信道习题讲解
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第3章 信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。
i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。
第三章 信道与信道容量 习题解答
，
，求
，
，
和
；
（2） 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
解：
（1）先写出
：
根据公式
计算联合概率：
信宿端符号分布概率：
根据公式
计算：
3
求各熵： 信源熵：
比特/消息
信宿熵：
比特/消息
可疑度：
平均互信息量： 噪声熵： （2）二元对称离散信道的信道容量：
比特/消息 比特/消息
比特/秒
信源等概分布时（
解：设下标 1为原状况，下标 2为改变后状况。由
可得：
，
倍
如果功率节省一半则
倍 ，为 了 使 功 率 节 省 一 半 又 不 损 失 信 息 量 I，根 据
，可以： （1） 加大信道带宽 W，用带宽换取信噪比
，
，
7
缺点是对设备要求高。 （2） 加大传输时间 T，用传输时间换取信噪比，同理可得：
缺点是传输速度降低了。
噪声熵：
（5）平均互信息量：
2．有一个生产 A、B、C、D四种消息的信源其出现的概率相等，通过某一通信系统传输时，B和 C无误，A 以 1/4概率传为 A，以 1/4概率误传为 B、C、D，而 D以 1/2概率正确传输，以 1/2概率误传为 C，
（1）试求其可疑度？（2）收到的信号中哪一个最可靠？（3）散布度为多少？ 解：（1）
，
将各数据代入： 解得：
如果
则
将各数据代入： 解得：
14.在理想系统中，若信道带宽与消息带宽的比为 10，当接收机输入端功率信噪比分别为 0.1和 10时，试
比较输出端功率信噪比的改善程度，并说明
与
之间是否存在阀值效应。
【精品】第三章 信道容量习题答案
资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除17 / 233。
1设信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.06.0)(21x x X P X 通过一干扰信道，接收符号为Y=｛y1,y2},信道转移矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡43416165，求： （1)信源X 中事件x 1和事件x 2分别包含的自信息量；（2)收到消息y j (j=1,2)后,获得的关于x i (i=1,2)的信息量;(3）信源X 和信宿Y 的信息熵;（4）信道疑义度H （X/Y ）和噪声熵H(Y/X ）；（5)接收到信息Y 后获得的平均互信息量.解：1)bit x p x I bitx p x I 322.14.0log )(log )( 737.06.0log )(log )(22222121=-=-==-=-=2)资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除18 / 23bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I bit y p x y p y x I x y p x p x y p x p y p x y p x p x y p x p y p 907.04.04/3log )()/(log );( 263.16.04/1log )()/(log );( 263.14.06/1log )()/(log );( 474.06.06/5log )()/(log );(4.0434.0616.0)/()()/()()(6.0414.0656.0)/()()/()()(222222221212122212221211121122212122121111===-===-=======⨯+⨯=+==⨯+⨯=+=3)symbolbit y p y p Y H symbolbit x p x p X H j j j ii i / 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(/ 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(22=+-=-==+-=-=∑∑4)symbolbit Y H X Y H X H Y X H Y X H Y H X Y H X H symbolbit x y p x y p x p X Y H i ji j i j i / 715.0971.0715.0971.0 )()/()()/()/()()/()(/ 715.0 10log )43log 434.041log 414.061log 616.065log 656.0( )/(log )/()()/(2=-+=-+=∴+=+=⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-=∑∑资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除18 / 235）symbol bit Y X H X H Y X I / 256.0715.0971.0)/()();(=-=-=3。
第3章 信道模型和信道容量 习题课(2)
3、解： （1）已知二元对称信道的传递矩阵，又已知输入的
3 1 概率分布 P (0) , P (1) , 就可以计算得出 Y 的概率 4 4
分布如下：
P ( y 0) P ( x ) P ( y 0 | x )
x
P( x 0) P( y 0 | x 0) P( x 1) P( y 0 | x 1)
0
1
0
1
1
1
(a)
2
解
( a ) 图，由信道线图可得转移概率矩阵如下：
1
1
该矩阵为行列排列阵，信道为准对称信道，可以把按列分 成两个子矩阵如下：
1
1
PS 10 log10 1 20 PN
得到
PS 1 100 PN
信道传送的最大信息速率
PS Ct W log(1 ) 3 103 log 2 100 19.93 103 bit/s PN
（1）
信道不变， Ct 仍应为 19.93 10 （比特/秒） ，而
21s?121lognkkkskmmcshppprr??????????????????????11222loglog1222211loglog12hh????????????????????????????????????设在平均功率受限高斯可加波形信道中信道带宽为3khz又设信号功率噪声功率噪声功率20db
•设在平均功率受限高斯可加波形信道 中，信道带宽为3kHz，又设（信号功 率+噪声功率）/噪声功率=20 dB。
（1）试计算该信道传送的最大信息率 （单位时间）19.93*103(bit/s)。 （2）若功率信噪比降为5dB，要达到 相同的最大信息传输率，信道带宽应 是多少(12KHz)。
信道容量课后习题
p( x1 y1 ) p( x1 ) p ( y1 / x1 ) 0.7 0.8 0.56 p( x1 y 2 ) p ( x1 ) p ( y 2 / x1 ) 0.7 0.2 0.14 p ( y1 ) p( x1 y1 ) p( x2 y1 ) p ( x2 y1 ) p( y1 ) p ( x1 y1 ) 0.64 0.56 0.08 p ( y 2 ) p ( x1 y 2 ) p ( x2 y 2 ) p ( x2 y 2 ) p( y 2 ) p ( x1 y 2 ) 0.36 0.14 0.22
3.4
若X, Y, Z是三个随机变量，试证明 (1)I(X;YZ) = I(X;Y) + I(X;Z/Y) = I(X;Z) + I(X;Y/Z)； (2)I(X;Y/Z) = I(Y;X/Z) = H(X/Z) – H(X/YZ)； (3)I(X;Y/Z) ≥0，当且仅当(X, Y, Z)是马氏链时等式成立。 证明: (1)I(X;YZ) = H(X) – H(X/YZ) = H(X) – H(X/Ｙ) ＋ H(X/Ｙ)－ H(X/YZ) = I(X;Y) + I(X;Z/Y) = I(X;Z) + I(X;Y/Z)； (2)可直接证明。
所以等式成立的条件是X, Y, Z是马氏链
3.5
若三个随机变量，有如下关系：Z = X + Y， 其中X和Y相互独立，试证明： (1) I(X;Z) = H(Z) - H(Y)； (2) I(XY;Z) = H(Z)； (3) I(X;YZ) = H(X)； (4) I(Y;Z/X) = H(Y)； (5) I(X;Y/Z) = H(X/Z) = H(Y/Z)。
(仅供参考)第四章-信道-习题解答
+
S) N
= 5 ×108 ≈ 50MHz 3.32 lg1001
= 4.48 ×104 b / s
由于信道容量 C ≥ Rb ，选取 C = Rb ，
根据香农公式
C
=
B
log
2
1
+
S N
得
B=
C
= 4.48 ×104 ≈ 6.73 ×103 Hz
log2 (1 +
S N
)
log2 101
• 4.14已知彩色电视图像由5 ×105 个像素组成， 设每个像素有64种彩色度，每种彩色度有16
个亮度等级。如果所有彩色度和亮度等级的
组合机会均等，并统计独立。 （1）试计算每秒传送100个画面所需的容量； （2）如果接收机信噪比为30dB，为了传送彩
色图像所需信道带宽为多少？（注：log2 x = 3.32lg x ） • 解: （1）信息量/像素= log2 (64 ×16) = 10bit
∑ H (x) =
12 i =1
p(xi ) log2
1 p(xi )
= log2 12 = 3.58bit / 符号
所以，一张图片的平均信息量为
I = 2.25 ×106 × 3.58 = 8.06 ×106 bit 图片
那么， 传送一张图片的平均信息速率为
Rb
=I T
=
8.06 ×106 3× 60
第四章 信道习题解答
• 4.13某一待传输的图片约含 2.25×106 个像元。 为了很好的重现图片，需要12个亮度电平。
假设所有这些亮度电平等概率出现，试计
算用3min 传送一张图片时所需的信道带宽
信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102
第3章 信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。
i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{，}注意单位3-4 设BSC 信道的转移概率矩阵为112211Q εεεε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1）写出信息熵()H Y 和条件熵(|)H Y X 的关于1()H ε和2()H ε表达式，其中()log (1)log(1)H εεεεε=----。
通信原理第二章(信道)习题及其答案
第二章（信道）习题及其答案【题2－1】设一恒参信道的幅频特性和相频特性分别为0()()d H K t ωϕωω⎧=⎨=-⎩其中，0,d K t 都是常数。
试确定信号()s t 通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论之。
【答案2－1】 恒参信道的传输函数为：()0()()d j t j H H e K e ωϕωωω-==，根据傅立叶变换可得冲激响应为：0()()d h t K t t σ=-。
根据0()()()i V t V t h t =*可得出输出信号的时域表达式：000()()()()()()d d s t s t h t s t K t t K s t t δ=*=*-=-讨论：题中条件满足理想信道（信号通过无畸变）的条件：()d d H ωωφωωτττ⎧=⎨⎩常数（）＝－或＝ 所以信号在传输过程中不会失真。
【题2－2】设某恒参信道的幅频特性为[]0()1cos d j t H T e ωω-=+，其中d t 为常数。
试确定信号()s t 通过该信道后的输出表达式并讨论之。
【答案2－2】 该恒参信道的传输函数为()0()()(1cos )d j t j H H e T e ωϕωωωω-==+，根据傅立叶变换可得冲激响应为：0011()()()()22d d d h t t t t t T t t T δδδ=-+--+-+根据0()()()i V t V t h t =⊗可得出输出信号的时域表达式：0000011()()()()()()()2211 ()()()22d d d d d d s t s t h t s t t t t t T t t T s t t s t t T s t t T δδδ⎡⎤=⊗=⊗-+--+-+⎢⎥⎣⎦=-+--+-+讨论：和理想信道的传输特性相比较可知，该恒参信道的幅频特性0()(1cos )H T ωω=+不为常数，所以输出信号存在幅频畸变。
其相频特性()d t ϕωω=-是频率ω的线性函数，所以输出信号不存在相频畸变。
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1信号分别通过图所示的两个电路，试讨论输出信号有没有群迟延畸变？
2设某恒参信道的传递函数d t j e k H ωω−=0)(，0K 和d t 都是常数。
试确定信号s(t)通过该信
道后的输出信号的时域表达式，并讨论信号有无失真？
3某恒参信道的传输函数为d t j e T H ωωω−+=)cos 1()(0，其中，和为常数，试确定信号通过后的输出信号表示式，并讨论有无失真。
4假设某随参信道的二径时延差τ为1ms ，试问在该信道哪些频率上传输衰耗最大？选用哪
些频率传输信号最有利（即增益最大，衰耗最小）？
5已知高斯信道的带宽为4kHz ，信号与噪声的功率比为63，试确定这种理想通信系统的极
限传输速率。
6已知有线电话信道的传输带宽为3.4KHz ：
（1）试求信道输出信噪比为30dB 时的信道容量；
（2）若要求在该信道中传输33.6kb/s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比为多少？
7具有6.5MHz 带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5MHz ，
试求其信道容量。
8某待传输图片有6
1025.2×个像素，每个像素有12个亮度电平，各电平独立地以等概率
出现；试计算用3分钟传送该图片所需的信道带宽（设要求接收图像信噪比达到30dB ）。
9计算机终端通过电话信道传输数据，电话信道带宽为3.2kHz ，信道信噪比为30dB,终端采
用N=256进制，且各符号相互独立等概出现，求：信道容量？无误码传输的最高符号速率？
10假设在一个信道中，采用二进制传输数据，码元传输速率为2000B ，信道带宽为4000Hz ，
设信道输出信噪比为S/N≥31，试分析该系统能否实现数据传输（估计系统潜力）？
11已知某信道无差错传输的最大信息速率为max b R ，信道的带宽为2/max b R B =，设信道中
的噪声为高斯噪声，单边功率谱密度为0n ，试求此时系统中信号的平均功率。
12已知电话信道的带宽为3.4kHz ，试求：
（1）接收端信噪比为30db 时的信道容量；
（2）若要求信道能传输4800b/s 的数据，则接收端要求的最小信噪比为多少？
13黑白电视图像每幅含有5103×个像素，每个像素有16个等概率出现的亮度等级。
要求每
秒钟传送30帧图像。
若信号输出S/N=30db ，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小
带宽。
14设某恒参信道为如图示意的线性二端网络。
试求它的传输函数)(ωH ，并说明信号通过该信道时会产生哪些失真。
对于信号传输而言，我们追求的是信号通过信道时不产生失真或者失真小到不易察觉的程度。
由《信号与系统》课程可知，网络的传输特性通常可用幅度-频率特性和相位-频率特性来表征：
要使任意一个信号通过线性网络不产生波形失真，网络的传输特性应该具备(1）网络的是一个不随频率变化的常数，如图2-5（a）所示；
（2）网络的应与频率成直线关系，如图2-5（b）所示。
其中为传输时延常数。
网络的相位-频率特性还经常采用来衡量。
所谓群迟延-频率特性就是相
位-频率特性对频率的导数，即：
可以看出，上述相位-频率理想条件，等同于要求群迟延-频率特性应是一条水平直线，如图2-5(c)所示。
一般情况下，恒参信道并不是理想网络，其参数随时间不变化或变化特别缓慢。
它对信号的主要影响可用幅度-频率畸变和相位-频率畸变（群迟延-频率特性）来衡量。
信道习题讲解
1信号分别通过图所示的两个电路，试讨论输出信号有没有群迟延畸变？
2设某恒参信道的传递函数d t j e
k H ωω−=0)(，和都是常数。
试确定信号通过该信道后的输出信号的时域表达式，并讨论信号有无失真？
3某恒参信道的传输函数为d t j e
T H ωωω−+=)cos 1()(0，其中，和为常数，试确定信号通过后的输出信号表示式，
并讨论有无失真。
4假设某随参信道的二径时延差τ为1ms ，试问在该信道哪些频率上传输衰耗最大？选用哪些频率传输信号最有利（即增益最大，衰耗最小）？
5已知高斯信道的带宽为4kHz ，信号与噪声的功率比为63，试确定这种理想通信系统的极限传输速率。
6已知有线电话信道的传输带宽为3.4KHz ：
（1）试求信道输出信噪比为30dB 时的信道容量；
（2）若要求在该信道中传输33.6kb/s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比为多少？
7具有6.5MHz 带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5MHz ，试求其信道容量。
8某待传输图片有6
1025.2×个像素，每个像素有12个亮度电平，各电平独立地以等概率
出现；试计算用3分钟传送该图片所需的信道带宽（设要求接收图像信噪比达到30dB ）。
9计算机终端通过电话信道传输数据，电话信道带宽为3.2kHz ，信道信噪比为30dB,终端采
用N=256进制，且各符号相互独立等概出现，求：信道容量？无误码传输的最高符号速率？
10假设在一个信道中，采用二进制传输数据，码元传输速率为2000B ，信道带宽为4000Hz ，
设信道输出信噪比为S/N≥31，试分析该系统能否实现数据传输（估计系统潜力）？
11已知某信道无差错传输的最大信息速率为max b R ，信道的带宽为2/max b R B =，设信道中的噪声为高斯噪声，单边功率谱密度为0n ，试求此时系统中信号的平均功率。
12已知电话信道的带宽为3.4kHz ，试求：
（3）接收端信噪比为30db 时的信道容量；
（4）若要求信道能传输4800b/s 的数据，则接收端要求的最小信噪比为多少？
13黑白电视图像每幅含有5
103×个像素，每个像素有16个等概率出现的亮度等级。
要求每秒钟传送30帧图像。
若信号输出S/N=30db ，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小带宽。
14设某恒参信道为如图示意的线性二端网络。
试求它的传输函数)(ωH ，并说明信号通过该信道时会产生哪些失真。