当直线g（x）经过点A（2，1）时，即g（2）＝2a＝1，a＝时，f（x）与g（x）有两个交点，当直线g（x）经过点B（3，2）时，即g（3）＝3a＝2，a＝时，f（x）与g（x）有三个交点，要使f（x）与g（x）＝ax有三个不同的交点，则直线g（x）处在过y＝x和y＝x 之间，即＜a≤，故选：A．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，若实数a满足f（log2a）＜f（2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（）C．（，4）D．（4，+∞）【解答】解：根据题意，y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1对称，则函数f（x）的图象关于y轴对称，即函数f（x）为偶函数，又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则f（log2a）＜f（2）⇒f（|log2a|）＜f（2）⇒|log2a|＜2，解可得：＜a＜4，即a的取值范围为（，4）；故选：C．11．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点．若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设△PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，可得△PF2Q为等腰三角形，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m+n＝2a，由切线的性质可得m＝n，解得m＝，n＝，设|QF1|＝t，|QF2|＝2a﹣t，由t＝2a﹣t﹣，解得t＝，则△PF2Q为等边三角形，即有2c＝•，即有e＝＝，故选：D．12．（5分）已知△ABC中，|＝﹣2．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A．2B．﹣C．﹣2D．﹣【解答】解：以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得B（﹣1，0），C（1，0），设P（a，0），A（x，y），由•＝﹣2，可得（x+1，y）•（2，0）＝2x+2＝﹣2，即x＝﹣2，y≠0，则＝（1﹣a，0）•（x﹣a﹣1﹣a+1﹣a，y+0+0）＝（1﹣a）（x﹣3a）＝（1﹣a）（﹣2﹣3a）＝3a2﹣a﹣2＝3（a﹣）2﹣，当a＝时，的最小值为﹣．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设x、y满足约束条件的最小值是﹣1，则m的值为﹣1．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：A（﹣m﹣2，﹣m），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，显然直线过A（﹣m﹣2，﹣m）时，z最小，∴﹣2m﹣4﹣m＝﹣1，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若，则sin2α＝﹣．【解答】解：∵，∴（sinα﹣cosα）＝，可得：sinα﹣cosα＝，∴两边平方，可得：1﹣sin2α＝，∴sin2α＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为8+．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V＝V三棱柱+V半圆锥＝×2×2×4+××π×12×2＝8+．故答案为：8+．16．（5分）已知函数f（x）＝2a（lnx﹣x）+x2（a＞0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则f（x1）+f（x2）的取值范围为（﹣∞，16ln2﹣24）．【解答】函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2a（+2x＝，依题意，方程2x2﹣2ax+2a＝0有两个不等的正根x1，x2（其中x1＜x2）．故x1+x2＝a＞0，x1x2＝a＞0，△＝4a2﹣16a＞0⇒a＞4，所以f（x1）+f（x2）＝2aln（x1x2）+（x12+x22）﹣2a（x1+x2）＝2alna+[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣2a（x1+x2）＝2alna+a2﹣2a﹣2a2＝2alna﹣2a﹣a2，令h（a）＝2alna﹣a2﹣2a，（a＞4），h′（a）＝2（lna﹣a），h″（a）＝2（）＜0，故h′（a）在（4，+∞）递减，故h′（a）≤h′（4）＜0，故h（a）在（4，+∞）递减，而h（4）＝16ln2﹣24故答案为（﹣∞，16ln2﹣24）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．数列{b n}满足b n＝log2a n，其前n 项和为T n．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前项和∁n．【解答】解：（1）S n＝2a n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，可得a1＝2；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即有a n＝2a n﹣1，可得{a n}的首项和公比均为2的等比数列，可得a n＝2n；b n＝log2a n＝log22n＝n；（2）T n＝n（n+1），则＝2n+＝2n+2（﹣），即有∁n＝+2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2n+1﹣2+2（1﹣）＝2n+1﹣．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，E，F分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：B1E∥平面ACF；（2）求平面CEB1与平面ACF所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）取AC的中点M，连结EM，FM，在△ABC中，∵E为AB的中点，∴EM∥BC，且EM＝BC，又F为B1C1的中点，B1C1∥BC，∴B1F∥BC，且B1F＝，∴EM∥B1F，且EM＝B1F，∴四边形EMFB1为平行四边形，∴B1E∥FM，又MF⊂平面ACF，BE⊄平面ACF，∴B1E∥平面ACF．解：（2）取BC中点O，连结AO，OF，则AO⊥BC，OF⊥平面ABC，以O为原点，分别以OB，AO，OF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（，0），F（0，0，2），B1（1，0，2），＝（，0），＝（1，0，2），＝（1，﹣，0），＝（2，0，2），设平面CEB1的一个法向量＝（x，y，z），则，令x＝1．则＝（1，，﹣1），同理得平面ACF的一个法向量为＝（1，，﹣），则cos＜＞＝＝，∴平面CEB1与平面ACF所成二面角（锐角）的余弦值为．19．（12分）2020年，山东省高考将全面实行“3+[6选3]”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）．为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查．统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人．（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会．现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X，求X的分布列及期望E （X）．．P（K2≥k）0.250.100.05k 1.323 2.706 3.841【解答】解：（1）根据所给的条件得，男女合计喜欢物理6436100不喜欢物理5644100合计12080200K2＝＝＞1.323，所以有75%的把握认为喜欢物理和性别有关．（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m人，女同学有n人，则X＝m+n，由题意可知，X的所以可能取值为1，2，3，4，5．P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝++＝，P（X＝4）＝+＝，p（X＝5）＝＝，所以X的分布列为X12345P所以E（X）＝1×+2×+3×+4×+5×＝，20．（12分）已知点P在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，|PO|为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且|MN|＝2．（l）求抛物线C的方程；（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且AB⊥HB，求|AF|﹣|BF|的值．【解答】解：（1）将点P横坐标x P＝2代入x2＝2py中，求得y P＝，∴P（2，），|OP|2＝+4，点P到准线的距离为d＝+，∴|OP|2＝+d2，∴22+＝12+，解得p2＝4，∴p＝2，∴抛物线C的方程为：x2＝4y；（2）抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，H（0，﹣1）；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，代入抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，…①由AB⊥HB，可得k AB•k HB＝﹣1，又k AB＝k AF＝，k HB＝，∴•＝﹣1，∴（y1﹣1）（y2+1）+x1x2＝0，即（﹣1）（+1）+x1x2＝0，∴+（﹣）﹣1+x1x2＝0，…②把①代入②得，﹣＝16，则|AF|﹣|BF|＝y1+1﹣y2﹣1＝（﹣）＝×16＝4．21．（12分）已知函数．（1）当a为何值时，x轴为曲线y＝f（x）的切线，（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h（x）＝max{xf（x），xg（x）}（x＞0），当0＜a＜3时，讨论h（x）零点的个数．【解答】解：（1）设曲线y＝f（x）与x轴相切与点（x0，0），则，即，∴，∴当时，x轴为曲线y＝f（x）的切线．（2）令，g1（x）＝xg（x）＝lnx（x＞0），则h（x）＝max{f1（x），g1（x）}，，由f'1（x）＝0，得，∴当x∈（0，）时，f'1（x）＞0，f1（x）为增函数；当x∈（，+）时，f'1（x）为减函数，∵0＜a＜3，∴0＜，①当，即0＜a＜时，h（x）有一个零点；②当，即a＝时，h（x）有两个零点；③当，即时，h（x）有三个零点；④当，即时，h（x）有两个零点；⑤当，即时，h（x）有一个零点，综上，或时，h（x）有一个零点；当或时，h（x）有两个零点；当，h（x）有三个零点．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈[0，π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ+3．（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝2．求直线l的方程．【解答】解：（1）由消去参数t得x sinα﹣y cosα+cosα＝0（α∈[0，π），由ρ2＝2ρcosθ+3得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x﹣3＝0（2）由x2+y2﹣2x﹣3＝0得（x﹣1）2+y2＝2，得圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为d＝＝|sinα+cosα|，∴|AB|＝2，即＝，整理得sin2α＝1，∵α∈[0，π），∴2α∈[0，2π），∴2α＝，∴α＝，所以直线l的方程为：x﹣y+1＝0．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x+|x+l|的解集；（2）若函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的定义域为R．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜x+|x+l|⇔|x﹣1|＜x+|x+1|⇔或或，解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，+∞）．（2）要使函数g（x）＝log2[f（x+3）+f（x）﹣2a]的定义域为R，只要h（x）＝f（x+3）+f（x）﹣2a的最小值大于0即可．，又h（x）＝|x+3|+|x﹣1|﹣2a≥|（x+2）﹣（x﹣1）|﹣2a＝3﹣2a，当且仅当x∈[﹣2，1]时取等，所以3﹣2a＞a，即a＜．所以实数a的取值范围是（﹣∞，）．。
山东省德州市2020届高中毕业班数学第二次质量检测试卷
山东省德州市2020届高中毕业班数学第二次质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
） (共12题；共60分)1. （5分） (2017高二下·福州期中) 若复数z满足z= ，（i为虚数单位），则z的虚部为（）A . 4B .C . ﹣4D . ﹣2. （5分） cos600=（）A .B .C .D .3. （5分）(2017·怀化模拟) 若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A . ﹣462B . 462C . 792D . ﹣7924. （5分） (2015高二下·宁德期中) 设函数f（x）=g（x）+x2 ，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A . 4B . ﹣C . 2D . ﹣5. （5分） (2016高三上·湖州期中) 设向量，满足| |=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ 垂直，则λ=（）A .B . 1C . 2D . 36. （5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一段图象如图所示，则过点P（ω，φ），且斜率为A的直线方程是（）A . y﹣ = （x﹣2）B . y﹣ = （x﹣4）C . y﹣ =2（x﹣4）D . y﹣ =2（x﹣2）7. （5分）如图，在正三角形ABC中， D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，G，H，I分别为DE，FC，EF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥，则异面直线BG与IH所成的角为（）A .B .C .D .8. （5分）已知a,b为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）条件A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件9. （5分）一个物体的底座是两个相同的几何体，它的三视图及其尺寸（单位：ｄｍ）如图所示，则这个物体的体积为（）A .B .C .D .10. （5分）(2018·衡阳模拟) 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于每一个正整数。
2024届山东省德州市高考二模数学试题(解析版)
2024年高考适应性练习数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()1i 3i z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意求出z ，进而解出z ，判断z 在复平面内对应的点所在象限即可.【详解】由题意知：()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z +++===+--+，所以12i z =-，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2.若随机变量()23,N ξσ~，且()40.2P ξ>=，则()23P ξ<<=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】B 【解析】【分析】由正态分布性质可知：()30.5P ξ>=，()()()3434P P P ξξξ<≤=>->，由正态分布曲线的对称性可知：()()2334P P ξξ<<=<<，即可得到答案.【详解】由随机变量()23,N ξσ~，根据正态分布性质可知：()30.5P ξ>=，因为()40.2P ξ>=，可得()()()34340.50.20.3P P P ξξξ<≤=>->=-=，再根据正态分布曲线的对称性可知：()()2334P P ξξ<<=<<，所以()()()2334340.3P P P ξξξ<<=<<=<≤=，故选：B.3.若抛物线()220y px p =>的焦点到直线2x =-的距离为4，则p 的值为（）A.1 B.2 C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得.【详解】抛物线()220y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，则有242p+=，解得4p =.故选：C .4.已知:124x p <<，2:10q x ax --<，若p 是q 的充分不必要条件，则（）A.32a ≥B.302<≤a C.2a > D.02a <≤【答案】A 【解析】【分析】首先化简命题p ，依题意可得当02x <<时210x ax --<恒成立，参变分离可得1a x x>-在02x <<上恒成立，结合函数的单调性计算可得.【详解】命题:124x p <<，即:02p x <<，因为p 是q 的充分不必要条件，显然当0x =时满足2:10q x ax --<，所以当02x <<时210x ax --<恒成立，则1a x x>-在02x <<上恒成立，又函数()1f x x x=-在()0,2上单调递增，且()322f =，所以32a ≥.故选：A5.811x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中22x y -的系数为（）A .840- B.420- C.420 D.840【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.【详解】现有8个11x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭相乘，从每个11x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的三项11,,x y -各取一项相乘时，若结果为22x y -的常数倍，则所取的8项中有4个1，2个x ，2个1y-.所以，总的选取方法数目就是422842C C C 7061420⋅⋅=⨯⨯=.每个这样选取后相乘的结果都是2422211··x x y y -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即给系数的贡献总是1，所以22x y -的系数就是全部的选取数420.故选：C.6.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()g x 的图象，若11π6x =-为()g x 图象的一条对称轴，则ϕ的最小值为（）A.π12B.5π12 C.7π12D.2π3【答案】B 【解析】【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出()g x ，再根据正弦函数的对称轴求出ϕ和整数k 的关系式，再对k 取值即可求解.【详解】由题意得：ππ()sin 2()sin(22)63g x x x ϕϕ=++=++，又因为11π6x =-是()g x 的一条对称轴，所以π11ππ2π2,Z 263k k ϕ⎛⎫+=⋅-++∈ ⎪⎝⎭，即π23π,k Z 212k ϕ=+∈，下面结合选项对整数k 取值（显然k 取负整数）：1k =-时，17π12ϕ=；2k =-时，11π12ϕ=；3k =-时，5π12ϕ=；4k =-时，-π12ϕ=.故选：B.7.在ABC 中，32603AB AC BAC AB AF BE EC AE CF ∠=====,,，，,,交于点D ，则= CD （）A.33B.32C.334D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可由坐标法求解，以A 为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：由图可得：(0,0),(3,0),A B C ，又3(1,0),3(2,)2AB AF BE EC F E =⇒= ，，故直线AE 的方程：34y x =，可得31,4D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以334CD ==，故选：C.8.欧拉函数()()*n n ϕ∈N 的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数，例如()42ϕ=.已知()123n n nb ϕ+=，*n ∈N ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若n T M <恒成立，则M 的最小值为（）A.34 B.1C.76D.2【答案】A【分析】由欧拉函数的定义可求出3n nn b =，由错位相减法求出n T ，可得34nT <，即34M ≥，即可求出M 的最小值.【详解】因为3为质数，在不超过3n 的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为13n -，()()1133323n n n n n ϕ--*=-=⨯∈N ，所以()()+1+133323n n nn n ϕ*=-=⨯∈N ，则()122=2333n n n n nn nb ϕ+==⨯，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ，2311231=+++33333n n n n n T --++ ，234111231=+++333333n n n n n T +-++ ，两式相减可得：23111113321111+1333333313nn n n n n n T ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++⋯⋯-=--11111112332323n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以313343424nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为03n n nb =>，所以n T 在N*n ∈在单调递增，所以n T M <恒成立，所以34M ≥，所以M 的最小值为34.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin cos f x x x =⋅，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 的最小值为12-D.()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【解析】【分析】对于A ，直接用奇函数的定义验证；对于B ，直接说明π不是周期；对于C ，利用正弦二倍角公式证明()12f x ≥-，再由π142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可得最小值；对于D ，直接计算得到()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可否定结论.【详解】对于A ，函数()f x 定义域为R ，有()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，所以()f x 是奇函数，A 正确；对于B ，有πππ1sin cos 4442f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3π3π3π1sin cos 4442f ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.所以πππ44f f ⎛⎫⎛⎫-+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这表明π不是()f x 的周期，B 错误；对于C ，我们有()11sin cos sin cos sin 222f x x x x x x =⋅≥-=-≥-，而之前已计算得到π142f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小值为12-，C 正确；对于D ，由于πππsin cos 0222f ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，()0sin 0cos00f =⋅=，故()π02f f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC.10.已知双曲线()2222100x y a b a bΓ-=>>：,的离心率为e ，过其右焦点F 的直线l 与Γ交于点,A B ，下列结论正确的是（）A.若a b =，则e =B.AB 的最小值为2aC.若满足2AB a =的直线l 恰有一条，则e >D.若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则1e <<【答案】ACD 【解析】【分析】由双曲线的性质和离心率可得A 正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径22b a 可得B 错误；若满足2AB a =的直线l 恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得22222b a b a a<Þ>，可判断C 正确；若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l 与双曲线的同一支相交，可得22222b a b a a>Þ<，可推导出D 正确.【详解】A ：当a b =时，因为222c a b =+，所以c e a ==，故A 正确；B ：当过其右焦点F 的直线l 与Γ交于左右两支时，AB 的最小值为2a ，（此时,A B 为双曲线的两顶点）当过其右焦点F 的直线l 与Γ交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为c ，代入双曲线方程为22221c y a b-=，解得2b y a =±，此时弦长为22b a ，由于a 不一定等于b ，故B 错误；C ：若满足2AB a =的直线l 恰有一条，由选项B 可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，所以22222b a b a a <Þ>，此时ce a===>，故C 正确；D ：若满足2AB a =的直线l 恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线l 与双曲线的同一支相交，所以22222b a b a a >Þ<，所以ce a===又1e >，所以1e <<D 正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AB BC =⊥,，,P Q 分别为棱11,BC A C 上的动点，且BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，则（）A.存在λ使得1PQ A B ⊥B.存在λ使得//PQ 平面11ABB AC.若111,BB B C 长度为定值，则12λ=时三棱锥1B A PQ -体积最大D.当12λ=时，直线PQ 与1A B 所成角的余弦值的最小值为223【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系1B xyz -，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz -，设1,BC a BB b ==，则由题：()()()()()1110,0,0,0,2,0,,0,0,0,2,,0,0,B A C a A b B b ，所以()10,2,A B b =- ，()1,2,0C A a =- ，()11,0,0BC B C a == ，()10,0,B B b =，又BP BC λ= ，111C Q C A λ=，()0,1λ∈，所以()111,0,B P B B BP B B BC a b λλ=+=+=，即(),0,P a b λ，()11111,2,0OQ OC C Q OC C A a a λλλ=+=+=-，即(),2,0Q a a λλ-，所以()2,2,PQ a a b λλ=--，对A ，由上()()21·2,2,·0,2,4<0PQ A B a a b b b λλλ=---=--，故A 错误；对B ，由题意()11,0,0B C a =是平面11ABB A 的一个法向量，()()2211·2,2,·,0,02PQ B C a a b a a a λλλ=--=-，故当12λ=时121220P B Q C a a =-λ=，此时//PQ 平面11ABB A ，故B 正确；对C ，由上()1,2,A P a b λ=- ，()2,2,PQ a a b λλ=-- ，()10,2,A B b =-设平面1A BP 的一个法向量为(),,m x y z = ，则11m A Bm A P⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以11·20·20m A B y bz m A P ax y bz λ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，取2z =，则()0,,2m b = ，设点Q 到平面1A BP 的距离为d ，则由()0,1λ∈得·PQ m d m λ-===，又由题意可知111·422A BPS A B BP λ== ，故()11211·43323B A PQA BP ab a V S d λλλλ---==⨯=- 212312ab ab λ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+，因为111,BB B C 长度为定值，所以ab 为定值，故当12λ=时，三棱锥1B A PQ -体积最大，故C 正确；对D ，设直线PQ 与1A B 所成角为θ，由上当12λ=时11·cos PQ A B PQ A Bθ=2==322≥=，当且仅当224b b=即b =时等号成立，故D 对.故选：BCD.【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐标系用向量法解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}20,1,2,3,,1A B a a ==-，若A B A ⋃=，则实数a 的值为______．【答案】1或2【解析】【分析】由题意可得B A ⊆，由此可求出a 的值，代入检验即可得出答案.【详解】因为集合{}{}20,1,2,3,,1A B a a ==-，若A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以0a =或1或2或3，或210a -=或1或2或3，解得：0a =或1或2或3或1-或2-，当0a =时，{}0,1B =-，不满足B A ⊆；当1a =时，{}1,0B =，满足B A ⊆；当2a =时，{}2,3B =，满足B A ⊆；当3a =时，{}3,8B =，不满足B A ⊆；当1a =-时，{}1,0B =-，不满足B A ⊆；当a =}2B =，不满足B A ⊆；当a ={}2B =，不满足B A ⊆；当2a =-时，{}2,3B =-，不满足B A ⊆；综上：实数a 的值为1或2.故答案为：1或2.13.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c )222sin a b c ab C +-=，且1c =，则ABC 面积的最大值为______．【答案】24【解析】【分析】先由已知条件结合余弦定理和()22sin cos 1,0,πC C C +=∈求出sin ,cos C C ，再由余弦定理结合基本不等式求出ab 最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.)222sin a b cab C +-=，所以由余弦定理2222cos ab C a b c =+-，得cos sin C ab C =，所以sin C C =，又()22sin cos 1,0,πC C C +=∈，则221sin ,cos 33C C ==，所以由余弦定理以及基本不等式得：222222412cos 2333ab ab aba b ab C a b ab =+=+≥---=，即34ab ≤，当且仅当32a b ==时等号成立，所以41sin 32ABC S C a ab b =≤=，即ABC 面积的最大值为4，故答案为：24.14.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，e sin cos 10ax a x x x +--≥，则实数a 的取值范围为______．【答案】12a ≥【解析】【分析】由令()e sin cos 1axf x a x x x =+--，由()00f =，故有()00f '≥，可得12a ≥，即得其必要条件，再在12a ≥的条件下，借助e 1x x ≥+，sin x x ≥，可得e sin cos 12sin cos ax a x x x a x x x +--≥-，借助导数可得2sin cos 0a x x x -≥，即可得12a ≥是其充分条件，即可得解.【详解】令()e sin cos 1axf x a x x x =+--，则()e cos cos sin axf x a a x x x x =+-+'，由()00e 0010f =+--=，故()00e 10210f a a a =-='++-≥，即12a ≥，即“12a ≥”是“当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，e sin cos 10ax a x x x +--≥”的必要条件，当12a ≥时，令()πe 1,0,2xg x x x ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦，则()e 10xg x ='-≥，故()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，则有e 1ax ax ≥+，令()πsin ,0,2h x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()1cos 0h x x ='-≥，故()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()()00h x h ≥=，即sin x x ≥，则有sin ax a x ≥，即有e sin cos 11sin cos 12sin cos ax a x x x ax a x x x a x x x +--≥++--≥-，令()π2sin cos ,0,2x a x x x x μ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()2cos cos sin 21cos sin x a x x x x a x x x μ=-+=-+'，由12a ≥，π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，故()()21cos sin 0x a x x x μ=-+≥'，即()x μ在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有()()00x μμ≥=，即e sin cos 12sin cos 0ax a x x x a x x x +--≥-≥，故“12a ≥”是“当π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 时，e sin cos 10ax a x x x +--≥”的充分条件，故实数a 的取值范围为12a ≥.故答案为：12a ≥.【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助必要性探路法（端点效应），得到其必要条件12a ≥，二是借助常见不等式e 1x x ≥+，在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，sin x x ≥，在12a ≥，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 的情况下，得到e sin cos 12sin cos ax a x x x a x x x +--≥-，从而可通过导数得到2sin cos 0a x x x -≥.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）21n a n =-（2）41221115201612n n T n +=--+【解析】【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.【小问1详解】设{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意知1234221516a a a a a a a +++=⎧⎨=⎩，即()()1211146164a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，即有112382a d d a +=⎧⎨=⎩，因为0d ≠，可得11a =，2d =，所以21n a n =-；【小问2详解】设数列{}n b 的前2n 项中的奇数项之和为A ，偶数项之和为B ，则()321115432116222222116n n a a a n A ---=+++=+++=- 4141222211615n n ++--==-，2446222111n n B a a a a a a +=+++ 244622211111112n n d a a a a a a +⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 2221112n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭111114343121612n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭，所以4141222112111512161215201612n nnT A Bn n++-=+=+-=--++．16.ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：（2）将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：()2P kχ≥0.1000.0500.010k2.7063.841 6.635【答案】（1）45（2）（i ）列联表见解析；有；（ii ）1114【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得；（2）（i ）完善22⨯列联表后，计算卡方即可得；（ii ）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为()100.010.0250.030.65⨯++=，年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65100.020.85+⨯=，所以75%分位数位于4050［，）内，由0.750.654010450.850.65-+⨯=-，所以，样本数据的75%分位数为45；【小问2详解】（i ）由题知，22⨯列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200根据列联表中的数据，可得：()2220090306020 6.061 3.841.1505011090χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以，有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；（ii ）按照分层抽样，青年居民应抽取3864⨯=人，非青年居民应抽取2人．设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X ，()316248C C 43C 7P X ===，()4648C 34C 14P X ===，所以()()()1133414P X P X P X ≥==+==，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为1114．17.如图，在三棱锥-P ABC 中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC 内部一点且PM ⊥平面ABC．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接CM ，取BC 中点D ，连接,DM DN ，先证明出平面//DMN 平面PAB ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可．【小问1详解】连接CM ，取BC 中点D ，连接,DM DN ．因为N 为PC 的中点，所以//DN PB ，因为PB ⊂平面PAB ，DN ⊄平面PAB ，所以//DN 平面PAB ．又因为PM ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以PM BM ⊥．所以，在Rt PMB 中，222BM PB PM =-，同理222CM PC PM =-，因为PB PC =，所以BM CM =．因为D 为BC 中点，所以DM BC ⊥，因为AB BC ⊥，且,DM AB 在同一平面内，所以AB DM ∥，又因为AB ⊂平面PAB ，DM ⊄平面PAB ，所以//DM 平面PAB ．又因为DM DN D = ，DM DN ⊂,平面DMN ，所以平面//DMN 平面PAB ．因为MN ⊂平面DMN ，所以//MN 平面PAB ．【小问2详解】以B 为坐标原点，分别以,BA BC 以及与,BA BC垂直向上的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -．在直角Rt PMB 中，因为21PB PM ==,，所以BM =，在Rt BDM中，DM ==，所以)M，又())()31000,,0,2,0,,,222B P C N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，所以)()11,0,0,1,,,222BM MP MN ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭．设面BMN 的一个法向量()1111,,n x y z = ，则1100n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102110222y x y z +=⎨-++=⎪⎩，取1x =，则1124y z =-=,，所以)12,4n =-．设面PMN 的一个法向量()2222,,n x y z = ，则2200n MP n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取2x =22y =，所以)22,0n =．设二面角B MN P --为θ，由图可知θ为锐角，则1212cos 33n n n n θ⋅===⋅ ，所以二面角B MN P --．18.已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()112em x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）211e m ≥+【解析】【分析】（1）先求导函数()f x '，再对m 进行分类讨论得()f x '的正负情况，进而得函数单调性.（2）先由题意得出隐性条件()0f x >得m 的限制范围，再对不等式()()112em x f x x x -+≥-两边同时取以e 为底的对数整理得左右两边为同样形式的不等式()()()11ln ln ln ln 1m x mx x x x -++-≥+-，进而将原问题等价简化成研究ln 1mx x x -≥-恒成立即可求解.【小问1详解】由题可知()1f x m x'=-，()1,x ∞∈+，且()f x '在定义域上单调递增，当0m ≤时，()10f x m x=-<'恒成立，此时()f x 在()1,∞+上单调递减，当01m <<时，令()0f x '=，则1x m=，所以11,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，当m 1≥，即101m<≤时，此时()0f x '>在()1,∞+恒成立，()f x 单调递增，综上，当0m ≤时，()f x 在()1,∞+上单调递减；当01m <<时，()f x 在11,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；当m 1≥时，()f x 在()1,∞+上单调递增.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，所以20x x ->，又()()112em x f x x x -+⋅≥-，所以()0f x >，即ln 0mx x ->，故()1,x ∞∈+时，ln xm x>恒成立，令()ln x x x ϕ=，()1,x ∞∈+，则()21ln x x xϕ-'=，当()1,e x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ为增函数，当()e,x ∞∈+时，()0x ϕ'<，()x ϕ为减函数，所以()()max 1e e x ϕϕ==，从而1em >．将()()112em x f x x x -+≥-两边同时取以e 为底的对数可得()()()11ln ln ln ln 1m x mx x x x -++-≥+-，整理可得()()()()ln ln ln 1ln 1mx x mx x x x -+-≥-+-．令()ln g t t t =+，则()()ln 1g mx x g x -≥-，且()g t 在()0,∞+上单调递增，因为ln 0mx x ->且10x ->，所以ln 1mx x x -≥-在()1,∞+上恒成立，所以ln 1ln 11x x x m x x +--≥=+恒成立，令()ln 1x h x x -=，则()22ln xh x x -'=，当()21,ex ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()2e ,x ∞∈+时，()()0h x h x '<，单调递减，所以()()22max 1e e h x h ==，所以211e m ≥+，又因为2111e e <+，所以211em ≥+．【点睛】方法点睛：对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，如本题()()112eln m x mx x x x -+-≥-，一般考虑用同构思想方法将不等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究.19.已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()1,0F ，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．（1）求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；（2）设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．【答案】（1）证明见解析，4x =（2）12【解析】【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，写出,A B 两点处的切线方程，由对称性得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得Q x ，再代入()()1122=1,=1y k x y k x --即可证明；法二：由点(),Q Q Q x y 在两切线上得直线AB 的方程143Q Q x yx y +=，结合直线AB 过点()1,0F ，即可得出Q x ；（2）由（1）得出直线OQ 的方程，设直线AB 和OQ 交于点P ，得出P 为线段AB 的中点，由弦长公式得出AB 进而得出AP ，由两直线夹角公式得出tan APM ∠，得出243k AM AP k+=⋅，根据基本不等式求解即可．【小问1详解】由题意可知，231a -=，所以24a =，所以椭圆方程为22143x y +=，设直线AB 方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 可得，()22223484120k x k x k +-+-=，所以221212228412,3434k k x x x x k k-+==++，因为过点A 的切线为11143x x y y +=，过点B 的切线为22143x x y y+=，由对称性可得，点Q 处于与x 轴垂直的直线上，法一：联立1122143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，()2112214Q y y x x y x y -=-，将()()1122=1,=1y k x y k x --代入上式得()()()()212112211244411Q k x x k x x x kx x kx x kx kx --===----+，所以Q 点在直线4x =上．法二：因为点(),Q Q Q x y 在两切线上，所以1122114343Q Q Q Q x x y y x x y y +=+=，，所以直线AB 的方程为143Q Q x y x y +=，又直线AB 过点()1,0F ，所以10143Q Q x y ⨯+⨯=，解得4Q x =．【小问2详解】将4x =代入11143x x y y +=得，()()()1111313131Q x x y y k x k --===--，直线OQ 的方程为34y x k=-，设直线AB 和OQ 交于点P ，联立()134y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得22434P k x k =+，又221222418342342P k k x x x k k +==⋅=++，所以P 为线段AB 的中点，因为()212212134k AB x k +=-==+，所以()226134k AP k +=+，又因为23434tan 314k AM k k APM k AP k k ++∠===⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()2222614343161234k k k AM AP k k k k k +⎛⎫++=⋅=⋅=+≥ ⎪ ⎪+⎝⎭，k=±时，等号成立，当且仅当1故AM的最小值为12．。
山东省德州市数学高三理数第二次模拟考试试卷
山东省德州市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·郑州期中) 已知集合M＝{x|x2＜1}，N＝{y|y＞1}，则下列结论正确的是（）A . M∩N＝NB . M∩（∁UN）＝∅C . M∪N＝UD . M⊆（∁UN）2. （2分）(2017·芜湖模拟) 已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）A .B .C .D . 13. （2分） (2015高二下·泉州期中) 下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必为正数，且方差越大，数据的离散程度越大；③将一组数据中的每个数都加上同一个常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数有（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）的展开式中常数项为（）A .B .C .D .5. （2分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·山南模拟) 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A .B . ﹣3C .D . 28. （2分）已知公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn ，若a4+a5+a6=16，则S9=（）A . 56B . 128C . 144D . 1469. （2分）要得到函数的图象，只要将函数y＝sin2x的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向左平移个单位长度10. （2分） (2016高三上·厦门期中) 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 已知P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则的值是（）A . ﹣B .C . ﹣D . 不能确定12. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·河北模拟) 已知实数满足约束条件则的最大值为________．14. （1分） (2016高一上·盐城期中) 已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是________15. （1分） (2018高三上·沈阳期末) 如图，在正方形中，，为上一点，且，则 ________.16. （1分） (2017高二上·莆田月考) 今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列，已知，，且，则这30天因病请假的人数共有________人.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知海岛B在海岛A北偏东45°，A，B相距海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15°方向以4海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．18. （10分）(2020·南京模拟) 如图，是圆柱的两条母线，分别经过上下底面的圆心是下底面与垂直的直径， .（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；（2）若二面角的大小为，求母线的长.19. （10分）(2020·安阳模拟) 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位:十箱）与成本y（单位:千元）的关系如下:x13467y5 6.577.58 y与x可用回归方程 (其中，为常数)进行模拟.（1）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）（2）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地可配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.一个运输户拟购置n辆小货车专门运输该农户为甲地配送的该新奇水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该新奇水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元，若未发车，则每辆车每天平均亏损200元｡试比较和时此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据与公式:设，则0.54 6.8 1.530.45线性回归直线中，， .20. （10分） (2019高二上·德惠期中) 已知椭圆过点 ,且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线 : ，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.21. （10分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知函数 .（1）若直线为函数的一条切线,求实数的值；（2）讨论函数的零点的个数.22. （10分）(2018·中原模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线，直线，直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线的参数方程以及直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线分别交于两点，直线与曲线分别交于两点，求的面积．23. （5分）若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（﹣2）的范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
【新结构】(德州二模)山东省德州市2024年高考第二次适应性练习数学试题+答案解析
【新结构】(德州二模)山东省德州市2024年高考第二次适应性练习数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若随机变量，且，则()A. B. C. D.3.若抛物线的焦点到直线的距离为4，则p的值为()A.1B.2C.4D.84.已知，若p是q的充分不必要条件，则()A. B. C. D.5.展开式中的系数为()A. B. C.420 D.8406.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为()A. B. C. D.7.在中，，，，，AE，CF交于点D，则()A. B. C. D.8.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如已知是数列的前n项和，若恒成立则M的最小值为()A. B.1 C. D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，则()A.是奇函数B.的最小正周期为C.的最小值为D.在上单调递增10.已知双曲线的离心率为e，过其右焦点F的直线l与交于点A，B，下列结论正确的是()A.若，则B.的最小值为2aC.若满足的直线l恰有一条，则D.若满足的直线l恰有三条，则11.如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，则()A.存在使得B.存在使得平面C.若的长度为定值，则时三棱锥的体积最大D.当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数a的值为__________13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则面积的最大值为__________14.当时，，则实数a的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
山东省德州市实验中学高三第二次月考数学试题 命题人：肖成荣
高三第一次月考数学试题出题人：肖成荣一、选择题1、下列命题中，假命题为 （ ）A .若=-，则b a =B ．若0=⋅，则0=a 或0=bC ．若k ∈R ，k 0=a ，则k =0或 =D ．若a ，b 都是单位向量，则b a ⋅≤1恒成立2、已知542cos ,532sin-=θ=θ，则角θ终边所在象限是 （ ） A .第三象限 B.第四象限 C.第三或第四象限 D.以上都不对3、已知n m b a b x a x x f ,),)()((1)(<---=是)(x f 的零点，且n m <，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．n b a m <<< B ．b n m a <<<C ．n b m a <<<D ．b n a m <<<4、已知)(x f 是奇函数，且0<x 时，x x x f 2sin cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式是 （ ）A.x 2sin x cos +B.x 2sin x cos +-C.x 2sin x cos -D.x 2sin x cos -- 5、已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于A.32 B.23C.2D.3 6、在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是 （ ）A ．长方形B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形7、把函数y=cos2x +3的图象沿向量平移后得到函数y=sin （2x -6π）的图象，则向量是 A ．（3,3-π） Ｂ．（3,6π） Ｃ．（3,12-π） Ｄ．（3,12π-） 8、右图是函数)2|)(|x sin(2y π<φφ+ω=A.6,1110π=φ=ω B.6,1110π-=φ=ω C.6,2π=φ=ω D.6,2π-=φ=ω 9、把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移m 称，则m 的最小值是A ．6π B.3π C.32π D.65π10、已知2a x cos x sin b x cos a )x (f 2--=的最大值是21，且433(f =π，则 =π-)3(f （ ）A.21 B. 43- C. 4321或- D. 430-或 11、12,e e为不共线的向量，且12e e = ，则以下四个向量中模最小的（ ）A ．121122e e +B ．121233e e +C ．122355e e +D ．121344e e +12、已知D 是△ABC 中AC 边上一点，且DCAD=2+32，∠C=45°，∠ADB=60°，则⋅= （ ）A ．2B ．0 Ｃ．3 Ｄ．1二．填空题13、如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .14、已知11tan ,tan 73αβ==且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2αβ+= 。
2020年6月山东省德州市普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学试题及答案
绝密★启用前山东省德州市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年6月本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1-3页，第Ⅱ卷3-6页，共150分，测试时间120分钟。
注意事项：选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上。
第Ⅰ卷(共60分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．若全集{1,2,3,4,5,6{1,3,4}{2,3,4}, }U M N ===，，则集合U U C M N C U 等于.{5,6}A {1,5,6}B .{2,5,6}C {1256} .D ，，，2．已知实数x,y 满足1,0,x y >>则“x y <<是log 1x y >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+,把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos θ和sin θ联系在一起,被誉为“数学的天桥”,若复数z 满足()1i e z i i π-⋅=+则 | z | =A ． 5 B. 2 C D ．34．设()()1,3,1,1,k =-==+a b c a b 若,⊥b c 则a 与c 的夹角余弦值为A B C D5．已知α终边与单位圆的交点3,-),sin cos 05P x αα⋅>（且则1sin 222cos 2αα-++的值等于A.95B.75C.65D ．3 6．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关(经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时),现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位：小时),其频率分布直方图如图．已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理A ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B ．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C ．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D ．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”附：()()()()()22n ad bc K a c b d a d b c -=++++,其中n a b c d =+++.257().x x a --的展开式的各项系数和为-32,则该展开式中含x 9项的系数是A ．-15B ．-5C ．5D ．158．已知函数f(x)的定义域为R,且()()()01,02,f x fx f '+<=<则不等式()13x f x e +>解集为 .1,)( A +∞ .(,1)B -∞ ).,(0 C +∞ .(,0)D -∞。