2【高中数学习题精选】 圆锥曲线综合练习题
(完整版)圆锥曲线的综合经典例题(含答案解析)
经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,（点差法）所以又故椭圆标准方程为.举一反三：【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程.【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2）与双曲线有公共焦点，且过点解析：（1）解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，所以双曲线方程为即（2）解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为（）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一渐近线方程为，且双曲线过点.（2）虚轴长与实轴长的比为，焦距为10.【答案】（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.（2）由已知设, ,则()依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点；（2）焦点在直线：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论解析：（1）∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为（），∵过点，∴，∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.（2）令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(4,0)；（2）准线为；（3）焦点到原点的距离为1；（4）过点（1，－2）；（5）焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】（1）所求抛物线的方程为y2=16x；（2）所求抛物线的标准方程为x2=2y；（3）所求抛物线的方程y2=±4x或x2=±4y；（4）所求抛物线的方程为或；（5）所求抛物线的标准方程为y2=－24x或x2=8y.【变式2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由，解得两交点坐标,∴，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.解析：设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由得、，又，则，即，所以，故选A.【变式2】已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有: ，，两式左、右分别相加得(.即∴.故的周长.【变式3】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】① .②设则，又.【变式4】已知双曲线的方程是.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】（1）由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.（2），∴∴【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】（1）设椭圆方程为()，双曲线方程，则，解得∵,∴, .故所求椭圆方程为，双曲线方程为.（2）由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．已知椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以本题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.解析：设椭圆方程为（），，，则，即.∵，∴，即，∴.又∵，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，则可由如下方法求.（1）可直接求出、；（2）在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；（3）若求的取值范围，则想办法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】连接，则是直角三角形，且，令，则，，即，，所以，故选D.【变式2】已知椭圆（）与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵, ∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）【变式3】如图，椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. 求椭圆的离心率.【答案】设椭圆的方程为（），焦距为,则直线l的方程为:,由，消去得,设点、,则∵＋, ∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴∴又∴∴【变式4】设、为椭圆的两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，若，则椭圆离心率为_____.【答案】如图，点满足，且.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为则由椭圆的定义有,,∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令, ,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴, ∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴, ∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①又|PF1|+|PF2|=2a ②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离．=．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．于是得5≥2e2．即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．已知中，,,为动点，若、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视解法一：设动点,且,则、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，则.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆（挖去点），且,,.其方程为().又, 代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:相切的动圆圆心的轨迹方程.【答案】设动圆圆心, 动圆半径为,.（1）动圆与圆外切时，，（2）动圆与圆内切时，，由（1）、（2）有.∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P（x，y），动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中c=4，a=2，∴b2=12，故所求轨迹方程为.【变式4】若动圆与圆:相外切，且与直线:相切，求动圆圆心的轨迹方程.法一：设,动圆半径，动圆与直线切于点，点.依题意点在直线的左侧，故∵,∴.化简得, 即为所求.法二：设,作直线：.过作于，交于，依题意有, ∴,由抛物线定义可知，点的轨迹是以为顶点，为焦点，：为准线的抛物线.故为所求.。
圆锥曲线综合大题练 分类题组-2023届高三数学一轮复习
题组：圆锥曲线综合大题练题型1：定点问题1.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2.已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．3.已知椭圆C：2222=1x ya b（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.4.如图，椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且∆ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．5.如图，已知椭圆Γ：x 2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率e=√22，短轴右端点为A,M(1.0)为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于P,Q两点，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．题型2：定值问题1.已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为 32 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N.求证：BM AN ⋅为定值.2.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离. （1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.xOy ()220y px p =>l x M M ,A B ()11,A x y l ()20d p λλ=>13y d ==0AM AB λ+=AB3.椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，点（2，√2）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．4.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率√22，的离心率为，点A(1,√32)在椭圆C上，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且l与圆x2+y2=5的相交于不在坐标轴上的两点P1,P2，记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2，求证：k1∙k2为定值．5.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率√22，若圆x 2+y 2=a 2被直线x − y −√2=0截得的弦长为2。
全国名校高中数学题库--圆锥曲线2
→ → ∵ OP · OQ = 0 ∴ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 ( x1 − 1)( x 2 − 1) = 0 ∴ x1 x 2 + k 2 [ x1 x 2 − ( x1 + x 2 ) + 1] = 0 (i )
4k (k + 1) − k i4k + k = 0 ，解得 k = −4 或 k = 0 （舍去） ， 又 k = −4 < −1 ， ∴ 直线 l 存在，其方程为 x + 4 y − 4 = 0
10 3 的椭圆. （9 分） 3
⎩ y = 4x △ = 16k 2 − 16 > 0 ， k < −1或k > 1 设 P ( x1 , y1 ) ， Q( x 2 , y 2 ) ，则 y1 + y 2 = 4k ， y1 y2 = 4k ��� � ���� ��� � ���� 由 OP ⋅ OQ = 0 ，即 OP = ( x1 , y1 ) ， OQ = ( x2 , y2 ) ，于是 x1 x2 + y1 y2 = 0 ，
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程：
x2 y2 1、 （1）已知双曲线 C1 与椭圆 C2 ： + = 1 有公共的焦点，并且双曲线的离心率 e1 与椭圆的 36 49 7 离心率 e2 之比为 ，求双曲线 C1 的方程． 3 2 （2）以抛物线 y = 8 x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方 程．
即 k 2 ( y1 − 1)( y2 − 1) + y1 y2 = 0 ， ( k 2 + 1) y1 y2 − k 2 ( y1 + y2 ) + k 2 = 0 ，
高中生圆锥曲线练习题及讲解
高中生圆锥曲线练习题及讲解圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，通常包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面是一些圆锥曲线的练习题以及相应的讲解。
### 练习题1：椭圆的标准方程给定一个椭圆的两个焦点距离为2c，且长轴长度为2a，求椭圆的标准方程。
解答步骤：1. 根据椭圆的性质，我们知道长轴和短轴的关系为 \( a^2 = b^2 +c^2 \)。
2. 题目给出 \( 2c \) 和 \( 2a \)，可以求出 \( c \) 和 \( a \) 的值。
3. 将 \( c \) 和 \( a \) 的值代入上述公式，求出 \( b \) 的值。
4. 最终，椭圆的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)。
### 练习题2：双曲线的渐近线已知双曲线的方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，求其渐近线方程。
解答步骤：1. 双曲线的渐近线方程可以通过 \( \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 0 \) 得到。
2. 将上述方程简化，得到 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。
3. 这就是双曲线的渐近线方程。
### 练习题3：抛物线的焦点和准线给定抛物线的方程 \( y^2 = 4ax \)，求其焦点和准线。
解答步骤：1. 抛物线的焦点位于 \( (a, 0) \)。
2. 准线方程为 \( x = -a \)。
3. 焦点和准线是抛物线的重要特征，可以通过方程直接得出。
### 练习题4：圆锥曲线的参数方程已知椭圆的参数方程为 \( x = a \cos(\theta) \) 和 \( y = b\sin(\theta) \)，求其标准方程。
解答步骤：1. 将参数方程中的 \( \cos(\theta) \) 和 \( \sin(\theta) \) 替换为 \( x/a \) 和 \( y/b \)。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析
高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合、化归与转化及函数与方程等数学思想．第一问，数形结合，令y=0，x=0即可分别求出c和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出直线方程和P、Q点坐标，令直线与椭圆联立得到Q点横坐标，利用向量的数量积，将P、Q点坐标代入，得到关于k的表达式，利用导数求函数的最值；法二，将进行转化，变成，再利用配方法求最值.试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即， 2分由，∴椭圆：. 4分（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 -5分得：，∴. 6分得：，∴， 7分∴. 9分．设，，令，得．又，∴在单调递增，在单调递减. 11分∴当时，，即的最大值为. 13分法二：依题意射线的斜率存在，设，设 5分得：，∴. 6分= 9分.设，则.当且仅当即.法三：设点，，6分= . 7分又，设与联立得： . 9分令. 11分又点在第一象限，∴当时，取最大值. 13分【考点】直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数.2.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.【考点】抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.3.已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）x-y-1=0或x+y-1=0.【解析】（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，在根据抛物线的性质可得，解出p即可（2）设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，直线的方程为，将上式代入中，并整理得.A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m，y1y2=－4，.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式，计算的表达式,根据求出m即可.试题解析：（1）设Q（x0，4），代入由中得x=，所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程为.（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得，设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，故AB的中点为D（2m2+1,2m），，有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得.设M(x3,y3),N(x4,y4),则.故MN的中点为E（）.由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得m2-1=0，解得m=1或m=－1，所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.【考点】1.抛物线的性质和方程；2.直线方程以及直线与曲线的位置关系.4.如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．（1）若圆过原点，求圆的方程；（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；（2）设圆M的半径为,连结，显然有根据椭圆的标准方程知,所以，从而找到符合条件的定圆.解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，易求圆的半径为所以圆的方程为或 6分解法二：设，因为圆过原点，所以所以，所以，所以点于是点的坐标为或，易求圆的半径所以圆的方程为或 6分（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为 8分探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，因为，所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．（13分）【考点】1、椭圆的定义与标准方程；2、圆的定义与标准方程.5.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故对称中心的点坐标为（）；由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.【考点】双曲线的几何性质，直线方程，两直线的位置关系.6.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．7.抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．8.已知椭圆和椭圆的离心率相同，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于、两点，且恰为弦的中点。
圆锥曲线综合练习(含解析)
圆锥曲线综合练习一、选择题（本大题共53小题，共265.0分）1.直角坐标系xOy中，双曲线x24−y212=1的左焦点为F，A(1,4)，P是右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值是()A. 8B. 9C. 10D. 12【答案】B【解析】解：由题意得a=2，b=2√3，c=4，则F(−4,0)，右焦点G(4,0)．由双曲线的定义可得|PF|−|PG|=4，∴|PF|+|PA|=4+|PG|+|PA|≥4+|AG|=4+√(1−4)2+(4−0)2=4+5=9．故选：B．2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率是()A. √3B. √5C. 32D. √52【答案】D解：焦点F(c,0)，一条渐近线y=ba x，即bx−ay=0，则点F到此条渐近线的距离，即FA=√a2+b2=b，在Rt△OAF中，OA=a．∴12×OA×FA=b2，即12ab=b2，化为2b=a，∴此双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a2=√52．故选D．3.已知点E(3,0)，椭圆x236+y29=1上有两个动点P，Q，若EP⊥EQ，则EP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为()A. 6B. 3−√3C. 9D. 9−6√3【答案】A【解析】解：设P(x,y)，椭圆x236+y29=1，y2=9−x24，∵EP⊥EQ，EP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP⃗⃗⃗⃗⃗ =丨EP⃗⃗⃗⃗⃗ 丨⋅丨QP⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠EPQ=EP2，而EP2=(x−3)2+y2=34(x−4)2+6，由P在椭圆x236+y29=1，∴−6≤x≤6，当x=4时，EP2=(x−3)2+y2=34(x−4)2+6，有最小值6，故答案选：A．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=4cx(c2=a2−b2,c>0)与椭圆C在第一象限的交点为P，若cos∠PF1F2=45，则椭圆C的离心率为()A. √5−12B. 3−√22或3+√22C. √3−12D. 4−√79或4+√79【答案】D【解析】解：作抛物线的准线l ，则直线l 过点F 1，过点P 作PE 垂直于直线l ，垂足为点E ，由抛物线的定义知|PE|=|PF 2|，易知，PE//x 轴，则∠EPF 1=∠PF 1F 2， ∴cos∠EPF 1=cos∠PF 1F 2=|PE||PF 1|=|PF 2||PF 1|=45，设|PF 1|=5t(t >0)，则|PF 2|=4t ，由椭圆定义可知， 2a =|PF 1|+|PF 2|=9t ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|PF 2|2=|PF 1|2+|F 1F 2|2−2|PF 2|⋅|F 1F 2|cos∠PF 1F 2，整理得|F 1F 2|2−8t|F 1F 2|+9t 2=0，解得|F 1F 2|=(4+√7)t 或|F 1F 2|=(4−√7)t ．当|F 1F 2|=(4+√7)t 时，2c 2a=4+√79；当|F 1F 2|=(4−√7)t 时，离心率为e =2c 2a=4−√79．综上所述，椭圆C 的离心率为4−√79或4+√79．故选：D ．5. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|=4|F 1Q|，则C 的离心率为( )A. 2√55B. √22C. √155D. √217【答案】D【解析】解：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得c 2a2+|PF 2|2b 2=1，解得|PF 2|=b 2a．如图所示，过Q 点作QE ⊥x 轴，垂足为点E ，设Q(x 0,y 0)， 根据题意及图可知，Rt △PF 2F 1∽Rt △QEF 1， ∵|PF 1||F 1Q|=4，∴|F 1F 2||EF 1|=|PF 2||QE|=4，∴|EF 1|=|F 1F 2|4=2c 4=c2，∴x 0=−c −c2=−3c2．又∵y0=−|QE|=−|PF2|4=−b24a．∴点Q坐标为(−3c2,−b24a).将点Q坐标代入椭圆方程，得9c24a2+b216a2=1．结合b2=a2−c2，解得e=ca =√217，故选：D．6.设F1、F2分别是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|，则椭圆的离心率为()A. √3−√2B. √6−√3C. 2−√2D. 9−6√2【答案】B【解析】解：由PQ⊥PF1，|PQ|=|PF1|可得|QF1|=√2|PF1|，所以由题意的定义可得：√2|PF1|+2|PF1|=4a，所以|PF1|=2(2−√2)a，|PF2|=2a−|PF1|=2(√2−1)a，在直角三角形F1PF2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，即(2c)2=[2(2−√2)a]2+[2(√2−1)a]2，整理可得：c2=(9−6√3)a2，解得e=√6−√3，故选：B．7.已知经过原点O的直线与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于M，N两点(M在第二象限)，A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|=4，则该椭圆的方程为()A. x29+y25=1 B. x236+y24=1 C. x236+y232=1 D. x225+y224=1【答案】C【解析】解：由|AF|=4，得a−c=4，设线段AN的中点为P，M(m,n)，则N(−m,−n)，又A(a,0)，∴P(a−m2,−n2)，F(a−4,0)，∵点M、F、P在同一直线上，∴k MF=k FP，即n−0m−(a−4)=−n2−0a−m2−(a−4)，化简即可求得a=6，∴c=2，则b2=a2−c2=32．故椭圆方程为x236+y232=1．故选：C．8.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，经过原点O的直线与椭圆C相交于点A，B，若|AF|=2，|BF|=4，椭圆C的离心率为√73，则△AFB的面积是()A. √5B. 2√5C. 2√3D. √3【答案】C【解析】解：设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，|AF′|=|BF|=4，∴|AF′|+|AF|=2+4=6=2a ，∴a =3，又e =√73，∴c =√7，由余弦定理可得，cos∠FAF′=16+4−282×4×2=−12，故sin∠FAF′=√32．∴S △AFB =S △AFF′=12|AF′||AF|sin∠FAF′=12×4×2×√32=2√3故选：C ．9. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的点，O 为坐标原点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则该椭圆的离心率为( )A. √105B. √104C. √103D. √102【答案】B 解：点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点， 由题意知∠F 1PF 2=90°，且|PF 1|=3|PF 2|，如图：设|PF 2|=m ，则|PF 1|=3m ，所以{4m =2a 9m 2+m 2=4c 2，所以4c 2=52a 2， 所以e =c a =√104．故选：B ．10. 直线x +4y +m =0交椭圆x 216+y 2=1于A ，B ，若AB 中点的横坐标为1，则m =( ) A. −2B. −1C. 1D. 2【答案】A解：由题意，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 2−y 1x2−x 1=−14，x 1+x 22=1，∵x 1216+y 12=1，x 2216+y 22=1，两式相减，y 2−y 1x 2−x 1=−116⋅x 1+x2y 1+y 2，结合直线的斜率为−14，AB 中点横坐标为1，∴AB 中点纵坐标为14，将点(1,14)代入直线x +4y +m =0中，得m =−2．故选：A ．11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，左焦点为F 1，右焦点为F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线AB 相切，e 为离心率，则e 2的值为( )A. √3−12B. 3−√52 C. √5−12 D. √5+12【答案】B 解：由椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，得A(−a,0)，B(0,b)，令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，得直线AB 的方程为x−a +yb =1，即bx −ay +ab =0，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，∵以F 1F 2为直径的圆与直线AB 相切，∴√b 2+(−a )2=c ，两边同时平方整理得a 2b 2=c 2(a 2+b 2)=(a 2−b 2)(a 2+b 2)=a 4−b 4，可得b 4+a 2b 2−a 4=0，两边同时除以a 4，得(b 2a2)2+b 2a2−1=0，且b 2a 2>0，解得b 2a 2=√5−12，因此e 2=c 2a2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=3−√52．故选B ．12. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆C 于A ，B 两点，交y轴于C 点，若满足F 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且∠CF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为( ) A. √33B. √36C. 13D. 16【答案】A解：设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，F 1(−c,0)．直线l 过F 1交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足F 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且∠CF 1F 2=30°， 可得C(0,√33c)，设A(x,y)，则(c,√33c)=32(−c −x,−y)，解得A(−53c,−2√39c).可得：25c 29a 2+12c 281b2=1即：259e 2+4e 227(1−e 2)=1，e ∈(0,1)．解得e =√33．故选：A ． 13. 过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为其右焦点，若∠F 1F 2P =30°，则椭圆的离心率为( )A. √22B. 13C. 12D. √33【答案】D解：显然△PF 1F 2是直角三角形，根据正弦定理：e =c a =2c2a =|F 1F 2||PF 1|+|pF 2|，故选：D ．14. 设F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线x =3a 2上一点，△APF 是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( )A. 34B. 23C. 12D. 13【答案】B解：设x=3a2交x轴于点M，∵△FPA是底角为30°的等腰三角形∴∠PFA=120°，|PF|=|FA|，且|PF|=2|FM|∵P为直线x=3a2上一点，∴2(3a2−c)=a+c，解之得2a=3c∴椭圆E的离心率为e=ca=23故选：B．15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.F2也是抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线AF1的倾斜角为45°，则C的离心率为() A. √5−12B. √2−1C. 3−√5D. √2+1【答案】B解：由题意可得：c=p2=√a2−b2．直线AF1的方程为：y=x+c．联立{y=x+cy2=4cx，解得x=c，y=2c．∴A(c,2c)，代入椭圆方程可得：c2a2+4c2b2=1，∴c2a2+4c2a2−c2=1，化为：e2+4e21−e2=1，化为：e4−6e2+1=0，解得e2=3−2√2，解得e=√2−1．故选：B．16.过坐标原点O且斜率为k(k<0)的直线l与椭圆x24+y2=1交于M、N两点若点A(1,12)，则△MAN面积的最大值为()A. √2B. 2√2C. √22D. 1【答案】A【解析】解：由题，直线l的方程为：y=kx(k<0)，联立{y=kxx24+y2=1，解得{x2=41+4k2y2=4k21+4k2，∣MN∣=2√x2+y2=4√1+k21+4k2，设点A(1,12)到直线l的距离d=∣∣k−12∣∣√1+k2=12⋅2k−1√1+k2，∴△MAN面积S=12⋅∣MN∣⋅d=2k−12=√4k2−4k+11+4k2=√1+4−1k−4k，∵k <0，−1k−4k ≥2⋅√−1k⋅(−4k)=4.(当且仅当k =−12时等式成立)，∴√1+4−1k−4k ≤√2．即△MAN 面积的最大值为√2．故选：A ．17. 已知椭圆x 2a+y 2b =1(a >b >0)的左顶点和左焦点分别为A 和F ，|AF|=3，直线y =kx 交椭圆于P ，Q 两点(P 在第一象限)，若线段AQ 的中点在直线PF 上，则该椭圆的方程为( )A.x 29+y 25=1B. x 216+y 215=1C.4x 281+y 218=1D. x 281+y 245=1【答案】C【解析】解：由题意知a −c =3，∴a =c +3，A(−a,0)，F(−c,0)，设P(x′,y′)， 则由题意知，Q(−x′,−y′)，设AQ 的中点为D ，则D(−x′−a 2,−y′2)，因为线段AQ 的中点在直线PF 上，所以FP⃗⃗⃗⃗⃗ =λFD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(x′+c,y′)=λ(−x′−a 2+c,−y′2)=λ(−x′+c−32,−y′2)，∴x′+c−x′+c−32=y′−y′2=−2，∴x′+c =x′−c +3，整理2c =3，∴c =32，a =c +3=92，b 2=a 2−c 2=18，所以椭圆的方程为：4x 281+y 218=1；故选：C ．18. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，线段MF 2的延长线交椭圆C 于点N ，若|MF 1|，|MN|，|NF 1|成等差数列，则椭圆C 的离心率为( )A. √22B. √32C. √23D. √33【答案】A【解析】解：设|MF 2|=m ，∵|MF 1|，|MN|，|NF 1|成等差数列，∴2|MN|=|MF 1|+|NF 1|， ∴|MN|=|MF 2|+|NF 2|=2a −|MF 1|+2a −|NF 1|=4a −2|MN|，∴|MN|=43a ， ∴|NF 2|=43a −m ，∴|NF 1|=2a −(43a −m)=23a +m ，∵MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴MF 1⊥MF 2，∴Rt △F 1MN 中，|NF 1|2=|MN|2+|MF 1|2，∴(2a −m)2+(43a)2=(23a +m)2，整理可得m =a ，∴|MF 2|=a ，|MF 1|=a ，∴|F 2F 1|2=|MF 2|2+|MF 1|2， ∴4c 2=2a 2，∴e =ca=√22，故选：A ． 19. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =√2x ，过其左焦点F(−√3,0)作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长|AB|=( )A. 2√5B. 4√5C. 10D. 10√2【答案】C解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=√2x，∴ba=√2，即b=√2a，∵左焦点F(−√3,0)，∴c=√3，∴c2=a2+b2=3a2=3，∴a2=1，b2=2，∴双曲线C的方程为x2−y22=1，可得直线l的方程为y=2(x+√3)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由{y=2(x+√3)x2−y22=1，消y可得x2+4√3x+7=0，可知：Δ>0，∴x1+x2=−4√3，x1x2=7，∴|AB|=√1+22⋅√(x1+x2)2−4x1x2 =√1+4×√48−28=√5×√20=10，故选：C．20.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，则△ABF1的周长为()A. 16√33+8 B. 4(√2−1) C. 4√33+8 D. 2(√3−2)【答案】A解：由双曲线x24−y2b2=1(b>0)，可得：a=2．如图所示，设|AF2|=m，|BF2|=n．可得：|AF1|=4+m，|BF1|=4+n．因为△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，∴4+m=m+n．作AD⊥BF1，垂足为D，D为线段BF1的中点．∠F1AD=60°．∴|DF1|=√32(4+m)，∴√3 2(4+m)×2=4+n，即√3(4+m)=4+n，又4+m=n+m，联立解得：n=4，m=8√33−4．∴△ABF1的周长=4+m+m+n+4+n=8+2(m+n)=8+16√33．故选：A．21.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是()A. (53,2] B. (1,53] C. (1,2] D. [53,+∞)【答案】B解：根据题意，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)中，点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|−|PF 2|=2a ，又由|PF 1|=4|PF 2|，则|PF 2|=2a3，|PF 1|=8a3，又|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|，则有2a 3+8a 3≥2c ，即可得：e ≤53，则双曲线的离心率取值范围为(1,53]．故选B ． 22. 双曲线的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2，若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率是( )A. √5−1B. 3+√52C. √5+12D. √3+1【答案】C解：由题意可得A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B 1(0,−b)，B 2(0,b)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，且a 2+b 2=c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为√b 2+c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ，由面积相等，可得12⋅2b ⋅2c =12a ⋅4√b 2+c 2，即为b 2c 2=a 2(b 2+c 2)，即有c 4+a 4−3a 2c 2=0，由e =ca ，可得e 4−3e 2+1=0， 解得e 2=3±√52，因为e >1，所以e 2=3+√52，可得e =√3+√52=1+√52．故选C ．23. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√33【答案】A解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨设为：bx−ay=0，圆(x−2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为2，由双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到bx−ay=0的距离为d=√22−12=√3=|2b|√a2+b2，及即b2= 3a2，又c2=a2+b2=4a2，可得e2=4，即e=2．故选A．24.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为()A. 2B. 32C. √3D. √2【答案】D解：如图所示：∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，∴设MF1=m，则MF2=3m，由双曲线的定义得3m−m=2a，即m=a，在直角三角形MF2F1中，9m2−m2=4c2，即2m2=c2，即2a2=c2，则e=√2．故选D．25.已知双曲线x2m −y23m=1的一个焦点为(0,4)，椭圆y2n−x2m=1的焦距为4，则m+n=()A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C记双曲线的焦距为2c，椭圆的焦距为c′，由双曲线的焦点为(0,4)，知双曲线焦点在y轴，且c2=(−3m)+(−m)=−4m=16，可得m=−4，从而椭圆方程为y2n +x24=1，又焦距为4，知c′=2，当n>4时，有n−4=4，得n=8，当n<4时，4−n=4，n=0(舍去)，于是m+n=4，故选：C．26.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，直线4x−3y+20=0过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若|OP|=|OF|，则C的离心率为()A. 5B. √5C. 53D. 54【答案】A解：如图，设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为N．∵|OP|=|OF|=|ON|=c，则△PFN是以FN为斜边的直角三角形，∵直线4x−3y+20=0过点F，∴c=5，在Rt△PFN中，tan∠PFN=43，FN=10．∴PN=8，PF=6，则2a=2，a=1，则C的离心率为e=ca=5，故选A．27.已知点F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，|F1F2|=2|OP|，△PF1F2的面积为4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线C的方程为()A. x22−y22=1 B. x24−y24=1 C. x28−y24=1 D. x22−y24=1【答案】B解：如图，由|F 1F 2|=2|OP|，可得|OP|=c ，即有△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∵△PF 1F 2的面积为4，∴|PF 1|⋅|PF 2|=8，∵|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2，∴(|PF 1|−|PF 2|)2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|，由双曲线定义可得|PF 1|−|PF 2|=2a ，∴4a 2=4c 2−16，∴b 2=4，∵该双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a =b ，∴双曲线C 的方程为x 24−y 24=1，故选：B ．28. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1 (a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，以下结论正确的个数是( )①双曲线C 的离心率为√3；②双曲线C 的渐近线方程y =±√2x ；③直线l 的斜率为1．A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|=|NF 2|，设|MF 2|=|NF 2|=m ，则|MN|=√2m ，由|MF 2|−|MF 1|=2a ，|NF 2|−|NF 1|=2a ，两式相减可得|NF 1|−|MF 1|=|MN|=4a ，即有m =2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2=4a 2+(2a +2√2a −2a)2，化为c 2=3a 2，e =ca =√3，故①正确； 又√1+b 2a2=ca=√3，可得b a =√2，故②正确；因为|HF 2|=12|MN|=2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2a2√c 2−a 2=√22，故③错误． 故选：C ．29. 双曲线y 2−ax 2=1的离心率为√62，则其渐近线方程是( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±√2xD. y =±√22x【答案】C【解析】解：根据题意可得e =√1+1a1=√62，解得a =2，则双曲线方程表示为：y 2−x 212=1，所以渐近线方程为y =±√112x =±√2x ，故选：C ． 30. 已知F 为双曲线E ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，过点F 的直线与圆O ：x 2+y 2=12(a 2+b 2)于A ，B 两点(A 在F ，B 之间)，与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA =BP ，∠AOB =120°，则双曲线的离心率为( )A. √133B. √143C. √13+√23D. √14+√23【答案】D【解析】解：如图，由圆O 的方程x 2+y 2=12(a 2+b 2)=12c 2，得圆O 的半径为OA =OB =√22c ．过O 作AB 的垂线OH ，则H 为AB 的中点，又FA =BP ，∴H 为FP 的中点，设双曲线的右焦点为F 1，连接PF 1，则OH 为三角形FF 1P 的中位线，可得OH//PF 1，则PF 1⊥PF ， 由∠AOB =120°，可得OH =12OA =√24c ．∴PF 1=√22c ，则PF =√22c +2a ，在Rt △PFF 1中，由勾股定理可得：(√22c +2a)2+(√22c)2=4c 2，整理得：3e 2−2√2e −4=0．解得：e =√14+√23或e =√2−√143(舍)．故选：D ．31. 过抛物线E ：x 2=2py(p >0)的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q(1,2).若1|AB|+1|CD|=14，则|PF|+|PQ|的最小值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C解：显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=kx+p2，联立方程{y=kx+p2x2=2py，消去y得：x2−2pkx−p2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=2pk，y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，由抛物线的性质可知：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：−1k ，∴|CD|=2p(−1k)2+2p=2pk2+2p=2p+2pk2k2，∴1|AB|+1|CD|=12pk2+2p+k22p+2pk2=k2+12p+2pk2=14，∴2p+2pk2=4+4k2，解得p=2，∴抛物线方程为：x2=4y，准线方程为：y=−1，设点P到准线y=−1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当QP垂直于准线时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1= 3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．32.抛物线y2=4x的焦点为F，点A(5,3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为()A. 10B. 11C. 12D. 6+√29【答案】B【解析】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A−(−1)=5+1=6，∵|AF|=√(5−1)2+(3−0)2=5，∴△MAF周长的最小值为11，故选：B．33. 经过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点且倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若|AB|=1，则p =( )A. 1B. 12C. 13D. 14【答案】D【解析】解：由题意可知，抛物线焦点坐标为(p 2,0)，∴直线AB 的方程为：y =x −p2， 联立方程{y =x −p2y 2=2px.消去y 得：x 2−3px +p 24=0，∴x A +x B =3p ，由抛物线的定义可知：|AB|=x A +x B +p ，∴4p =1，∴p =14，故选：D ．34. 已知抛物线C ：x =4y 2的焦点为F ，若斜率为18的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点到准线的距离为( )A. 658B. 654C.12916D.1298【答案】A【解析】解：抛物线C ：x =4y 2，可得准线方程为：x =−116，过点F(116,0)且斜率18的直线l ：y =18(x −116)，由题意可得：{x =4y 2y =18(x −116)，可得x 2−1298x +1256=0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：12916， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：12916+116=658．故选：A ．35. 如图，在底面半径和高均为√2的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点．已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于( )A. 12B. 1C. √104 D. √52【答案】D【解析】解：如图所示，过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ． ∵E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为√2， ∴OH =EH =√22．∴OE =1．在平面CED 内建立直角坐标系如图． 设抛物线的方程为y 2=2px ． (p >0)，F 为抛物线的焦点． C(1,√2)， ∴2=2p ⋅1． 解得p =1． F(12,0)．即OF =12，EF =12， ∵PB =2，PE =1，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为√PE 2+EF 2=√52 故选：D ．36. 已知点A(0,√3)，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N.若|FM|：|MN|=1：2，则p 的值等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B解：依题意F 点的坐标为(p2,0)，设M 在准线上的射影为K 由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MN|=1：2，∴|KN|：|KM|=√3：1，∴|OA ||OF |=√3p 2=√3，∴√3p =2√3，∴p =2．故选：B ．37. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA||MF|=√2时，△AMF 的面积为 ( )A. 1B. √2C. 2D. 2√2【答案】C解：设M (x 0,y 0)，过M 作MN ⊥l 于点N ，则|MF|=|MN|，因为|MA||MF|=√2，所以|MA||MN|=√2，故∠NAM =45°，所以|AN|=|MN|，故|y 0|=x 0+1，又点M 在抛物线上，所以y 02=4x 0，由{|y 0|=x 0+1,y 02=4x 0,，解得{x 0=1,|y 0|=2,，所以S △AMF =12|AF|·|y 0|=12×2×2=2．故选C ．38. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.若l 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|=4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5【答案】D解：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．∴F(1,0)，准线l 的方程为x =−1， ∵l 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|=4|OF|(O 为原点)，∴|AB |=2ba，|OF |=1，∴2b a=4，∴b =2a ．∴c =√a 2+b 2=√5a ，∴双曲线的离心率为e =ca =√5．故选D ．39. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若|AB|=6，则△AOB 的面积为( )A. √6B. 2√2C. 2√3D. 4【答案】A解：根据题意，抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，当直线AB 的斜率不存在时，x =1，不妨设点A 在第一象限，此时A(1,2)，B(1,−2)，|AB|=4，不满足要求当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y =k(x −1)，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x ，消去x ，得y 2−4k y −4=0， y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4，则x 1+x 2=y 1+y 2k+2=4k 2+2，|AB|=x 1+x 2+p =4k 2+2+2=6，则k =±√2，|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√6，S △AOB =S △AOF +S △BOF =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×1×2√6=√6，△AOB 的面积√6，故选：A ．40. 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AB 与抛物线C 的准线l 交于点D ，AA 1⊥l 于A 1，若△AA 1D 的面积等于8√3，则p =( )A. 32B. 2C. 52D. 4【答案】B【解析】解：抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F(p 2,0)，准线方程为x =−p2， 设|BF|=t ，由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|AF|=3t ，|AB|=4t ， 过B 作BN ⊥l 于N ，可得|BN|=|BF|=t ， 又|AA 1|=|AF|=3t ， 在△AA 1D 中，|BN||AA 1|=|BD||AD|，即为t 3t =|BD||BD|+4t ，可得|BD|=2t ，在△DMF 中，|BN||MF|=|DB||DF|，即为t p =2t2t+t ， 解得p =32t ，又△AA 1D 的面积等于8√3，可得12⋅3t ⋅√(6t)2−(3t)2=8√3，解得t =43， 则p =32×43=2．故选：B41. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2，点P 在抛物线上，且|PF|=32，延长PF交C 于点Q ，则△OPQ 的面积为( )A. 3√22B. 3√24C. 3√28D. 3√216【答案】A解：由题意，可得p =2，则抛物线C ：y 2=4x ．设直线PQ 的斜率为k ，在l PQ ：y =k(x −1)． 联立{y =k(x −1)y 2=4x ，整理，得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0．则x 1+x 2=2(k 2+2)k 2，x 1⋅x 2=1．∵1|PF|+1|QF|=2p ，即132+1|QF|=1，解得|QF|=3．∴|PQ|=|PF|+|QF|=32+3=92． 又∵|PQ|=x 1+x 2+p =2(k 2+2)k 2+2=92．∴解得k 2=8，k =±2√2．设点O 到直线PQ 的距离为d ，则d =|k⋅0−0−k|√1+k 2=2√2√1+8=2√23．∴S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅92⋅2√23=3√22． 故选：A ．42. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点M(x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线x =p2交于E ，G 两点，若sin∠MFG =13，则抛物线C 的方程是( )A. y 2=xB. y 2=2xC. y 2=4xD. y 2=8x【答案】C【解析】解：画出图形如右图所示，作MD ⊥EG ，垂足为D ，由题意得点M(x 0,2√2)，(x 0>p2)在抛物线上，则8=2px 0，① 由抛物线的性质，可知|DM|=x 0−p2，因为sin∠MFG =13，所以|DM|=13|MF|=13(x 0+p2)，所以x 0−p2=13(x 0+p 2)，解得x 0=p ，②由①②解得x 0=p =−2(舍去)或x 0=o =2． 故抛物线C 的方程为y 2=4x ．故选：C ．43. 抛物线y 2=x 的焦点为F ，O 为坐标原点，点P 在抛物线上，向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，线段HF 和抛物线交于点Q ，则|HF||FQ|=( )A. 1B. 2C. 3D. 23【答案】C【解析】解：由抛物线定义知PH =PF ，结合∠HPF =60°，知△HPF 为等边三角形．故HF 和准线夹角θ=30°，作QE ⊥准线，垂足为E ，则QF =QE ， 则sinθ=sin30°=|QE||QH|=|QF||QH|=12， 故|HF||FQ|=|HQ|+|QF||QF|=2|QF|+|QF||QF|=3，故选：C ．44. 已知点F 为抛物线x 2=2py(p >0)的焦点，经过点F 且倾斜角α为钝角的直线与抛物线交于A ，B 两点，△OAB(O 为坐标原点)的面积为−8cos 3α，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于点M ，则|FM|=( )A. 4B. 2C. √2D. 1【答案】A【解析】解：抛物线x 2=2py(p >0)的焦点F(0,p2)，设直线AB 的方程为y =kx +p2，代入抛物线x 2=2py ，得x 2−2pkx −p 2=0， 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−p 2，所以△OAB的面积为S=12|OF|⋅|x1−x2|=12⋅p2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=p4√4p2k2+4p2=p22√1+k2=p2 2⋅√1+tan2α=p22⋅√1+sin2αcos2α=p22⋅1−cosα=−8cos3α，则p=4cos2α，又AB的中点坐标为(pk,pk2+p2)，所以AB的中垂线方程为y−pk2−p2=−1k(x−pk)，令x=0，则y=pk2+p2+p，即M(0,pk2+p2+p)，所以|FM|=pk2+p=p(1+k2)=4cos2α⋅(1+tan2α)=4(cos2α+sin2α)=4，故选：A．45.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，点M(x0,6√6)(x0>p2)是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x=p2交于A、B两点(A在B的上方)，若sin∠MFA=57，则抛物线C的方程为()A. y2=4xB. y2=8xC. y2=12xD. y2=16x 【答案】C解：如图所示，过M点作CM⊥直线x=p2，垂足为C，交准线于D，∴sin∠MFA=57=MCMF，由抛物线定义可得：MF=MD，∴MCMF=x0−p2x0+p2=57，5x0+52p=7x0−72p，∴x0=3p，∵点M(x0,6√6)(x0>p2)是抛物线上一点，∴(6√6)2=2px0，36×6=6p2，∴p=6，∴y2=12x，故选：C．46.已知抛物线y2=2px(p>0)交双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线于A，B两点(异于坐标原点O)，若双曲线的离心率为√5，△AOB的面积为32，则抛物线的焦点为()A. (2,0)B. (4,0)C. (6,0)D. (8,0)【答案】B解：双曲线的离心率为√5，可得ca=√5，可得b=2a，渐近线方程为：2x±y=0，抛物线y2=2px与2x±y=0可得x=p2，y=±p，△AOB的面积为32，所以12×p2×2p=32，解得p=8，所以抛物线的焦点坐标为：(4,0)．故选：B．47.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，过点F且斜率为√3的直线交抛物线C于点A、B两点，则|AF|⋅|BF|等于()A. 13B. 43C. 1D. 4【答案】A【解析】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，过点F且斜率为√3的直线交抛物线C于点A、B两点，以F为极点的抛物线的极坐标方程为：ρ=p1−cosα=12−2cosα，A(ρ,α)，B(ρ,π+α)，|AF|=P1−cosα=P1−cos60∘，|BF|=P1+cosα=P1+cos60∘，|AF||BF|=P1−cos60∘×p1+cos60∘=p2sin260∘=1434=13，故选：A．48.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′，若cos∠FAA′=35，则四边形AA′PF的面积为()A. 8B. 10C. 14D. 28【答案】C【解析】解：由条件得，p=2，过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|=3x，∵cos∠FAA′=35，∴|AF|=5x，|F′F|=4x．由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x．则|A′F′|=|PF|=5x−3x=2x=p=2，解得x=1.则|AF′|=3x=3，|AF|=|AA′|=5x=5，|F′F|=4x=4．∴四边形AA′PF的面积S=(|PF|+|AA′|)⋅|PA′|2=(2+5)×42=14．故选：C．49.已知直线l：kx−y−k=0(k∈R)与抛物线C：y2=2px(p>12)相交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 12=2px 1，y 22=2px 2，联立直线l ：kx −y −k =0(k ∈R)与抛物线C ：y 2=2px(p >12)，可得(kx −k)2=2px ，即为k 2x 2−(2k 2+2p)x +k 2=0，则△=(2k 2+2p)2−4k 4=4p 2+8pk 2>0，x 1x 2=1，则(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=4p 2，由于直线l 恒过定点(1,0)，且与抛物线有两个交点，可得y 1y 2<0，则y 1y 2=−2p ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=1−2p ，由p >12，可得1−2p <0，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，即∠AOB 为钝角，则△AOB 为钝角三角形．故选：C ．50. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴相交于点M ，过点M 作斜率为k 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，若∠AFB =60°，则k =( )A. ±12B. ±√24 C. ±√22 D. ±√32【答案】D【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1，M(−1,0)， 过点M 作斜率为k 的直线方程设为y =k(x +1)，联立抛物线方程，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，k ≠0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则△=(2k 2−4)2−4k 4>0，即−1<k <1，且k ≠0，x 1+x 2=4k 2−2，x 1x 2=1，可得|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(4k2−2)2−4=4⋅√1−k 4k 2，在△AFB 中，由余弦定理可得|AB|2=|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|⋅cos60°=(x 1+1)2+(x 2+1)2−2(x 1+1)(x 2+1)⋅12=(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)−2=(4k 2−2)2+(4k 2−2)−2=16k 4−12k 2=16(1−k 4)k 4，解得k =±√32，故选：D ．51. 如图所示点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2=8x 及圆x 2+y 2−4x −12=0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A. (6,10)B. (8,12)C. [6,8]D. [8,12]【答案】B解：抛物线的准线l ：x =−2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|=x A +2， 圆(x −2)2+y 2=16的圆心为(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A +2+(x B −x A )+4=6+x B ，由抛物线y 2=8x 及圆(x −2)2+y 2=16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6+x B ∈(8,12)，故选B ．52. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N(点N 在x 轴上方)，点E 为轴上F 右侧的一点，若|NF|=|EF|=3|MF|,S △MNE =12√3，则p =( )A. 1B. 2C. 3D. 9【答案】C【解析】解：设直线MN 的方程为：x =my +p 2，N(y 122p ,y 1)，M(y 222p ,y 2)， 联立直线MN 与抛物线的方程{x =my +p2y 2=2px，整理可得：y 2−2pmy −p 2，y 1y 2=−p 2，∗由题意|NF|=3|FM|可得3MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即3(p2−y 222p ,−y 2)=(y 122p,y 1)可得y 1=−3y 2代入∗中可得3y 22=p 2，所以y 2=−√33p ，y 1=−3y 2=√3p ，y 122p =32p ，所以N(32p,√3p)，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以|NF|=|EF|=32p +p2=2p ， 所以S △NME =12|EF|⋅|y 1−y 2|=12⋅2p ⋅(√3p +√33p)=4√33p 2， 由题意可得4√33p 2=12√3，解得p =3，故选：C ．53. 已知A 、B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物线的准线于点C ，且|AB|=4√55|AF|，△AFC 的面积为2√5+2，则p 的值为( )A. √2B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：设A点的坐标为(m,n)，且点A在第一象限内，则B(m,−n)，∴n2=2pm，①由F(p2,0)，准线方程为x=−p2，∴|AB|=2n，∴|AF|=m+p2=n22p+p2，∵|AB|=4√55|AF|，∴2n=4√55(m+p2)，②∵△AFC的面积为2√5+2，S△ACB−S△ABF=S△AFC，∴12×2n(m+p2)−12×2n(m−p2)=2√5+2，∴np=2√5+2，③，由①②③解得p=2，选：C．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）54.设点P为椭圆：x249+y224=1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，G为△PF1F2的重心，且PF1⊥PF2，那么△GPF2的面积为______．【答案】8【解析】解：因为G为△PF1F2的重心，所以S△GPF2=13S△PF1F2，因为PF1⊥PF2，设PF1=x，PF2=2a−x，所以(2c)2=x2+(2a−x)2，由椭圆的方程可得：a2=49，b2=24，所以c2=a2−b2=49−24=25，a=7，所以方程整理可得x2−14x+ 48=0，解得x1=6，x2=8，当x1=6时，PF1═6，PF2=2a−6=2×7−6=8，则S△PF1F2=12×6×8=24，所以S△PGF2=13S△PF1F2=8，同理x2=8时，S△PGF2=13S△PF1F2=8，故答案为：8．55.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，的左、右焦点分别为F1，F2，右焦点F2与抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点重合．椭圆C与抛物线E交于A，B两点，A，F2，B三点共线，则椭圆C的离心率为______．【答案】√2−1【解析】解：如图，根据题意可得抛物线准线l 过左焦点F 1，作AA′⊥l 交于点l 于点A′，则AA′=AF 2.则易得四边形A′AF 2F 1是正方形， 故椭圆C 的离心率e =|F 1F 2||AF 1|+|AF 2|=1√2+1=√2−1．故答案为：√2−1．56. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB|=|AF 1|，则椭圆的方程为______． 【答案】x 25+y 2=1【解析】解：由题意直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，令y =0可得x =2，所以右焦点F 2(2,0)，即c =2，左焦点F 1(−2,0)，由题意令x =0，可得y =4，所以B(0,4)所以线段BF 1的中点C(−1,2)， 直线BF 1的斜率为4−00−(−2)=2，所以线段BF 1的中垂线方程为：y −2=−12(x +1)，即x +2y −3=0，因为|AB|=|AF 1|，所以线段BF 1的中垂线过A 点，所以A 为{x +2y −3=02x +y −4=0的交点，解得x =53，y =23，即A(53,23)， 而A 在椭圆上，所以{259a 2+49b 2=1c 2=a 2−b 2c =2解得：a 2=5，b 2=1，所以椭圆的方程为：x 25+y 2=1，故答案为：x 25+y 2=1．57. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右焦点，点F 2关于直线y =x 的对称点Q 在椭圆上，则长轴长为______；若P 是椭圆上的一点，且|PF 1|⋅|PF 2|=43，则S △F 1PF 2=______．【答案】2√2 ， √33【解析】求出点F 2关于直线y =x 的对称点Q ，代入椭圆方程求得a ，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F 1PF 2，代入三角形面积公式得答案． 解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)，知c =√a 2−1．∴F 2(√a 2−1,0)，点F 2关于直线y =x 的对称点Q(0,√a 2−1)，由题意可得：√a 2−1=1，即a =√2，则长轴长为2√2；∴椭圆方程为x 22+y 2=1．则|PF 1|+|PF 2|=2a =2√2，又|PF 1|⋅|PF 2|=43，∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=8−83−483=12．∴sin∠F 1PF 2=√32．则S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=12×43×√32=√33． 故答案为：2√2；√33．58. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：C:x 24+y 2=1的左、右焦点，A ，B 分别为C 上第二、四象限的点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则该矩形的面积是 ，AB 所在直线的方程是 ． 【答案】2；y =−√24x.解：由椭圆的方程可得a =2，b =1，所以c =√3，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a①，|AF 1|2+|AF 2|2=4c 2②，①2−②得|AF 1|⋅|AF 2|=2，∴矩形AF 1BF 2的面积为S =|AF 1|⋅|AF 2|=2．因为矩形AF 1BF 2的外接圆方程为x 2+y 2=c 2=3，与椭圆C 的方程联立得A(−2√63,√33)．又AB 过坐标原点，∴AB 的斜率为k AB =tanα=−√24， ∴AB 所在直线的方程为y =−√24x ．故答案分别为：2，y =−√24x.59. 已知椭圆x 2m 2+y 2=1(m >0)的焦点为F 1，F 2，若在长轴A 1A 2上任取一点M ，过点M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，若使得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0的点M 的概率为√63，则m 的值为______．【答案】2或12 【解析】解：联立椭圆x 2m 2+y 2=1(m >0)，x 2+y 2=c 2，当m >1时，解得x =±m√c 2−1c ，故只要在长轴A 1A 2上任取一点M ，过点M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ， 若使得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0的点M 的概率为√63，可得2m √c 2−1c2m=√63，m=2．当0<m <1时，解得y =±√c 2−m 21−m2，由2√c2−m 21−m 22=√63，解得m =12．故答案为：2或12． 三、解答题（本大题共21小题，共252.0分）60. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，抛物线C 与圆D ：(x −1)2+y 2=4的相交弦长为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)点F 为抛物线C 的焦点，A 、B 为抛物线C 上两点，∠AFB =90°，若△AFB 的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程．。
圆锥曲线综合练习及答案
圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。
（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。
2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。
（132322=+y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。
（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。
（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。
例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得222222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k +++.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离212d k=+,所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=⋅=.由22||4610123k k k +=+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=[来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
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高中数学组卷圆锥曲线练习一．解答题（共50小题）1．（2017秋•仙游县期末）设椭圆+=1（a＞2）的离心率为，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与x轴相交于点G，且=，求k的值；（3）设点A为椭圆的下顶点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k AC•k AD=﹣2．2．（2018•河南模拟）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l 与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．3．（2018•株洲一模）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．4．（2018•河南模拟）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l 与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．（1）求抛物线E的方程；（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．5．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N 两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．6．（2018•黄浦区一模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．7．（2018•玉溪模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．8．（2018•淮南一模）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．9．（2018•杨浦区一模）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．10．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．11．（2018•重庆一模）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C 上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：；（2）若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．12．（2018•榆林一模）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．13．（2018•南充模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=（Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．14．（2018•闵行区一模）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．15．（2018•恩施州一模）设直线l的方程为x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．16．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．17．（2018•东莞市模拟）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．18．（2018•化州市二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．19．（2018•遂宁模拟）设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，右顶点为A，过点F的直线交椭圆于E，H两点，若直线EH垂直于x轴时，有|EH|=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l：x=﹣1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（2018•张掖一模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（2018•浙江模拟）已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．（2018•松江区一模）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．23．（2018•全国I模拟）设O为坐标原点，椭圆C：+=1，斜率为k的动直线l（l不经过O）与C交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．（1）设直线OM的斜率为k1，求k1k的值；（2）若l经过点（0，），求k的取值范围，并求△OPQ的面积的最大值．24．（2018•佛山一模）已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A（﹣2，0）的直线l与C2交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M'，证明：直线M'N恒过一定点．25．（2018•一模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．26．（2018•顺德区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=﹣4y的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2=r2与椭圆C交于A，B，C，D四点，当半径r为多少时，四边形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．27．（2018•武侯区校级模拟）已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．（1）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；（2）直线l：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（﹣1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l，使△ABE得面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．28．（2018•沈阳一模）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．29．（2018•曲靖一模）如图，已知椭圆的左焦点为F（﹣1，0），过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．30．（2018•一模拟）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．31．（2018•茂名一模）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．32．（2018•拉萨一模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若△OAB的顶点A、B在椭圆上，OA所在的直线斜率为k1，OB所在的直线斜率为k2，若，求的最大值．33．（2018•玉溪模拟）已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y﹣12=0的距离最小．34．（2018•沈阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点在椭圆上，且有．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．35．（2018•佛山一模）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．36．（2018•甘肃一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．37．（2018•淮南一模）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．38．（2018•安阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．39．（2018•淮北一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．40．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N 两点，求证：直线MN的斜率为定值．41．（2018•浙江模拟）已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．42．（2018•江苏一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．43．（2018•南充模拟）已知椭圆的左焦点为F，左顶点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．44．（2018•茂名一模）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．45．（2018•化州市二模）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x 轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．46．（2018•徐汇区一模）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（）在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N 分别是弦AB，CD的中点（1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN过定点R（，0）（3）求△MNF2面积的最大值．47．（2018•普陀区一模）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．48．（2018•历城区校级一模）已知抛物线y2=4x，直线l：x+2y﹣2b=0与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．49．（2018•崇明县一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．50．（2018•玉溪模拟）已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=﹣1时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．。