新人教B版学高中数学选修推理与证明演绎推理讲义

学习目标核心素养１．理解演绎推理的含义．（重点）２．掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．（重点、易混点）通过演绎推理的学习、提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、演绎推理１．定义根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做演绎推理．２．特征当前提为真时，结论必然为真．二、三段论１．三段论推理（１）三段论推理是演绎推理的一般模式．（２）三段论的构成：１大前提：提供一般性原理；２小前提：指出一个特殊的对象；３结论：结合大前提和小前提，得出一般性原理和特殊对象之间的内在联系．（３）“三段论”的常用格式大前提：M是P；小前提：S是M；结论：S是P.２．演绎推理的常见模式（１）三段论推理（２）传递性关系推理用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系．（３）完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“三段论”就是演绎推理．（）（２）演绎推理的结论是一定正确的．（）（３）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（）[答案] （１）×（２）×（３）×２．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x２＋１）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x２＋１）是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．[解析] f（x）＝sin（x２＋１）不是正弦函数，故小前提错误．[答案] 小前提３．下列几种推理过程是演绎推理的是______（填序号）．１两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；２金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；３由圆的性质推测球的性质；４科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．[解析] １是演绎推理；２是归纳推理；３４是类比推理．[答案] １把演绎推理写成三段论的形式（１）一切奇数都不能被２整除，7５不能被２整除，所以7５是奇数；（２）三角形的内角和为１80°，Rt△ABC的内角和为１80°；（３）通项公式为a n＝３n＋２（n≥２）的数列{a n}为等差数列．[解] （１）一切奇数都不能被２整除．（大前提）7５不能被２整除．（小前提）7５是奇数．（结论）（２）三角形的内角和为１80°.（大前提）Rt△ABC是三角形．（小前提）Rt△ABC的内角和为１80°.（结论）（３）数列{a n}中，如果当n≥２时，a n—a n—１为常数，则{a n}为等差数列．（大前提）通项公式a n＝３n＋２，n≥２时，a n—a n—１＝３n＋２—[３（n—１）＋２]＝３（常数）．（小前提）通项公式为a n＝３n＋２（n≥２）的数列{a n}为等差数列．（结论）把演绎推理写成“三段论”的一般方法１．用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．２．在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．１．将下列演绎推理写成三段论的形式．（１）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；（２）等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.[解] （１）平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论（２）等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论演绎推理的综合应用DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．[思路探究] 用三段论的模式依次证明：（１）DF∥A E，（２）四边形A E DF为平行四边形，（３）DE＝AF.[解] （１）同位角相等，两直线平行，（大前提）∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）所以DF∥A E.（结论）（２）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）DE∥BA且DF∥E A，（小前提）所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）（３）平行四边形的对边相等，（大前提）DE和AF为平行四边形的对边，（小前提）所以DE＝AF.（结论）１．用“三段论”证明命题的步骤（１）理清证明命题的一般思路；（２）找出每一个结论得出的原因；（３）把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．２．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．２．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．[证明] 已知在梯形ABCD中（如图所示），AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：１等腰三角形的两底角相等，大前提△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提∠１＝∠２．结论２两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提∠１和∠３是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提∠１＝∠３．结论３等于同一个量的两个量相等，大前提∠２，∠３都等于∠１，小前提∠２和∠３相等．结论即CA平分∠BCD.４同理BD平分∠CBA.利用完全归纳推理证明问题１．演绎推理的结论一定正确吗？提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．２．利用完全归纳推理证明方程ax２＋２x—a＝0有实根，a的值应分哪几种情况？提示：分a＝0和a≠0两种情况．【例３】试证明函数f（x）＝ln（x＋错误!）的定义域为R，并判断其奇偶性．[思路探究] 只须对x>0，x＝0，x<0分别说明对数的真数均大于0即可．[解] 当x>0时，x＋错误!>0显然成立；当x＝0时，x＋错误!＝１>0成立；当x<0时，错误!>错误!＝|x|＝—x，所以x＋错误!>x＋（—x）＝0．因此对x∈R，都有x＋错误!>0，即函数的定义域为R.又因为f（—x）＝ln（—x＋错误!）＝ln（错误!—x）＝ln错误!＝ln错误!＝—ln（错误!＋x）＝—f（x）．故f（x）是奇函数．１．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅说明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，但完全归纳推理则把所有情况都作了证明，因此结论一定是正确的．２．在利用完全归纳推理证明问题时，要对证明的对象进行合理的分类，且必须把所有情况都考虑在内．３．求证：n∈N，当１≤n≤４时，f（n）＝（２n＋7）·３n＋9能被３6整除．[证明] 当n＝１时，f（１）＝（２＋7）·３＋9＝３6，能被３6整除；当n＝２时，f（２）＝（２×２＋7）·３２＋9＝１08＝３6×３，能被３6整除；当n＝３时，f（３）＝（２×３＋7）·３３＋9＝３60＝３6×１0，能被３6整除；当n＝４时，f（４）＝（２×４＋7）·３４＋9＝１２２４＝３6×３４，能被３6整除．综上，当１≤n≤４时，f（n）＝（２n＋7）·３n＋9能被３6整除.１．下面几种推理过程是演绎推理的是（）Ａ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝πＢ．某校高三（１）班有５５人，（２）班有５４人，（３）班有５２人，由此得出高三所有班级的人数都超过５0人Ｃ．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质Ｄ．在数列{a n}中，a１＝１，a n＝错误!错误!（n≥２），通过计算a２，a３，a４猜想出a n的通项公式[解析] A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．[答案] AＡ．大前提错误Ｂ．小前提错误Ｃ．推理形式错误Ｄ．是正确的[解析] 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a ２＞0”，显然结论错误，原因是大前提错误．[答案] A３．函数y＝２x＋５的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：___________________________________________；小前提：___________________________________________；结论：_____________________________________________.[答案] 一次函数的图象是一条直线函数y＝２x＋５是一次函数函数y＝２x＋５的图象是一条直线４．如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.上述推理的两个步骤中分别省略了________、________.[答案] 大前提大前提５．用三段论的形式写出下列演绎推理．（１）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；（２）y＝x２（x∈R）是偶函数．[解] （１）因为矩形的对角线相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的对角线相等．结论（２）因为x∈R，函数f（x）有f（—x）＝f（x），则f（x）是偶函数，大前提而y＝x２满足x∈R，f（—x）＝f（x），小前提∴y＝x２（x∈R）是偶函数．。