1-3-2 诱导公式五、六
7.2.3 三角函数的诱导公式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
图示
角π-α与角α
的终边关于
y轴对称
公式
sin(π-α)= sin α ,cos(π-α)= -cos α ,tan(π-α)= -tan α
4.诱导公式四
终边关系
图示
角π+α与角α
的终边关于
原点对称
公式
sin(π+α)= -sin α ,cos(π+α)= -cos α ,tan(π+α)= tan α
解 由
=3+2√2,
1-tan(-360°)
1+tan
2
得
=3+2√2,∴tan θ= 2 .
1-tan
cos2 +sincos+2sin2
2
原式=
=1+tan
θ+2tan
θ
2
cos
2
22
2
=1+ +2×( ) =2+ .
2
2
2
素养形成
思想方法——分类讨论思想在诱导公式中的应用
cos(π-)sin(π-)
-sin(-sin)cos sin
=
==-tan α.
cos
cos(-cos)sin
1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°)
(2)原式= sin(180°+70°)+cos(720°+70°)
1-2sin70°cos70°
|cos70°-sin70°|
变式训练2化简下列各式:
cos(π+)cos(3π-)tan(π+)
(1)
;
1.2.3三角函数的诱导公式2
小结
诱导公式
2 k 2 "偶" " 奇 " 3 2 2 不 变 变 n n 2 符号看 " 象限 " 2 n为奇数 n为偶数
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 四：
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan .
公式五
• 复习初中知识
sin 30
cos60 sin45 cos45 sin60 cos30
y
P( x, y)
p4 ( y, x )
cos(
2
O
A(1,0)
2
公式六
2
• 用公式五证明下式成立
) cos ) sin
p5 ( y, x )
2
sin(
cos(
2
y
P( x, y)
O
A(1,0)
诱导公式五： 诱导公式六： sin( ) cos , sin( ) cos , 2 2 cos( ) sin . cos( ) sin . 2 2 函数名改变，符号看象限
0
) 3, 例3. 已. 4cos( ) sin(2 )
综合练习
求值或化简 1.sin 1 sin 2 sin 3
2 2 2
sin 89
2
sin cos sin cos 2 2 2 . 2. cos sin
高中数学5-3诱导公式第二课时诱导公式五六课件新人教A版必修第一册
2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的 关系． (2)公式一～六的记忆口诀和说明 ①口诀：奇变偶不变，符号看象限． ②说明：
[典例 1] (1)若 cos(π＋A)＝13，那么 sin32π－A的值为
1 A.3
B．－13
23 C. 3
2．诱导公式五、六的作用： 利用诱导公式五或六，可以实现 正弦函数 与 余弦函数 的相互转化． [微思考] 在△ABC 中，角A2与角B＋2 C的三角函数值满足哪些等量关系？ 提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋2 C， ∴sinA2＝sinπ2－B＋2 C＝cosB＋2 C， cosA2＝cosπ2－B＋2 C＝sinB＋2 C.
第二课时 诱导公式五、六
明确目标
发展素养
1.了解公式五和公式六的推导方法． 1.借助诱导公式求值，培养数学
2.能够准确记忆公式五和公式六．
运算素养．
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式 2.通过诱导公式进行化简和证明，
的化简、求值和证明.
提升逻辑推理素养.
(一)教材梳理填空 1．诱导公式五和公式六：
③f(cos x)＝fsinπ2－x＝sinkπ2－x
－sin kx，k＝4n，n∈Z，
＝sink2π－kx＝csions
kx，k＝4n＋1，n∈Z， kx，k＝4n＋2，n∈Z，
－cos kx，k＝4n＋3，n∈Z.
故 f(cos x)＝cos kx 成立的条件是 k＝4n＋1，n∈Z .
＝－ssininαα－＋c2ossinα
α＝sin
sin α α－cos
α＝tatnanα－α 1＝2－2 1＝2＝右边，
诱导公式
诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
编辑本段常用的诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈zcot（2kπ+α）=cotα k∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
三角函数 高中数学诱导公式大全
常用得诱导公式有以下几组:公式一:设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二:设α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系: sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一与公式三可以得到2π-α与α得三角函数值之间得关系: sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α得三角函数值之间得关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时,将a瞧成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于π/2*k ±α(k∈Z)得三角函数值,①当k就是偶数时,得到α得同名函数值,即函数名不改变;②当k就是奇数时,得到α相应得余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan、(奇变偶不变)然后在前面加上把α瞧成锐角时原函数值得符号。
高二数学三角函数的诱导公式3
主讲老师：
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
2
)sin(
2
)sin( 9
)
.
2
讲授新课
例3. 已知tan( ) 3, 求：2cos( ) 3sin( ) 的值.
4cos( ) sin(2 )
讲授新课
例4. 已知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
0o~90o间 角的三角 函数
查表 求值
讲授新课 小结
②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了.
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
5
求 2sin( ) 3 tan( 3 ) 的值. 4cos( 3 )
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
讲授新课
小结
1_3三角函数的诱导公式
第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式（1）[教学目标] 一、知识与水平：（1）理解三角函数诱导公式二～四的推导过程，在探究的过程中体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式一～四的应用，能准确使用诱导公式求任意角的三角函数值； （3）培养学生借助图形直观实行观察、感知、探究、发现的水平，进一步掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维水平.二、过程与方法：借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与-α ，απ- ，απ+ 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用三角函数线得出相对应的关系式）；三、情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心.[教学重点]用联系的观点，发现、证明及使用诱导公式，体会数形结合思想、渗透转化思想在解决数学问题中的指导作用.[教学难点]如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与 的终边相同以及关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法.[教学方法]创设情境—主体探究—合作交流—应用提升． [教学过程]一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 （一）复习：(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：(,)P x y 为角α的终边与单位圆的交点，则sin y α=，cos x α=；(2)由三角函数定义能够知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．即有：sin(2)sin (),cos(2)cos (),(tan(2)tan (),k k Z k k Z k k Z απααπααπα+=∈+=∈+=∈公式一）（二）引入新课先让同学们思考单位圆的对称性并举出一些特殊的对称轴和对称中心，如x 轴，y 轴，y x =，原点．这些对称性对三角函数的性质有什么影响呢？先思考阅读教科书第23页的“探究”．1、角的对称关系： 给定一个角α，发现：1）终边与角α的终边关于原点对称的角能够表示为π+α； 同样，让学生探究问题(2) ，(3)不难发现．2）终边与角α的终边关于x 轴对称的角能够表示为α-（或2π-α）； 3）终边与角α的终边关于y 轴对称的角能够表示为：π-α； 4）终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角能够表示为π2α-． 2、三角函数的关系 诱导公式二：以问题（1）为例，引导学生去思考，角的对称关系怎样得出三角函数的关系？ 角α————角π+α终边与单位圆交点(,)P x y ————(,)P x y '-sin y α= ————sin(π+)=-y α∴sin(π+)=-sin αα同理，cos(π+)x α=-， cos x α=，cos(π+)α=tan(π+)=tan yxαα=∴tan(π+)=tan αα即诱导公式二：sin(π)sin αα+=- cos(π+)cos αα=- tan(π)tan αα+= 请同学们自己完成公式三、四的推导： 诱导公式三：sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=-诱导公式四：sin(π)sin αα-=cos(π)cos αα-=- tan(π)tan αα-=-让学生把探究诱导公式二、三、四的思想方法总结概括，引导学生得出： 圆的对称性——————角的终边的对称性对称点的数量关系 角的数量关系三角函数关系即诱导公式总结规律，引导学生记忆学过的四组公式，即：22πk α+(Z)k ∈ ， α-， πα±的三角函数值，等于α角的同名三角函数值，前面加上一个把α角看成锐角时的原函数的符号．二、巩固探究例1．求以下三角函数值：（1）sin 960； （2）43cos()6π-； （3）tan(1560)-． 分析：先将不是)0,360⎡⎣范围内角的三角函数，转化为)0,360⎡⎣范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0,90⎡⎤⎣⎦范围内角的三角函数的值.解析：（1）sin 960sin(960720)sin 240=-=（诱导公式一）sin(18060)sin 60=+=-（诱导公式四）2=-． （2）4343cos()cos66ππ-=（诱导公式二） 77cos(6)cos 66πππ=+=（诱导公式一）cos()cos 66πππ=+=-（诱导公式四）=． （3）tan(1560)tan1560(tan(4360120)-=-=-⨯+公式二）tan120(tan(18060)tan 60(=-=--==公式一）公式三）小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化大于360的正角的三角函数为)0,360⎡⎣内的三角函数；③化)0,360⎡⎣内的三角函数为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．例2 ：化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--．解析：原式23cot (cos )sin ()tan cos ()ααπααπα⋅-⋅+=⋅+ 23cot (cos )(sin )tan (cos )ααααα⋅-⋅-=⋅-23cot (cos )sin tan (cos )ααααα⋅-⋅=⋅-2222cos sin 1sin cos αααα=⋅=． 总结：（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）；（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）利用四组诱导公式就能够将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. 其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
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能 力 提 升
一、选择题
1．(2013·广东文)已知sin(5π2＋α)＝1
5，那么cos α＝( )
A ．－2
5
B ．－15
C.15
D.25
[答案] C
[解析] 本题考查诱导公式，由sin(π2＋α)＝cos α＝1
5，知选C.
2．已知sin α＝513，则cos(π
2＋α)等于( )
A.5
13 B.1213 C ．－513
D ．－1213
[答案] C
[解析] cos(π2＋α)＝－sin α＝－5
13
.
3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π
2－α)等于( )
A ．－1
2
B.12
C.32
D ．－
32
[答案] A
[解析] 由已知，得sin α＝1
2，
则cos(7π2－α)＝－sin α＝－12
.
4．(山东济南一中12－13期中)若sin(π3－α)＝13，则cos(5π
6－α)
的值为( )
A.1
3 B ．－13
C.223
D ．－
22
3
[答案] B
[解析] cos(5π6－α)＝cos[π2＋(π
3－α)]
＝－sin(π3－α)＝－1
3
.
5．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π
2，0)，则tan α等于( )
A ．－2 2
B ．2 2
C ．－
24
D.24 [答案] A
[解析] sin(α＋π2)＝cos α＝13，又α∈(－π
2，0)，
所以sin α＝－1－cos 2
α＝－22
3
，
则tan α＝sin α
cos α＝－2 2.
6．若
sin α＋cos αsin α－cos α
＝2，sin(α－5π)·sin(3π
2－α)等于( )
A.34
B.310 C ．±310
D ．－310
[答案] B
[解析] sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1＝2，解得tan α＝3，则原式＝(－
sin α)(－cos α)＝sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝332＋1＝3
10
.
二、填空题
7．已知α是锐角，且2tan(π－α)－3cos(π
2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)
＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是______________．
[答案] 310
10
[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，∴tan α＝3.又tan α＝sin αcos α
，
∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，sin 2
α＝910.
∵α为锐角，∴sin α＝31010
.
8．已知sin(π2＋α)＝34，则sin(π
2－α)＝________.
[答案] 3
4
[解析] ∵sin(π2＋α)＝cos α＝3
4，
∴sin(π2－α)＝cos α＝3
4
.
9．化简cos (5
2
π－α)cos (－α)
sin (32π＋α)cos (21
2π－α)
＝________.
[答案] －1 [解析] 原式
＝
cos[2π＋(
π
2－α)]cosα
sin[π＋(
π
2＋α)]cos[10π＋(
π
2－α)]
＝
cos(
π
2－α)cosα
－sin(
π
2＋α)cos(
π
2－α)
＝sinαcosα
－cosαsinα
＝－1.
三、解答题
10．(2011～2012·宜春高一检测)化简：
cos(2π－α)sin(3π＋α)cos(3π
2－α)
cos(－π
2＋α)cos(α－3π)sin(－π－α)
.
[解析]原式＝cosα(－sinα)(－sinα)
sinα(－cosα)sinα
＝－1.
11．若sin(180°＋α)＝－
10
10，0°<α<90°.
求
sin(－α)＋sin(－90°－α)
cos(540°－α)＋cos(－270°－α)
的值．
[解析]由sin(180°＋α)＝－
10
10，α∈(0°，90°)，得sinα＝
10
10，
cosα＝310 10，
∴原式＝
－sinα－sin(90°＋α)
cos(360°＋180°－α)＋cos(270°＋α)
＝－sinα－cosα－cosα＋sinα
＝－
1010－31010－31010＋
1010＝2.
12．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin (－α－3π2)sin (3π
2
－α)tan 3α
cos (π2－α)cos (π2
＋α)
的值．
[解析] 由已知得sin α＝－35
.
∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－4
5
.
∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)
3
sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝3
4.。