人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：圆锥曲线第一章 轨迹方程

第一章轨迹方程
动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标,x y 所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.
第一节：直译法:
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.
1.双曲线
x 212
−
y 24
=1, 12F F 、为其左右焦点,C 是以2F 为圆心且过原点的圆.
(1)求C 的轨迹方程;
(2)动点P 在C 上运动,M 满足F 1M →=2MP →
,求M 的轨迹方程.
【解答】解:(1)由已知得a 2=12,b 2=4,故c=√a 2+b 2=4,所以F 1(﹣4,0)、F 2(4,0), 因为C 是以F 2为圆心且过原点的圆,故圆心为(4,0),半径为4, 所以C 的轨迹方程为(x ﹣4)2+y 2=16; (2)设动点M(x,y),P(x 0,y 0),
则F 1M →=(x +4,y),MP →=(x 0−x,y 0−y),
由F 1M
→=2MP →
,得(x +4,y)=2(x 0﹣x,y 0﹣y),
即{x +4=2(x 0−x)
y =2(y 0−y)
,解得{x 0=3x+42y 0=3y 2
,
因为点P 在C 上,所以(x 0−4)2+y 02=16,
代入得(3x+42−4)2+(3y
2)2=16, 化简得(x −43)2+y 2=64
9.
第二节：定义法:
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。

【例1】()2,0M -和()2,0N 是平面上的两点，动点P 满足6PM PN += ，求点P 的 轨迹方程.
【例2
】设圆C 与两圆((2
2
2
24,4,x y x y +=+=一个内切，另一个外切，求C 的圆心轨迹L 的方程。

因为圆C 与两圆中的一个内切，另一个外切，所以4||||2||2
||2121=-⇒⎩⎨
⎧-=+=CF CF r CF r CF 或4||||2||2
|
|2121-=-⇒⎩
⎨
⎧+=-=CF CF r CF r CF ，
【例3】已知动圆P 与定圆()2
2
:21C x y ++=外切，又与定直线:1l x = 相切，那么动圆圆心P 的轨迹方程是 解析设动圆P 的半径为)0(>r r ，点P 到定点C 的距离等于1r +，又点P 到直线1x =的距离|PD|等于r ，易知点P 只能在直线1x =的左侧。

将直线1x =相右平移1个单位得到2x =，则点P 到定点C （-2，0）的距离等于P 到定直线2x =的距离。

这样点P 的轨迹为抛物线，该抛物线的焦点为（-2，0），准线方程为2x =，则方程为28y x =-。

【例4】已知平面内一动点P 到点()1,0F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1，求动点P 的轨迹C 的方程。

解析 设动点P (,)x y ，由题意有22(1)||1x y x -+-=，即222||y x x =+，当0x ≥时，24y x =；当0x <时，0y =，所以动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≥和0(0)y x =<。

第三节：相关点法:
有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式.
【例1】已知A 为椭圆
22
12516
x y +=上的点，点B 坐标为()2,1，有2AP PB = 求点P 的轨迹方程. 解析 设()()00,,,A x y P x y ，()()00,,2,1AP x x y y PB x y =--=--
因为2AP PB =，故()()002221x x x y y y -=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩
即003432x x y y =-⎧⎨=-⎩ 代入
2212516x y += 得()()22
313212516
x y --+
= ，因此点P 的轨迹方程为2
2
42331251699
x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+= 【例2】如图10--17所示，设P 是圆22
25x y += 上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且
4
5
MD PD =
，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程. 解析 设M 的坐标为(,)x y ，P 的坐标为00(,)x y ，因为M 为PD 上一点，且|MD|=4
5|PD|，所以00004554x x x x y y y y ==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
，
又P 00(,)x y 在圆上，所以2
25()254x y +=，即2212516x y +=，故点M 的轨迹C 的方程为221(0)2516x y y +=≠。

【例3】如图10--18所示，已知,M N 是椭圆
22142x y += 上两动点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12
- （其中O 为坐标原点），若点P 满足2OP OM ON =+ ，问：是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF + 为定植？若存在，求12,F F 的坐标：若不存在，说明理由。

121212y x =-，① 由2OP OM ON =+，得1122(,)(,)2(,)x y x y x y =+，即
121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，② 因为点M ，N 在椭圆22
24x y +=上，所以22
1122
222424
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，③ 故222222222211221122112212122(44)2(44)(2)4(2)4(2)x y x x x x y y y y x y x y x x y y +=+++++=+++++
第四节：参数法:
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标(),x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响.
【例1】设椭圆方程为2
2
14
y x +=，过点()1,0M 的直线l 交椭圆于点,A B ，点O 是坐标原点，点P 满足()
1
2
OP OA OB =
+，求动点P 的轨迹方程。

因为()
12OP OA OB =+，所以
（1） 当直线l 斜率存在时，设斜率为k
24k k k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭
2
40(0x +=
(2)当直线的斜率不存在时，:0l x =。