马尔科夫链遍历性和极限分布详解共16页
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第三章 马尔可夫链
第三章 马尔可夫链 一、马尔可夫链的概念马尔可夫过程是一类有重要应用意义的随机过程，它具有如下特征：随机过程‘将来’所处的状态仅与‘现在’所处的状态有关，而与‘过去’曾处于什么状态无关。
马尔可夫过程按其状态和时间参数是离散还是连续的可以分成三类 （1） 时间和状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。
（2） 时间连续、状态离散的马尔可夫过程，称为连续时间的马尔可夫链。
（3） 时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章介绍马尔可夫链定义1 设}0,{≥n X n 为随机序列，其状态空间为},,,{210 i i i I =，如果对任意正整数n 及任意n+2个状态I i i i i n ∈+1210,,,, ，有},,,{110011n n n n i X i X i X i X P ====++}{11n n n n i X i X P ===++则称此随机序列}0,{≥n X n 为马尔可夫链。
若将时刻n 称为‘现在’，将时刻n+1称为‘将来’，而把0，1，2，……，n-1称为‘过去’。
定义中的等式便可通俗解释为：在已知}0,{≥n X n ‘现在’所处的状态条件下，‘将来’所要达到的状态与‘过去’所经历的状态无关，这一特性常称为马尔可夫的无后效性。
例1．一个n 级数字传输系统，每一级的输入和输出信号只取0或1两个值，每一级的输出是下一级的输入；并假定当一级输入为0时，其输出为0和为1的概率分别为p 和1-p;当输入为1时，其输出为1和0的概率分别为p 和1-p （见图）令Xn 表示第n 级输出，则{ Xn,n ≥0}便为一个马尔可夫链。
例2．从1，2，……，N 数字中任取一个数，记为X0；再从1，2，……，X0数字中任取一个数，记为X1；再从1，2，……，X1中任取一个数，记为X2；依此类推，在1，2，……，Xn-1中任取一个数，记为Xn 。
可以证明{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
事实上，{ Xn,n ≥0}的状态空间为I={1，2，……，N}，对任意正整数n ，取n+1个状态I i i i i n ,,,,210 ,由题意可知故{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
演示文稿第六章马尔可夫链
(n)
p(m) lj
(n
k
),
n, m, k 0,i, j S
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
p(km) ij
(n)
P{X
nk m
j
Xn
i)
第十三页，共123页。
P{( X nk l), X nkm j X n i)
l
P{ ( X nk l, X nkm j) X n i)
l
或矩阵形式 P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明 P( X nk l, X nkm j) X n i)
l
P( X nk l X n i) P( X nkm j X n i, X nk l) l
第十四页，共123页。
P( X nk l X n i) P( X nkm j X nk l)
第二十七页，共123页。
qa
a-1
a
ra
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例 例2(有限制随机游动问题)
阵
P
(k
)
(n)
(
p(k ij
)
(n))
为系统{X n , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
第十页，共123页。
第一节 基本概念
1. 转移概率
特别 当k=1时，
p (1) ij
(n
)为
系
统
在
n时
的
一步
转
移
概
率
,
记为 pij (n)
P
(1)
(n)
(
p (1) ij
(n))为系统的一步转移概率矩阵
5马尔可夫链(精品PPT)
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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汇报人：儿
特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
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马尔可夫链课件
1的概率向左或向右移动一 3
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
马尔可夫链
P{ X k n = ik n | X k n−1 = ikn−1 , ⋯ , X k1 = ik1 }
= P{ X k n = i k n | X k n −1 = i k n −1 }
表明 马氏链的子链也是马氏链
13
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质 P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} … =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} … P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} … = P{Xn=in|Xn-1=in-1} P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,…,Xn-2=in-2} … P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-2=in-2} … =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2} P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-2=in-2} … -
P称为一步转移概率矩阵 称为一步转移概率 称为一步转移概率矩阵
j∈I
8
4.1 马尔可夫链与转移概率
二、基本性质 性质1 性质
设{ X n , n ≥ 0 }为马氏链，其状态空间为 I，则
P{ X 0 = i, X 1 = i1 , ⋯, X n = in } = P{X 0 = i} P{X1 = i1 | X 0 = i} × P{X2 = i2 | X1 = i1}…P{Xn = in | Xn−1 = in−1}
P{ X n + m = in + m | X n = in , ⋯ , X 0 = i0 }
= P{Xn+m = in+m | Xn = in}
12
4.1 马尔可夫链与转移概率
性质5 性质 则
马尔可夫链
2020年5月21日星期四
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
10第四章马尔可夫链精品PPT课件
P(4) 00
0.5749
定义： 称 pj(n )P {X nj}(,j I)为n时刻马尔 可夫链的绝对概率；
称 P T (n ) { p 1 (n ),p 2 (n ), } , n 0为n时刻的 绝对概率向量。
定义： 称 pj(0 )P {X 0j} ,(j I)为马尔可夫链的 初始概率；简记为 p j
j i 1,i-1, i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移 概率。
解：
P(2) 00
P{Xm2
0|
Xm
0}
P{Xm2 0, Xm P{Xm 0}
0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0} P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0,Xm 0} P{Xm1 0,Xm 0}P{Xm 0}
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1m
p(n) 2m
为马尔可夫链的n步转移矩阵。规定
p(0) ij
0, 1,
i j i j
例题
设马尔可夫链{Xn,n∈T}有状态空间I={0,1}， 其一步转移概率矩阵为
P
p00 p10
人教版A版高中数学选修4-9：马尔可夫性与马尔可夫链_课件1
pN ,1 p,
p1,N q,
我们可以用通俗的语言来描述马尔可夫性：
我们把“n”看成“现在”，则“n+1”则是“未 来”，小于n的整数看成是“过去”。那么，在 已知现在状态的情况下，将来的随机变化规律和 过去的状态无关。
在现实生活中，有很多随机变量序列都具有马尔 可夫性。一般地，我们将这种具有马尔可夫性的 随机变量序列为马尔可夫链，并把序列中的随机 变量的所有可能取值的集合称该马尔可夫链的状 态空间。
N
j 0, j 1的唯一解.
j1
在现实生活中，我们所探讨的问题的状态可能会 随时改变。一台旧摆钟，它时而准时，时而不准 时。随着时间的变化，它会从“不准时”变成 “准时”状态，经过人为调整后，摆钟又可以从 “不准时”变成“准时”状态。像这种状态随时 间的推移而改变的决策问题就会变得复杂。
马尔可夫性与 马尔可夫链
重点与难点
1.重点
马氏链n步转移概率的确定
2.难点
有限维分布律的计算方法 遍历性问题
马尔可夫过程
具有马尔可夫性的随机过程称为马尔可夫过程。
马尔可夫性(无后效性) 过程或(系统)在时刻t0所处的状态为已知的
条件下,过程在时刻t t0所处状态的条件分布与 与过程在时刻t0之前所处的状态无关的特性称为 马尔可夫性或无后效性。
当状态随着时间的推移而转化时，我们采用马尔 可夫链处理这一类问题。
典型例题
例1 艾伦非斯特(Ehrenfest )模型
设一个坛子装有c个球,它们或是红色的,或 是黑色的.从坛中随机地摸出一个球,并装入一个 另一种颜色的的球, 经过n次摸换, 研究坛中的黑 球数. 解 以Xn,n 1表示第n次摸球后坛中的黑球数.
3 16 2 16 24
北大随机过程课件：第 2 章 第 2 讲 马尔可夫链
则称这类随机过程是马尔可夫链。它具有无后效性。 性质 1，马尔可夫链的有限维概率密度可以用转移概率来表示，即
P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in ,ξ (n +1) = j} = P{ξ (n +1) = j / ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} = P{ξ (n +1) = j / ξ (n) = in}⋅ P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in}
(n)
=
P(m) ik
(n)
⋅Pk(jr
)
(n
+
m)
k
证明 1
按照全概率公式，
P (m+r ) ij
(n)
=
P{ξ (n + m + r) =
பைடு நூலகம்
j /ξ (n) = i}
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j,ξ (n + m) = k /ξ (n) = i} k
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j /ξ (n + m) = k,ξ (n) = i} k P{ξ (n + m) = k /ξ (n) = i}
1.3 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，是用 m 步和 r 步转移概率来表示 m+r 步转移概率。
m
步转移概率：
P (m) ij
(k
)
=
P{ξ (k
+ m)
=
j /ξ (k)
P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in ,ξ (n +1) = j} = P{ξ (n +1) = j / ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in} = P{ξ (n +1) = j / ξ (n) = in}⋅ P{ξ (0) = i0,ξ (1) = i1,Lξ (n) = in}
(n)
=
P(m) ik
(n)
⋅Pk(jr
)
(n
+
m)
k
证明 1
按照全概率公式，
P (m+r ) ij
(n)
=
P{ξ (n + m + r) =
பைடு நூலகம்
j /ξ (n) = i}
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j,ξ (n + m) = k /ξ (n) = i} k
= ∑ P{ξ (n + m + r) = j /ξ (n + m) = k,ξ (n) = i} k P{ξ (n + m) = k /ξ (n) = i}
1.3 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，是用 m 步和 r 步转移概率来表示 m+r 步转移概率。
m
步转移概率：
P (m) ij
(k
)
=
P{ξ (k
+ m)
=
j /ξ (k)