高中数学人教A版(2019)必修第二册学案：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1. 数学抽象：通过圆的面积推导方法由球的表面积推出其体积公式。
2. 逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。
3. 数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生数形结合能力，有利于数学建模中数形结合能力。
4. 数据分析：通过利用表面积及体积公式解决一些计算问题。
二、教学重难点1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；2.掌握棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积,会解决球的切、接问题三、教学过程1 创设情景让学生回顾棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积【设计意图】把已学知识与新知建立联系，温故知新。
并引出本节新课内容2 新知探究问题1:圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么？(小组合作，学生回答，教师点拨)生答:圆柱的侧面展开图为矩形:12圆锥的侧面展开图是扇形:圆台的侧面展开图是扇环:问题2:如何求它们的表面积与体积？(提出本节课所学内容) 问题3:圆柱、圆锥、圆台三者的表面积与体积公式之间有什么关系？大家能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？小组合作，学生回答，教师点拨问题4:你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有什么关系？小组合作，学生回答，教师点拨【设计意图】段炼学生推理能力, 培养学生数形结合能力.3新知建构圆柱的表面积公式:)(2222l r r rl r S +=+=πππ圆柱表面积;圆柱的体积公式:r 是底面半径，h 是高,则h r V 2π=;圆锥的表面积公式:)(2l r r rl r S +=+=πππ圆锥表面积; 圆锥的的体积公式:r 是底面半径，h 是高,则h r V 231π=; 圆台的表面积公式:)(22rl l r r r S +'++'=π圆台表面积;3圆台的体积公式:h S S S S V )(31+'+'=,其中S ，S '分别为上、下底面面积，h 为圆台（棱台）的高 球的表面积公式：24S R π=球（R 为球的半径）;球的体积公式:设球的半径为R ，则.22R 34323R R R V V πππ=⋅==圆柱球， 球的体积： 利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。
数学人教A版高中必修二(2019新编)8-1基本立体图形第2课时 圆柱、圆锥、圆台(教案)
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第2课时圆柱、圆锥、圆台一、教学目标1.通过计算机模拟或者利用实物概括出圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征；2.能用数学语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；3.通过对圆柱、圆锥、圆台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点1.让学生观察大量空间实物及计算机模型，进而概括出圆柱、圆锥、圆台的结构特征；2.会进行旋转体的相关计算.三、教学过程：（1）创设情景通过上节课学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体，那么生活中常见的旋转体有哪些？它们具有什么样的结构特点？阅读课本以及通过计算机模拟生活中的一些物体,让学生小组合作完成以下问题（2）新知探究问题1：什么是旋转体？旋转体包含哪些图形？让学生仔细观察这些物体,回答出概念.问题2：能否通过观察给出圆柱、圆锥、圆台、球的定义？它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,小组合作，让学生畅所欲言，学生之间质疑，教师从旁引导学生不断揭示它们联系和区别。
问题3：什么是简单组合体，它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,回答出概念，并找出它们的结构特征。
圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
圆柱的构成：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱的表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱O’O。
练习：判断正误(1)圆柱的底面是圆面 ( )(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 ( )(3)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 ( )(1)√,圆柱的底面是圆面．(2)√,如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)×，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 高一数学(人教A版2019必修第二册)
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三 条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩 形的对角线就是球的直径，此对角线也是长方体的体对角线，长 方体的体对角线长为 12＋22＋32＝ 14，设球的半径为R，则有
在Rt△POE中，PE=4，
OE=3，则高PO=7 .
所以
V
1· 3
SABCD·
PO
1 3
62
7 12
7，
S侧面积
1· 2
c·
PE
1 2
4
6
4
48.
【提升总结】圆柱、圆台、圆锥表面积公式 圆柱的表面积为：
S圆柱表 2r2 2rl 2r r l
圆锥的表面积为：
S圆锥表 r2 rl r r l
答案：6
题型三 球的切、接问题——微点探究 微点 1 球与正方体、长方体的切、接问题 例 2 (1)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则 该球的体积为( )
A.43π
B.
2π 3
C.
3π 2
D.π6
解析：将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球时，球 的直径等于正方体的棱长2，则球的半径R＝1.
结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统 一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
V柱体 =Sh (S为底面积，h为柱体高)
1 V锥体 = 3 Sh (S为底面积，h为锥体高)
V台体
=
1 3
(
S
S S S )h (S′、S分别为上、下底面面积，h为台体高)
【新人教版】数学必修二第八章 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【新人教版】数学必修二第八单元8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱＝Sh＝πr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥＝1 3Sh＝13πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台＝13(S＋SS′＋S′)h＝13π(r2＋rr′＋r′2)h圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径).2.球的体积公式V＝43πR3.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.(×)2.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.(√)3.球的体积是关于球半径的一个函数.(√)4.球的表面积是球的体积的6倍.(×)一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶ 3C.1∶ 5D.3∶2答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS 答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ， ∴r ＝S π，∴底面周长为2πr ＝2πS π，又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是⎝⎛⎭⎪⎫2πS π2＝4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π(cm 3).(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( )A.64π3B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB . 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝2r .由S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π，所以r ＝4.则h ＝4. 故圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π. 三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144πB.36π，36πC.144π，36πD.144π，144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2，故S 表S 侧＝2πr 2(1＋2π)4π2r 2＝1＋2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A.120°B.150°C.180°D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2.S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2.∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ，由题意知，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π， 所以h ＝3.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3B.4∶9C.2∶ 3D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16π cm 2答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π， ∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π， ∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2).综上，圆锥的轴截面的面积为32π cm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π 答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.6.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________cm 3. 答案 500π3 解析 如图所示，由已知得O 1A ＝3 cm ，OO 1＝4 cm ，从而R ＝OA ＝5 cm. 所以V 球＝4π3 ×53＝500π3(cm 3).7.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 答案 33π解析 圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ， 则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3， 则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.8.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.9.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S . 则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.122π B.12π C.82π D.10π答案 B解析 ∵过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，∴圆柱的高为22，底面圆的直径为22，∴该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.12.若一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm 2，则此球的体积为( )A.π6 cm 3B.6π8 cm 3C.4π3 cm 3D.6π6 cm 3答案 A解析 设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，∴6a 2＝6，∴a ＝1 cm ，即2R ＝1，∴R ＝12 cm ，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝π6 cm 3. 13.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为a 2，∴V 内＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝πa 36， 正方体的外接球的半径为32a ，∴V 外＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 3＝33πa 36，∴V 内∶V 外＝1∶3 3.14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3，V 球＝43πR 3，故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2.15.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________.答案 144π解析 如图所示，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，三棱锥O －ABC 的体积最大， ∴当动点C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V 三棱锥O －ABC ＝V 三棱锥C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，解得R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.16.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2， 即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.3.2 Word版
第八章立体几何初步8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计一、教学目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式。
2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的体积的计算公式。
二、教学重难点1.教学重点了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。
2.教学难点圆台的表面积和体积计算公式。
三、教学过程1.新课导入上节课我们学习了棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，那么圆柱、圆锥、圆台和球体的表面积和体积如何计算呢？2.探索新知与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。
利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，可以得到它们的表面积公式：（r是底面半径，l是母线长），（r是底面半径，l是母线长），（r分别是上、下底面半径，l是母线长）。
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即（r 是底面半径，h 是高），（r 是底面半径，h 是高）。
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 （r 分别是上、下底面半径，h 是高）。
设球的半径为R ，它的表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数。
事实上，如果球的半径为R ，那么它的表面积是。
类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。
课本P118将球体分割成n 个“小锥体”，小锥体体积和就是球的体积。
球的体积公式为。
本节课我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法。
在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算。
3. 课堂练习1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( )A ．72B ．42πC ．67πD ．72π答案：C [S 表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.]2．一个高为2的圆柱，底面周长为2π. 该圆柱的表面积为__．答案：6π [由底面周长为2π可得底面半径为1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.]3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π答案：A[设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh)∶2πrh ＝(r ＋h)∶h ＝(2π＋1)∶2π.]4．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( )A ．C 24πB ．C 22π C ．C 2π D ．2πC 2 答案：C [由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，所以S 球面＝4πR 2＝C 2π.] 5．表面积为4π的球的半径是________．答案：1 [设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝4π，得R ＝1.]6. 若一个球的体积为36π，则它的表面积为________．答案：36π [由43πR 3＝36π，可得R ＝3，因此其表面积S ＝36π.] 7．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．答案：32 [设大球的半径为R ，则有43πR 3＝2×43π×13，R 3＝2，∴R ＝32.] 4. 小结作业小结：本节课学习了圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。
人教A版高中学案数学必修二课件 第8章 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征
(3)母线平行且相等,它们都垂直于底面,它们的长等于圆柱的高.
微思考
1.如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各
形成什么图形?共同围成什么空间几何体?
提示 边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面,它们共同围
成一个圆柱.
2.如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?经过它
圆台O'O
线
名师点睛
圆台的性质
(1)圆台的底面是两个半径不等的圆面,两圆面所在的平面互相平行又都和
轴垂直.
(2)平行于底面的截面是圆面.
(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的
等腰梯形,如梯形ABB1A1.
(4)任意两条母线确定的平面,截圆台所得的截面是
等腰梯形,如梯形ACC1A1.
(5)母线都相等,各母线延长后都相交于一点.
则△SO'A'∽△SOA,SA'=3 cm,
'∴ຫໍສະໝຸດ 3∴3+
=
''
,
=
4
=
1
.
4
解得 l=9,故圆台的母线长为 9 cm.
延伸探究 本例中若圆台的上底面半径为1 cm,其他条件不变,试求圆台的
高.
解 作A'H⊥AB,
∵圆台的上底面半径为1 cm,
∴下底面半径为4 cm.
2
如图,在 Rt△A'HA 中,A'H= ' - 2 =
形成的面所围成的旋转体是圆锥;
②半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的旋转体是球;
③用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
高一数学 人教A版2019必修第二册 8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 教案
教学目标：1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。
2.培养学生对于空间图形的三维观念。
3.能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式。
2.运用所学知识解决实际问题。
教学难点：1.对于空间图形的三维观念的理解。
2.运用所学知识解决实际问题的能力。
教学方法：1.讲授法2.案例分析法3.交互式探究法教学过程：一、引入新知识通过与学生交流，引导学生思考关于圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的概念及应用，并激发学生的兴趣。
二、讲授新知识1.圆柱(1)侧面积：S1=2πrh(2)底面积：S2=πr²(3)总面积：S=S1+S2=2πrh+πr²(4)体积：V=S2h=πr²h2.圆锥(1)母线：L=√(h²+r²)(2)侧面积：S1=πrl(3)底面积：S2=πr²(4)总面积：S=S1+S2=πrl+πr²(5)体积：V=1/3S2h=1/3πr²h3.圆台(1)母线：L=√((r1-r2)²+h²)(2)侧面积：S1=π(r1+r2)l(3)底面积：S2=πr1²+πr2²(4)总面积：S=S1+S2=π(r1+r2)l+πr1²+πr2²(5)体积：V=1/3S2h=1/3πh(r1²+r1r2+r2²)4.球(1)表面积：S=4πr²(2)体积：V=4/3πr³三、案例分析根据教师所提供的实际问题进行案例分析，让学生掌握如何应用所学知识解决问题。
四、交互式探究让学生通过实践操作，计算不同空间图形的表面积和体积，并进行交流与讨论，加深对于公式的理解和应用。
五、小结归纳将本节课所学知识进行总结、归纳，强化记忆，培养综合思考能力。
六、课后作业1.完成课后习题。
2.设计一个空间图形的问题，应用所学知识解决。
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个
圆柱的体积可能是
√288 A. π
cm3
√192 B. π
cm3
C.288π cm3
D.192π cm3
解析 当圆柱的高为 8 cm 时，V＝π×122π2×8＝2π88(cm3)， 当圆柱的高为 12 cm 时，V＝π×28π2×12＝1π92(cm3).
V柱 Sh
V柱
1 3
Sh
1 V台 3 (S
SS' S' )h
复习 棱柱、棱锥、棱台的表面积：
围成它们的各个面的面积的和，即侧面积+底面积
我们知道了多面体的表面积，那你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆 台、球的表面积又是怎样的呢？
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即 侧面积+底面积
变式2 (1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°， 轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.
解析 设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D， 则A1D＝3，∠A1AB＝60°， 又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°，
1 3
Sn
R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
因为 S 4πR2 所以球的体积为 V 4 R3
3
Si
hi
Vi
Si
R
O
Vi
2
PART TWO
题型探究
题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积 【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.
高一数学人教A版(2019)必修第二册第八章8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积 学案
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积素养目标学法指导1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.2．球心和球的半径是球的“灵魂”. 3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝__ __侧面积：S 侧＝__ __ 表面积：S ＝____ 圆锥底面积：S 底＝__ __侧面积：S 侧＝__ __ 表面积：S ＝__ __ 圆台上底面面积：S 上底＝__ __下底面面积：S 下底＝__ __ 侧面积：S 侧＝___ 表面积：S ＝____知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明圆柱 V 圆柱＝Sh ＝____ 圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝__ __圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V 圆台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ＝____圆台上底面圆的半径为r ′，面积为S ′，下底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h知识点3 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝__ __(R 为球的半径).2．球的体积公式V ＝__ __.[知识解读] 1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V ＝13Sh .(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.3．与球的体积、表面积有关的问题 (1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系 S 球＝4πR 2 V 球＝43πR 3从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积典例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为____.(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为__ __.[归纳提升] 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【对点练习】❶ (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.(2)一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为____. (3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积典例2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A ．64π3B ．128π3C ．64πD ．1282π(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是____.[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.【对点练习】❷ (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是____. (2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是___cm.题型三 球的体积与表面积典例3 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( )A ．12πB ．16πC ．16π3D ．64π3(2)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为____.【对点练习】❸ (1)(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π (2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为____.找错内切球截面致错典例4 一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积. [错解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的面对角线长d ＝32＋32＝32， ∴球的半径R ＝12d ＝322.∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3222＝18π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3223＝92π.[错因分析]将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.[正解][误区警示]正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.【对点练习】❹已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积知识点1圆柱、圆锥、圆台的表面积旋转体圆柱底面积：S 底＝__2πr 2__侧面积：S 侧＝__2πrl __ 表面积：S ＝__2πr (r ＋l )__ 圆锥底面积：S 底＝__πr 2__侧面积：S 侧＝__πrl __ 表面积：S ＝__πr (r ＋l )__ 圆台上底面面积：S 上底＝__πr ′2__下底面面积：S 下底＝__πr 2__ 侧面积：S 侧＝__π(r ′l ＋rl )__ 表面积：S ＝__π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )__知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明圆柱 V 圆柱＝Sh ＝__πr 2h __圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝__13πr 2h __圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V 圆台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ＝__13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h __圆台上底面圆的半径为r ′，面积为S ′，下底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h知识点3 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝__4πR 2__(R 为球的半径). 2．球的体积公式V ＝__43πR 3__.[知识解读] 1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系V ＝Sh ――→S ′＝S V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V ＝13Sh .(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.3．与球的体积、表面积有关的问题 (1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系 S 球＝4πR 2 V 球＝43πR 3从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积典例1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积为__2π__. (3)圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为__168π__.[解析] (1)因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)由题意，母线长l ＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.(3)先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋(R －r )2＝(4r )2＋(3r )2＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8．故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.[归纳提升] 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【对点练习】❶ (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__7__.(2)一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为__4πS __. (3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__1__.[解析] (1)设圆台较小的底面半径为r ，那么较大的底面半径为3r ，由已知得π(r ＋3r )×3＋πr 2＋9πr 2＝574π，解得r ＝7．(2)设圆柱的底面半径为R ， 则S ＝πR 2，R ＝S π， 底面周长c ＝2πR .故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2·Sπ＝4πS .(3)设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧π×r ×l ＝2π2×π×r ＝12×2×π×l，解得r ＝1，l ＝2． 题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积典例2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( A ) A ．64π3B ．128π3C ．64πD ．1282π(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( D )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是__733π__.[解析] (1)设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，由题意得，侧面积S 侧＝πr ·l ＝2πr 2＝162π， ∴r ＝4．∴l ＝42，高h ＝l 2－r 2＝4．∴圆锥的体积V ＝13Sh ＝13π×42×4＝643π，故选A ．(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.【对点练习】❷ (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是__12π__. (2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__123－π2__cm.[解析] (1)易知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.(2)正六棱柱体积为6×34×22×2＝123，圆柱体积为π⎝⎛⎭⎫122·2＝π2，所求几何体体积为123－π2.题型三 球的体积与表面积典例3 (1)球的体积是32π3，则此球的表面积是( B )A ．12πB ．16πC ．16π3D ．64π3(2)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( B )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为__4π3__.[解析] (1)设球的半径为R ，则由已知得43πR 3＝32π3，解得R ＝2．故球的表面积S 表＝4πR 2＝16π.(2)设球心为O ，截面圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1垂直于截面圆O 1，如图所示.在Rt △OO 1A 中，O 1A ＝ 5 cm ，OO 1＝2 cm ， ∴球的半径R ＝OA ＝22＋(5)2＝3(cm)， ∴球的体积V ＝43×π×33＝36π(cm 3).(3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为4π3.【对点练习】❸ (1)(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C )A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π(2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为__100π__. [解析] (1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半， 即R ＝(23)2＋(23)2＋(23)22＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 故选C ．(2)如图，由条件知，O 1A ＝3，OO 1＝4，所以OA ＝5，所以球的表面积为100π.找错内切球截面致错典例4 一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.[错解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54，解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的面对角线长d ＝32＋32＝32，∴球的半径R ＝12d ＝322. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3222＝18π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3223＝92π. [错因分析] 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.[正解] 设正方体的棱长为a ，则有6a 2＝54，解得a ＝3或a ＝－3(舍去).∴正方体的体对角线长d ＝3×32＝3 3.∴球的半径R ＝12d ＝332. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫3322＝27π， V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫3323＝2732π. [误区警示] 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.【对点练习】❹ 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π2__. [解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32. 故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.。
高一数学必修第二册 2019(A版)_《圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体》导学案(2)
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．2．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1.数学抽象：简单组合体概念的理解；2.逻辑推理：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特点；3.直观想象：判断空间几何体；4.数学运算：球的相关计算、最短距离等；5.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；难点：旋转体的相关计算.一、预习导入阅读课本101-104页，填写。
一、常见的旋转体1、圆柱：定义：以_______的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
旋转轴叫做圆柱的_______；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_______；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的_______；无论旋转到什么位置，_______于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱用表示它的_______的字母表示，如圆柱O’O。
2、圆锥：以______________的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。
圆锥也有_______、_______、_______和_______。
圆锥也用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。
3、圆台：用平行于_______底面的平面去截圆锥，_______和_______之间的部分叫做圆台。
圆台也有轴、底面、侧面、母线。
圆台也用表示它的轴的字母表示，如圆台O’O。
4、球：以半圆的_______所在的直线为旋转轴，半圆面旋转_______形成的旋转体叫做球体。
半圆的圆心叫做_______，半圆的半径叫做球的_______，半圆的直径叫做球的_______，球常用球心字母O表示，如球O。
小结：常见空间几何体有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。
其中_______、_______统称为柱体，_______、_______统称为锥体，_______、_______统称为台体，所以简单空间几何体概括分类为：柱体、锥体、台体和球体。
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8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标
1. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式。
2. 了解圆柱、圆锥、圆台、球的体积的计算公式。
基础梳理
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：
（r是底面半径，l是母线长），
（r是底面半径，l是母线长），
（r分别是上、下底面半径，l是母线长）。
2. 圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（r是底面半径，h是高），
（r是底面半径，h是高）。
（r分别是上、下底面半径，h是高）。
3. 球的表面积和体积公式：；
随堂训练
1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是() A．4πB．3πC．2πD．π
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()
A．πB．2πC．4πD．8π
3．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()
A．5πB．6πC．20πD．10π
4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积
是( )
A ．54
B ．54π
C ．58
D ．58π
5．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( )
A ．C 24π
B ．
C 22π C ．C 2
π
D ．2πC 2 6.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是3，3，6，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )
A ．12π
B ． 18π
C ．36π
D ． 6π
7．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( )
A ．2倍
B ．4倍
C ．8倍
D ．16倍
8．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________．
9．已知一个圆台的正视图如图所示，若其侧面积为35π，则a 的值为____．
10．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．
11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
12．一个正方体的八个顶点都在体积为43
π的球面上，则正方体的表面积为________． 13.(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；
(2)已知球的体积为108π3，求它的表面积． 14.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．
答案
随堂训练
1. 答案：C [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.]
2. 答案：B [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，
由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1, 所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.]
3. 答案：D [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆
柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]
4. 答案：A [设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，
则52＝13
πh 1(r 2＋9r 2＋3r·r)， ∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32
h 1， ∴V 原圆锥＝13π(3r)2×h ＝3πr 2×32h 1＝92
×12＝54.] 5. 答案：C [由2πR ＝C ，得R ＝C 2π，所以S 球面＝4πR 2＝C 2π
.] 6. 答案：A [由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为23，从而球的半径为3，球表面积为12π.]
7. 答案：C [设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝43
πr 3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．]
8. 答案：3 [设底面半径为r ，则13
πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.] 9. 答案：2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a, 则母线长为1＋a 2， 则其侧面积等于π(1＋2)·（1＋a 2 ）＝35π，解得a 2＝4，所以a ＝2(舍去负值)．]
10. 答案：S 2
[如图所示， 设圆锥的底面半径为r, 母线长为l.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S 2π
. 所以圆锥的底面面积为πr 2＝π×S 2π＝S 2
.] 11. 答案：3π [由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积
与截面面积的和，即12
×4π＋π＝3π.] 12. 答案：8 [设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，
则43πR 3＝43π，故R ＝1，由3a ＝2R ＝2，所以a ＝23
，所以正方体的表面积为S ＝6a 2＝6×⎝⎛⎭⎫232＝8.]
13. [解] (1)由R ＝1，所以S 球＝4πR 2＝4π，V ＝43πR 3＝43
π. (2)由V ＝43πR 3＝1083
π， 所以R ＝3，所以S ＝4πR 2＝36π.
14. [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，
则2πr ＝13
πl ，得l ＝6r. 又S 锥＝πr 2＋πr·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157
， V ＝13πr 2h ＝13π×157
×35×157＝2537π.。