新教材苏教版必修第一册 几个函数模型的比较 课件(32张)
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苏教版高中数学必修1课件 3.4.2函数模型及其应用课件2
当 13<x≤30 时，学生的接受能力逐步下降． (2)当 x＝10 时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59， ∴第 10 min 时，学生的接受能力为 59. (3)当 x＝13 时，y 取得最大值． ∴在第 13 min 时，学生的接受能力最强.
指数函数、对数函数模型
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定 的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图 3－4－4 所示的曲线．
S ＝ 5.06x － 0.15x2 ＋ 2(15 － x) ＝ － 0.15x2 ＋ 3.06x ＋ 30(x≥0)，
所以当 x＝10 时，Smax＝45.6(万元)． 【答案】 45.6(万元)
4．现有某种细胞 100 个，其中有占总数12的细胞每小时 分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展 下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010 个？(参考数据： lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】 设每天从报社买进 x(250≤x≤400)(x∈N)份报 纸，每月获得总利润 y 元，则
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625， x∈[250,400]．
函数 y 在[250,400]上单调递增， ∴当 x＝400 时，ymax＝825 元． 即摊主每天从报社买进 400 份时，每月获得的利润最大， 最大利润为 825 元.
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x<9623时，y1>y2，即便民卡便宜； 当 x>9623时，y1<y2 ，即如意卡便宜．
指数函数、对数函数模型
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定 的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克) 与时间 t(小时)之间近似满足如图 3－4－4 所示的曲线．
S ＝ 5.06x － 0.15x2 ＋ 2(15 － x) ＝ － 0.15x2 ＋ 3.06x ＋ 30(x≥0)，
所以当 x＝10 时，Smax＝45.6(万元)． 【答案】 45.6(万元)
4．现有某种细胞 100 个，其中有占总数12的细胞每小时 分裂一次，即由 1 个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展 下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010 个？(参考数据： lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)
【解】 设每天从报社买进 x(250≤x≤400)(x∈N)份报 纸，每月获得总利润 y 元，则
y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625， x∈[250,400]．
函数 y 在[250,400]上单调递增， ∴当 x＝400 时，ymax＝825 元． 即摊主每天从报社买进 400 份时，每月获得的利润最大， 最大利润为 825 元.
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x<9623时，y1>y2，即便民卡便宜； 当 x>9623时，y1<y2 ，即如意卡便宜．
【高中课件】高中数学苏教版必修一3.4.2函数模型及其应用教学3课件ppt.ppt
反比例幂型函数
y＝k·ax＋b或
y= k×12hx＋b
(x＞0)
y= x＋k a＋b (x＞0)
数学应用：
例1．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡 降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间；降温到36℃ 时，需要多长时间(结果精确到0.1) ？
边际函数是经济学中的一个基本概念，也是通过大量的数据拟 合，从中筛选出恰当的数学模型，从而使得经济学研究更加准确， 决策更加科学.
情境问题：
1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初 学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再 出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如下图 所示：根据图中各点，请你从下列函数中：(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝k·ax＋
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的 初始 温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 T－Ta＝(T0－Ta)·12ht ， 其中Ta表示环境温度， h称为半衰期．
数学探究：
例2．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝ f(x+1) － f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台(xN*)的收入 为 R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位： 元)，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？
b展；情(3况)y？＝x＋k a＋b (x＞0) ；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进
打完18洞的杆数 160 140 120 100 80
y＝k·ax＋b或
y= k×12hx＋b
(x＞0)
y= x＋k a＋b (x＞0)
数学应用：
例1．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡 降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间；降温到36℃ 时，需要多长时间(结果精确到0.1) ？
边际函数是经济学中的一个基本概念，也是通过大量的数据拟 合，从中筛选出恰当的数学模型，从而使得经济学研究更加准确， 决策更加科学.
情境问题：
1．一流的职业高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆．初 学者打高尔夫球，通常是开始时进步较快，但进步到某个程度后就不易再 出现大幅进步．某球员从入门学起，他练习打高尔夫球的成绩记录如下图 所示：根据图中各点，请你从下列函数中：(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝k·ax＋
物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的 初始 温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则 T－Ta＝(T0－Ta)·12ht ， 其中Ta表示环境温度， h称为半衰期．
数学探究：
例2．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝ f(x+1) － f(x)，某公司每月最多生长100台报警系统装置，生产x台(xN*)的收入 为 R(x)＝3000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位： 元)，利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否有相同的最大值？
b展；情(3况)y？＝x＋k a＋b (x＞0) ；判断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进
打完18洞的杆数 160 140 120 100 80
高中新教材数学苏教版必修第一册课件第8章821几个函数模型的比较
【典例】甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区，捐款方式如下：甲 公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司：在10天内，第1天捐款1万 元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款0.1万元， 以后每天捐款都比前一天翻一番． 你觉得哪个公司捐款最多？
【解析】三个公司在10天内捐款情况如表所示．
【解析】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示). 观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模 型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2，2 021>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)， 所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 021)>g(2 021). 因为g(2 021)>g(6)，所以f(2 021)>g(2 021)>g(6)>f(6).
【典例】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的 奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万 元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金 不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个 模型符合该校的要求？
高中数学苏教版必修一《2.6函数模型及其应用》课件
解 为化简数据,先将年份减去1949,再将数据输入 Excel工作表进行处理.
单击图标, 打开" Excel",由图知拟合模型为 y 14.453x 527.59.
当x 55即2004年时, y 1322.505 13.23亿.
例5 下表是某种车的车速与刹车后的停车距离, 试建立两者之间的关系,并求当车速为120km/ h时 的刹车距离.
现有一杯用880 C热水冲的速溶咖啡,放在 240 C的房间中,如果
咖啡降温到400 C需要20 min,那么降温到350时,需要多长时间?
20
20
解
由题意40 24
88
24
1 2
h
,
即
1 4
1 2
h
, 解得h10,t Nhomakorabea故T
24
88
24
1 2
10
.当T
35 时, 代入上式, 得
t
t
35
相同的最大值.
例3中边际利润函数MPx当x 1时取最大值,说明生产第二台
与生产第一台的总利润差最大 ,即第二台报警系统利润最大.
MPx 2480 40x是 减函数,说明随 着产量的增加,每台利润
与前一台利润相比在减少.
链接 数据拟合
现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的, 反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系. 这些关系的发现, 通常是通过实验或实验测定得 到一批数据, 再经过分析处理得到的.
3000x 20x2 (单位 : 元) ,其成 本函数 为Cx 500x
4000(单位 : 元),利润是收入与成本之差.
1求利润函数及边际利润函数Mf x; 2利润函数Px与边际利润函数Mf x是否具有相
新教材苏教版必修第一册 函数的概念 课件(53张)
(1)国家统计局的课题组公布，如果将 2005 年中国创新指数记为 100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示： 年度 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 中国 创新 116.5 125.5 131.8 139.6 148.2 152.6 158.2 171.5 指数
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
9－x≥0， (3) x∈N
⇒
x≤9， x∈N，
∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]
3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝
．
0 [f(1)＝12－3×1＋2＝0．]
4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为
[解]
(1)要使函数有意义，只需
1－3x＞0， x≠0，
所以x＜
1 3
且
x≠0，所以函数的定义域为xx＜13且x≠0
．
(2)要使函数有意义，只需31－ ＋xx≥ >00，， 所以－1≤x≤3．
又x∈Z，所以x＝0,1,2,3．
所以函数的定义域为{0,1,2,3}．
求函数的值域或函数值
【例3】 已知f(x)＝x2－4x＋2． (1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值； (2)求f(x)的值域； (3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域． (1)f(x)＝ 3 3xx－－82； (2)f(x)＝ x＋1＋2－1 x； (3)f(x)＝ x＋4＋x0＋x＋1 2；
(4)f(x)＝ x2－2x－3； (5)f(x)＝ln(x＋1)＋x2－1 x； (6)f(x)＝(x＋1)－34＋lg(－x)． [思路点拨] 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式 (组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
高中数学 2.6函数模型及其应用课件 苏教版必修1
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11
解析：(1)由题意，当 0≤x≤20 时，v(x)＝60，当 20＜x≤200 时，
设 v(x)＝ax＋b，则由已知得
22000aa＋＋bb＝＝600，⇒ab＝＝－230013，，
栏 目
60，0≤x≤20，
链 接
故 v(x)＝13（200－x），20＜x≤200.
(2)由题意及(1)可得
接
0.03x，0<x≤1 500， 即 f(x)＝0.1x－105，1 500<x≤4 500，
0.2x－555，4 500<x≤9 000.
(2)0.2×(8 200－3 500)－555＝385(元)，即这个人 10 月份应缴纳
个人所得税 385 元．
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7
►变式训练
1．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，
2．6 函数模型及其应用
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1
题型一 分段函数模型的实际应用
例 1 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1
日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图(1)的一
栏
条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图(2)的抛物 目
线表示．
链 接
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2
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f(t)，写出
金所得税是分段计算的；总收入不超过 3 500 元的，免征个人工资、
薪金所得税；超过 3 500 元的部分需征税，设全月应纳税所得额(所
得额指工资、薪金中应纳税的部分)为 x 元，x＝全月工资、薪金的收
入－3 500 元，税率见下表：
栏
3.4.2函数模型及其应用课件(35张) 高中数学 必修1 苏教版
1 2 1 175 －200t ＋2t＋ 2 ，0≤t≤200， 即 h(t)＝ － 1 t2＋7t－1025，200<t≤300. 2 2 200
当 0≤t≤200 时，配方整理得 1 h(t)＝－ (t－50)2＋100， 200 所以，当 t＝50 时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值 100；
一、分段函数 分段函数模型解实际应用问题是常见题型，也是高 考常考题型．现实生活中有很多问题都是用分段函数表 示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数主要是 每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其写作 几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到 一起，要注意各段变量的范围．
二、数据拟合 建立函数模型，就必须考虑用什么函数来模拟，在 选择函数模型时，可以通过图表直观分析，联想具有此 性质的比较熟悉又比较简单的函数模型．在建立模拟函 数的过程中，我们只可能建立近似的函数模型，因此所 建立的函数模型只能近似地反映客观现实的量与量之间 的关系，而且有时需要通过检验选择最佳模型．
同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数 y＝ k· ax(k≠0)．若牛奶在 0 ℃的冰箱中保鲜时间约是 192 h， 而在 22 ℃的厨房中保鲜时间则约是 42 h. (1)写出保鲜时间 y(单位：h)关于储藏温度 x(单位： ℃)的函数解析式；
(2)如果把牛奶分别储藏在 10 ℃和 5 ℃的两台冰箱 中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？
22
(参考数据：
7 ≈0.93) 32
分析：(1)利用已知数据代入，确定 k 和 a 的值；(2) 根据函数的单调性进行比较．
解：(1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函 数 y＝k·ax(k≠0)． k＝192， k·a ＝192， 由题意可知 22 解得 22 7 a＝ k·a ＝42， ≈0.93， 32
当 0≤t≤200 时，配方整理得 1 h(t)＝－ (t－50)2＋100， 200 所以，当 t＝50 时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值 100；
一、分段函数 分段函数模型解实际应用问题是常见题型，也是高 考常考题型．现实生活中有很多问题都是用分段函数表 示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数主要是 每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其写作 几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到 一起，要注意各段变量的范围．
二、数据拟合 建立函数模型，就必须考虑用什么函数来模拟，在 选择函数模型时，可以通过图表直观分析，联想具有此 性质的比较熟悉又比较简单的函数模型．在建立模拟函 数的过程中，我们只可能建立近似的函数模型，因此所 建立的函数模型只能近似地反映客观现实的量与量之间 的关系，而且有时需要通过检验选择最佳模型．
同．假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数 y＝ k· ax(k≠0)．若牛奶在 0 ℃的冰箱中保鲜时间约是 192 h， 而在 22 ℃的厨房中保鲜时间则约是 42 h. (1)写出保鲜时间 y(单位：h)关于储藏温度 x(单位： ℃)的函数解析式；
(2)如果把牛奶分别储藏在 10 ℃和 5 ℃的两台冰箱 中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？
22
(参考数据：
7 ≈0.93) 32
分析：(1)利用已知数据代入，确定 k 和 a 的值；(2) 根据函数的单调性进行比较．
解：(1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型函 数 y＝k·ax(k≠0)． k＝192， k·a ＝192， 由题意可知 22 解得 22 7 a＝ k·a ＝42， ≈0.93， 32
高中数学苏教版必修一《第3章3.4.2》课件
于是，1951～1959 年期间，我国人口的年均增长率为 r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令 y0＝55 196，则我国在 1950～1959 年期间的人口增长模型为 y＝55 196e0.022 1t，t∈N. 根据表中的数据作出散点图，并作出函数 y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象．
4．已知长为 4，宽为 3 的矩形，若长增加 x，宽减少x2，则面积最大．此时 x＝________， 面积 S＝________.
4．已知长为 4，宽为 3 的矩形，若长增加 x，宽减少x2，则面积最大．此时 x＝___1_____， 25
面积 S＝____2____.
解析 根据题目条件 0<2x<3，即 0<x<6， 所以 S＝(4＋x)3－2x ＝－12(x2－2x－24)＝225－12(x－1)2(0<x<6)．
利润 L(万元)关于总产量 x(台)的函数关系式为 L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*.
反思与感悟 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以 理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建 立坐标系等．
跟踪训练 1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km.火车出发 10 min 开出 13 km 后，以 120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的 时间 t 之间的关系，并求火车离开北京 2 h 内行驶的路程． 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝151 (h)，所以 0≤t≤151. 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t， 所以，火车运行总路程 s 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 s＝13＋120t(0≤t≤151)． 2 h 内火车行驶的路程 s＝13＋120×161＝233 (km)．
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似与 y轴 平行 似与 x轴 平行 长速度
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度 __越__来__越__快___，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速 度，y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ；在描 述现实问题的变化规律时，常用“指数爆
炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函
2．下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
C [结合函数 y＝1，y＝x，y＝3x 及 y＝log3x 的图象可知(图略)， 随着 x 的增大，增长速度最快的是 y＝3x．]
3．某人投资 x 元，获利 y 元，有以下三种方案．甲：y＝0．2x， 乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1．005x，则投资 500 元，1 000 元，1 500 元时，应分别选择________方案．
第8章 函数应用
8.2 函数与数学模型 8.2.1 几个函数模型的比较
学习目标 1．理解指数爆炸、直线上升、对
核心素养
数增长的含义．(重点) 借助三个函数模型的增长
2．区分指数函数、一次函数以及 特征，培养学生数学运
对数函数增长速度的差异．(易混 算、数学建模的核心素
点) 养．
3．会选择适当的函数模型分析和
关于x呈指数函数变化的变量是________．
60 6.907
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看 出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但 是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图 略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．]
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图
象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)
的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点 1线性函数模型,一次函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上 升，其增长速度不变. 2指数函数模型,指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变 量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称 为“指数爆炸”. 3对数函数模型,对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自 变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
[跟进训练]
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226 401
626
பைடு நூலகம்
901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.332 5.322 5.907 6.322 6.644
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的 图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f32与g32，f(2 020)与g(2 020)的大小．
1 2
x
与h(x)＝－2x在区间(0，＋
∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速
度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速
度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速 度不变
解决一些实际问题．(难点)
情景 导学 探新 知
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事 实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反 映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据 现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面 就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．尝试完 成下表．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③．]
合作 探究 释疑 难
几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x
B．y＝2019
C．y＝log2 019x
D．y＝2 019x
(2)下面对函数f(x)＝log
1 2
x，g(x)＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝2x 比 y＝2x 增长的速度更快些．
()
(2)当 a>1，k>0 时，在区间(0，＋∞)上，对任意的 x，总有
logax<kx<ax 成立．
()
(3)函数 y＝log1x 衰减的速度越来越慢．
2
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
数、一次函数、对数函数的增长方式 ②当x足够大时，总有 ax>kx>logax
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是
() A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝2x
D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A正确．]
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图 所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度 越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不 变．
[跟进训练] 2．函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0．3x－1 的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x) 的大小进行比较)．
[解] (1)C1 对应的函数为 g(x)＝0．3x－1，C2 对应的函数为 f(x) ＝lg x．
在(0，＋∞)上的增减
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx＋ b(k>0)
性
图象的变化趋势
增长速度
三种函数模型的性质
在(0，＋∞)上 的增减性
y＝ax(a>1) _增__函__数__
y＝logax(a>1) __增__函__数__
y＝kx(k>0) _增__函__数__
随x增大逐渐近 随x增大逐渐近 保持固定增 图象的变化趋势
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速 度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且 随a值的增大，增长速度越快，应选A．
(2)观察函数f(x)＝log
1 2
x，g(x)＝
1 2
x
与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)
上的图象(如图)可知：
(2)当 x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时， g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
课堂 小结 提素 养
直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线 y＝kx＋b(k≥0)、指数函数 y＝ax(a>1)、对数函数 y＝ logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快， 一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x． (2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)， 从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)， ∴f32＜g32； 当x＞2时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 020)＞g(2 020)．
由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数 图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数 函数.
乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比 较 y 值的大小即可求出．]
4．画出函数 f(x)＝ x与函数 g(x)＝14x2－2 的图象，并比较两者 在[0，＋∞)上的大小关系．
[解] 函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当 0≤x<4 时，f(x)>g(x)； 当 x＝4 时，f(x)＝g(x)； 当 x>4 时，f(x)<g(x)．
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度 __越__来__越__快___，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速 度，y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ；在描 述现实问题的变化规律时，常用“指数爆
炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函
2．下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
C [结合函数 y＝1，y＝x，y＝3x 及 y＝log3x 的图象可知(图略)， 随着 x 的增大，增长速度最快的是 y＝3x．]
3．某人投资 x 元，获利 y 元，有以下三种方案．甲：y＝0．2x， 乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1．005x，则投资 500 元，1 000 元，1 500 元时，应分别选择________方案．
第8章 函数应用
8.2 函数与数学模型 8.2.1 几个函数模型的比较
学习目标 1．理解指数爆炸、直线上升、对
核心素养
数增长的含义．(重点) 借助三个函数模型的增长
2．区分指数函数、一次函数以及 特征，培养学生数学运
对数函数增长速度的差异．(易混 算、数学建模的核心素
点) 养．
3．会选择适当的函数模型分析和
关于x呈指数函数变化的变量是________．
60 6.907
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看 出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但 是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图 略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．]
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图
象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)
的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点 1线性函数模型,一次函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上 升，其增长速度不变. 2指数函数模型,指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变 量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称 为“指数爆炸”. 3对数函数模型,对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自 变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
[跟进训练]
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15
20
25
30
y1 2 26 101 226 401
626
பைடு நூலகம்
901
y2 2 32 1 024 37 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.332 5.322 5.907 6.322 6.644
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的 图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f32与g32，f(2 020)与g(2 020)的大小．
1 2
x
与h(x)＝－2x在区间(0，＋
∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速
度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速
度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速 度不变
解决一些实际问题．(难点)
情景 导学 探新 知
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事 实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反 映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据 现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面 就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．尝试完 成下表．
其中说法正确的序号是________．
②③ [结合图象可知②③正确，故填②③．]
合作 探究 释疑 难
几类函数模型的增长差异
【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 019x
B．y＝2019
C．y＝log2 019x
D．y＝2 019x
(2)下面对函数f(x)＝log
1 2
x，g(x)＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝2x 比 y＝2x 增长的速度更快些．
()
(2)当 a>1，k>0 时，在区间(0，＋∞)上，对任意的 x，总有
logax<kx<ax 成立．
()
(3)函数 y＝log1x 衰减的速度越来越慢．
2
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
数、一次函数、对数函数的增长方式 ②当x足够大时，总有 ax>kx>logax
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是
() A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
C [结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]
2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝ln x
C．y＝2x
D．y＝e－x
A [结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知 A正确．]
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图 所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度 越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不 变．
[跟进训练] 2．函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0．3x－1 的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x) 的大小进行比较)．
[解] (1)C1 对应的函数为 g(x)＝0．3x－1，C2 对应的函数为 f(x) ＝lg x．
在(0，＋∞)上的增减
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx＋ b(k>0)
性
图象的变化趋势
增长速度
三种函数模型的性质
在(0，＋∞)上 的增减性
y＝ax(a>1) _增__函__数__
y＝logax(a>1) __增__函__数__
y＝kx(k>0) _增__函__数__
随x增大逐渐近 随x增大逐渐近 保持固定增 图象的变化趋势
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速 度越来越快
(1)A (2)C [(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且 随a值的增大，增长速度越快，应选A．
(2)观察函数f(x)＝log
1 2
x，g(x)＝
1 2
x
与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)
上的图象(如图)可知：
(2)当 x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时， g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
课堂 小结 提素 养
直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线 y＝kx＋b(k≥0)、指数函数 y＝ax(a>1)、对数函数 y＝ logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快， 一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x． (2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)， 从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)， ∴f32＜g32； 当x＞2时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 020)＞g(2 020)．
由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数 图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数 函数.
乙、甲、丙 [将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比 较 y 值的大小即可求出．]
4．画出函数 f(x)＝ x与函数 g(x)＝14x2－2 的图象，并比较两者 在[0，＋∞)上的大小关系．
[解] 函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：当 0≤x<4 时，f(x)>g(x)； 当 x＝4 时，f(x)＝g(x)； 当 x>4 时，f(x)<g(x)．