辽宁省沈阳市第二中学2020届高三下学期第五次模拟考试 数学(文科)附答案
辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试数学试题 (2)
一、单选题1. 如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．2.如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系成立的是（）A ．直线直线B ．直线直线C ．直线直线D ．直线平面不能3. 已知集合，则集合的子集个数是（ ）A．B．C．D．4. 若，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（ ）A ．98B ．99C ．100D ．1016. 蹴鞠（如图所示），2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，且球心在上，，，，则该鞠（球）的表面积为（）．A．B．C．D．辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试数学试题 (2)辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试数学试题 (2)二、多选题三、填空题7. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A．B．C．D．8. 在中，，，，则的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断9. 已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）A ．4为函数的一个周期B ．函数的图象关于点对称C．D．10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，则（ ）A ．曲线围成的图形的周长是B．曲线上的任意两点间的距离不超过4C ．曲线围成的图形的面积是D ．若是曲线上任意一点，则的最小值是11. 函数，则在区间内可能（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．有最小值，无最大值D ．有最大值，无最小值12.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A．B．C．D．13. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________．14. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.四、解答题15.的展开式中的系数为______.（用数字作答）16. 已知抛物线：，直线，且点在抛物线上．(1)若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程；(2)若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率．17. 已知函数，．(1)若函数在处取得极值，求函数的单调区间；(2)设，对于时，恒成立，求参数a 的取值范围．18. 为了验证甲､乙两种药物对治疗某种病毒的感染是否有差异，某医学科研单位用两种药物对感染病毒的小白鼠进行药物注射实验．取200只感染病毒的小白鼠，其中100只注射甲药物，另外100只注射乙药物，治疗效果的统计数据如下：康复未康复合计甲药物6040100乙药物7525100合计13565200(1)分别估计小白鼠注射甲､乙两种药物康复的概率；(2)能否有97.5%的把握认为甲､乙两种药物对治疗该种病毒的感染有差异？参考公式：．临界值表：19.已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．(1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．(2)数列的子列长度为m ，且为完全数列，证明：m 的最大值为6；(3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．20. 已知函数在区间单调，其中ω为正整数，|φ|＜，且.(1)求图像的一个对称中心；(2)若，求.21. 有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务，则不同的抽调方案共有 种.。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】 【分析】首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.2．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．5-B ．5-C ．5D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+ 依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题. 3．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx = C ．3y x x =- D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 5．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--===+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |()61f ππ==1110<-=-=,故排除B ,因为2|sin |2()()62f πππ==66>-4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12πB ．3π C ．6π D ．9π 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 7．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939UB ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99UD ．(0,1]【答案】A 【解析】 【分析】根据y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k=0时，解2839ω≤≤， 当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U .故答案为：A. 【点睛】本题考查函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.8．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.9． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2kπ＋45°(k ∈Z)B ．k·360°＋π(k ∈Z)C ．k·360°－315°(k ∈Z)D ．kπ＋(k ∈Z)【答案】C 【解析】【分析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案. 【详解】 与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.故答案为C 【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】 【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3【答案】B 【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.12．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C 5D 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，53c e a ∴==故选C 项. 【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．44．已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x（元）与销售量y（万件）之间的数据如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（万件）11 10 8 6 5已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：y=bx+40，若该集团调整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（）A．7.66万件 B．7.86万件 C．8.06万件 D．7.36万件6．已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．4510．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，） B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是（将你认为正确的序号都写上）．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a= b=女c= d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x0）0.050 0.025 0.010 0.001x0 3.841 5.024 6.635 10.82819．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F 在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2020年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1得到z1在复平面内对应的点的坐标，结合题意求得z2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2+i，∴z1在复平面内对应点的坐标为（2，1），由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z2在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，1），∴z2=﹣2+i，选：B．3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．【解答】解：f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x（元）与销售量y（万件）之间的数据如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（万件）11 10 8 6 5已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：y=bx+40，若该集团调整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（）A．7.66万件 B．7.86万件 C．8.06万件 D．7.36万件【考点】线性回归方程．【分析】根据线性回归方程过样本中心点（，），求出回归直线方程，利用回归方程求出x=10.2时y的值即可．【解答】解：由题意可知，=（9+9.5+10+10.5+11）=10，=×（11+10+8+6+5）=8，所以8=b×10+40，即b=﹣3.2，∴回归直线方程为y=﹣3.2x+40，当x=10.2时，y=﹣3.2×10.2+40=7.36．故选：D．6．已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：由tanα=2=，α为第一象限角，sin2α+cos2α=1，∴，，所以，故选：C．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A 的射影分别是C1、D1、D．故选D．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得，又图象关于y轴对称，结合范围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）在上的最小值．【解答】解：∵由题，又∵图象关于y轴对称，∴依题，∴结合范围|φ|＜，解得．这样，又∵x∈，∴，∴可得：，故选：D．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，） B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f （x）在R上单调递增，从而便得到﹣1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数；∴=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；∴由得，|f（lnx）|＜f（1）；∴﹣f（1）＜f（lnx）＜f（1）；即f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；∴f（x）在R上为增函数；∴﹣1＜lnx＜1；∴；∴原不等式的解集为．故选：C．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2=27cos2α﹣24cosα+13=27（cosα﹣）2+，当cosα=时，2取得最小值，故答案为：．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是①②（将你认为正确的序号都写上）．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用新定义逐一核对三个命题得答案．【解答】解：对于①，满足（ⅰ），且r=0∈S，n为实数∈T，则rn=0∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故①满足；对于②，满足（ⅰ），且r为偶数∈S，n为整数∈T，则rn为偶数∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故②满足；对于③，不妨取实数1，复数i，两者相乘后得复数i，不属于实数集，故③不满足．∴满足S＜T的集合对的序号是①②．故答案为：①②．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；球内接多面体．【分析】画出图形，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，表示出三棱柱的体积为，0＜h＜2．利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高．【解答】解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'O=B'O=C'O=1，，，，此时三棱柱的体积为，其中0＜h＜2．令y=﹣h3+4h（0＜h＜2），则y′=﹣3h2+4，令y′=0，则，当时，y′＞0，函数y增，当时，y′＜0，函数y减．故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．故答案为：．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过令等差数列{a n}的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得a n=11﹣2n；通过令数列{b n}的公比为q，联立b1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）令等差数列{a n}的公差为d，∵S4=4（a3+1），3a3=5a4，∴，解得，则a n=11﹣2n；令数列{b n}的公比为q，∵b1b2=b3，2b1=a5，∴，解得，则；（2）通过（I）知，，于是．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a= b=女c= d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x0）0.050 0.025 0.010 0.001x0 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表可得表中的数据；（Ⅱ）求出χ2值，查表，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得喜欢运动不喜欢运动总计男10 6 16女 6 8 14总计16 14 30（Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：χ2=≈1.1575＜3.841．因此，我们认为喜欢运动与性别无关．（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则P（A）==．19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．利用中位线定理得出四边形MPQN是平行四边形，故MN∥PQ，于是MN∥平面ADFE；（II）延长DA，FE，CB交于一点H，利用平行线等分线段成比例得出MN与DH的比值，得出△AMN与△CDH的面积比，则三棱锥F﹣AMN与三棱锥F﹣CDH的体积比等于其底面积的比．【解答】解：（Ⅰ）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．则MP∥CE，．，∴NQ=2，∴MP NQ，∴四边形MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ，又PQ⊂平面ADFE，MN⊄平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（Ⅱ）延长DA，FE，CB交于一点H，∵，∴BE=，∴，∵，∴PQ∥DH，且．∵MN=PQ，MN∥PQ，∴MN．∴=，∴．∵，=1．∴V F﹣AMN20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x﹣4）+5，与E联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，根据韦达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求得k1k2的值．【解答】解：（I）设点M（x，y），P（x0，y0），则由，得，因为点P在抛物线x2=2y上，所以，x2=4y..（II）：由已知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣4）+5，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，由韦达定理，得，当直线l经过点S即x1=﹣4或x2=﹣4时，当x1=﹣4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，则k1=﹣2，，此时；同理，当点B与点S重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线l不经过点S即x1≠﹣4且x2≠﹣4时，∵，∴，=，=．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数a，问题转化为：当x＞1时恒成立，解出即可；（Ⅱ）求出个零点x1，x2，得到．构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣ax，则，若函数f（x）=lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则1﹣ax≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时恒成立，所以a≥1．（II）证明：根据题意，，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，．两式相减，可得，即，故．那么，．令，其中0＜t＜1，则．构造函数，则．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即．可知，故x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F 在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2020年8月1日第21页（共21页）。
辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试数学试题(1)
一、单选题1. 下列判断正确的是（ ）A ．两圆锥曲线的离心率分别为 ，则“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件.B ．命题“若，则”的否命题为“若，则”.C ．若命题“”为假命题，则命题“”是假命题.D ．命题“"的否定是“”.2. 已知定义域为R 的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则A．B．C．D．3.如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（）A．B．C．D．4. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．5. 人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法的是（）A ．城镇人口数逐次增加B ．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C ．城镇人口比重逐次增加D ．乡村人口数逐次增加错误6. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（ ）辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试数学试题(1)辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试数学试题(1)二、多选题A．B．C．D．7.函数的最小正周期是( )A．B．C．D．8. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）A ．10分钟B ．14分钟C ．15分钟D ．20分钟9. 设函数，则（ ）A．的图象关于直线对称B ．在上单调递减C ．若且时，D ．关于的方程恒有个不同的实根10. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面所在四边形的面积为定值C．随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图（3）所示时，为定值11. 已知圆上两点A 、B 满足，点满足，则不正确的是（ ）A ．当时，B ．当时，过M 点的圆C的最短弦长是C ．线段AB的中点纵坐标最小值是D ．过M 点作圆C 的切线且切线为A ，B ，则的取值范围是12.已知函数满足，函数在上单调，对于，（等号可以取到），则下列结论中正确的有（ ）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C ．不等式的解集为三、填空题四、解答题D ．将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后将其向左平移个单位长度，得到函数的图象13.已知函数的部分图象如图所示，函数的图象过点，且的图象的两条对称轴之间的最短距离为，则______；将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称轴方程为______.14. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =______；15.记为等比数列的前项和.设，，则公比______，______.16.已知抛物线的焦点为，准线为．直线与抛物线相切于点且与轴交于点，点是点关于点的对称点，直线与抛物线交于另一点，与准线交于点．(1)证明：直线直线;(2)设的面积分别为，若，求点的横坐标的取值范围．17.数列的前项和为，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．18. 已知函数，，其中e 为自然对数的底数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，有，求证：对，有；(3)若，且，求实数a 的取值范围．19. 已知函数．(1)若，求函数的单调递增区间；(2)（ⅰ）若是函数的极大值点，记函数的极小值为，求证：；（ⅱ）若在区间上有两个极值点．求证：．（提示：）．20. 设 .(1)证明：在上单调递减；(2)若，证明：.21. 设函数,其中．(1)当时，在时取得极值，求；(2)当时，若在上单调递增，求的取值范围；(3)证明对任意的正整数,不等式都成立．。
2020届辽宁省实验中学高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省实验中学高三下学期学期第下学期五次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合6{|1}2A x Z x =∈≥+，11{|4}42xB x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则A B =（ ） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}- C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}【答案】B【解析】求出集合,A B ，即求A B .【详解】x Z ∈且612x ≥+，026,24,x x x ∴<+≤∴-<≤∴的取值为1,0,1,2,3,4-， {}1,0,1,2,3,4A ∴=-.由11442x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得22111222x-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，22x ∴-≤≤，{}22B x x ∴=-≤≤.{}1,0,1,2A B ∴=-.故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若复数289123...910z i i i i =+++++（i 是虚数单位），则在复平面内，z 的共轭复数z 对应的点在第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】根据虚数单位i 的性质，求出z 的值，进而求出z ，即可求出结论. 【详解】289123...910z i i i i =+++++12345678910i i i i i =+--++--++ 56i =+,56,z i z ∴=-对应点在第四象限.故选：D. 【点睛】本题考查虚数单位指数幂运算、共轭复数及其几何意义，属于基础题. 3．已知a 为正数，则“1a >”是“21log 0a a a-+> ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【解析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】1a >时，210,log 0a a a ->>，∴21log 0a a a-+>，是充分的； 21log 0a a a-+>时，首先有0a >， 又1a =时，21log 0a a a -+=，01a <<时，210,log 0a a a -<<，∴21log 0a a a-+<， ∴21log 0a a a-+>时，一定有1a >，也是必要的， ∴应是充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题基础．4．数学家莱布尼茨()16461716-（发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想.在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作()()210113=，则二进制中的()2101111111111共位转化为十进制的数为（ ） A ．1023 B ．1024C ．2047D ．2048【答案】A【解析】利用二进制数和十进制数之间的转换关系可求得结果. 【详解】由二进制数和十进制数之间的转换关系可得()101292101211111111112222102312-=++++==-共位.故选：A. 【点睛】本题考查进位制的相互转化，考查计算能力，属于基础题.5．已知实数,x y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．7-B ．6-C ．1D ．6【答案】B【解析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由220240x y x y +-≥⎧⎨-+≤⎩得()0,2A ，图可知向上平移直线30x y -=，到点A 的位置时，z 取得最大值，此时0326z =-⨯=-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6．用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（ ）A ．2.03B ．3.05C ．3.14D ．3.24【答案】D【解析】根据几何概型公式，圆内沙粒与正方形内沙粒个数比即为圆面积与正方形面积比，即可求得结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积21S r π=，正方形面积222(2)4S r r ==根据几何概型公式可得2122814100S r S r π==，所以81 3.2425π==. 故选：D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型，熟记概率公式即可，属基础题.7．如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16【答案】A【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥A BCD -，利用三棱锥的体积的求法可得选项. 【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥A BCD -，∴11121223323A DBC DBCV S AB -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.8．如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序框图逐步计算即可. 【详解】 输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题. 9．已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】原式可化为：22()1313()2x y x y xy ++=+≤+，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==时成立．所以选B.10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与y 轴交于点，在y 轴右边到y 轴最近的最高坐标为,212π⎛⎫⎪⎝⎭，则不等式()1f x >的解集是（ ） A ．5,66k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．5,126k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ C ．,64k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈D ．,124k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】D【解析】由题意得sin 2,122A A ππϕωϕ==⋅+=所以πsin ,223πϕϕϕω=<∴==因此12sin(2)1sin(2)332x x ππ+>⇒+> 5222,,636124k x k k k x k k πππππππππ⇒+<+<+∈⇒-+<<+∈Z Z ，选D.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.11．己知函数()()*2,1x nf x x n n N x x -=≠∈++的最小值为n a ，最大值为n b ，若n n n c a b =，则数列{}n c 是（ ）A ．公差不为零的等差数列B ．公比不为1的等比数列C ．常数列D ．以上都不对【答案】C【解析】先根据判别式法求出()f x 的取值范围,进而求得n a 和n b 的关系,再展开算出n c 分析即可. 【详解】 解：设21x n y x x -=++，则()()2100yx y x y n y +-++=≠，该方程必有解，故()()2140y y y n ∆=--+≥，化简整理得()232410y n y ++-≤，所以根据题意得n a ，与n b 是方程()232410y n y ++-=的两根，所以13n n n c a b ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.12．已知函数()4224xxxx f x k k --=+⋅+⋅+，若对于任意的1x 、2x 、[]31,1x ∈-，以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形，则k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】设5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，可得()22f x t kt =+-，设()22h t t kt =+-，由()0h t >对任意的52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得1k >-，进而可求得函数()y h t =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，由题意可得出关于k 的不等式，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】 令12222xxx xt -=+=+，[]1,1x ∈-，则1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令12,22xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，由双勾函数的单调性可知，函数()1g m m m =+在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间(]1,2上单调递增，所以，当1,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()152,2g m m m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2222442xx x x t --=+=++，则2442x x t -+=-，()22f x t kt ∴=+-，构造函数()22h t t kt =+-，其中52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()220h t t kt =+->，可得2k t t>-， 由于函数2y t t =-在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max 1y =-，可得1k >-.二次函数()22h t t kt =+-的对称轴为直线122k t =-<， 则函数()22h t t kt =+-在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()522h h t h ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()5172224k h t k +≤≤+. 由于以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形， 所以，()51722224k k +>+，解得16k >.因此，实数k 的取值范围是1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.二、填空题13．已知向量()1,1a =-，向量()0,1b =，则2a b -=______.【解析】根据模长的坐标运算求解即可.【详解】()()()21,10,21,3a b -=--=-==【点睛】本题主要考查了向量模长的坐标运算,属于基础题.14．若圆:C 22()()2x a y b -+-=与两条直线y x =和y x =-都有公共点，则22a b +的范围是______. 【答案】[0,4]【解析】根据条件求得圆心C 到两直线的距离11d d =≤=≤得关于,a b 的不等式，作出可行域，再结合22a b +的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，圆:C 22()()2x a y b -+-=的圆心坐标(,)C a b ，半径r =因为圆C 与两直线y x =和y x =-都有公共点，可得圆心C 到两直线的距离11d d =≤=≤，即2222a b a b -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，又由22a b +的几何意义可知表示点(,)a b 到原点的距离的平方， 所以22a b +的最大值为224=，最小值为0， 即22a b +的取值范围是[0,4]. 故答案为：[0,4].【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，以及简单的线性规划的应用，其中解答中根据直线与圆的位置关系求得关于,a b 的不等式组，作出不等式组表示的可行域，结合几何意义求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，6ADC BDC π∠=∠=，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______. 【答案】2【解析】由题意画出图形，可知要使A BCD V - 的体积最大，则面ADC ⊥面BDC ，求出A 到平面BCD 的距离，则三棱锥A-BCD 的体积最大值可求． 【详解】因为球的直径4DC =，且6ADC BDC π∠=∠=，所以2AC BC ==，3AD BD ==13A BCD BCD V S h -∆=⨯⨯（其中h 为点A 到底面BCD 的距离），故当h 最大时，A BCD V -的体积最大，即当面ADC ⊥面BDC 时，h 最大且满足4223h =⨯，即3h =112233232A BCD V -=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 16．已知抛物线C ：2y x =上有一动点P ，则动点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差的取值范围为______. 【答案】[0,2) 【解析】当点P 在原点时，距离之差为0，当点P 不在原点时，,,P A B 三点构成三角形，根据三角形的任意两边之差小于第三边，得出答案. 【详解】当点P 在原点时，PA PB =，则点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差为0 当点P 不在原点时，,,P A B 三点构成三角形，则2PA PB AB -<=，或2PB PA AB -<=则动点P 到点(1,0),(1,0)A B -两定点距离之差的取值范围为[0,2)故答案为：[0,2) 【点睛】本题主要考查了求抛物线上一点到定点的距离的范围，属于中档题.三、解答题17．如图所示，圆锥的侧面积是底面积的2倍，线段AB 为圆锥底面O 的直径，在底面内以线段AO 为直径作M ，点P 为M 上异于点,A O 的动点.（1）证明：平面SAP ⊥平面SOP ；（2）已知OS =S APO -的体积最大时，求点B 到平面SAP 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【解析】（1）推导出SO AP ⊥，PO AP ⊥，从而AP ⊥平面SOP ，由此能证明平面SAP ⊥平面SOP ．（2）设圆锥的母线长为l ，底面半径r ，可证当AOP 面积最大时三棱锥S APO -的体积最大，此时MP OA ⊥，作OH SP ⊥于点H ，根据等面积法求出OH ，可得OH ⊥平面SAP ，则OH 即为点O 到平面SAP 的距离，从而计算可得； 【详解】（1）证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，AP ⊂圆锥的底面 ∴SO AP ⊥，又∵AO 为M 的直径，∴PO AP ⊥，因为SO PO O ⋂=，SO ⊂面SOP ，PO ⊂面SOP ， ∴AP ⊥平面SOP ， 因为AP ⊂面SAP ， ∴平面SAP ⊥平面SOP .（2）设圆锥的母线长为l ，底面半径r ，∴圆锥的侧面积为122S rl rl ππ==侧，底面积为2S r π=底，∴依题意22r rl ππ=，∴2l r =.∴AB AS BS ==，∴ABS 为正三角形，∴cot 601,22r OS l r =︒===.在三棱锥S APO -中，∵OS =∴AOP 面积最大时三棱锥S APO -的体积最大，此时MP OA ⊥，∴2AP OP ==.作OH SP ⊥于点H ，∴7OH ==∵平面SAP ⊥平面SOP ，SP 为交线，OH SP ⊥，∴OH ⊥平面SAP ，∴OH 即为点O 到平面SAP 的距离，又∵点O 为AB 中点，∴点B 到平面SAP 的距离为27OH =.【点睛】本题考查面面垂直的证明，点面距的计算，属于中档题；18．已知ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且(2)tan tan a b B b C -= （1）求角C ；（2）若cos cos 2a B b A +=，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）3C π=；（2421. 【解析】（1）根据正弦定理，将已知等式边化为角，并化切为弦，结合两角和正弦公式，求出cos C ，即可得出结论；（2）由已知等式和正弦定理，求出c 边，根据（1）的结论和正弦定理，将2+a b 化为角A 的正弦型函数，结合A 角范围，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得sin sin (2sin sin )sin cos cos B CA B B B C-=， 0,sin 0B B π<<∴>，∴(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=，0,sin 0A A π<<∴>∴1cos ,20C C π=<<，∴3C π=；（2）设ABC 的外接圆半径为R ，∵cos cos 2a B b A +=，∴2(sin cos sin cos )2sin()2sin 2R A B B A R A B R C c +=⋅+=⋅==，22sin 2sin (sin 2sin())sin sin 33c c a b AB A AC C π∴+=+=+- (sin 3cos sin )(2sin 3cos )33A A A A A =++=+ 421sin()A ϕ=+，其中3sin ,cos 77ϕϕ==， 220,33A A ππϕϕϕ<<∴<+<+， 当2A πϕ+=，即21cos sin 7A ϕ==时， 2+a b 取最大值为4213. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理解三角形，条件等式中边角混合关系利用正弦定理统一成角的关系是解题的关键，属于中档题.19．疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务.运营一段时间后，食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度，从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分，满分100分，同学们打分的分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）从成绩在[)50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60,70中的概率； （3）若打分超过60分可视为对送餐服务满意，用样本的统计结果估计总体，请估计全年级有多少同学对送餐服务满意. 【答案】（1）0.005；（2）310；（3）450. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，求出a 的值；（2）先求出[)50,60和[)60,70的人数，然后利用列举法求出所有的可能情况，再利用古典概率公式可得答案；（3）由于样本20人中有18人打分成绩超过60分，所以全年级500人中，约有950045010⨯=人对送餐服务满意. 【详解】（1）∵2236720a a a a a a ++++=，∴20101a ⨯=，∴0.005a =.（2）成绩在[)50,60的人数=20.00510202⨯⨯⨯=人，成绩在[)60,70中的学生人数=30.00510203⨯⨯⨯=人，用a ，b 表示成绩在[)50,60的2名学生，用c ，d ，e 表示成绩在[)60,70的3名学生，从5人中任取2人，具体是ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.共有10种情形.符合条件的有3种（cd ，ce ，de ）， ∴概率310p =. （3）样本20人中有18人打分成绩超过60分，即有910的学生对送餐服务满意.用样本的统计结果估计总体，则全年级500人中，约有950045010⨯=人对送餐服务满意. 【点睛】此题考查频率分布直方图，古典概型的概率，用样本估计总体的情况等知识，属于基础题.20．在平面直角坐标系xOy 中抛物线C 的方程为22y px =，点(2,)Q q 在抛物线C 上，且Q 到抛物线的准线的距离为3.（1）求抛物线C 的方程，并给出其焦点F 的坐标；（2）过定点N 且不经过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线AF 与抛物线C 交于点S ，直线BF 与抛物线C 交于点T .请问直线ST 的斜率是否为定值？若是，求此定值；若不是，请证明你的结论.【答案】（1）24y x =， (1,0)F ；（2）是，【解析】（1）利用抛物线的定义即可求解.（2）设直线l 的方程为(x m y =，将直线与抛物线联立可得240y my -+=，利用韦达定理可得12124,y y m y y +==，设223434(,),(,)44y y S y T y ，由直线AS 过点(1,0)F ，可设方程为1x ny =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得314y y =-，从而求出S 的坐标为21144(,)y y -，点T 的坐标为22244(,)y y -，利用两点求斜率即可求解. 【详解】（1）∵点(2,)Q q 到抛物线的准线的距离为3，∴准线方程为1x =-，∴抛物线C 的方程为24y x =，其焦点坐标为(1,0)F . （2）依题意直线l 不与坐标轴垂直，故可取其方程为(x m y =-， 代入24y x =可得240y my -+=，其判别式为2160m ∆=->，∴m >或0m <，取1122(,),(,)A x y B x y 为l 与C的交点，∴12124,y y m y y +==，∵,S T 都在曲线C 上，∴可设其坐标为223434(,),(,)44y y S y T y .∵直线AS 过点(1,0)F ， ∴可设其方程为1x ny =+， 代入24y x =得2440y ny --=， ∴134y y =-，∴314y y =-， ∴点S 的坐标为21144(,)y y -，同理点T 的坐标为22244(,)y y -， ∴直线ST的斜率12121212222112221244()()444y y y y y y y y k y y y y m y y ----===-=-=-+-定值. 【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查了考生的运算求解能力，属于难题.21．已知函数()()ln 1f x x k x =++， （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意的0x >，不等式()()877xf x k x e -+≥-，恒成立，求k 的范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(,7]-∞. 【解析】（1）先求导得()11x kf x x ++'=+，再分0k ≥和k 0<讨论即可；（2）将不等式转化为0x ∀>，()()ln 1710xk x x x e+--+-≥⎡⎤⎣⎦恒成立，再令函数()()()ln 171x g x k x x x e =+--+-⎡⎤⎣⎦，求导得()()()()21171(),711x x k g x k e u x u x e x x ⎛⎫'=---='=- ⎪+⎝⎭+，()()()00,00,07g g u k ='='=-.此时先讨论7k >时不合题意，再讨论0k ≤和07k <≤时，得0x ∀>，()(0)70u x u k '>'=-≥，()g x '在(0,)+∞单调递增，再得()g x 在(0,)+∞单调递增，最后得0x ∀>，()(0)0g x g >=，即证明.【详解】解：（1）∵()()1111x k kf x x x ---'=+=++，定义域为()1,+-∞ 若0k ≥，则1()01x kf x x ++'=>+对1x ∀>-成立，∴()f x 在区间()1,+-∞单调递增；若k 0<，则()f x 在区间()1,1k ---单调递减， 在区间()1,+k --∞单调递增.（2）原命题可化为0x ∀>，()()ln 1710xk x x x e +--+-≥⎡⎤⎣⎦恒成立.取()()()ln 171xg x k x x x e=+--+-⎡⎤⎣⎦，∴()()()()21171(),711x xk g x k e u x u x e x x ⎛⎫'=---='=- ⎪+⎝⎭+，∴()()()00,00,07g g u k ='='=-.若7k >，即()070g k '=-<，∴存在1>0x 使得1(0,)x x ∀∈，()0u x '<，所以()g x '在1(0,)x 单调递减， 又∵(0)0g '=，所以1(0,),()0x x g x ∀∈'<，∴()g x 在1(0,)x 单调递减， 又∵(0)0g =，∴1(0,),()0x x g x ∀∈<，不合题意，∴7k ≤ 若0k ≤，则2()70(1)xku x e x '=->+对0x ∀>成立，若07k <≤，可知2()7(1)xku x e x '=-+在(0,)+∞单调递增，∴0x ∀>，()(0)70u x u k '>'=-≥.∴7k ≤时，0x ∀>，()0u x '>，∴()g x '在(0,)+∞单调递增， ∴0x ∀>，()(0)0g x g '>'=，∴()g x 在(0,)+∞单调递增， ∴0x ∀>，()(0)0g x g >=. 综上，k 的范围为(,7]-∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查分析与解决问题的能力，是较难题.22．已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ=+，直线1l ：()6πθρ=∈R ，直线2l ：()3πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 交于O ，B 两点，求AOB 的面积．【答案】（1）直线1l 的直角坐标方程为3y x =，2l 的直角坐标方程为y =，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）；（2）【解析】（1）根据直线1l ，2l 的极坐标方程可知直线1l ，2l 过极点，可得直线1l ，2l 的直角坐标方程.先把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再化为参数方程； （2）将直线1l ，2l 的极坐标方程分别与曲线C 的极坐标方程联立，由极径的几何意义求出,OA OB ，再根据三角形的面积公式即可求值. 【详解】（1）依题意，直线1l的直角坐标方程为3y x =，2l的直角坐标方程为y =，由2sin ρθθ=+，得2cos 2sin ρθρθ=+，222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，2220x y y ∴+--=，即(()2214x y -+-=，所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.（2）由62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得2sin 466OA ππ=+=，由32sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得2sin 33OB ππ=+=又6AOB π∠=所以AOB的面积11sin 4226S OA OB AOB π=∠=⨯⨯= 【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题.23．设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c ---⋅⋅≥． 【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集，（2）先根据等量关系化M b c a c a ba b c+++=⋅，再根据基本不等式证不等式.试题解析：（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<.综上，集合55{|}44A x x =-<<.（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=.则1a b c a a -+=≥，同理11,b c b b c c --≥≥，则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥.。
2020届辽宁省沈阳市二中2017级高三下学期五模考试数学(理)试卷参考答案
4 9
,令 t
p1 p2
,以
1 9
t
4 9
,则
P
ht
3t 2
8t 3
当t
4 9
时,
Pmax
16 27
,他们小组在 n 轮游戏中获“优秀小组”次数
满足
~
B n,
p
由 (np)max 16 ,则 n 27 ,所以理论上至少要进行 27 轮游戏.此时
p1
p2
4 3
,
p1 p2
4 9
,
p1
p2
2 3
k2 3
3 k2 6k
1 1
3k 3k
2 2
6k
k2 1 ， 4k
3 k 2 1 3k 2
即直线
l
的方程为
y
k2 1 4k
x
3
6k k
2
k2 3 3k2
，
化简并整理得 y k 2 1 x 1 ，故直线 l 恒过定点 (0， 1) ……12 分
4k 2
2
20.解：（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中 1 次,小亮投中 2 次；②小明投中 2
……12
分
21.(Ⅰ)
f
(x)
m
sin x cos
x
,则
f
( x )
1 m cos x (m cos x)2
,
2 3
是函数
f
x
的极值点,
f
( 2 3
)
0,1
m 2
0,
m
2
,
又
m
2
时,
f
( x )
1 2 cos x (2 cos x)2
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学五模试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，∴2212d c a b ==+， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，2e =． 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础． 2．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交 【答案】D 【解析】 【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D.本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.3．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．23 C ．23-D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】Q 21log 03<，∴22211(log )log log 3033f =-=>；∴221[(log )](log 3)3123f f f ==-=；故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．4．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）A ．3-B ．13- C ．1 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即329n b n =-，因为函数()329f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且5331b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.故选:D.本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 5．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3【答案】B 【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.6．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ） A ．33B 33C ．3D ．32【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求出角A ，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理得：2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==⋅⋅，又()0,A π∈，所以得3A π=，故△ABC 的面积1sin 332S AB AC A =⋅⋅⋅=故选：A 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.7．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上. 【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=， 故4a =， 所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确； 对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠， 设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++=则()()()()1221121212121212121122211111MB MC y x y x y yy y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==， 知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.8．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C 【解析】 【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r rr r r r 进行计算.9．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()212212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 11．()()52122xx --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222xx xx x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222x x x x x =⋅-----展开式中8x的项为()()232332552C 22C 221208xx x x ---=⨯.故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可. 故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省实验中学2020届高三下学期学期第下学期五次模拟考试(最后一模)(文数)终稿
辽宁省实验中学2020届高三下学期学期第下学期五次模拟考试数学文科试卷第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．．．．．．．题目要求的．．．．．。
1．已知集合6{|1}2A x Z x =∈≥+，}4)21(41|{≤≤=x x B ，则=⋂B A （）A．{|12}x x -≤≤B．}2,1,0,1{-C．}2,1,0,1,2{--D．}2,1,0{2.若复数289123...910z i i i i =+++++（i 是虚数单位），则在复平面内，z 的共轭复数z对应的点在第（）象限。
A．一B．二C．三D．四3.已知a 为正数，则“1a >”是“21log 0a a a-+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4.数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制，不过他认为在此之前，中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。
在二进制中，只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数，例如二进制中的数11，转化为十进制的数为3，记作102)3()11(=，则二进制中的位共102)1111111111(转化为十进制的数为（）A．1023B．1024C．2047D．20485.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤--≥-+042033022y x y x y x ，则y x z 3-=的最大值为（）A．-7B．-6C．1D．66.用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（）A．2.03B．3.05C．3.14D．3.247.如图所示是某多面体的三视图，左上为主视图，右上为左视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为1，则该多面体的体积为（）A．23B．12C．13D．168.如图的框图中，若输入3231=x ，则输出的i 的值为（）A．3B．4C．5D．69.已知实数,x y 满足221x xy y -+=，则x y +的最大值为（）A．1B．2C．3D．410.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与y 轴交于点3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高坐标为,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则不等式()1f x >的解集是（）A．5,66k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B．5,126k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C．,64k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈D．,124k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈11.己知函数()()*21x n f x n N x x -=∈++的最小值为n a ，最大值为n b ，若n n n c a b =，则数列{}n c 是（）A．公差不为零的等差数列B．公比不为1的等比数列C．常数列D．以上都不对12.已知函数()4224x x x x f x k k --=+++，若对于任意的123,,[1,1]x x x ∈-，以123(),(),()f x f x f x 为长度的线段都可以围成三角形，则k 的取值范围为（）A．1(,)2+∞B．1(,)3+∞C．1(,)6+∞D．1(,)12+∞第Ⅱ卷(非选择题满分90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
5 0116
6 0143358
7 23768717
8 114529
9 02130
(Ⅰ) 从参加培训的学生中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率； (Ⅱ)从图中考核成绩满足 X ∈[80,89] 的学生中任取 2 人，求至少有一人考核优秀的概率；
行该程序框图，若输入的 x = 2, n = 2 ，依次输入的 a 为 2，2，5，则输出的
s=
．
16. 在四棱锥 P − ABCD 中，平面 ABCD ⊥ 平面 PCD ， 底面 ABCD 为梯形, AB CD ， AD ⊥ DC .
2
（1） AB 平面 PCD ；
P
（2） AD ⊥ 平面 PCD ；
33
93
33
27 3
A.
4
B.
4
C.
2
D.
4
11.已知函数
f
(x)
=
1
x
−
x, x
<
0
，则关于
x
的方程
f
( x)2
−
f
(x)
+
a
=
0
(a∈R)
的实根个数不可能为
ln x , x > 0
．．．
A.2
B.3
C.4
D.5
12．已知函数 f (x) = e x − ax 有两个零点 x1 < x2 ，则下列说法错误的是
A. (−∞,−1) B. (−1,3) C. (−3,+∞) D. (−3,1)
4.已知平面向量 a = (− 1 , 3 ) , b = ( 3 , − 1 ) ，则下列关系正确的是
22
22
A. (a + b) ⊥ b B. (a + b) ⊥ a C. (a + b) ⊥ (a − b) D. (a + b)∥(a − b)
1.双曲线 x2 − y2 = 1 的左焦点的坐标为 22
A. (−2,0)
B. (− 2,0)
C. (−1,0)
D. (−4,0)
2.设角θ 的终边过点（1,2），则 tan(θ − π ) = 4
1
A.
3
B.
C. − 2
D. − 1
3
2
3
3
3.已知命题“ ∃x ∈ R ，使 2x2 &#则实数 a 的取值范围是 2
（3） M 是棱 PA 的中点，棱 BC 上存在一点 F ，使 MF // PC .
D C
正确命题的序号为
．
A
B
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
为迎接 2022 年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考 核. 记 X 表示学生的考核成绩，并规定 X ≥ 85 为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的
(Ⅲ)记 P (a ≤ X ≤ b) 表示学生的考核成绩在区间[a,b]内的概率，根据以往培训数据，规定当
P
X − 85 10
≤ 1 ≥ 0.5 时培训有效.
请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明
理由.
18.（本小题满分 12 分）
已知 ∆ABC 的面积为 3 3 ，且内角 A,B,C 依次成等差数列。 （1）若 sin C = 3sin A ，求边 AC 的长；
A． a > e
B． x1 + x2 > 2
C． x1x2 > 1
D．有极小值点 x0 ，且 x1 + x2 < 2x0
第Ⅱ卷 （90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题~第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
（2）设 D 为 AC 边的中点，求线段 BD 长的最小值。
19. (本题满分 12 分)
3
如 图 ， 在 边 长 为 4 的 菱 形 ABCD 中 ， ∠DAB = 60 ， 点 E, F 分 别 是 边 CD ， CB 的 中 点 ， AC ∩ EF = O ，沿 EF 将 ∆CEF 翻折到 ∆PEF ，连接 PA, PB, PD ，得到如图的五棱锥 P − ABFED ，
1
f (x) = ln x − x +1，则函数 y = f (x) 的大致图象是（ ）
A
B
C
D
10. 已 知 球 O 的 直 径 PQ = 4 ， A,B,C 是 球 O 球 面 上 的 三 点 ， ∆ABC 是 等 边 三 角 形 ， 且
∠APQ = ∠BPQ = ∠CPQ = 30° ,则三棱锥 P—ABC 的体积为
x − y ≤ 0
7．已知
x
,
y
满足条件
x x
+ y−4≤0 y
，则
−1≥ 0
x
的最大值是
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 在等比数列{an} 中，“ a2 > a1 ”是“{an} 为递增数列”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
9.已知函数 y = f (x) 的定义域为{x | x ≠ 0} ，满足 f (x) + f (−x) = 0 ，当 x > 0 时，
5.在 △ ABC 中， a = 7 , c = 3 , ∠A = 60° ，则 △ ABC 的面积为
15 A.
3
2
B. 15 3 4
C. 12 3
D. 6 3
6.函数 f (x) = ln(x +1) − 2 的一个零点所在的区间是 x
A. (0,1)
B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
且 PB = 10 .
（Ⅰ）求证： BD ⊥ PA ； （Ⅱ）求四棱锥 P − BFED 的体积.
20．(本题满分 12 分)
已知椭圆
沈阳二中 2020 年下学期高三模拟考试 6 月 数学（文科）试题
说明：1.测试时间：120 分钟 总分：150 分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
13.复数 z 满足方程1 − i ⋅ z = i ，则 z =____．
14. 设 Sn 为 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 ， a1 = 3, S3 = 18 ， 则 其 通 项 公 式 an = ______ ．
15.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执