高考数学总复习配套教案选修4-1相似三角形的进一步认识
高中数学 《相似三角形的判定》教案5 新人教A版选修4-1
相似三角形的判定一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形， 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题．四、例题讲解例1已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）． 五、课堂练习1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．2．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FDEF BF AF ．2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE •CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长． 教学反思。
高中数学人教A版选修4-1 3.1相似三角形的判定 教案
相似三角形的性质和判定(第一课时)教学目标1、知识与技能：理解并掌握相似三角形的判定方法.2、过程与方法：以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到掌握相似三角形判定的方法的目的.3、态度、情感、价值观：培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.教学重点：掌握相似三角形的判定方法教学难点：理解和应用相似三角形判定.教具：课件、多媒体展台教学方法：讲练结合、点拨与讨论结合学具：教学过程及教学内容设计：问题与情境师生行为设计意图活动一:问题探究1． 如图,D 、E 分别为AB 、AC 中点，求证：（1）DE ∥BC ；（2）△ABC ∽△ADE 吗?E D CB A2．如图所示, DE ∥BC ，问△ABC ∽△ADE 成立吗? 12.51.51.523ABC D E活动二:相似三角形的判定 1．上面练习1、2中为特殊情形若推广到一般是否成立呢？2．判定方法1:平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．已知：如图， DE ∥BC ，DE 交AB 、AC 于D 、E .求证：△ADE ∽△ABC ． 写出推理格式.复习巩固证明：∵D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ∥BC ，且BC DE 21=∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，21=BC DE∵D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴AD =21AB ，AE=21AC即21==AC AE AB AD 又∠A=∠A ∴△ADE ∽△ABC2．==AC AE AB AD 53=BC DE ∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABC学生熟练运用判定方法推理格式: ∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ．这两道小题的设计目的是复习旧知识,探索新知.通过练习题导入新知，这样可使学生思维连贯, 培养学生的归纳能力.掌握推理格式3.3相似三角形的性质和判定(第二课时)教学过程设计教学过程设计问题与情境师生行为设计意图证明:在线段A ′B (或它的延长线)上截取A ′D =AB ,过点D 作DE ∥B ′C ′,交A ′C ′于点E , 根据前面的结论可得△A ′DE ∽△A ′B ′C ′. ∴''''''''CA E A CB DE B A D A == 又B A AB ''=C B BC ''=AC CA'',A ′D =AB∴'''C A E A =A C CA '' ∴A′E =AC 同理DE =BC△A ′DE ≌△ABC△ABC ∽△A ′B ′C ′.4.三角形相似的判定方法:三边对应成比例的两个三角形相似．活动三:应用举例 例1.根据下列条件,判断△ABC 和 △A′B′C′是否相似,并说明理由. (1)AB =4,BC =6,AC =8,A′B′=12, B′C′=18, A′C′=21;(2)AB =5,BC =4,AC =3,A′B′=10,B′C′=8, A′C′=6. 例2.探究:. 如图,△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD =3，BD =4，AE =6，EC =8，DE =4，BC =328.能否得到DE ∥BC ? 分析:要证明△ABC ∽△A ′B ′C ′,可以先作一个与△ABC 全等的三角形,证明它与△A ′B ′C ′相似.这里所作的三角形是证明的桥梁,它把△ABC 与△A ′B ′C ′联系起来.师生分析解题思路,教师展示解题详细步骤.师生一起运用判定方法解决问题,学生书写.例1.解(1)B A AB ''=C B BC ''=21而B A AB ''=76 ∴B A AB ''=C B BC ''≠A C CA '', ∴△ABC 和△A′B′C′不相似.(2)B A AB ''=C B BC ''=A C CA ''=21,∴△ABC ∽△A′B′C′学生分析,口述证明过程,教师板书. 例2.解:∵ AD =3，BD =4, AE =6，EC =8 ∴AB =7,AC =14 ∴73===BC DE AC AE AB AD ∴△ADE ∽△ ABC∴∠ADE =∠B∴ DE ∥BC通过猜测、验证、证明得出相似三角形判定方法：三边对应成比例，两三角形相似.巩固三角形相似的判定方法让学生通过自己解决问题后发现新的问题,激发学生的学习兴趣,鼓励学生自己解决问题.4.3相似三角形的性质和判定(第三课时)〔教学目标〕1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形 复习课教案
相似三角形复习课教案一、教学目标1、使学生理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理。
2、能够熟练运用相似三角形的知识解决实际问题，提高学生的逻辑推理和综合运用能力。
3、通过复习，培养学生的数学思维和创新意识，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点1、重点（1）相似三角形的判定定理和性质定理。
（2）相似三角形的应用。
2、难点（1）相似三角形的判定定理的灵活运用。
（2）相似三角形在实际问题中的建模。
三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
2、相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三边对应成比例的两个三角形相似。
3、相似三角形的性质定理相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
（二）例题讲解例 1：如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝ 3，BD ＝ 2，AE ＝ 4，求 CE 的长。
解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC所以\（＼frac{AD}｛AB} ＝＼frac{AE}｛AC}＼）因为 AD ＝ 3，BD ＝ 2，所以 AB ＝ AD ＋ BD ＝ 5所以\（＼frac{3}｛5} ＝＼frac{4}｛AC}＼）解得 AC ＝＼（＼frac{20}｛3}＼）所以 CE ＝ AC AE ＝＼（＼frac{20}｛3} 4 ＝＼frac{8}｛3}＼）例 2：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝ 90°，AD⊥BC 于 D，E 为AC 的中点，ED 的延长线交 AB 的延长线于点 F。
求证：＼（＼frac{AB}｛AC} ＝＼frac{DF}｛AF}＼）证明：因为 AD⊥BC，∠BAC ＝ 90°所以∠ADB ＝∠ADC ＝ 90°，∠BAD ＋∠DAC ＝ 90°，∠DAC＋∠C ＝ 90°所以∠BAD ＝∠C又因为 E 为 AC 的中点，所以 DE ＝ EC所以∠EDC ＝∠C所以∠BAD ＝∠EDC又因为∠FDB ＝∠FDA ＋∠ADB ＝∠FDA ＋ 90°，∠FAD ＝∠FDA ＋∠BAD所以∠FDB ＝∠FAD所以△FDB∽△FAD所以\（＼frac{AB}｛AC} ＝＼frac{BD}｛AD} ＝＼frac{DF}｛AF}＼）（三）课堂练习1、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且\（＼frac{AD}｛BD} ＝＼frac{AE}｛EC}＼），求证：DE∥BC。
高中数学 1.3.1 相似三角形的判定教案 选修4-1
三相似三角形的判定及性质1 相似三角形的判定课标解读1.了解三角形相似的定义．2.掌握相似三角形的判定定理，以及直角三角形相似的判定方法.(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)相似比：相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．2．预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．相似三角形的判定定理名称定理内容简述判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.三边对应成比例，两三角形相似.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5．直角三角形相似的判定(1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角形．(2)定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．(3)定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(4)定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．1．用符号表示相似三角形时，应注意哪些问题？【提示】(1)用符号表示相似三角形时，在两个相似三角形中，三边对应成比例，即ABA′B′＝BCB′C′＝CAC′A′，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的对应边，它们的位置不能写错．(2)用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以很快地找到相似三角形的对应角或对应边．如若△ABC ∽△DEF ，则∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，AB DE ＝AC DF ＝BC EF. 2．三角形相似的判定定理一是最常用的判断方法，使用此判定方法解题的常用基本图形有哪几种？【提示】 (1)平行线型： (2)相交线型： (3)旋转型：3．直角三角形斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形是什么关系？ 【提示】 分成的两个直角三角形与原三角形相似．相似三角形的判定如图1－3－1，已知AB AD ＝BC DE ＝ACAE，求证：△ABD ∽△ACE . 图1－3－1【思路探究】 由于已知AB AD ＝AC AE ，得AB AC ＝ADAE ，则要证明△ABD ∽△ACE ，只需证明∠DAB＝∠EAC 即可．【自主解答】 因为AB AD ＝BC DE ＝ACAE，所以△ABC ∽△ADE .所以∠BAC ＝∠EAD ，∠BAC －∠DAC ＝∠EAD －∠DAC ，即∠DAB ＝∠EAC . 又AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE， 所以△ABD ∽△ACE .1．本题中，∠DAB 与∠EAC 的相等关系不易直接找到，这里用∠BAC ＝∠EAD ，在∠BAC 和∠EAD 中分别减去同一个角∠DAC ，间接证明．2．判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，还缺少什么条件就推导出这些条件．图1－3－2如图1－3－2，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，证明：△ABC ∽△BCD .【证明】 ∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝36° ∴∠A ＝∠CBD .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD .证明线段成比例如图1－3－3，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，连接ED 并延长与AB 的延长线交于F .求证：AB AC ＝DF AF.图1－3－3【思路探究】 由条件知：AB ∶AC ＝BD ∶AD ，转证BD ∶AD ＝DF ∶AF ，变为证△FAD ∽△FDB .其中BD ∶AD 正是两对相似三角形的中间比．【自主解答】 ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴∠C ＝∠BAD ，Rt △ADB ∽Rt △CDA . ∴AB ∶AC ＝BD ∶AD . 又∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝DE ＝EC ， ∴∠DAE ＝∠ADE ， ∴∠BAD ＝∠BDF . 又∠F ＝∠F ， ∴△FDB ∽△FAD . ∴BD ∶AD ＝DF ∶AF ， 即AB ∶AC ＝DF ∶AF . 1．本题根据AB AC ＝BD AD ，把欲证明的问题转化为证明BD AD ＝DFAF是解题的关键．2．求证的成比例线段所在的三角形不相似时，应考虑用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段，最后得证结论．(2013·郑洲模拟)已知如图1－3－4，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP .图1－3－4【证明】 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴ADQC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BCPC＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQCP＝2.在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQCP，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .证明两直线平行如图1－3－5，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .图1－3－5求证：GH ∥AB .【思路探究】 结合图形的特点可以先证比例式EG ED ＝EH EB成立，再证△EGH ∽△EDB ，由此得∠EHG ＝∠EBD 即可．【自主解答】 ∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CF FB， 又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CFFB. ∵GE DG ＝EH HB ，∴GE ED ＝EH EB， 又∠GEH ＝∠DEB ， ∴△EGH ∽△EDB ， ∴∠EHG ＝∠EBD ， ∴GH ∥AB .1．由平行线可以得到比例式，由比例式也可以确定两直线的平行关系．2．证明平行关系时，可以由引理找到比例式得证，也可以使用平行线的其他判定方法．图1－3－6如图1－3－6，在平行四边形ABCD 中，直线EF ∥AB ，在EF 上任取两点E 、F ，连接AE 、BF 、DE 、CF ，分别交于G 、H ，连接GH .求证：GH ∥BC .【证明】 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD .又∵EF ∥AB ，∴AB ∥EF ∥CD ， ∴△BAG ∽△FEG ，△DCH ∽△EFH ， ∴FG BG ＝EF AB ，FE CD ＝FH CH ，∴FG GB ＝FH HC， ∴GH ∥BC .(教材第19页习题1.3第7题)如图1－3－7，△ABC 是钝角三角形，AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC .图1－3－7(2011·陕西高考)如图1－3－8，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.图1－3－8【命题意图】 本题依托三角形求值问题，主要考查相似三角形的判定，同时考查了学生的计算能力．【解析】 由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC 及∠ACD ＝90°可以推得： Rt △ABE ∽Rt △ADC ，故AE AC ＝AB AD ∴AE ＝6×412＝2.【答案】 2图1－3－91．如图1－3－9所示，在△ABC 中，FD ∥GE ∥BC ，则与△AFD 相似的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 ∵FD ∥GE ∥BC ， ∴△AFD ∽△AGE ∽△ABC . 【答案】 B2．给出下列四个命题：①三边对应成比例的两个三角形相似； ②一个角对应相等的两个直角三角形相似； ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似； ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似． 其中正确的命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．①②④D ．①③④【解析】 ①③都是判定定理，显然正确，②中若相等的角是直角，则不一定相似，故不正确．④中，若相等的角在一个三角形中是顶角，在另一个三角形中是底角，则不一定相似，故不正确．【答案】 A3．如图1－3－10所示，DE 与BC 不平行，当ABAC＝________时，△ABC ∽△AED .图1－3－10【解析】 △ABC 与△AED 有一个公共角∠A ，当∠A 的两夹边对应成比例，即AB AC ＝AEAD时，这两个三角形相似．【答案】AE AD4．如图1－3－11所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3，则AB ＝________.图1－3－11【解析】 在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC， ∴6AB ＝36，∴AB ＝12. 【答案】 12 一、选择题 1.图1－3－12如图1－3－12，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )【解析】 △ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，∠ABC ＝135°.选项A 的三角形，有一个内角为135°，且该角的两边长分别为1和2，根据相似三角形的判定定理2知，两三角形相似，故选A.【答案】 A图1－3－132．如图1－3－13，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BMCN，下列结论中正确的是( )A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA【解析】 ∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM ， ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ， ∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ， ∴∠AMB ＝∠ANC . 又AM AN ＝BMCN，∴△ANC ∽△AMB . 【答案】 B图1－3－143．如图1－3－14，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AODO等于( ) A.25 5 B.13C.23D.12【解析】 ∵AF ⊥DE ， ∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ， ∴AO DO ＝AE DA ＝12. 【答案】 D图1－3－154．如图1－3－15所示，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG ＝2，则CF 的长为( )A ．4B ．4.5C ．5D ．6【解析】 ∵E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由相似三角形的预备定理，得△FEG ∽△CBG ，∴FG GC ＝EF BC ＝12. 又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】 D 二、填空题图1－3－165．(2013·洛阳模拟)如图1－3－16，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.【解析】 由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△AEB ∽△ACD ，从而得AB AD ＝AEAC，所以AE ＝AB ·AC AD＝2.【答案】 2图1－3－176．如图1－3－17，在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ∶EC ＝1∶2，则BF ∶BE ＝________.【解析】 ∵DE ∶EC ＝1∶2， ∴DC ∶EC ＝3∶2，∴AB ∶EC ＝3∶2. ∵AB ∥EC ，∴△ABF ∽△CEF ， ∴BF EF ＝AB EC ＝32，∴BF BE ＝35. 【答案】 3∶5图1－3－18三、解答题7．如图1－3－18所示，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F . 求证：(1)△ABE ∽△ADF ； (2)△EAF ∽△ABC .【证明】 (1)由题意可知，∠D ＝∠B ，∠AEB ＝∠AFD ＝90°， ∴△ABE ∽△ADF .(2)由(1)知△ABE ∽△ADF ， ∴AB AD ＝AEAF，∠BAE ＝∠DAF ， 又AD ＝BC ，∴AB BC ＝AE AF. ∵AF ⊥CD ，CD ∥AB ，∴AB ⊥AF . ∴∠BAE ＋∠EAF ＝90°.又∵AE ⊥BC ，∴∠BAE ＋∠B ＝90° ∵∠EAF ＝∠B ，∴△ABC ∽△EAF .图1－3－198．已知如图1－3－19，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于点F .求证：BP 2＝PE ·PF . 【证明】 连接PC . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB . ∵AD 是中线，∴AD 垂直平分BC ，∴PB ＝PC ， ∴∠PBD ＝∠PCD . ∴∠ABP ＝∠ACP . 又∵CF ∥AB ，∴∠ABP ＝∠F ＝∠ACP ， 而∠CPE ＝∠FPC . ∴△PCE ∽△PFC . ∴PE PC ＝PC PF，∴PC 2＝PE ·PF ， 即BP 2＝PE ·PF .图1－3－209．如图1－3－20，某市经济开发区建有B 、C 、D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB ＝CD ＝900米，AD ＝BC ＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN ，B 、C 两厂之间的公路与自来水主管道交于E 处，EC ＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】 (1)如图，过B ，C ，D 分别作AN 的垂线段BH ，CF ，DG 交AN 于H ，F ，G ，BH ，CF ，DG 即为所求的造价最低的管道路线．(2)在Rt △ABE 中，AB ＝900米，BE ＝1 700－500＝1 200米，∴AE ＝ 1 2002＋9002＝1 500(米)， 由△ABE ∽△CFE ，得到CF AB ＝CEAE，即CF 900＝5001 500， 可得CF ＝300(米)．由△BHE ∽△CFE ， 得BH CF ＝BE CE， 即BH 300＝1 200500，可得BH ＝720(米)． 由△ABE ∽△DGA ，得AB DG ＝AE AD，即900DG ＝1 5001 700， 可得DG ＝1020(米)．所以，B ，C ，D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．10．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 上一点，BM ，CM 的延长线分别交AC ，AB 于F ，E 两点．求证：EF ∥BC .【证明】 法一 延长AD 至G ，使DG ＝MD ，连接BG ，CG ，如右图所示． ∵BD ＝DC ，MD ＝DG ，∴四边形BGCM 为平行四边形． ∵EC ∥BG ，FB ∥CG . ∴AE AB ＝AM AG ，AF AC ＝AMAG . ∴AE AB ＝AFAC，∵EF ∥BC . 法二 过点A 作BC 的平行线，与BF ，CE 的延长线分别交于G ，H 两点，如图所示． ∵AH ∥DC ，AG ∥BD ， ∴AH DC ＝AM MD ，AG BD ＝AM MD .∴AH DC ＝AG BD. ∵BD ＝DC ，∴AH ＝AG . ∵HG ∥BC ，∴AE EB ＝AH BC ，AF FC ＝AGBC .∵AH ＝AG ，∴AE EB ＝AFFC.∴EF ∥BC .法三 过点M 作BC 的平行线，分别与AB ，AC 交于G ，H 两点，如右图所示． 则GM BD ＝AM AD ，MH DC ＝AM AD . ∴GM BD ＝MH DC. ∵BD ＝DC ，∴GM ＝MH . ∵GH ∥BC ，∴EM EC ＝GM BC ，FM FB ＝MHBC.∵GM ＝MH ，∴EM EC ＝FMFB.∴EF ∥BC .。
《相似三角形的判定》教案4(人教A版选修4-1)
相似三角形的判定一、教学目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1． 重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．2． 难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3． 难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA 条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如C A AC B A AB ''=''的形式，也可以写成C A B A AC AB ''''=的形式．（8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．三、课堂引入1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3）【归纳】三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．四、例题讲解※例1（补充）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长． 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出ACCD CD AB =，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式ADAC AC CD =，从而求出AD 的长． 解：略（AD=425）． 五、课堂练习1．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？3．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．2．如图，AB?AC=AD?AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．※3．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD ?AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．教学反思。
人教A版高中数学选修4-1-1.3.2 相似三角形的性质-教案设计
相似三角形的性质【教学目标】1．了解相似三角形的定义，理解全等与相似的异同，掌握相似三角形的相似比，相似三角形的判定定理与性质定理；2．能判断两个三角形相似，能综合应用相似三角形的判定与性质解决有关问题。
【教学重难点】1．理解全等与相似的异同，掌握相似三角形的相似比，相似三角形的判定定理与性质定理；2．能判断两个三角形相似，能综合应用相似三角形的判定与性质解决有关问题。
【教学过程】一、复习引入：1．相似三角形的知识：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形对应的比值叫做相似比（相似系数）。
2．相似三角形的判定法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
二、新课讲授：1．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所成的三角形与原三角形相似。
2．判断定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
3．判断定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例。
并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为“两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似”。
例题：..C B A ABC AC C A AB B A A A C B A ABC '''''='''∠=∠'''∽△求证：△，中，与△已知：△4．引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
5．定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为“三边对应成比例，两三角形相似”。
三、例题讲解...12CD AC BC BC BD AC D AC AB ABC ⋅===求证：边上一点，是，中，如图，在△例...2CBDB EC EB E CD ABC =求证：延长后交圆于一点的角平分线如图，圆内接△例....3ABC DBE DAB ECB ABD EBC ABC E BD AD D ABC ∽△求证△，外，在△点和，连结内任取一点如图，在△例∠=∠∠=∠ AB C E DAB C D...4ABC DEF AB CA BC ABC F E D ∽△求证△的中点、、三边分别是△、、如图，已知例四、思考 以上我们得到了三个判定三角形相似的定理。
选修4-1相似三角形的性质教学设计
三 维 教 学 目 标
教学 重点 难点 辅助教 具 学情分 析与内 容分析
【重点】 相似三角形性质的应用； 【难点】 证明问题中，相似性质与其他几何性质的综合应用。 学案 选修 4-1 的内容在初中学生已经十分深入的学习过， 随着新课程的 改革，平面几何被列为高考的内容之一，逐渐的引起了大家的重视。在 本节课中， 巩固了初中所学相似三角形的性质，并且让学生应用这些知 识，探索了相似三角形的新性质。这是用已学知识创造新知识的过程。 符合了新课程改革的理念。
《相似三角形的性质》教学设计
课 题 授课人
张爽
1.3.2 三角形的性质 授课班级
高二、6 班
【知识与技能目标】 理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定 理的灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题。 【过程与方法目标】 1、对相似三角形的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过 程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。 2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化 为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法。 3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜 想、 勇于探索、 勤于思考的数学品质， 提高分析问题和解决问题的能力。 【情感态度与价值观目标】 在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；让学生体验 成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知 识在实际中的广泛应用。
先学后教 织引导
探究 问题
1、 2、
猜想答案 证明猜想
① 由已知条件你能得到什么？ ② 如何建立相似比和直径之间的关系？ ③ 如何证明△ABC 与△A’B’C’相似？ 3、 得出结论
师生合作
问题 2
由问题 1 的启示，在两个三角形相似的条 生生合作 合作 探究 件下，你能添加其他元素，使得这些新添加的元 素与这两个相似三角形的相似比有关？猜想，并 证明。 巩固 练习
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)
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3．利用相似三角形证明线段相等 [例3] 如图，AD、CF是△ABC的两条 高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从
P点引BC的平行线与AC交于点Q，试说明
PQ＝CF.
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[解]
∵AD、CF 是△ABC 的两条高，
∴∠ADB＝∠BFC. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. AD AB ∴ ＝ .又∵PQ∥BC， CF CB ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠C， ∴△APQ∽△ABC， PQ AP AP AB AD AP ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ . BC AB PQ BC CF PQ 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
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(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条 件． (2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用． 返回
[例 6]
如图，四边形 ABCD 是正方
1 形，E 为 AD 上一点，且 AE＝ AD，N 4 是 AB 的中点，NF⊥CE 于 F.求证：FN2 ＝EF· FC.
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[解]
(1)证明：过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，
AE AF ∴ ＝ . ED FG BD 1 2 又 ＝ ，∴DC＝2BD＝ BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC，∴ ＝ ＝ ， BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG＝ BF，∴ ＝ ＝ . 3 ED (2)当 ＝ 时，有关等式： ＝ · . DC n ED n FB 证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点． AE AF ∴ ＝ . ED FG BD m BC m＋n 又∵ ＝ ，∴ ＝ . DC n DC n BF BC m＋n ∵DG∥FC，∴ ＝ ＝ ， FG DC n n ∴FG＝ BF， m＋n m＋n AF AE AF ∴ ＝ ＝ · . ED n n BF BF m＋n
高中数学 《相似三角形的判定》教案6 新人教A版选修4-1
相似三角形的判定（一）〔教学目标〕1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程若11AB A B =11BC B C =11CAk C A = 则⇒ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
备选题答案：C设计思想：本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。
此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”⇒“类比”⇒“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
一轮复习配套讲义：选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质(2)
第1讲相似三角形的判定及有关性质[最|新考纲]了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,那么有CD2＝AD·BD ,AC2＝AD·AB ,BC2＝BD·AB.诊断自测1.如图,a∥b∥c ,直线m ,n分别与a ,b ,c交于点A ,B ,C和A′ ,B′ ,C′ ,如果AB ＝BC ＝1 ,A ′B ′＝32 ,那么B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322.如图 ,△ABC ∽△AFE ,EF ＝8 ,且△ABC 与△AFE 的相似比是3∶2 ,那么BC 等于________．解析 ∵△ABC ∽△AFE ,∴BC EF ＝32.又EF ＝8 ,∴BC ＝12.答案 123. (2021·揭阳模拟)如图 ,BD ⊥AE ,∠C ＝90° ,AB ＝4 ,BC ＝2 ,AD ＝3 ,那么EC ＝________.解析 在Rt △ADB 中 ,DB ＝AB 2－AD 2＝7 ,依题意得 ,△ADB ∽△ACE ,∴DB EC ＝AD AC ,可得EC ＝DB ·AC AD ＝27.答案 274.如图 ,∠C ＝90° ,∠A ＝30° ,E 是AB 中点 ,DE ⊥AB 于E ,那么△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点 ,∴AE AB ＝12 ,即AE ＝12AB ,在Rt △ABC 中 ,∠A ＝30° ,AC ＝32AB ,又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ,∴相似比为AE AC ＝13. 故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 35. (2021·湛江模拟)如图 ,在△ABC 中 ,D 是AC 的中点 ,E 是BD 的中点 ,AE 交于BC 于F ,那么BF FC ＝________.解析 如图 ,过点D 作DG ∥AF ,交BC 于点G ,易得FG ＝GC ,又在△BDG 中 ,BE ＝DE ,即EF 为△BDG 的中位线 ,故BF ＝FG ,因此BF FC ＝12. 答案 12 考点一 平行截割定理的应用 【例1】 如图 ,在△ABC 中 ,DE ∥BC ,EF ∥CD ,假设BC ＝3 ,DE ＝2 ,DF ＝1 ,那么AB 的长为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ DE ∥BC EF ∥CD BC ＝3 DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23 ,又DF ＝1 , 故可解得AF ＝2 ,∴AD ＝3 ,又AD AB ＝23 ,∴AB ＝92.答案 92 规律方法 利用平行截割定理解决问题 ,特别注意被平行线所截的直线 ,找准成比例的线段 ,得到相应的比例式 ,有时需要进行适当的变形 ,从而得到最|终的结果．【训练1】 如图 ,在梯形ABCD 中 ,AB ∥CD ,AB ＝4 ,CD ＝2.E ,F 分别为AD ,BC 上的点 ,且EF ＝3 ,EF ∥AB ,那么梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________． 解析 如图 ,延长AD ,BC 交于一点O ,作OH ⊥AB 于点H .∴x x ＋h 1＝23 ,得x ＝2h 1 ,x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34,得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2 ,S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1 ,∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5.答案 7∶5考点二相似三角形的判定及性质【例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90° ,CD⊥AB ,E为AC的中点,ED、CB延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明∵E是Rt△ACD斜边中点,∴ED＝EA ,∴∠A＝∠1 ,∵∠1＝∠2 ,∴∠2＝∠A ,∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2 ,∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A,∴∠FBD＝∠FDC ,∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC ,∴FBFD＝FDFC,∴FD2＝FB·FC.规律方法判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．【训练2】(2021·陕西卷)如图,AB与CD相交于点E ,过E作BC的平行线与AD 的延长线交于点P ,∠A＝∠C ,PD＝2DA＝2 ,那么PE＝________.解析∵PE∥BC ,∴∠C＝∠PED ,又∠C＝∠A ,那么有∠A＝∠PED ,又∠为公共角,所以△PDE∽△PEA ,PD PE＝PEP A,即PE2＝PD·P A＝2×3＝6 ,故PE＝ 6.答案 6考点三直角三角形射影定理及其应用【例3】如下图,AD、BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为F,直线FD交BE于点G ,交AC的延长线于H ,求证：DF2＝GF·HF.证明∵∠H＋∠BAC＝90° ,∠GBF＋∠BAC＝90° ,∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90° ,∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF,∴AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中 ,FD ⊥AB ,∴DF 2＝AF ·BF ,所以DF 2＝GF ·HF .规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时 ,要注意将 "乘积式〞转化为相似三角形中的 "比例式〞．(2)证题时 ,要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】 如图 ,在Rt △ABC 中 ,∠ACB ＝90° ,CD ⊥AB 于点D ,AD ＝4 ,sin ∠ACD ＝45 ,那么CD ＝______ ,BC ＝______.解析 在Rt △ADC 中 ,AD ＝4 ,sin ∠ACD ＝AD AC ＝45 ,得AC ＝5 ,CD ＝AC 2－AD 2＝3 ,又由射影定理AC 2＝AD ·AB ,得AB ＝AC 2AD ＝254. ∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94 ,由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254 ,∴BC ＝154.答案 3 154三角形相似与圆的交汇问题【典例】 如下图 ,⊙O 和⊙O ′相交于A ,B 两点 ,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点 ,连接DB 并延长交⊙O 于点E ,证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ；(2)AC ＝AE .[审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB ,△DAB 中 ,再证两三角形相似；(2)本问可先证明△EAD ∽△ABD ,再结合第(1)问结论得证．证明 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ,得∠CAB ＝∠ADB ,同理∠ACB ＝∠DAB ,所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ,即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ,得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ,得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD ,即AE ·BD ＝AD ·AB .综合(1)的结论知 ,AC ＝AE .[反思感悟] 1.易失分点：(1)证明此题第(2)问时 ,想不到证明△EAD ∽△ABD ,从而无法解答．(2)证明此题第(2)问时 ,没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立．2．防范措施：(1)证明等积式成立 ,应先把它写成比例式 ,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似 ,假设不相似 ,那么进行线段替换或等比替换．(2)在有多个结论的题目中 ,如果结论带有普遍性 ,已经证明的结论 ,可作为证明下一个结论成立的条件使用．【自主体验】(2021·江苏卷)如图 ,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD证明 连接OD ,因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ,所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以AD AC ＝OD BC .又BC ＝2OC ＝2OD ,故AC ＝2AD .一、填空题1．如图 ,BD ,CE 是△ABC 的高 ,BD ,CE 交于F ,写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角 ,因而它们均相似 ,又易知∠BFE ＝∠A ,故Rt △ACE ∽Rt △FBE .答案 △FCD 、△FBE 、△ABD2.(2021·西安模拟)如图 ,在△ABC 中 ,M ,N 分别是AB ,BC 的中点 ,AN ,CM 交于点O ,那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M ,N 分别是AB 、BC 中点 ,故MN 綉12AC ,∴△MON ∽△COA ,∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14. 答案 1∶43.(2021·渭南模拟)如图 ,∠B ＝∠D ,AE ⊥BC ,∠ACD ＝90° ,且AB ＝6 ,AC ＝4 ,AD ＝12 ,那么AE ＝________.解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90° ,∠B ＝∠D ,∴△ABE ∽△ADC ,∴AB AD ＝AE AC .又AC ＝4 ,AD ＝12 ,AB ＝6 ,∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.答案 24.(2021·佛山质检)如图 ,在直角梯形ABCD 中 ,DC ∥AB ,CB ⊥AB ,AB ＝AD ＝a ,CD ＝a 2 ,点E ,F 分别为线段AB ,AD 的中点 ,那么EF ＝________.解析 连接DE 和BD ,依题知 ,EB ∥DC ,EB ＝DC ＝a 2 ,CB ⊥AB ,∴EBCD 为矩形 ,∴DE ⊥AB ,又E 是AB 的中点 ,所以△ABD 为等腰三角形．故AD ＝DB ＝a ,∵E ,F分别是AD ,AB 的中点 ,∴EF ＝12DB ＝12a .答案 a 25．圆的直径AB ＝13 ,C 为圆上一点 ,过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD ) ,假设CD ＝6 ,那么AD ＝________.解析如图 ,连接AC ,CB ,∵AB 是⊙O 的直径 ,∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ,∵CD ⊥AB 于D ,∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ,即62＝x (13－x ) ,∴x 2－13x ＋36＝0 ,解得x 1＝4 ,x 2＝9.∵AD ＞BD ,∴AD ＝9.答案 96．(2021·广东卷)如图 ,在矩形ABCD 中 ,AB ＝ 3 ,BC ＝3 ,BE ⊥AC ,垂足为E ,那么ED ＝________.解析 在Rt △ABC 中 ,BC ＝3 ,AB ＝ 3 ,所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ,AB ＝3 ,所以AE ＝32 ,在△EAD 中 ,∠EAD ＝30° ,AD ＝3 ,由余弦定理知 ,ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214 ,故ED ＝212. 答案2127. (2021·茂名模拟)如图 ,AB ∥EF ∥CD ,假设AB ＝4 ,CD ＝12 ,那么EF ＝________. 解析 ∵AB ∥CD ∥EF , ∴AB EF ＝BC CF ,BC BF ＝CD EF , ∴4EF ＝BC BC －BF ,BC BF ＝12EF, ∴4(BC －BF )＝12BF ,∴BC ＝4BF , ∴BC BF ＝4＝12EF ,∴EF ＝3.答案 38.如图 ,在梯形ABCD 中 ,AD ∥BC ,BD 与AC 相交于O ,过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ,且EF ∥BC ,假设AD ＝12 ,BC ＝20 ,那么EF ＝________.解析 ∵EF ∥AD ∥BC ,∴△OAD ∽△OCB ,OA ∶OC ＝AD ∶BC ＝12∶20 ,△OAE ∽△CAB ,OE ∶BC ＝OA ∶CA ＝12∶32 ,∴EF ＝2×1232×20＝15.答案 159．(2021·广东卷)如图,圆O的半径为1 ,A ,B ,C是圆周上的三点,满足∠ABC＝30° ,过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P ,那么P A＝________.解析连接AO ,AC ,因为∠ABC＝30° ,所以∠CAP＝30° ,∠AOC＝60° ,△AOC为等边三角形,那么∠ACP＝120° ,∴∠APC＝30° ,∴△ACP为等腰三角形,且AC＝CP＝1 ,∴P A＝2×1×sin 60°＝ 3.答案 3二、解答题10.如图,圆上的弧AC＝BD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明(1)因为AC＝BD,所以∠ABC＝∠BCD.又因为EC与圆相切于点C ,故∠ACE＝∠ABC ,所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB ,∠EBC＝∠BCD ,所以△BDC∽△ECB ,故BCBE＝CDBC,即BC2＝BE·CD.11．(2021·辽宁卷)如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D ,BC垂直CD于C ,EF垂直AB于F ,连接AE ,BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB ,从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB ,得∠FEB＋∠EBF＝π2.从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE ,EF⊥AB ,∠FEB＝∠CEB ,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE ,所以BC＝BF.同理可证Rt△ADE≌Rt△AFE ,得AD＝AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB ,故EF2＝AF·BF ,所以EF2＝AD·BC.12.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E ,求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC＝BD.∵AB＝DC ,BC＝CB ,∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB＝∠DBC ,∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC ,∴∠DAC＝∠ACB ,∠EAD＝∠ABC.∴∠DAC＝∠DBC ,∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC ,∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC ,∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶CD.∴DE·DC＝AE·BD.。
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选修4－1 几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)179～181页)考情分析考点新知应用平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理解决有关三角形问题．①理解平行截割定理，相似三角形的判定定理与性质定理，能运用它们解决三角形中的计算与证明问题.②了解直角三角形的射影定理.1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长． 解：DE BC ＝AE AC 6BC ＝35 BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．解：因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长．解：设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB.连结BD、EC，若BD∥EC，求△BCD和四边形ABCD的面积．解：S△BCD＝S△BDE＝12·BE·DF＝12×1×3＝32，S四边形ABCD＝S△ADE＝12·AE·DF＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面积为6，求△ADF的面积．解：由题意可得△AEF∽△CDF，且相似比为1∶3，由△AEF的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S△ADF∶S△CDF＝1∶3，所以S△ADF＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰．(2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴EF是DC的垂直平分线，∴ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM ∥EN ，∴ AD ∶AB ＝NM ∶MB ，NM ∶MC ＝AE ∶AC. ∵ MB ＝MC ，∴ AD ∶AB ＝AE ∶AC. 题型2 三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC ≌△DCB ； (2) DE·DC ＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC ≌△BCD ，∴ ∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC ， ∴ ∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD.∴ DE ∶BD ＝AE ∶CD ， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF ⊥EC ，且EF交AB 于F ，连结FC.设ABBC＝k ，是否存在实数k ，使△AEF 、△ECF 、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF ∽△DCE ∽△ECF. 因为EF ⊥EC ，所以∠AEF ＝90°－∠DEC ＝∠DCE. 而∠A ＝∠D ＝90°，故△AEF ∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF.又∠CEF ＝∠EAF ＝90°， 所以△AEF ∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF ∽△BCF ，由于∠AFE ＋∠BFC ≠90°，故不可能有∠AFE ＝∠BFC ，因此要使△AEF ∽△BCF ，应有∠AFE ＝∠BFC ， 此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF ∽△DCE ，可知AE AF ＝CDDE ，因此，⎝⎛⎭⎫12BC 2＝13AB 2， 所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB ＝CD 3.证明：∵ ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ， ∴ AD 2＝AE·AC ，BD 2＝BF·BC. ∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC ·BC ＝AB·CD ， ∴ CD 4＝AE·BF·AB ·CD ，即AE·BF·AB ＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC ＝45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H.求证：FG 2＝AF·DF ＋BG·CG ＋AH·BH.证明：因为AC ⊥BD ，故△AED 、△BEC 都是直角三角形． 又EF ⊥AD ，EG ⊥BC ， 由射影定理可知AF·DF ＝EF 2， BG ·CG ＝EG 2.又FG 2＝(FE ＋EG)2＝FE 2＋EG 2＋2FE·EG ＝AF·DF ＋BG·CG ＋2FE·EG ，∠ABC ＝45°，如图，过点H 、A 分别作直线HM 、AN 与BC 垂直，易知，AH ＝2FE ，BH ＝2EG ，故AH·BH ＝2EF·EG.所以FG 2＝AF·DF ＋BG·CG ＋2FE·EG ＝AF·DF ＋BG·CG ＋AH·BH.1. 如图，在 ABCD 中，BC ＝24，E 、F 为BD 的三等分点，求BM －DN 的值． 解：∵ E 、F 为BD 的三等分点，四边形为平行四边形， ∴ M 为BC 的中点．连CF 交AD 于P ， 则P 为AD 的中点，由△BCF ∽△DPF 及M 为BC 中点知，N 为DP 的中点， ∴ BM －DN ＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.求证：AB ∥CD.证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ， 故A 、B 、C 、D 四点共圆， 从而∠CAB ＝∠CDB.再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA. 因此∠DBA ＝∠CDB ，所以AB ∥CD.3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，BD 交EF 于P ，已知EP ∶PF ＝1∶2，AD ＝7 cm ，求BC 的长．解：EF 是梯形中位线，得EF ∥AD ∥BC ，∴PE AD ＝PE 7＝BE AB ＝12，PF BC ＝FD CD ＝12. ∵ PE ∶PF ＝1∶2, ∴ BC ＝2PF ＝14cm.4. 如图，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P 是线段AC 上一点，BP 交AO 于点D ，设三角形ADP 的面积为S ，点P 的坐标为(x ，y)，求S 关于x 的函数表达式．解：如图，作PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则PE ＝x ，PF ＝y. ∵ OA ＝OB ＝OC ＝1，∴ ∠ACO ＝∠FPC ＝45°， ∴ PF ＝FC ＝y ，∴ OF ＝OC －FC ＝1－y ， ∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD ·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x ≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2.解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在 ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF ∽△CEB ；(2) 若△DEF 的面积为2，求 ABCD 的面积． (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴ ∠ABF ＝∠CEB ，∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m ∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n， ∴AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n. 又EG ∥BC ，FG ∥AD ， ∴AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n ·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd(或a ∶b ＝c ∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位． (2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bc ＝d a.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。