力学2-加速度质点运动学求解
质点的直线运动与加速度计算方法
质点的直线运动与加速度计算方法质点的直线运动是物理学中最基本的运动形式之一，它在我们日常生活中随处可见。
当我们观察一个物体在直线上运动时，我们常常关心它的加速度，因为加速度是描述物体运动变化的重要物理量。
本文将探讨质点的直线运动以及计算加速度的方法。
一、质点的直线运动质点是物理学中一个重要的概念，它是指一个具有质量但没有大小和形状的点。
在直线运动中，质点沿着一条直线运动，其位置可以用一个一维坐标轴表示。
我们可以通过观察质点在不同时间点的位置来描述它的运动状态。
质点的直线运动可以分为匀速运动和变速运动两种情况。
在匀速运动中，质点在单位时间内的位移保持恒定，即速度保持不变。
而在变速运动中，质点在单位时间内的位移是不断变化的，即速度不断变化。
二、加速度的概念与计算方法加速度是描述物体运动变化的物理量，它表示单位时间内速度的变化量。
加速度可以是正值、负值或零，分别表示速度的增加、减少或保持不变。
计算加速度的方法有多种，下面将介绍两种常用的计算方法。
1. 平均加速度平均加速度是指在一段时间内速度变化的平均值。
它的计算公式为：平均加速度 = （末速度 - 初始速度）/ 时间间隔其中，末速度是质点在一段时间内的最终速度，初始速度是质点在同一段时间内的初始速度，时间间隔是观察质点速度变化的时间长度。
2. 瞬时加速度瞬时加速度是指在一个瞬间的速度变化率，即速度的导数。
它的计算公式为：瞬时加速度 = （速度的变化量）/ （时间的变化量）瞬时加速度可以通过速度-时间图像上某一点的斜率来确定。
当速度-时间图像为直线时，斜率即为瞬时加速度的值。
三、加速度的应用加速度是一个重要的物理量，它在许多领域都有广泛的应用。
1. 运动学分析加速度可以帮助我们分析物体在直线上的运动状态。
通过计算加速度，我们可以判断物体是匀速运动还是变速运动，进而了解物体的运动规律。
2. 力学研究根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在它上面的力成正比。
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
013质点运动学-运动学方程
角速度：
lim t 0
t
d
dt
角加速度：
B
s
A
RO
x
lim
t 0
t
d
dt
32
角速度是矢量 ！ 方向由右手螺旋法则确定 。
右手的四指循着质点的转动方向弯曲，拇指的指向即
为角速度矢量的方向。 线速度与角速度的关系：v
r
y ω
v
d加v速度d与ω角加r 速ω度的d 关r 系：
R
r
dt
dt
a
同理：| dr | dr
16
注意
1.位矢与位移的区别： 位矢为从坐标原点指向质点所在位置的有向线段,
方向
位移为从起点指向终点的有向线段。
位矢与某一时刻对应； 时间 位移与某一段时间对应。
2.位移与路程的区别：
路程：s为物体Δt内走过的轨道的长度，为标量；
位移：r
s
从起点指向终点的有向线段，而位移大
注意：平均速度（包括大小和方向）与所取的时间长
短有关，所以在计算平均速度时，必须清楚是哪一段
时间的平均速度。
19
2.速度
对于变速曲线运动的物体，速度大小与方
B
向都在随时间改变，用平均速度并不能精确地
描写质点瞬时的运动情况。
处理方法：
①.无限分割路径；
r
②.以直代曲；
A t
③以不变代变；用平均速度代替变速度；
④令 速度
t
v
0 取极限。 lim r dr
t0 t dt
速度单位：米/秒，m/s
质点在某时刻的瞬时速 度等于在该时刻位置矢 量对时间的一阶导数。
20
速度
质点运动的速度和加速度
质点运动的速度和加速度质点运动的速度和加速度是物体运动学中的两个重要概念，它们描述了质点在运动过程中的快慢和变化率。
本文将对质点的速度和加速度进行详细阐述，并探讨它们之间的关系与物理意义。
一、质点运动的速度速度是质点运动的基本特征之一，它描述了质点在单位时间内运动的距离。
速度的定义公式为：\[v=\frac{ds}{dt}\]其中，\(v\)表示速度，\(s\)表示物体相对某一参考点的位移，\(t\)表示时间。
速度的单位通常是m/s（米每秒）。
根据速度的定义，可以进一步推导出平均速度和瞬时速度。
1. 平均速度平均速度指的是质点在一段时间内的平均速度。
计算平均速度的公式为：\[v_{avg}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\]其中，\(v_{avg}\)表示平均速度，\(\Delta s\)表示物体在时间间隔\(\Delta t\)内的位移。
平均速度可以用来描述物体在运动过程中的整体快慢。
2. 瞬时速度瞬时速度指的是质点在某一时刻的瞬时速度，也可以理解为质点在极短时间间隔内的瞬时速度。
瞬时速度可以通过求相邻两点的位移的极限得到：\[v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\]瞬时速度可以用来描述物体在某一瞬间的快慢，也就是物体在该时刻的瞬时速度。
二、质点运动的加速度质点运动的加速度是描述质点运动状态改变率的物理量，它描述了质点在单位时间内速度的变化量。
加速度的定义公式为：\[a=\frac{dv}{dt}\]其中，\(a\)表示加速度，\(v\)表示质点的速度，\(t\)表示时间。
加速度的单位通常是m/s²（米每秒平方）。
与速度类似，加速度也有平均加速度和瞬时加速度两个概念。
1. 平均加速度平均加速度指的是质点在一段时间内的平均加速度。
计算平均加速度的公式为：\[a_{avg}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]其中，\(a_{avg}\)表示平均加速度，\(\Delta v\)表示质点在时间间隔\(\Delta t\)内的速度变化量。
2 质点运动学-2
方向如图所
v
3 an g cos 30 g 2
0
a
A
g
300 an
v 2 3v an 3 g
2
2
第1章
质点运动学
大学物理A教案
4、圆周运动
(1) 圆周运动的角量描述 角位置 ： 角运动方程 (t)： R
B
s
A
质点所在的位矢 r 与x轴正 向的夹角,单位是弧度 rad。 角位移 : 规定：逆时针转向为正, 角速度
,加速度
kx
v v0 e
证： a dv dv dx v dv kv 2
dt dx dt
dx
dv kdx v
两边积分：
x dv v0 v k 0 dx v
v ln kx v0
v v0 e
kx
第1章
质点运动学
大学物理A教案
§1-3 自然坐标系中的速度和加速度
dt
dv a c dt
（2）
v (b ct ) an R R
2
2
a an
b R t c c
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止自由下 落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子[忽略空气阻力]?
5、抛体运动
抛体运动的特点：加速度 a 为常量，为重力加速度。
抛体运动的运动学特征：
dr dx dy dz 速度 v i j k dt dt dt dt 2 加速度 a dv d r dt dt 2
平均速率不等于平均速度的大小 瞬时速率等于瞬时速度的大小
dr ds
v v
第1章
质点受力所产生的加速度
质点受力所产生的加速度质点是物理学中一个基本的概念，用于描述物体的质量不可忽视、体积极小的情况。
在质点的运动中，受力是一个重要的因素。
本文将探讨质点受力所产生的加速度，以及加速度与力之间的关系。
1. 加速度的定义与计算加速度是描述物体运动变化率的量，是速度随时间的变化率。
在力学中，加速度的计算公式为：加速度(a)等于速度(v)的变化量(Δv)除以时间(t)的变化量(Δt)。
即：a = Δv / Δt这表示了单位时间内速度的变化情况。
如果速度随时间变化的趋势为增加，则称为正加速度；若速度随时间变化的趋势为减少，则称为负加速度或减速。
2. 施加力对加速度的影响根据牛顿第二定律，当一个物体受到力的作用时，其产生的加速度与施加的力成正比。
这个关系可以用公式表示为：F = maF表示施加的力，m表示物体的质量，a表示加速度。
我们可以看出，当给定物体的质量时，施加的力越大，产生的加速度就越大；反之亦然。
3. 多个力合力对加速度的影响现实中的物体通常会受到多个力的作用，这些力之间可能存在方向和大小上的差异。
当物体受到多个力的作用时，合力的大小和方向将决定物体的加速度。
合力的计算可以通过分解力的方法进行。
即将每个力分解为水平和竖直方向上的分力，然后再对这些分力进行合成，得到总的合力。
根据牛顿第二定律，合力与加速度的关系仍然成立。
即合力等于物体质量乘以加速度：F合 = ma有了这个公式，我们就能够计算多个力合力对质点产生的加速度了。
4. 加速度对物体运动的影响加速度不仅可以改变物体的速度，还可以改变物体的位置。
如果一个物体处于静止状态，施加一个正向的加速度，物体将开始运动，并且速度会逐渐增加。
如果施加的加速度为负值，则物体的速度会逐渐减小，直到停止。
此外，加速度对物体的运动轨迹也有影响。
当施加的加速度与速度方向相同时，物体将沿这个方向加速运动；当施加的加速度与速度方向相反时，物体将减速运动，并且速度方向可能会逐渐改变。
质点运动的基本概念与运动学公式
质点运动的基本概念与运动学公式在物理学中，质点是指质量可忽略不计，仅具有位置和速度等运动属性的物体。
质点运动是运动学的一个基本概念，运动学是研究物体运动规律的学科。
本文将探讨质点运动的基本概念以及相关的运动学公式。
1. 位置、位移和路径位置是指物体在空间中的具体位置，通常可以用一个坐标系来表示。
位移是指物体从初位置到末位置的变化量，用Δx表示。
路径是物体在运动过程中所经过的轨迹。
2. 速度和速度公式速度是指物体在单位时间内所经过的位移，用v表示。
速度的大小可以通过位移除以时间来计算，即v=Δx/Δt。
当时间趋近于无穷小的时候，即Δt趋近于0，可以得到瞬时速度的定义：v=dx/dt，其中dx表示无穷小的位移变化，dt表示无穷小的时间变化。
3. 加速度和加速度公式加速度是指物体的速度变化率，用a表示。
加速度的大小可以通过速度除以时间来计算，即a=Δv/Δt。
当时间趋近于无穷小的时候，即Δt 趋近于0，可以得到瞬时加速度的定义：a=dv/dt，其中dv表示无穷小的速度变化，dt表示无穷小的时间变化。
4. 运动学公式根据速度和加速度的定义，我们可以得到一些与质点运动相关的运动学公式。
以下是一些常见的运动学公式：- 位移公式：Δx = v0t + (1/2)at^2- 速度公式：v = v0 + at- 加速度公式：v^2 = v0^2 + 2aΔx这些公式可以通过代入已知的初始条件，如初速度v0、时间t、位移Δx等来求解物体在运动过程中的运动参数。
5. 简谐振动简谐振动是质点运动中的一种特殊形式，它具有以下特点：- 振动的周期是恒定的，表示为T；- 振动的频率是周期的倒数，表示为f=1/T；- 振动的位移随时间的变化呈正弦或余弦函数。
对于简谐振动，还有一些与振动特性相关的公式：- 谐振频率公式：f = (1/2π) √(k/m)，其中k表示弹性系数，m表示质量；- 谐振周期公式：T = 1/f；- 谐振角频率公式：ω = 2πf。
力学第二章质点运动学(PDF)
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
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由基本关系式
v
dr dt
a
dv dt
有： dx i dy j dz k
dt dt dt
a dx i dy j dz k
(B)
dt dt dt
比较(A)(B)两组式子，有：
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
思考：
(B)式中为 什么没有 出现
di dj dk dt dt dt
ax
解 自然坐标中
s a —— 微分法（t为变量）
根据速度和加速度的表示形式，有
v
ds dt
20（第0.4一t 类t1问题19）.6
m/s
aτ
dv dt
0.4
an
v2 R
( 20 0.4t R
)2
1.92
a
aτ2
an2
0.42 1.922
a 1.92n 0.4
方向变化
切向加速度
大小变化
v (t)τ
v
v(t t)τ
1、匀速圆周运动 （速度大小不变方向变）
(t t)
(t)
r
R
(t) (t t)
oR
lim lim
r 2
a
t 0
t
t 0
t
R
R
（沿法向）
a
2
n
R
2021/3/5
第一章 质点运动学
8
2、变速圆周运动
将 分解 为两个分量
n
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r 积分法
微分法 积分法
a
r
a
a r
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
2021/3/5
第一章 质点运动学
3
例 已知质点沿x轴运动， 1 2t2 m s , t =0 时，质点在原点
右方2m处。 求：(1) 质点在t=2s时的加速度； (2) t=2s时，质点的位置。
dv x dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y dt 2
az
dv z dt
d2z dt 2
2021/3/5
第一章 质点运动学
2
总结
三个基本量 r a 从不同方面描写同一质点
运动的规律。三者之间有着密切的联系：
1、相同点 a) 均为矢量（方向性） b) 均为时间t 的函数（瞬时性） c) 在不同的参照系中，各矢量的大小方向不同（相对性）
§1-3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
直角坐标系
y
z
j o
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
x
r a
在直角坐标系中可写成：
r
xi
x
i
yj y
zk
j
z
k
(A)
a axi ay j azk
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
2021/3/5
第一章 质点运动学
1
m
2021/3/5
第一章 质点运动学
4
例 质点沿x轴运动，加速度 a 2t ，已知t＝0时，质点的位置
坐标 x0 0 ，速度 0 0 ，试求t＝2s时质点的速度和位置。
解 ∵ a＝2t 是变量， 不能用匀变速直线运动公式
a x 积分法
(1) 由定义： a d 2t
dt
分离
变量
t
d 2tdt
v0
g
∴ 02 cos2
g
•
O
B点： a g
an
g cos
2
02
∴
02
g cos
2021/3/5
第一章 质点运动学
B gx
11
例 一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方 程为s =20t - 0.2 t 2 (SI) .
求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度。
0
0
∴ t2 t2 4 m s
(2) 由定义： dx t2
dt
x
dx
t t2 dt
0
0
x 1t3 3
8 t2 3
m 2.67
m
注意
✓ 积分初始值（下限）由初始条件确定 ✓ 等式两边积分变量的积分限一一对应
2021/3/5
第一章 质点运动学
5
例 已知质点匀加速直线运动，a为常数，t＝0时 x x0，
解 首先判断质点作什么运动？
初速度不为零的变加速直线运动
(1) a 微分法 (2) x 积分法
a d
dt
4t
t2
8
m
s2
由定义： dx 1 2t2 分离变量 dt
x
dx
t
(1
2t
2
)dt
2
0
等式两端分别积分： x 2 t 2 t3
3
x 2t 2t3 3
t2
9.33
lim lim lim a
n
t0 t t0 t t0 t
(t t)
(t)
OR
按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速
度大小的变化率，又应反映速度方向的变化率。
a
an
a
2
n
d
R dt
(t)
an
dn
dt
2
R
n
——法向加速度 (t t)
n
a
d
dt
d
dt
——切向加速度
2021/3/5
B
10
讨论 1) 切向加速度 a沿切线，法向加速度 an指向曲率中心，
2)
注意
d
dt
∴质点总加速度 a
d d 的区别
dt dt
永指向曲线凹向的一侧。 a a a
3) 自然坐标系中
微分法
s
微分法
积分法
积分法
a
例 抛体运动：求A、B两点的曲率。 y
A
解 由题意：
A点： an a
g
2
0
cos
第一章 质点运动学
9
3、一般曲线运动
在一般曲线运动中，速度方向 变化快慢与轨道形状有关，
显然，轨道弯曲越厉害，速度方向变化越快。
如何描述曲线弯曲的程度？ ———曲率半径
B P
曲率半径越小，曲线就越弯。
A
R
an
dn
dt
2
n
（指向曲率中心）
B
a
d
dt
d
dt
（沿切向）
2021/3/5
第一章 质点运动学
解 （x为参变量） 由定义： axaddxx ddxdd
ax
1 2
(
2
02 )
0
dt0
2 02 2ax x2 02 4a
2021/3/5
第一章 质点运动学
6
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运
动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 s 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运
O n
动方程为： s s(t)
单位切向量： 长度为1，沿切向指向运动方向
单位法向量 n： 长度为1，沿法向指向凹的一侧
S n
一、速度 大小： ds
方向：沿切向dt（）
ds
dt
2021/3/5
第一章 质点运动学
7
二、加速度 用以描述速度随时间 t 变化的规律
a a an 法向加速度
0，求质点的速度方程和运动方程。
解 由题意 a x 积分法 （t为参变量）
由定义： a d dt
t
d adt
0
0
∴ 0 at （速度方程）
由定义： dx dt
x
t
t
dx
x0
dt
0
0(0 at)dt
∴
x
x0
0t
1 2
at
2
（运动方程）
若变换初始条件:已知x＝0时， 0，求x＝2m处， ?