定积分的概念引入
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
高等数学自考5.1定积分的概念与性质
a b
b
b
b
a
说明： 可积性是显然的. 在区间 说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的
23 上一页 下一页
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
性质3 性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,
f ( x )dx .
补充： 的相对位置如何, 上式总成立. 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何 上式总成立
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
§1
定积分的概念与性质
一、定积分概念的引入 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、小结
1 上一页 下一页
一、定积分概念的引入
实例1 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
n
2
1 1 1 = 1 + 2 + , 6 n n
λ →0 ⇒n→∞
2
∫0 x
1
2
dx = lim ∑ ξ i ∆xi
λ → 0 i =1
n
1 1 1 1 = lim 1 + 2 + = . n→ ∞ 6 n n 3
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
定积分的概念
f ( i ) xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和式总趋于 确定的极限I ，我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限
b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f
(i )xi
积分和
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表 达 式
变 量
定积分的本质是一种特殊结构的和式的极限
曲边梯形面积A：
n
A lim 0 i1
f (i )xi
记为 b f x dx a
隔[T1 ,T2 ]内，v 的变化不大，可近似看作是
匀速运动问题。按照求曲边梯形面积的思 想。
思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上 速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到 路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求 得路程的精确值。
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ti ti ti1
sin xdx
1
A2
4
sin
xdx
所以
5
A sin xdx 4 sin xdx
1
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
2. 定积分的几何意义
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
定积分的基本概念
方法与手段导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。
事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。
好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。
解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n−1=b ，用直线x =x i 将一个曲边梯形分成n 个小的曲边梯形；常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。
（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。
考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。
在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。
解决步骤： 详讲 总结λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=13。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
《定积分的概念》PPT课件
一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质
一、引入定积分概念的实例
引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](a<b)上非负且连 续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称 为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称 为底边. 问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边 梯形的面积.
把各小区间上力F所做的功的近似值加起来，作 为力 在a, b上所做的功的近似值，即 W W i F ( i ) s i .
i 1 i 1 n n
(3)取极限 把所有小区间长度中的最大值记为 max( si ) 则 0时，和式 F ( i ) si的极限值定义为变力
0 i 1
n
我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极 限”的方法解决变力作功的问题.
引例2 变力做功
设某质点作直线运动，已知变力F ( s)是位移s的 连续函数，质点的位移区间为a, b，求变力F做的功.
计算步骤 (1)分割
将闭区间[a, b] 分成n个小区间, 分别为: [ s0 , s1 ],[ s1, s2 ],,[ si 1, si ],,[ sn 1, sn ] 分点为: a s0 s1 s2 si sn 1 sn b 小区间的长分别为: si si si 1 (i 1,2,, n).
b (1)定积分 a f ( x)dx 是积分和式的极限，是一个数值，
定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关， 而与积分变量的记法无关.即有
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u )du.
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定理3设函数 在 上连续，
（1）如果 为奇函数，则 .
（2）如果 为偶函数， .
4、课堂小结与思考题
这节课我们从实际例子出发学习了定积分的概念及几何意义.定积分是通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量.
希望同学们认真理解定积分的概念和几何意义，并灵活地掌握用定义或几何意义求简单的定积分的值.希望同学们灵活地看待问题，积极地思考问题，不断地发现问题和解决问题.
教学难点：用定义求简单的定积分。
五、学情分析：
我所教授的学生从基础知识比较薄弱，有的接受有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
定积分存在称函数 在区间 上可积，否则称为不可积．
有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：
曲边梯形的面积 是曲线 在区间 上的定积分，即 ．
变速直线运动的物体所经过的路程 是速度 在时间区间 上的定积分，即
由定积分的定义可知
(1)定积分 只与函数 的对应法则以及定义区间 有关，而与表示积分变量的字母无关，因而
教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生
因为 当 所以
3、定积分的几何意义
从例子，我们看到当 时，定积分 表示曲边梯形的面积．当 时，曲边梯形在 轴的下方，定积分 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．当 在 上有正、有负时，则定积分 在几何上表示：曲线 ，直线 ， 及 轴所围成的几块曲边梯形面积的代数和(图4.3)，即 ．
例4利用定积分的几何意义说明： （ ．
教案
课题：定积分的概念
一、教学内容：
1.定积分的概念及几何意义；
2.利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。
二、教材分析：
本次课是学生在导数概念和求曲边梯形的面积还有求变速直线运动的路程后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于重要的地位。
（2）积零为整，求出和式的极限,得精确值.
2、定积分的概念.
定义1设函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个子区间．在每个子区间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 ．如果区间长度 即 时，和式 的无限接近某个常数，则这个常数称为函数 在区间 上的定积分．记作 ，即 ．
其中左端的符号“ ”称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限．
可积的充分条件说明：
-----几何直观
这里的教学过程：教师提出问题(定积分的几何意义)并给出答案，让学生思考并回答为什么，教师进行必要的引导、分析与归纳.
下面请同学们进一步思考： ，为什么？
解：提示学生画出图形，发现此积分等于矩形长为4，高为5的面积，故 教师提问：
为什么？
这个问题的教学过程：首先让学生思考，并回答问题.然后教师进行必要的引导、分析与归纳，并给出完整的回答.
教师分析与引导：这里被积函数 ，我们已经知道了定积分的几何意义，故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为 ，高为1的矩形的面积．
所以有
例5根据定积分的几何意义推出下列积分的值：
（1） ,（2） ,（3） ,（4） .
教师分析与引导：画出图形
（1）由下图（1）所示， .
（2）由上图（2）所示， .
（3）由上图（3）所示， .
它们研究的对象有三个共同的特点：
（1）都有一个在某一区间上的连续函数；
（2）所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间被分为 个小区间时，所研究的量也被相应的分割为 个部分量，且总量等于部分量之和；
（3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.
由此找到了研究这些问题的相同方法：
（1）化整为零，找出局部近似值；
三、教学目标：
通过前面学习的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，为引出定积分的概念做好了前期工作，使学生了解定积分的实际背景，理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。
四、教学重点、难点：
教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义；
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学过程：
1、复习前面所学的求曲边梯形的面积和求变速运动的路程，归纳它们的共同特征，由这两个实际例子引出定积分的概念.
复习1求曲边梯形的面积．
分四步来解决：
（1）分割(化整为零)
（2）近似代替（以直代曲）
（3）求和（求曲边梯形面积的近似值）
（4）取极限（积零为整）
=
(2)定积分 的实质是一种特殊和式（ 个乘积 之和）
的特殊极限（ ）．（该极限与 的分法无关，与 的取法无关）．
什么条件下 可积？
定理1若函数 在 上连续，则函数 在 上可积．
例3利用定义计算 的值.
教师分析与引导：因 在区间 内是连续的，故 是存在的， 是一常数，且此数的大小与 的分法及对 在区间 的取法无关，为了好计算：把区间 分成 等份分点和小区间长度分别为 取 作积分和
复习2求变速直线运动的路程
（1）分割（化整为零）
（2）近似代替（以匀代变）
（3）求和（求总路程的近似值）
（4）取极限（积零为整）
总结：上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：求 个乘积 之和 ，当 时的极限．
切记，数学离不开解题，更离不开思考问题.只有通过解题和思考问题才能积累经验，提高能力，把握本质，体会奥妙，产生灵感，变得熟练.
5、作业布置
重要思想：
1.由已知求未知；
2.极限思想；
3.问题归结；
4.化整为零；
5.以直代曲。
分割方法----任意
分割要求----最大宽度趋于0
这里的教学过程：教师提出问题，让学生思考，教师给出解决方案，让学生思考回答为什么求极限得到的就是我们要求的精确值，教师进行必要的引导、分析与归纳，在此基础上一步一步引导学生抽象出定积分的概念.