平面直角坐标系的构成
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是平面上最常用的坐标系统之一，用于描述平面上的点和其它几何图形的位置。
它由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点。
一、坐标系介绍坐标系是用来刻画空间中各点位置的系统，而平面直角坐标系是坐标系中的一种。
平面直角坐标系的构成：1. x轴：水平的直线，向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。
2. y轴：垂直于x轴的直线，向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。
3. 原点：x轴和y轴的交点，被称为坐标系的原点。
二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点可以表示为一个有序数对，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
1. 横坐标：横坐标表示点在x轴上的位置。
在原点的右边为正方向，左边为负方向。
2. 纵坐标：纵坐标表示点在y轴上的位置。
在原点的上方为正方向，下方为负方向。
三、点的位置关系根据坐标系的定义，我们可以判断点的位置关系。
1. 同一直线上的点：如果两个点的横坐标相等，纵坐标不同时，它们在同一条直线上，且与原点的距离相等。
2. 垂直关系：如果两个点的纵坐标相等，横坐标不同时，它们在同一条垂直线上，且与原点的距离相等。
3. 斜率：直线斜率是用来描述直线的倾斜程度的，斜率为0表示水平线，无限大表示垂直线。
4. 象限：根据点的坐标正负关系，可以将平面分为四个象限。
第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0。
四、点、线和图形的表示方法在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标来表示点、线和图形。
1. 表示点：一个点的位置可以使用有序数对(x, y)来表示。
如点A(2, 3)表示横坐标为2，纵坐标为3的点A。
2. 表示线段：线段由两个端点组成，可以使用两个点的坐标来表示。
如线段AB由两个点A(2, 3)和B(4, 5)表示。
3. 表示直线：直线的方程可以使用斜率截距形式或一般式来表示。
平面直角坐标系
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
平面直角坐标系与圆的性质
平面直角坐标系与圆的性质在平面几何中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系，用来描述平面上的点和图形。
而圆是几何学中一种具有特殊性质的图形。
本文将探讨平面直角坐标系与圆的性质及其相关应用。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系由x轴和y轴所构成，x轴和y轴相互垂直且相交于原点O，形成了一个平面上的直角。
根据笛卡尔坐标系的原理，每个点在平面上都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
在平面直角坐标系中，可以通过两点之间的距离公式计算两点之间的距离，即：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)二、圆的性质1. 定义：圆是平面上到一定点距离相等的所有点的集合。
这个固定的点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
2. 圆的方程：在平面直角坐标系中，圆可以通过以下方程表示：(x - a)² + (y - b)² = r²其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
3. 判定点与圆的位置关系：给定一个点(x0, y0)和一个圆心为(a, b)，半径为r的圆，判断点与圆的位置关系有以下三种情况：- 当(x0 - a)² + (y0 - b)² > r²时，点在圆的外部；- 当(x0 - a)² + (y0 - b)² = r²时，点在圆上；- 当(x0 - a)² + (y0 - b)² < r²时，点在圆的内部。
4. 判定两个圆的位置关系：给定两个圆的圆心分别为(a1, b1)和(a2, b2)，半径分别为r1和r2，判定两个圆的位置关系有以下三种情况：- 当(x1 - x2)² + (y1 - y2)² > (r1 + r2)²时，两个圆相离；- 当(x1 - x2)² + (y1 - y2)² = (r1 + r2)²时，两个圆相交；- 当(x1 - x2)² + (y1 - y2)² < (r1 + r2)²时，一个圆在另一个圆的内部。
平面直角坐标系和直角坐标方程
平面直角坐标系和直角坐标方程一、平面直角坐标系的定义与构成1.平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴（横轴和纵轴）组成的平面图形。
2.横轴（x轴）与纵轴（y轴）相交于原点（O点），原点是坐标的起点。
3.坐标轴上的点用数值表示，横轴上的点用x表示，纵轴上的点用y表示。
二、坐标值的表示方法1.点的坐标值用一对有序实数（x, y）表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.坐标值可以是正数、负数或零。
3.坐标轴上的点，其坐标值有一个为零，另一个为无穷大。
三、坐标系的性质与特点1.坐标系具有原点、轴、象限、坐标轴正方向等基本元素。
2.任意一点在坐标系中的位置都可以用其坐标值（x, y）来表示。
3.坐标系将平面分成四个部分，称为象限，每个象限具有特定的坐标符号特征。
四、直角坐标方程的概念1.直角坐标方程是描述平面直角坐标系中点的位置关系的方程，形式为f(x, y)=0。
2.直角坐标方程可以表示直线、圆、椭圆、双曲线等平面图形。
3.直角坐标方程由函数、变量、常数等数学符号组成。
五、直角坐标方程的分类1.线性方程：最高次项为一次的方程，如ax + by + c = 0。
2.二次方程：最高次项为二次的方程，如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey +f = 0。
3.三次方程：最高次项为三次的方程，如ax^3 + bx^2y + cx2y2 + dx^3+ ey^3 + f = 0。
4.函数方程：含有自变量和因变量的方程，如y = f(x)。
六、直角坐标方程的求解方法1.线性方程的求解：通过解析式求出x、y的值。
2.二次方程的求解：利用求根公式、配方法、图像法等求解。
3.三次方程的求解：利用代数方法、因式分解、图像法等求解。
4.函数方程的求解：通过代入法、图像法、解析法等求解。
七、直角坐标方程的应用1.描述几何图形的位置和形状。
2.解决实际问题，如物体的运动轨迹、平面几何题等。
3.数学分析、物理学、工程学等领域的建模和求解。
直角坐标系的概念
直角坐标系的概念直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，用于描述平面或空间中点的位置。
直角坐标系由两条互相垂直的线段（通常称为坐标轴）构成，其中一条被定义为x轴，另一条被定义为y轴。
这两条坐标轴的交点被称为原点，通常表示为O。
在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
x轴和y轴划分了整个平面或空间的区域，形成了四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
下面以平面直角坐标系为例，介绍直角坐标系的概念和特点。
一、平面直角坐标系的特点平面直角坐标系是由两条相互垂直的线段构成的。
其中一条线段被定义为x轴，另一条线段被定义为y轴。
它们的交点被定义为原点O。
1. 坐标轴：x轴和y轴都是无限延伸的直线，它们相交于原点O，并将平面划分为四个象限。
2. 坐标轴正方向：x轴从左往右延伸，正方向为右；y轴从下往上延伸，正方向为上。
3. 坐标轴单位：x轴和y轴上的单位长度可以自行确定，常用的单位包括厘米、米、英寸等。
4. 笛卡尔坐标表示法：平面直角坐标系使用笛卡尔坐标表示法，即每个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示。
其中x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
5. 象限：平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
其中第一象限是x轴和y轴的正半轴所在的象限，其他象限依次逆时针排列。
二、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学和物理学中广泛应用，它提供了一种简便的方式来描述点的位置和计算与坐标有关的问题。
1. 几何图形的定位：平面直角坐标系可以用于定位几何图形上的点，通过给定的坐标可以精确描述图形上的点的位置。
2. 函数图像的表示：平面直角坐标系可用于绘制函数图像，其中横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量，通过绘制函数曲线可以直观地观察函数的性质。
3. 向量运算：平面直角坐标系可以用于进行向量的加法、减法和数乘等运算。
平面直角坐标系课件
（-3，0）
（0，0）
（3，0）
x
（3，-3）
2、春天到了，初一某班组织同学到人民公园春游.张明、 王丽二位同学和其他同学走散了.同学们已经到了中心广
场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电 话中向老师告知了他们的位置.
张明：“我这里的坐标是（300，300）”
王丽：“我这里的坐标是（200，30y0）”. y
图3-5
解 如图3-5，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴 上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y
轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他
各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在 第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限.
图3-5
写出平面直角坐标系中的A、B、C、E、F、G、H、O、T
2叫做点A的纵坐B（标2，3） A点在平面内的坐标为(3， 2) 记作：A（3，2）
·
·A（3，2）
方法：先横后纵
-4 -3 -2 -1 0 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系上-2的点和有序实数对一一对应
-3
D
-4
E
（－3，－3）
（5，－4）
笛卡尔，法国数学家、 科学家和哲学家.早在 1637年以前，他受到了 经纬度的启示.（地理上 的经纬度是以赤道和本 初子午线为标准的，这 两条线从局部上看可以 看成平面内互相垂直的 两条线.）发明了平面直 角坐标系，又称笛卡尔 坐标系.
我们把北偏西60°，南偏东60°这样的角称为方位角.
例4 如图3-10，12 时我渔政船在H 岛正南方向， 距H岛30海里的A 处，渔政船以每小时40 海 里的速度向东航行， 13 时到达B处，并测 得H 岛的方向是北偏西53°6′. 那么此时渔 政船相对于H岛的位置怎样描述呢？
平面直角坐标系
平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。
本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。
一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。
x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。
两条轴的交点称为原点，记作O。
平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。
二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。
2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。
1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。
对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。
2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。
在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。
3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。
向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。
向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。
它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。
平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。