误差

第一章 误 差
石家庄经济学院信息工程学院 马丽
malimail@
1
内容提要：
1. 误差的来源与分类 2. 误差的基本概念 3. 函数的误差估计 4. 算法的数值稳定性 5. 减小误差，维持算法稳定的五大原则
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1.1 误差的来源与分类
�
用数值计算方法解决科学技术中的实际问题,
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逆定理
� 定理2: 若x*的相对误差限
ε
* r
≤
1
× 10 −( n −1)
2(a1 + 1)
则x*有n位有效数字
定理说明，有效位数越多，相对误差限越小。
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1.3 数值运算(函数)的误差估计
一元函数f (x)，x为准确值, x *为近似值,由Taylor公式
f
(x) −
f
( x*)
=
f
′(x*)(x − x*) +
有时也用 x=x*± ε*
(1―3)
表示 近似值的精度或准确值的所在范围 。
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� 在实际问题中,绝对误差一般是有量纲的。 � 例如：测得某一物件的长度为5m,其误差限为
0.01m,通常将准确长度s记为 s=5±0.01
即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。
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� 相对误差和相对误差限
4
例 设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属 棒的长度为l0),则
lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为
α=0.001253±10-6 β=0.000068±10-6 于是知,lt-Lt为模型误差,10-6是观测α、β 而产生的误差,因此为观测误差。
5
�
En−1
=
1 − En n
,
n = ⋅⋅⋅,3, 2
(1―25)
从后向前计算,则En中的误差下降为原来的1/n。
所以,若取n足够大,误差逐步减小,其影响愈来愈
小。为了得到出发值,可考虑关系
∫ ∫ En =
1 0
xnex−1dx ≤
1 0
xndx
= 1/(n + 1)
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表 1―2
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例如,在计算机程序中,下面两个语句在语法上均是 正确的。 (1) IfA=0ThenGotoBElseGotoC (2) If｜A｜≤10-12 Then Goto Belse Goto C 如果单元A中的结果是由前面的运算结果得 到的,按准确的结果A=0,而由于误差的影响,实际 上A≠0。因此,按语句(1)原来要求执行B,但却选择 了C,而按语句(2)就不会出问题。
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树立正确的误差观念
� 误差是不可避免的 � 尽量减小误差
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1.2 误差的基本概念
� 绝对误差和绝对误差限：
定义：假设某一量的准确值为x,近似值为x* ,则x*与x 之差为绝对误差(简称误差),记为 e*(x)或e(x*)。
即 e*=x* - x
(1―1)
｜e*(x)｜的大小标志着x的精确度。
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� 从实际工程出发，一直到算出问题结果，其 中每个过程都会产生误差，用计算机解决科 学计算问题所经历的主要过程：
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研究范围
� 由于模型误差和观测误差人为减小的可能 性不大，所以我们仅研究截断误差和舍入 误差，以及误差的传播积累和误差的估计 问题。
� 以下举例说明误差分析的重要性。
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舍入误差常被人忽视，导致荒谬结论 举例： � 传话游戏 � “差之毫厘，失之千里” � 蝴蝶效应
即在x=0附近展成幂级数 ex = 1+ x + 1 x2 + 1 x3 + ⋅⋅⋅ 26
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� 若需舍入的部分恰为末位的半个单位 时，要使末位凑成偶数。
Eg: 0.7135≈0.714 0.7265 ≈0.726 0.73251≈0.733
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有效数字与相对误差限的关系
� 定理1:
若x*有n位有效数字，则其相对误差限为
ε
* r
≤
1 2a1
× 10 −(n−1)
其中a 为 x*的第1个有效数字。
∑ ⎜⎜
k =1⎝ห้องสมุดไป่ตู้
∂f ∂xk
⎞* ⎟⎟ ε ⎠
( xk*
).
例 场地面积：s = ld
ε (s*)
≈
⎛ ⎜
∂s
*
⎞ ⎟
ε (l*) +
⎛ ⎜
∂s
*
⎞ ⎟
ε (d*).
⎝ ∂l ⎠
⎝ ∂d ⎠
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四则运算，设x1, x2为准确值, x1*, x2*为近似值，则误差限：
ε(x1* ± x2*) = ε(x1*) +ε(x2*),
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� 在实际计算中,由于e(x*)与x都不能准确地求得, 因此相对误差er(x*)也不可能准确地得到,于是 也像绝对误差那样,只能估计它的大小范围。即 指定一个适当小的正数εr* ,使
er*
=
e* ( x) x*
≤
ε* x*
= εr*
(1―6)
� 称εr*为近似值x*的相对误差限。
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例1 ：给定 g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)
sin(x + ε ) − sin x = 2 cos( x + ε )sin ε 22
例4 对于充分大的N
N +1 dx
∫N x2 + 1 = arctg(N + 1) − arctgN
= arctg
1
1 + N (N + 1)
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例5 对于绝对值小的x,可化
ex −1 = x + 1 x2 + 1 x3 + ⋅⋅⋅ 26
x1x2=-q=1
则 x2=1/x1
(**)
因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (**)
计算x2便得到
x1=100000.00 x2=0.000010000000 该结果是非常好的。
说明后一种算法有较好的数值稳定性。
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� 例2 计算积分
∫ En =
1 0
xnex−1dx, n = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, 9
ε(x1*x2*) ≈| x1* | ε(x2*)+ | x2* | ε(x1*),
ε
(
x1*
/
x2*
)
≈
|
x1*
|
ε
(x2*)+ | x2*
| x2* |2
|
ε
(x1*)
.
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1.4 算法的数值稳定性
� 算法稳定的若干原则 例1 一元二次方程 x2+2px-q=0 的两个根分别为
x1 = − p + p2 + q x2 = − p − p2 + q
x* − x
x
,
x
≠
0
(1―4)
称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知 道的,因此在实际问题中,常取
er * ( x)
=
e* ( x) x*
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� 由式(1―4)可知,相对误差可以由绝对误差求出;反 之,绝对误差也可由相对误差求出。 其关系是e*(x)=xer* (x) (1―5)
� 在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对 误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中 相对误差比绝对误差显得更为重要。
绝对误差并不足以表示近似值的好坏。 例如：设
x1=100±1 x2=1000±1 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝 对误差限相同,不过100的误差为1与1000的误差 为1比较,后者应比前者精确。
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� 定义： 我们把绝对误差与准确值之比
er* ( x)
=
e* ( x) x
=
=1-2E1-2!ε E3=1-3(1-2E1-2!ε)
=1-3(1-2E1)+3!ε E4=1-4［1-3(1-2E1)+3!ε］
=1-4［1-3(1-2E1)］-4! …
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这样,计算E9时所产生的误差约为 9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601
如果采用新的算法,把上述递推关系改写成
必须首先建立数学模型。而数学模型又只能在感
性认识的基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的
情况下获得,故只能近似地描述所给的实际问题,
其与实际问题之间有一定的差异,从而出现误差。
这种误差称之为“模型误差”。
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� 在数学模型中,常常包含了若干参变量,如 比重、加速度、阻力系数等,这些量一般是通 过观测得来的,而观测的结果不可能绝对准确, 因而就产生了误差。这种误差通常称为“观测 误差”。
在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的
前几项代替无穷级数,即抛弃了无穷级数的后
段。这样得到的误差称为“截断误差”。
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� 由于计算机在计算过程中并非是精确运 算，它也是只对有限位数进行运算，对于超过 位数的数字便自动施行四舍五入，这样在计算 过程中产生的误差，被称为“舍入误差”。
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误差分类
� 模型误差： � 观测误差： � 截断误差： � 舍入误差：
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甲、乙都用一本数学手册,表的每一个数 都准确到小数后第四位,答案为什么不一致?谁 的答案较正确呢?下面我们来分析甲、乙算题 时各自的相对误差:记
t1=(1-A)107,其中A=cosx,
t2=2×107B2,其中B=sin(x/2),
三角函数表给出了四位数字,它准确到小
数后第三位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,