生命表构造理论

保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

第二章生命函数与生命表理论

第八节有关分数年龄的假设
基本原理:插值法基本原理插值法 1）均匀分布假定(线性插值）均匀分布假定线性插值) 线性插值 2）常数死亡力假定几何插）常数死亡力假定(几何插值) 3）Balducci假定调和插值假定(调和插值）假定调和插值)
均匀分布假定(线性插值均匀分布假定线性插值) 线性插值
选择和终极表：选择效果和终极表合在一起选择和终极表：选择效果和终极表合在一起. 表2-3 假定两位老人今年都是65岁例.假定两位老人今年都是岁，甲老人是今年刚刚体检合假定两位老人今年都是格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险年前购买的保险，格购买的保险，乙老人是年前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用表2-3的选择的选择-终极生命表估计两位老人分别活范围内。使用表的选择终极生命表估计两位老人分别活岁的概率。到73岁的概率。岁的概率
剩余寿命的期望和方差
∞ w−x
o
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值均值均值),简记期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值简记 ex
ex = E(T(x)) = ∫ t ⋅ fT (t)dt =
0
o
∫
0
t
pxdt
o2
剩余寿命的方差：剩余寿命的方差：
Var(T(x)) = E(T(x)2 ) − E(T(x))2 = 2 ∫ t ⋅ t pxdt −ex
s(x + t) = (1−t)s(x) +ts(x +1) , 0 < t <1
q[x]+n 编制的生命表称为选择生命表编制的生命表称为选择生命表.
若选择期为r年投保期超过年的同一年龄上的死亡概率若选择期为年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等. 相等

人类寿命生存函数曲线图示例21

Pr(x X z) s(x) s(z)
人类寿命生存函数曲线图示
生存函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1
21
41
61
81
101
年龄
例2.1
假设某人群的生存函数为
S(x) 1 x , 0 x 100 100
求： S(x) 1 x 100 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率；一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率；一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率；一个活到30岁的人活不到60岁的概率。
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记x
x

S ( x) S ( x)

f (x) S ( x)

ln[S(x)]
死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0
xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f (x) S(x) x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px

S(x) S(x S(x)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能
继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
剩余寿命与寿命变量图示
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) S(x t) S(x)

第二章生命表函数与生命表构造

设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t

死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力

死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题

至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
0
x

死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)

第四章生命表

生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。

生命函数

§4.2 基本生命函数
一些基本生命函数 l x ：0岁人中活到x岁的人数 1． 2． d x ：0岁的人在x岁与（x+1）岁之间死亡的人数 px ：x岁的人（简记为(x)）在未来一年之间的生存 3．概率 px P(T 1) 4． qx ：(x)在未来一年之间的死亡概率 qx P(T 1) 5． Lx ：(x)在未来一年之间的平均生存人年数 6． Tx ：(x)的累计生存人年数
第四章生命函数
基本随机变量基本生命函数
生命表理论
一死亡法则
生命表的编制与选择
本章中英文单词对照
死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表

Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables

t
qx Pr(T ( X ) t ) pr ( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
S ( x) S ( x t ) l x l x t t qx S ( x) lx
§4.3 一般整数年龄生命函数
4、
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数： lx
lx l0 s( x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n dx 特别：n=1时，记作 d x
n
d x l x l x n l x n qx

《生命表分析》课件

02
生命表的基本概念
生命期望
总结词
生命期望是描述一个个体预期能够生存的年数，基于其年龄和性别。
详细描述
生命期望是生命表分析中的一个重要指标，它表示一个个体预期能够生存的年数。这个指标基于年龄和性别进行计算，反映了不同年龄和性别的个体在特定条件下的预期寿命。生命期望的计算有助于了解不同人群的生命风险和生存状况，为制定相关政策和措施提供依据。
生命表分析在保险精算中发挥着关键作用，通过对不同年龄、性别、地区等人群的生命数据进行统计分析，评估保险产品的风险和价值，为保险公司制定保险策略、产品设计等提供科学依据。
健康风险评估
总结词
健康风险评估是生命表分析在健康领域的应用，通过分析人口健康数据，评估个人和群体的健康风险。
详细描述
生命表分析在健康风险评估中发挥着重要作用，通过对健康状况、疾病发病率、死亡率等数据的分析，评估个人和群体的健康风险，为制定健康管理策略、预防措施等提供科学依据。同时，生命表分析还可以用于评估新药、新治疗方法的疗效和安全性。
风险函数
总结词
风险函数描述了在给定年龄段内个体死亡或患病的概率。
详细描述
风险函数是生命表分析中用于描述个体在给定年龄段内死亡或患病的概率的函数。这个函数提供了关于健康风险的综合信息，有助于深入了解不同年龄段的健康状况和潜在的健康问题。通过比较不同群体或不同时期的风险函数，可以评估健康状况的变化趋势，
未来人口变化的不确定性问题
总结词
未来人口变化的不确定性是生命表分析面临的另一个挑战。
详细描述
生命表分析通常需要对未来人口变化进行预测和估计，但这些预测和估计可能存在不确定性。未来人口变化受到多种因素的影响，如生育率、死亡率、移民率等，这些因素的变化可能难以准确预测和估计。此外，未来人口变化的趋势也可能受到政策和环境变化的影响，进一步增加了预测的不确定性。因此，在生命表分析中，需要充分考虑未来人口变化的不确定性问题，并采取适当的策略和方法来处理和减少这种不确定性对分析结果的影响。

寿险精算第一章资料

uxt
整值剩余寿命
定义：(x未) 来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
1
S0x t S0x
S0
x S0x S0x
t
精算符号
剩余寿命的生存函数 t p：x
t px Pr T x
t
Sx
t
S0 x S0
t x
1
t
qx
特别：
x p0 S0 x
精算符号
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概
率
px 1 px
qx
：x岁的人将q在x 11年qx内死亡的概率
t u qx
剩余寿命的期望与方差
完全平均余寿：(x)剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数
定义
F0 (t) Pr[T 0 t]
意义：新生儿在 t岁之前死亡的概率。
定义： Fx (t) PrT x t
意义：x在年t 之内死亡的概率。
定义：密度函数 f (x) F(x)
De Moivre模型(1724)