ppl-空间、wppl-空间被完备映射逆象保持
关于hilbert空间的算子空间中几种拓扑的注记
关于hilbert空间的算子空间中几种拓扑
的注记
Hilbert空间是定义在实数空间R上的一种几何空间，也
称作完备Hilbert空间，它是一种无穷维度的内积空间，拥有
完全内积核。
Hilbert空间是一种线性空间，它的元素可以被
看作是实数上的向量，可以用线性代数进行计算。
Hilbert空
间的算子空间也是一个重要的概念，它的元素可以被看作是Hilbert空间中的函数，它们可以用来定义Hilbert空间上的变换。
Hilbert空间的算子空间有几种不同的拓扑，其中最重要
的是有界拓扑、强拓扑和弱拓扑。
有界拓扑是最常见的拓扑，它指的是算子空间中的所有算子都是有界的，即它们的范数是有限的。
强拓扑是另一种拓扑，它指的是算子空间中的所有算子都是强收敛的，即它们的范数会产生极限。
弱拓扑是最弱的拓扑，它指的是算子空间中的所有算子都是弱收敛的，即它们的范数会产生一个极限，但可能不能达到它。
在Hilbert空间中，有界拓扑是最常见的，它更容易理解，也更容易操作。
但在某些情况下，强拓扑和弱拓扑可能更加有用，因为它们可以更好地描述算子空间中的一些有趣的性质。
Hilbert空间的算子空间的拓扑是一个重要的概念，它可
以帮助我们更好地理解Hilbert空间及其特性，并且可以为我
们提供更多精确的计算方法。
它可以帮助我们更好地应用线性
代数来分析Hilbert空间的一些数学表达式，从而更好地探索空间中的几何结构。
泛函分析搜索目录
南昌大学泛函分析下册搜索目录第六章（3-63）§11.1距离空间的定义及例距离的定义，以及满足的三个条件P3距离空间的定义，以及满足的三个条件P4例1 n维欧式空间R n，元素为n维实向量（），按照距离（1）（1′）是一个距离空间P4-5，由例1得在一个集合中定义距离的方式不是唯一的柯西不等式P5C n，元素为n维复向量（），按照距离（1）是一个距离空间P6例2 空间C[a,b]，元素为所有实（或复）连续函数，按照距离（3）是一个距离空间P6-7例3 L p（F）（1≤p＜无穷，且为可测集），元素为p幂可积函数，按照（4）是一个距离空间P7例4 空间L无穷（F），元素为本性有界的可测函数，按照距离（5）是一个距离空间P7-8例5 空间l p（1≤p＜无穷），元素为实（或复）数列，按照（9）是一个距离空间P8-10例6 空间l无穷，元素为一切有界的实（或复）数列，按照（10）是一个距离空间P111.2距离空间中的收敛及其性质定义1.2：点列{x n}收敛于x0，称x0为{x n}的极限P11定理1.1 设{x n}是距离空间X中的收敛点列，则下列性质成立：①{x n}的极限唯一；②对任意的y0∈X，数列{ρ（x n，y0）}有界。
P11定理1.2设{x n}是距离空间X中的收敛点列，且收敛，则{x n}的任一子列{x nk}也收敛，且收敛于同一极限。
反之，若{x n}的任一子列收敛，则{x n}本身也收敛P12 R n收敛的充分必要条件是P12C[a,b]收敛的充分必要条件是P12-13对于任何一个非空集合，我们都可以定义距离；定义距离的方式不唯一；如果一个非空集合中定义了两个或两个以上的距离，那么由它们本身导出的收敛可以等价也可以不等价。
当不等价时，便得到本质上不同的两个或两个以上的距离空间。
P14§22.1几种特殊的点集定义2.1 开球、闭球、球形领域、领域的概念P15定义2.2 内点、内部、开集（空集规定为开集）的概念。
无穷维空间的完备性与泛函分析的关系研究
无穷维空间的完备性与泛函分析的关系研究泛函分析是数学中研究函数空间和映射的分析学科，它的核心概念之一就是完备性。
完备性是指一个空间中的序列或者极限存在，且在该空间内收敛。
而无穷维空间的完备性则是泛函分析中一个重要的研究方向。
本文将探讨无穷维空间的完备性与泛函分析的关系。
一、无穷维空间的完备性的定义在泛函分析中，我们常常研究的是函数空间，这些函数空间通常具有无穷维的性质。
在有限维空间中，我们可以通过欧几里得范数来度量向量的长度，但在无穷维空间中，这样的度量方式是行不通的。
因此，我们需要引入一种新的度量方式，即范数。
范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数，满足一定的性质。
在无穷维空间中，我们可以定义各种不同的范数，比如L^p范数、无穷范数等。
而一个无穷维空间是完备的，就是指这个空间中的柯西序列在该空间中有极限。
二、无穷维空间的完备性与泛函分析的关系完备性是泛函分析中一个非常重要的性质，它保证了我们可以在无穷维空间中进行各种运算和推导。
如果一个空间不完备，那么我们将无法确保在该空间中的序列和极限存在。
在泛函分析中，我们经常使用完备性来证明定理和推导结论。
比如，我们可以利用完备性来证明闭图像定理、开映射定理等重要的泛函分析定理。
这些定理在实际应用中具有重要的意义，而它们的证明往往依赖于无穷维空间的完备性。
此外，无穷维空间的完备性还与泛函分析中的收敛性密切相关。
在无穷维空间中，我们经常研究序列的收敛性，即序列是否能够在该空间中收敛到某个极限。
而无穷维空间的完备性保证了这种收敛性的存在性，使得我们可以在泛函分析中进行各种收敛性的推导和应用。
三、无穷维空间的完备性的应用无穷维空间的完备性在实际应用中有着广泛的应用。
比如，在信号处理领域中，我们常常需要对信号进行采样和重构。
而无穷维空间的完备性可以保证我们可以通过采样得到的有限维信号来重构原始信号，从而实现信号的恢复和处理。
此外，在优化问题中，无穷维空间的完备性也起到了重要的作用。
Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性
Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性n R 表示实n 维Euclid 空间，设Ω是n R 中的有界开集，边界∂Ω适当光滑。
空间()Ω2L 上的内积记为(,)u v uvdxΩ=⎰()2,u v L ∈Ω，范数记为122||||()u u dx Ω=⎰；空间()10H Ω内积记为,u v uvdx u vdx ΩΩ<>=+∇⋅∇⎰⎰()10,u v H ∈Ω，范数记为11222||||(||)H u u dx u dx ΩΩ=+∇⎰⎰；定义5.1 22222212nx ux u x u u ∂∂++∂∂+∂∂=∆ , 称∆为Laplace 算子.定义5.2 如果存在实数λ,和非零函数()()Ω⋂Ω∈12C C u ，使得⎩⎨⎧Ω∂=Ω=∆-上在中在,0,u u u λ ，（5.1）则称λ为算子∆-（或问题（5.1））的特征值,称u 为对应于特征值λ的特征函数.例如),,0(l =Ω⎩⎨⎧==∈=''-.0)()0(),0(,l y y l x y y λ ，(5.2) x l n x y x y l n n n ππλλsin )()(,2==⎪⎭⎫⎝⎛==就是（5.2）的特征值和对应于特征值n λ的特征函数.且有<<<<3210λλλ, +∞=∞→n n λlim ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin在),0(2l L 中正交,任意函数],,0[)(2l L x f ∈)(x f 在],0[2l L 中可用⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin展开成Fourier 级数.1()~sin k k k f x a x l π∞=∑, （未必相等）⎰=l k x l k x f l a 0sin )(2π,令1()sin nnk k k S x a x l π==∑，则有())(,0212∞→→-=-⎰Ωn dxf S f S n n .系数的记法k k l k la llk a dx x l k l k a xdx l k x f 2sinsin sin sin )(200===⎰⎰ππππ. 定义 5.3对实数λ,如果存在函数()0)(,)(1≠Ω∈x u H x u ,使得(),,1Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩH dx u dx u ϕϕλϕ（5.3） 则称为λ为算子∆-的（广义）特征值,称u 为对应于特征值λ的广义特征函数. 显然由定义5.2⇒定义5.3,反之,在一定条件下,定义5.3⇒定义5.2.5.2 特征值的存在性 若u ,λ是（5.3）的特征值与特征函数,则有⎰⎰ΩΩ=∇dx u dx u 22λ,2222uu dxu dxu ∇=∇=⎰⎰ΩΩλ,于是我们引入泛函()0)(,)(,)(122≠Ω∈∇=x u H x u uu u J .由Friedrichs 不等式u d u ∇≤2,2224ud u∇≤,()0,,04110222≠Ω∈∀>≥∇u H u duu . 此式说明泛函)(u J 有正的下界,因此)(u J 有下确界.如果定义()()212211010inf infvuu v H v u H u ∇=∇==Ω∈≠Ω∈λ ,（5.4）则.04121>≥dλ今证明1λ是算子)(∆-的最小特征值.由下确界()21110inf uu H u ∇==Ω∈λ的定义,对任意正整数k,存在(),1,10=Ω∈k k u H u 满足,112ku k+≤∇λ（12λ≥∇ku ）于是得{}k u 在()Ω10H 中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在{}k u 的子序列{}ik u 和函数()Ω∈1H u ,使得u u i k →（在()Ω2L 中）,uu i k ==1lim ，u u i k ∇→∇在()Ω2L 中弱收敛,22lim ii k k u u∇≤∇∞→再由,112ik k u i+≤∇λ得12λ≤∇u,又12λ≥∇u,故1,12==∇u uλ,即存在()Ω∈1H u ,1=u ,使得()()2122121010inf infvuu uv H v u H u ∇=∇==∇=Ω∈≠Ω∈λ（条件极值）下面证明u ,1λ就特征值与特征函数.())(inf )(011v J u J v H v ≠Ω∈==λ,,)(22vv v J ∇=对任意()Ω∈10H v 根据上式得出)(inf )(tv u J u J Rt +=∈即)(tv u J +在0=t 处达到最小值.由此知0)(0=∂+∂=t ttv u J22)()(tvu tv u tv u J ++∇=+,),(2),(2222222vt v u t u v t v u t u ++∇+∇∇+∇=()()()(),)),(2(2),(2),(2),(22),(2)(222222222222v t v u t uv t v u vt v u t uvt v u t u v t v u ttv u J +++∇+∇∇+∇-++∇+∇∇=∂+∂得0),(2),(2422=∇-∇∇uv u u uv u ,0),(),(22=∇-∇∇v u u uv u()Ω∈∀=∇=∇∇1122),,(),(),(H v v u v u uu v u λ, 即()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ11,H v dx uv dx v u λ 因此,1λ是算子∆-的特征值,u 为对应于特征值λ的特征函数.再证1λ是最小的特征值,设λ是∆-的任意特征值,即存在()0,1≠Ω∈w H w , 使得()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx wv dx v w λ 在此式中,取wv =,得出22wdx w λ=∇⎰Ω,()1220221infλλ=∇≥∇=≠Ω∈vv ww v H v .这就证明1λ是∆-的最小特征值.5.3算子∆-的所有特征值我们可以采用下列方法依次求出算子∆-的所有特征值.())(inf 0),(02110v J u v v H v =≠Ω∈=λ,显然210λλ≤<,可以证明,存在()1,2102=Ω∈u H u ,0),(12=u u , 使得())(inf )(0),(022110v J u J u v v H v =≠Ω∈==λ,同上面可证,22,u λ满足()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1222,H v dx v u dx v u λ 即2λ是特征值,2u 为对应于特征值2λ的特征函数.假设我们已经得出算子∆-的1-m 个特征值,121,,,-m λλλ (1≥m ),且121-≤≤≤m λλλ , （5.5）对应于121,,,-m λλλ 的特征函数为121,,,-m u u u , （5.6）且()1,,2,1,1-==m k u k .函数组（5.6）的所有线性组合成为()Ω2L 的一个线性子空间,叫做组（5.6）在()Ω2L 中生成的子空间,记为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∈==∑-=--1112111,,2,1,|,,,m i i i i m m m i R c u c u u u span V以⊥-1m V表示1-m V 在()Ω2L 中的正交补空间,即(){}121,0),(|-⊥-∈∀=Ω∈=m m V v L v V ϕϕ.根据泛函241)(d u J ≥有下界性,我们将证明())(inf 0110v J v V H v m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.7）就是算子∆-的第m 个特征值.重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数⊥-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂Ω∈110m m V H u ,使得,1=m u ())(inf )(0110v J u J v V H v m m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.8）()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ,（5.9）m λ是算子∆-的第m 个特征值,m u 为对应于特征值m λ的特征函数.由（5.7）易知1-≥m m λλ.由于()Ω1H 是无限维空间,按（5.7）得出算子∆-的特征值的无限序列≤≤≤≤≤-m m λλλλ121 ,（5.10）相应的的特征函数序列为,,,,,121m m u u u u - ,（5.11）5.3特征值序列{}m λ及对应的特征函数系{}m u 的性质性质1 最小特征值1λ对应的特征函数)(x u 可以取来满足21,1,,0)(uu x x u ∇==Ω∈∀>λ .性质2 对应于不同特征值的特征函数在()Ω2L 中是正交的.证明 设特征值km λλ,对应的特征函数分别为km u u ,,且k m λλ≠()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u k k k λ ,dx u u dx uu m k k mk⎰⎰ΩΩ=∇∇λ,dx u u dx u um k m k m⎰⎰ΩΩ=∇∇λ(),0=-⎰Ωdx u u m k m k λλ由此知道, 当k m λλ≠时,(),0,==⎰Ωdx u u u u m k m k性质3 特征值序列（5.10）满足lim j j λ→∞=+∞ .证明 由于{}j λ是单调递增的，只须证明{}j λ是无界的。
量子力学IWOP技术发展表象变换理论
这里
（3.3.14）
将（3.3.12）与（3.3.13）作比较，可得
（3.3.15）
（3.3.15）说明：态矢 沿着 的超叠加能得出纠缠态 。在 时，（3.3.15）式的关系就退化为相干纠缠态 与双体纠缠态 （两粒子总坐标 和相对动量 的本征态）的超叠加关系。若对 所组成的投影算子 在侧度 进行积分，则有
（3.4.20）
（3.4.20）和（3.4.17）式解应该是一样的，即
（3.4.21）
这样我们就导出了双模四波混频的压缩算符。它可用于对角化某些哈密顿量，例如当哈密顿量是
（3.4.22）
用（3.4.3）式中的反变换
（3.4.23）
我们看到
（3.4.2）
令
（3.4.25）
得
（3.4.26）
这样就对角化了（3.4.22）。
（3.3.16）
特别地，当 ，（3.3.16）就退化为
（3.3.17）
这个一个比较特殊的纠缠压缩态，（3.3.16）和（3.3.17）告诉我们：态矢 沿着 的超叠加可以得到一个纠缠压缩态，而 则为一个特殊的纠缠压缩算符。若 ，（3.3.17）式即为
（3.3.18）
感兴趣的读者可以计算投影子 对 积分情况。
（3.5.5）
由
.（3.5.6）
则（3.4.3）式就是
（3.5.7）
于是构造式（3.4.1）就有了一个更为简单的写法
（3.5.8）
当 ，（3.5.8）就变成了坐标表象完备性的Gauss积分形式；当 ，（3.5.8）即为动量表象的完备性Gauss积分形式（只是这里的积分变量由 ）。
, ,（3.1.8）
或者取
, .（3.1.9）
wppl-空间的乘积性质
wppl-空间的乘积性质
WPL-空间是一种应用于概率和机器学习的概率编程语言（PPL）。
它可以用来构建具有概率分布和推理图的复杂模型。
它的乘积性质是
指它能够让我们把不同的概率分布式的变量的结果相乘，从而使得我
们能够更好的表达数据的概率和推理模型。
在 WPL-空间，我们可以定义一个变量 X 的概率分布，并将它乘
以一个其他变量 Y 的概率分布，形成一个新的概率分布 Z=X*Y。
这样，我们就可以轻易地构建出一个复杂的推理图，从而在概率空间中对模
型进行推理。
WPL-空间还允许我们使用蒙特卡洛方法计算未知概率分布的样本。
例如，我们可以使用改进后的 Metropolis-Hastings 方法来生成未知
的概率分布的样本，从而可以比较不同的模型的准确性和可靠性。
此外，WPL-空间还可以用来估计模型参数，从而提高模型的准确性。
例如，你可以使用最大似然估计法来估计模型的参数，从而最大
化模型的性能，或者使用最小均方误差法来估计模型的参数，以便最
小化模型的误差。
最后，WPL-空间可以用来计算不同概率分布之间的差异。
例如，
我们可以使用 Kullback-Leibler 距离来计算两个不同概率分布的差异，以便更好的比较模型的准确性。
由此可见，WPL-空间的乘积性质使它变得非常有用，可以用来构
建复杂的概率分布，从而帮助我们更好地理解机器学习和推理模型。
WPL-空间可以轻松构建乘积模型，从而提高模型的性能和准确性，并
可以使用蒙特卡洛方法来计算概率分布的样本，以及使用 Kullback-Leibler 距离来计算两个概率分布的差异。
泛函分析中的八大空间
泛函分析中的八大空间泛函分析绪论总结参考教材是孙炯老师的《泛函分析》❞泛函分析学习目标1、了解和掌握空间理论（距离、赋范、内积空间）和线性算子理论（线性算子空间、线性算子谱分析）中基本概念和理论。
2、运用全新的、现代数学的视点审视、处理数学基础课程中的一些问题。
3、将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何手段处理问题。
❞泛函分析研究对象与方法泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。
泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、并将这些概念和方法几何化。
解析几何的创立，将代数问题几何化、几何问题代数化，那么这种模式可类比的推广到泛函分析的研究中。
❞（1）建立一个新的空间框架，空间中元素包括函数、运算。
「注」：空间中的元素？空间的结构（距离、范数、内积）（2）在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题，把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。
「注」：泛函分析主要研究无穷维空间到无穷维空间的映射、运算，因此关注无穷维空间的性质，收敛性问题（如加法与无穷级数的区别）一些个人思考在三维实向量空间中进行了坐标分解，这样可以更清楚的表示这个向量的相关一些信息，那么空间的几何结构变得非常明了；另外将一个矩阵映射进行了分解，那么它的作用效果，也变得很明了。
所以自然联想到，无穷维空间能否有这样的几何结构（坐标系、正交性、元素能否分解？）、其中的映射又能否分解？但是在这其中就会遇到新的问题，也就是无穷项相加，就会有收敛性的问题。
❞泛函分析主要内容（1）空间、极限的概念，讨论他们的性质.包括：距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间.（2）研究线性算子（线性算子空间）.包括：有界线性算子、有界线性算子的重要性质、共轭空间。
其中：一致有界原则、开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理.（3）线性算子的谱理论.线性算子的谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是自共轭算子的谱分解，与有限维空间对称矩阵的分解很类似.❞定义1：设有集合,且存在映射,使得对任意的都有：1.非负性：;2.对称性：;3.三角不等式：映射称为集合上的一个度量，称为度量空间.度量函数有时也用表示.下边我们给出一些常用的度量空间：1.,度量函数为经典度量.这样的实空间就称为欧式空间.2.(平凡度量)在任何一个集合上，我们都可以定义上述度量，因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.1.(空间) 所有的方勒贝格可积函数，定义度量：1.(空间) 所有的在可测的本性有界的函数，定义度量：表示它的本性上界.1.(空间和空间) 元素是数列：.2.3.(连续函数空间) 如果不做声明时，我们的定义的度量是：4.当然还可以有其他度量：有了度量函数后，我们可以定义收敛性：定义2：设为距离空间中的一个点列(或称序列), 这里如果存在中的点, 使得当时, , , 则称点列收敛于, 记为有时也简记为称为的极限.注意到，这里一定要要求在集合中！命题1：设是距离空间中的收敛点列,则下列性质成立:(i) 的极限唯一;(ii) 对任意的, 数列有界.(iii) 如果收敛，那么它的任意子列也收敛.定义3：距离空间中的点列叫做基本点列或柯西点列,若对任给的, 存在, 使得当时,如果中的任一基本点列必收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.注意到：一个空间是否完备与它的集合和度量都有关系，比如：按照最大值定义的度量是完备的，但是按照积分定义的度量不完备，在比如上配备欧式度量，点列是基本列但是不收敛，因为不在集合中.一个不完备的空间，我们可以想方设法的添加一些元素使其完备，然而是否任何的不完备空间都能这样做使其完备呢？这就要需要我们的完备化定理了！在此之前，我们需要引入一些其他有必要的东西！定义4设是两个度量空间, 如果存在映射：满足：(1):是满射；(2):.则称和是等距同构的, 称为等距同构映射, 有时简称等距同构。
wppl-空间的遗传性的一个注记
wppl-空间的遗传性的一个注记
王子华
【期刊名称】《德州学院学报》
【年(卷),期】2004(20)6
【摘要】对wppl-空间进行了研究,获得两个结果:1)空间[0,ω1)不是meta-Lindelof空间;2)wppl-空间不具有遗传性.
【总页数】3页(P17-19)
【作者】王子华
【作者单位】德州学院数学系,山东,德州,253023
【正文语种】中文
【中图分类】O189
【相关文献】
1.ppl-空间、wppl-空间、meta-Lind(o)ff空间的映射性质 [J], 刘文虎;张继有;刘德金
2.Wppl-空间的一个性质 [J], 王子华
3.ppl-空间、wppl-空间被闭Lindel(o)f映射逆向保持 [J], 刘德金
4.Wppl-空间的遗传性 [J], 王子华
5.ppl-空间、wppl-空间被完备映射逆象保持 [J], 刘德金;董立华;梁超
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拉普拉斯特征映射降维
拉普拉斯特征映射降维拉普拉斯特征映射降维：从简到繁，由浅入深的探索一、介绍在当今大数据时代，高维数据的处理变得越来越重要。
然而，高维数据的特点是维度多、噪声大，而且存在着冗余信息，这给数据处理和分析带来了挑战。
为了克服这些问题，并发现数据中隐藏的本质特征，降维技术成为了一个热门研究领域。
降维技术旨在从高维空间中提取出最具代表性的低维子空间，并保留原始数据的关键结构信息。
在这个领域中，拉普拉斯特征映射是一种被广泛应用的方法，它在节点图中通过计算节点间的邻接关系，将高维数据映射到低维子空间中。
在本文中，我们将对拉普拉斯特征映射进行全面评估，并深入探讨其原理、优势和应用。
二、原理与方法1. 拉普拉斯矩阵拉普拉斯矩阵是拉普拉斯特征映射的核心工具之一。
它用于度量节点间的相似性，并构建邻接图。
拉普拉斯矩阵包含了两部分：度矩阵和邻接矩阵。
度矩阵反映了每个节点的连接数，而邻接矩阵则表示了节点之间的邻接关系。
通过计算度矩阵和邻接矩阵的差异，我们可以得到拉普拉斯矩阵。
2. 特征向量与特征值通过分解拉普拉斯矩阵，我们可以得到其特征向量和特征值。
特征向量代表了数据在低维子空间中的投影，而特征值则表示了每个特征向量的重要性。
通过选择最大的特征值对应的特征向量，我们可以得到最具代表性的低维子空间。
3. 降维过程降维过程主要包括以下几个步骤：- 构建邻接图：基于数据的相似性，构建邻接图来表示数据之间的关系。
- 计算拉普拉斯矩阵：通过度矩阵和邻接矩阵的差异，计算得到拉普拉斯矩阵。
- 特征值分解：对拉普拉斯矩阵进行特征值分解，得到特征向量和特征值。
- 选择特征向量：选择最大的特征值对应的特征向量，构建低维子空间。
- 数据映射：将原始数据映射到低维子空间，得到降维后的数据。
三、优势与应用拉普拉斯特征映射具有以下几个优势：1. 保持数据局部结构：拉普拉斯特征映射基于邻接关系，能够更好地保持数据的局部结构，减小降维过程中的信息损失。
2. 无监督学习：拉普拉斯特征映射是一种无监督学习方法，不需要事先标注的标签信息，使其适用于各种数据类型和场景。
希尔伯特空间
希尔伯特空间量子化学维基，人人都可编辑的量子化学百科全书。
Jump to: navigation, searchTemplate:Zhwp在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。
与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。
此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。
希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。
希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。
简单介绍希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。
冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。
冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。
此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Template:Lang）继续深入。
“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（Template:Lang）中就使用这一名词，此书的英文平装版ISBN编号为0486602699。
一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。
在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。
例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。
详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。
量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。
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称 是 一个 ｐ 空间 ． 一
定 义 ６ 设 是 一个 拓扑 空 间 ， 如果 的每一 个 开覆 盖都 有一 个 开加 细 覆 盖 ， 且 是一 个 ｗｐ一 ， ｐｌ 集
Ｌ ｅ ｉ， Ｏ Ｇ Ｌ—ｕ ， ＩＮ ｈｏ １ Ｄ —ｎ Ｄ Ｎ ｉ ａＬＡ Ｇ Ｃ ａ Ｕ ｊ ｈ
（ ｅａｔ ｅｔｆＭａ ｅ ａｉ ， ｅ ｏ ｎ ｅ ｉ ， ｅ ｏ ５０ ３ Ｃ ｉ Ｄｐ ｒ ｎ ｏ ｔ ｍ ｔ ｓ Ｄ ｚ ｕＵ ｉ ｒｔ Ｄ ｚ ｕ２３ ２ ， ｈｎ ｍ ｈ ｃ ｈ ｖ ｓｙ ｈ ａ）
拓 扑空 间的覆 盖性 质是 拓 扑学研 究 的课题 之 一 ， 讨论 覆 盖性 质 的映射 性 质 又是 该 课 题 的一 个 重 要 内 而
容． 文献［ ］ １中讨论了仿 Ｌ ｄｌ 空间与 ｍ ｔ Ｌ ｄｌ 空 间的映射性质 ， 出这两空间为完备 映射的逆象所 ｉ ｅｆ ｎ ｏ ｅ ．ｉ ｅ ｆ ａ ｎ ｏ 指
１ 基本概念和 引理
定义 １ 设 是拓扑空间， ［ ３ 集合 ＢｃＸ， ＥＸ． 若对 的每一个开邻域 ， ｌ ｎＢｌ 则称 是 有 ＝ｌ ｌ Ｂ，
集合 Ｂ 的一 个完 全 聚点 ．其 中 ｌ （ ｌ Ｂ 表示 集合 Ｂ的基 数 ） ．
定义 ２ 设 是一个拓扑空间， ＝｛ ｌ 是 的一个集族 ， ＥＡ｝ ａ 对每一个 ａ ， Ｐ ，。 ａ如果 ∈Ａ 取 。ｑ ∈ｕ ．
关键词 ： 完全聚点 ；ｌ ；ｐ 空间 ；ｐｌ ｐ 集 ｐｌ 一 一 ｗ ｐ一 空间 ； 完备 映射 ； 点可数
中 图 分 类 号 ： １９ ０ ８ 文 献 标 识 码 ： Ａ
ｐ ｌ ｐ ｃ ｎ ｐ ｌ ｐ ｃ ｒｓｒ ｅ ｐｓ ｌ— ａｅａ ｄｗ ｐ— ａｅＰ ｅｅｖｄ ｓ
ｂ ｈ ｎ ｅ ｓ ｍａ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔＭ ａ ｉ ｙ ｔ ｅ Ｉ ｖ ｒ ｅ Ｉ ｇ ｆＰｅ ｆ ｃ ｐｐ ｎｇ
组 成 的子集 族 中包 含一 个 ｐ一 ， 称 是 一 个弱 ｐ ｐｒｌｄｌ 集 （ ｌ 则 集 ｒ ａ ｉ ｅ￣ ｅ ａｎ ｉ ｆ 简记 为 ｗ ｐ一 ） ｐｌ ． 集 定 义 ５ 设 是一 个拓 扑空 间 ， 如果 的每 一个 开覆 盖都 有一 个开 加 细覆盖 彩， 且 是一 个 ｐｌ ， ｐ一 则 集
ｐｌ 间 、 ｐｌ 间被 完 备 映射 逆 象保 持 ｐ一 空 ｗ ｐ一 空
刘德 金 ， 立 华 ， 董 梁超
（ 德州学院数学 系， 山东 德州 ２ ３２ ） ５０３
摘要 ： ｐｌ 对 ｐ 空间 、ｐ ｌ 一 ｗ ｐ一 空间的映射性质进行 了探讨 ， 得到 的主要 结果 为 ：ｐ 空 间、 ｐ１ ｐｌ 一 ｗ ｐ． 空间为 完备 映射的逆 象所保持 ．
Ａｂ ｔａ ｔ Ｗ ｅ ｉｖ ｓｉａｅ ｔｅ ｐ ｏ ｅｔ ｆｔｅ ｍａ ｐ ｎ ｎ ｐｐ—ａ ｄ ｗｐ ｌｓ ａ ｅ ， ｅ ｒｓ ｌ ｓ ｔａ ｅ ｐ ｌ ｓｒ ｃ ： ｎ ｅ ｔ ｔ ｈ ｒｐ ｒｙ ｏ ｐ ｉ ｇ ｉ ｌ ｎ ｐ — ｐ ｃ Ｔｈ ｅ ｕ ｔｉ ｈ ｔｔ ｐ — ｇ ｈ ｈ ａ ｐ —ｐ ｃ ｌ ｒｓ ｒ ｅ ｙ ｔｅ ｉ ｖ ｒｅ ｉ ｇ ｆｐ ｒｅ ｔｍａ ｐｎ ｎｄ ｗｐ ｌｓ ｅ ａ ｅ ｐ ｅ ｅ ｖ ｄ ｂ ｎ ｅｓ ｍａ ｅ ｏ ｅ ｃ ｐ ｉ ｇ． ａ ｈ ｆ Ｋｅ ｒ ｓ： ｏ ｌｔ ｌ ｓｅ ｏｎ ；ｐ— ｅ ；ｐ ｌｓ ａ ｅ；ｗｐ ｌｓ ａ ｅ ｅ ｅ ｔｍ ｐ ｉ ｇ ｏｎ ｏ ｎａ ｌ ｙ ｗｏ ｄ ｃ ｍｐ ｅｅ ｃｕ ｔｒｐ ｉｔ ｌｓ ｔ ｐ —ｐ ｃ ｐ —ｐ ｃ ；ｐ ｒｃ ｆ ａ ｐ ｎ ；ｐ ｉ ｔｃ ｕ ｔｂ ｅ．
收 稿 日期 ：０７０ －４ ２ ０－８０ 作者简介 ： 刘德金（９７一）男 ， １５ ， 教授 ， 主要从事一般拓 扑的教学 与研究 。
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第６ 期
刘德金 ， ：ｐ 空问 、ｐ １ 间被完备 映射逆 象保持 等 ｐ１ ． ｗ ｐ空 ．
５ ７
点 Ｐ是 ｛。ｌ 的 一 个 完 全 聚 点 ， 点 ｐ 也 是 ｛ 。 ∈ ｝ 一 个 完 全 聚 点 ， 么 这 时 称 是 一 个 ｐ Ｅ Ａ｝ ａ 则 ｑｌ 的 那
ｐｒｌ ｄｌ 集 （ 记 为 ｐ． ） ａａｎ ｅ ｆ ｉ ￣ 简 １集 ．
定 义 ３ 设 是＿ 个拓 扑空 间 ， ＝ ｛ ｌ ａＥＡ｝ 是 的一 个集 族 ， 如果 中任 何 不可 数 多个 相异 成 员 组 成 的子集 族 是一个 ｐ 集 ， ｌ 则称 彩 是 一个 ｐｅａ ｌ ｄｌ 集 （ 一 ｒｐｒｉ ｅ ｆ ａｎ ｏ 简记 为 ｐｌ ） ｐ一 ． 集 定义 ４ 设 是 一个 拓扑 空 间 ， ＝｛ ｌ 是 的一 个 集族 ， 果 彩 中任何 不 可数 多个 相 异成 员 彩 ＥＡ｝ ａ 如
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第 ２卷 ０
第 ６期
山 东 科 学
Ｓ Ｎ ０Ｎ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ ＨＡ Ｄ Ｇ Ｃ Ｅ Ｃ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ． １２ ６ Ｄｅ ２ ｒ ｃ． Ｏａ７
பைடு நூலகம்
２Ｏ Ｏ ７年 １ ２月
文章 编号 ：０２４２ ｛０ ７ １－０６０ １０－０６ ２０ ｝６０５－３ ３