2017高中自主招生考试数学试卷
2017年隆回一中高中自主招生数学试题
2017年隆回一中高中自主招生数学试题考试时间120分钟 满分120分一．选择题（本大题12小题，每小题4分，共48分） 1.在实数0，（−√3）0，（−23）−2，|−2|中，最大的是A. 0B. （−√3）0C. （−23）−2D. |−2| 2.如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ）A ．10πB ．15πC ．20πD ．30π3.设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 4.如果不等式组{x ＞a x ＜2恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．a≤-1B ．a ＜-1C ．-2≤a＜-1D ．-2＜a≤-15.若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A. k ＜5B. k ＜5，且k≠1C. k≤5，且k≠1D. k ＞56.如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y=12x+b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是（ ）A ．-1≤b ≤1B ．−12≤b≤1 C ．−12≤b≤12 D ．-1≤b≤127.如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，O A=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A.√13B.2√13C.3√2D.2√38.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A.2B.3C.4D.69.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°10.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE为矩形的是（）A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x 1+x2=2.正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4二．填空题：（本大题6小题，每小题4分，共24分）13.因式分解：-2x 2y+12xy-16y= ．14.已知{x =2y =1 是二元一次方程组{mx +ny =7nx −my =1的解，则m+3n 的立方根为 ．15.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若S △DEC =3，则S △BCF = .16.求1+2+22+23…+22014的值，可令S=1+2+22+23…+22014， 则2S=2+22+23+24+…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014的值为 ．C 的中点D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为 ．三．解答题：（共6小题，共48分）19.(5分)先化简，再求值：(1+1x−1)÷2xx 2−1 ,其中x =√2−120.（5分）计算：2cos230°-sin30°+1cot30−2sin4521.（8分）如图，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD 的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8时，求sinB．22.（8分）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜,第一次花费40万元,第二次花费60万元.已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元,第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元,第二次采购的数量是第一次采购数量的两倍.(1)试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元?(2)该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片,若单独加工成蒜粉,每天可加工8吨大蒜,每吨大蒜获利1 000元;若单独加工成蒜片,每天可加工12吨大蒜,每吨大蒜获利600元.为出口需要,所有采购的大蒜必须在30天内加工完毕,且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半.为获得最大利润,应将多少吨大蒜加工成蒜粉?最大利润为多少?23.（10分）如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x 轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？24.（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cot A =3，AC=6√2以BC为斜边2向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD=CE：BC；（2）若PE=x（0＜n≤4），△BDP的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△BDF为等腰三角形时，求PE的长度．。
绵阳南山2017年高中自主招生数学真卷
ADCB绵阳南山中学2017年高中自主招生数学真卷(考试时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分）1、如图是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了“南山自主测评”六个汉字中的一个汉字，则与标注汉字“南”相对的面所标注的汉字是 ( )A.山B.主C.测D.评 2、下列四个图形中，∠2＞∠1的是 ( ）A. B. C. D.3、南山中学博喻图书馆藏书籍(不含杂志期刊、报纸)约17万册，用科学记数法表示出17万是 （ ）A.4107.1⨯B.5107.1⨯C.6107.1⨯D.7107.1⨯ 4、已知()03212=-+-++c b a ，则c a b +＝ ( )A.1B.2C.4D.55、如图，在四边形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝4，CD ＝8，连接BD ，若∠BAD ＝∠CDB ，BD ＝6，则BC ＝ ( ) A.9 B.11 C.12 D.166、如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB ⊥BC ，AB 的延长线与DC 的延长线相交于点E ，BC 的延长线与AD 的延长线相交于点F ，若BC ＝3，EB ＝4，则cos ∠AFB ＝ ( )A.53B.34C.43D.54EBACF D7、一个多边形的内角和与它的一个外角的和为99°，那么此多边形的边数为 ( ）A.6B.7C.8D.9 8、在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有 ( )左视图 主视图 俯视图A.9箱B.10箱C.11箱D.12箱 9、普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的 ( )倍.A.2B.2.5C.3D.4 10、若A(a ，b)、B(a-3，c)两点均在函数xy 1=的图象上，且a ＜0，则b 与c 的大小关系为 ( )A.b=cB.b>cC.b<cD.无法判断大小 11、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是 （ ）A.54°B.63°C.27°D.54°或63° 12、如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在圆周上，∠AMN ＝30°，B 为弧AN的中点，P 是直径MN 上一动点，则△PAB 的周长的最小值为 ( )A.226+ B.221+ C.223+ D.226-二、填空题(本大題共6小题，每小题4分)13、等腰三角形其中两条边的边长分別是一元二次方程01072=+-x x 的两个实数根，则这个等腰三角形的周长是 .14、小明借助谐音用数字戏说爸爸舅舅喝酒:81979，87629，97829，8806，9905，98819，54949.(大意是:爸邀舅吃酒，爸吃六两酒，舅吃八两酒，爸爸动怒，舅舅动武，舅把爸衣揪，误事就是酒)，请问这组数据中数字9出现的频率是 .(填最简分数)15、如图，半圆的直径AB ＝12，P 为AB 上一点，点C 、D 为半圆弧AB 的两个三等分点，则阴影部分的面积等于 .(用含π的式子表示)16、甲同学在南山中学折桂楼六楼汽车模拟驾驶室15台电脑模拟驾驶器中的某台模拟驾驶，去时行驶速度为40km/h ，而在经原路返回时，由于驾驶熟练程度提高，返回行驶速度为60km/h ，则甲同学这次模拟驾驶往返途中的平均速度是 km/h.17、计算：90172156142130120112161+++++++= .18、甲、乙、丙三人相约进行一场田径比赛，在赛前约定三人都必须参加相同项目的比赛并决出第一、二、三名(没有同名次)，每项比赛第一、二、三名的得分依次记为5、2、1分，谁累计得分最多，谁就是优胜，比赛一开始，甲获得了铅球第一名，但谁也不甘示弱，三个人你追我赶，100米、跳高、……比赛在热烈的气氛中一项接着一项进行下去，最后，乙经过强的努力获得了优胜，累计得分22分，而甲和丙都各得9分.下列四个结论: ①获得铅球第二名的是乙；②甲获得第三名的次数与丙获得第二名的次数一样多; ③甲获得第一名1次，第二名1次，第三名2次; ④获得100米第二名的是甲.其中正确结论的序号是 .(填所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共7小题，共90分)19、(本题满分16分，共2小题，每小题8分)（1）计算:()()2321330tan 12022---+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯︒-+--π（2）设方程012=-+x x 的一个正实数根为a ，求a a a 3223-+的值.20、(本题满分12分)阳光高考信息平台公示:数、理、化、生、信息五大学科奥赛2015年四川省共有12人获得金牌并入围国家集训队，其中南山中学与成都七中均以4人上榜并列全省第一，另外4人出自绵阳中学等三所学校.南山中学的4名同学李诗懿(女)、李同良、陈宇、余欣健(1女3男)在比赛现场就被清华大学抢先录取.南山中学在本学期期末考试前计划在李诗懿(女)、李同良、陈宇、余欣健4名金牌得主中随机邀请2名同学先后给学弟学妹作经验交流发言，为学弟学妹备考加油鼓劲.本题为方便书写解答，4名金牌同学分别用甲(女)、乙、丙、丁表示，比如李同良先发言；李诗懿(女)后发言记作乙甲(女);李诗懿(女)先发言，余欣健后发言记作甲(女)丁. 利用表格或树状图解答:(1)邀请2名同学先后发言，有几种可能?请用甲(女)、乙、丙、丁一一列举出来.(2)邀请2名同学先后发言，其中必有一名发言人是甲(女)的概率是多少?21、(本题满分12分)如图，在Rt△ABC中，AC⊥CB，以点A为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，CE⊥AB交AB于点E，∠CAB的角平分线AG交CE于点F、交CB于点G，连接FD、DC.(1)证明:CF＝CG.(2)证明:四边形CFDG是菱形.22、(本题满分12分)南山中学成功夺得2016年全国青少年信息学NOI奥林匹克比赛举办权、2016年第四届全国中学生健美操锦标赛举办权、比赛组委会准备赛后组织全国来南山中学参赛的300名参赛学生及110名领队老师去北川地震博物馆参观负责300名参赛学生的领队老师共有110人，组委会计划租用A、B两种不同型号的大巴车共11辆接送使用.已知每辆A型号大巴车至多可以坐领队10人与学生30人，每辆B型号大巴车至多可以坐领队20人与学生15人.(1)假设租用A型号大巴车x辆，请你设计出比赛组委会所有可能的租车方案.(2)如果租用每辆A型号大巴车的租费是1500元，租用每辆B型号大巴车的租费是1200元，请你帮助比赛组委会选出最省钱的租车方案.AH CBODDABFC PE23、(本题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为6，截去一角成五边形ABFED ，其中EC ＝3，CF ＝23，动点P 在线段EF(包含端点E 、F)上移动.以AP 为对角线的矩形是矩形AHPC.(1)设PG ＝x ，矩形AHPG 的面积为y ，求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.(2)当动点P 移动至何处时，矩形AHPG 的面积最大?并求出最大面积.24、(本题满分12分)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是与AB 垂直的非直径的弦，AB 与CD 相交于点H. (1)证明:HB AH CH ⋅=2.(2)若直径AB 的长度是一个两位整数，把它的个、十位互换后正好等于弦CD 的长度，若OH 的长度是一个有理数，求线段OH 的长度以及直径AB 的长度.25、(本题满分14分)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝8，BC＝16，CD＝24.现有两动点E、F分别从C、A两点同时出发，点E以每秒3个单位的速度沿线段CD向终点D移动，点F以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B移动，线段AC、EF相交于点G，过点G作GH∥CD，交AD于点∥H，射线FH交CD的延长线于点P.设动点E、F移动的时间为t(单位:秒).（1）当t为何值时，四边形ADEF为平行四边形?请写出解答过程.（2）当0＜t＜8时，△EFP的面积是否总为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由.（3）当t为何值时，△EFP为等腰三角形?请写出解答过程.答案一、选择题1、A2、B3、B4、C5、C6、D7、B8、A9、A 10、C 11、D 12、A二、填空题13、12 14、31 15、π6 16、48 17、5218、①②三、解答题19、（1）232- （2）-1 20、（1）根据题意列表如下： 一共有12种可能。
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2017年自主招生数学试题(分值: 100分 时间:90分钟)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、若对于任意实数，关于的方程都有实数根，则实数的a x 0222=+--b a ax x b 取值范围是（ ）A ≤0B ≤C ≤D ≤-1b b 21-b 81-b 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE∥AC，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ）A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶9D ．1∶163、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。
已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ）A ．mB ．mC ．mD ．12m )344(+)434(-)326(+4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。
A ．53 B ．12 C ．43 D ．23(第2题图) (第3题图) (第4题图)5、如图，在反比例函数的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于xy 2-=点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数的图xky =象上运动，若tan∠CAB=2，则k 的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 86、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600得到；②∠AOB=1500；③6AOBO'S =+四边形6AOB AOCS S +=△△是（ ）A.②③④B.①②④C.①④D.①②③O'OCB A(第5题图) (第6题图)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7、已知方程组，且，则的取值范围是 。
芜湖一中 2017年高一自主招生考试数学试卷及答案
C． 2
D． 13
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 8 分，共 48 分，请把正确答案写在答题卡上）
7．若 x 为实数，且满足 (x2 x 1)(x2 x 3) 5 ，则 x2 x =
.
8．已知实数 a 、 b 满足 (a 1)2 (a 6)2 10 | b 3 | | b 2 | ，则 a b 的取值范围
2
芜湖一中 2017 年高一自主招生考试
数学答题卷
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、填空题（每小题 8 分，共 48 分）
7．
8．
9．
0
10．
11．
12．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
三、.解答题（本大题共 5 小题，满分 66 分，写出必要的解答过程。）
13． (本小题满分 12 分)设 m 是不小于 1的实数，使得关于 x 的方程 x2 2(m 2)x m2
（Ⅰ）．求这条抛物线的表达式； （Ⅱ）．连结 OM，求∠AOM 的大小； （Ⅲ）．如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点 C 的坐标．
第 14 题图
4
15．(本小题满分 12 分)从 1，2，…，9 中任取 n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个， 也可以是全部），它们的和能被 10 整除，求 n 的最小值．（写出详细过程才给分）
为
.
9．当 n 1, 2, 3,, 2017 时，二次函数 y (n2 n)x2 (2n 1)x 1 的图象与 x 轴所截得的线
2017年芜湖四县(无为、南陵、繁昌、芜湖县)高一自主招生数学试卷及答案 (2)全文
2017年高一自主招生数学试题第Ⅰ卷一、填空题（本大题共12小题，每小题6分，共72分）321,321+=-=b a 122-+ba 17,,a b ca b c k b c c a a b===+++y kx =)6(723=-++-k x k xxk()()y x a x b =--a ba b <xm n ()m n <m n abx x y -+-=41x yy[]x x[]1.41,[ 2.1]3=-=-1y x=1y x =-12x x 和12[][]x x +=Rt ABC∆90ABC ∠=AB BC=D BCE ACAD BEFAD BAC∠BF m EF =CD n BD=mnDEABC∆ABAC,AE ADx y AC AB==12y x -=ABC∆2CDE∆第9题图第10题图x x a n m --=(0)a ≠m m m nm n m n nn n m +-++++-ACBDABCDABDD DEF EF BC GD ACHEHGBC CG CHAH ABEHDGBD第Ⅱ卷二、证明解答题（本大题共6小题，共78分）r222x y r +=(A B P l1533y x =+ABPaAPB∠a解：第13题图443y x=+A B C AxBC Ctt AC AB=D x轴正方向D DE x⊥轴2DE =CE DCCDE AOBtx232(32)0x x k k x-+++-=ABC∆AC,ABBCk ABC∆ABC∆证明：解：图（１）图（2）Rt ABC∆90ACB ∠=︒,D E ,AB BCBBP AB ⊥DEPAB AE AC AP⋅=⋅证明：()(0,3)1,1和1y(1,0)(0,1)2y 12y y my =+y xmyx12(,0),(,0)xx 212122(1)34mx m x m x x ++++=m 13m x m ++≤≤y解：,,()a b c a b c ≤≤111,,a bcac解：第16题图B第13题2017年高一自主招生考试数学参考答案一、填空题（本大题共12小题，每小题6分，共72分） 1. 63 2.3 3. 274.15.96.a m n b <<<7.36-8.09.m n = 10.9811.2 12.②③⑤二、证明解答题（本大题共6小题，共78分） 13.(10分) 解：(1)以AB 为直径的圆方程为225x y +=； ………2分 (2)设以AB 为直径作圆，交直线l 于点,C D ,如图. 则点P 在线段CD 上（不含端点）………4分 设点(,)C x y ，则2215(1)335(2)y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩…………………………6分把（1）代入（2），整理得，220x x +-=，∴2,1x x =-=，…………………8分∴(2,1),(1,2)C D -.故a 的取值范围是21a -<<.……10分 14.(10分) 解：（1）由直线443y x =+，可得(3,0),B(0,4)A - ∴3,4OA OB ==∴5AB ===……………………2分 ∵5AC t =∴当AC AB =时，55t = ∴2OA AC OC =-=,∴(2,0)C∴可以求出经过点Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线解析式为222433y x x =--+.…………………………………………………………5分（2）由题意得，53AC t OD t ==，，33AD OA OD t =+=+ ……………6分当AC AD <（即32t <）时，33532CD AD AC t t t =-=+-=-若△CDE 与△A OB 相似，则DE CD DE CDOA OB OB OA==或 ∴3223224334t t --==或 ∴1364t =或t= ……………………8分当AC AD >（即32t >）时，5(33)23CD AC AD t t t =-=-+=- 若△CDE 与△A OB 相似，则DE CD DE CDOA OB OB OA==或 ∴2322324334t t --==或∴91746t =或t=综上所述，当139176446t =或或或时，△CDE 与△AOB 相似. ……………………10分15.(14分) 证明：（1）关于x 的一元二次方程232(32)0x x k k x -+++-=，化简得22(23)320x k x k k -++++= ……………………2分∴22(23)4(32)1k k k ∆=+-++=……………………3分这个一元二次方程有两相不相等的实数根……………………4分 解：（2）若ABC ∆是等腰三角形，则有①AB BC =②AB AC =③BC AC =三种情况……………………5分 ∵10∆=> ∴AB BC ≠，故第①种情况不成立. ……………………6分 ∵第三边AC 的长为5，∴当AB AC =或BC AC =时,5x =是一元二次方程232(32)0x x k k x -+++-=的根，……………………8分∴25152(310)0,k k -+++-=整理得，27120k k -+=，解得123,4k k ==………………………………………………………………10分当3k =时，29200x x -+=，解得，124,5x x ==，所以等腰ABC ∆的三边长分别为5、5、4，周长是14 . ……………………12分当4k =时，211300x x -+=，解得，125,6x x ==，所以等腰ABC ∆的三边长分别为5、5、6，周长是16. ……………………14分 16.(14分)证明：以点D 为圆心，以AB 为直径作圆，交AP 于点F ，连接DF ，如图. …………2分∵90ACB ∠=︒，∴点C 在⊙D 上.∵AB PB ⊥,点,D E 分别是,AB BC 的中点∴DP BC ⊥,2PB PE PD =⋅,2PB PF PA =⋅.…………6分 ∴PE PD PF PA ⋅=⋅,∴PDF ∆∽PAE ∆，∴DF AEDP AP=……………………8分 ∴BD AEDP AP=………………………………………10分 又∵DE ∥AC ，∴BDP BAC ∠=∠， ∴DBP ∆Rt ∽ACB ∆Rt ， ∴BD ACDP AB =，………………………………………12分 ∴AE ACAP AB=， ∴AB AE AC AP ⋅=⋅.…………………………………14分 17.(14分) 解：（1）由已知条件可以易求出123y x =-+和2221y x x =-+ ∵12y y my =+∴2223(21)2(1)3y x m x x mx m x m =-++-+=--++当0m =时，函数为123y y x ==-+，图象与x 轴有交点.…………………3分 当0m ≠时，图象与x 轴有交点的条件是24(1)4(3)440m m m m ∆=+-+=-+≥ 解得1m ≤.…………………………………………5分综上可得，m 的取值范围是1m ≤.……………………………………………………6分 （2）12122(1)3,m m x x x x m m+++==.………………………………………………7分 由2112(1)30mx m x m -+++=得，21132(1)mx m m x ++=+， ∴212122(1)34mx m x m x x ++++=可化为12122(1)()4m x x x x ++=………………………………………………………9分∴2(1)32(1)4m m m m m+++⋅=⋅，即220m m +-= 解得，1m =或2m =-.…………………………………………………………………11分当1m =时，函数图象与x 轴仅有一个交点，舍去. ………………………………12分 当2m =-时，函数为22132212()22y x x x =-++=--+，当1x -≤≤1时，最大值为32，最小值为3-.………………………………………14分 18.(16分)解：由题意可得0a b c <≤≤，∴ 1110c b a<≤≤ ……………2分第16题∴11c a b >- ，1ac≤ ……………4分 由三角形的三边关系，可得111a b cc b a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩，……………6分∴111c c a a+>- ……………8分 整理，得2()3()10a a c c-+< ……………10分由二次函数231y x x =-+的图象和性质，可得x <<时，0y < ……………12分a c <<……………14分 又∵1ac≤，∴312a c <≤.……………16分。
山东省青岛市一中2017年自主招生考试笔试数学试题
青岛一中2017年自主招生考试笔试数学试题一、选择题(本题满分24分,共有6道小题,每小题4分)1.若(a+b)2+|2a-b-24|=0,则a 的算术平方根是()A.2B.4C.22D.222.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,若∠OCB=40°,则∠A 的度数等于()第2题第4题A.60° B.50° C.45°D.40°3.点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)都在反比例函数x 1-a -a 2y 2的图象上,且21x x ＜＜0＜3x ，则y 1、y 2、y 3的大小关系是()A.213y y y ＜＜B.321y y y ＜＜C.123y y y ＜＜D.312y y y ＜＜4.如图,三个区域A 、B 、C 栽种观赏植物,要求同一个区域中种同一种植物,相邻的两个区域种不同的植物,现有3种不同的植物可供选择,那么栽种方案有() A.27种B.18种C.12种D.6种5.在凸8边形的所有内角中,锐角的个数最多是() A.1B.2 C.3 D.46.如果有2017名学生排成一列,按1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,,的规律报数,那么第2017名学生所报的数是() A.1B.2 C.3 D.4二、填空题(本题满分16分,共有4道小题,每小题4分)7.方程02x 6-x -x 2的解为_______.8.如图,AB ∥CD,E 、F 分别为AC 、BD 的中点,若AB=10,CD=6,则EF 的长是_________.第8题第10题9.规定符号“i ”满足i 2=-1,则20182016i i ___________.10.如图,矩形ABCD 的对角线AC=10,AB=6,则图中五个小矩形的周长之和等于_________. 三、解答题(本题满分80分,共有7道小题）11.(本小题满分10分）先化简1-x 4x 4-x 1-x 1-122再求值,已知x 是整数且满足-3＜x ＜312.(本小题满分10分)如图,在等边三角形ABC 中,D 是BC 边上的一点,延长AD 至E,使AE=AC,∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O,求cos ∠AEO.。
2017年广东省深圳高中自主招生数学试卷
2017年广东省深圳高中自主招生数学试卷、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）C .— 4号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置 6人，乙种帐篷每顶安置 4人，共安置9000 人，设该企业捐助甲种帐篷 x 顶、乙种帐篷y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是 （）\+4y=20004x+y=9000 詁+尸2000 4x+6y=90001. （3分、途「的相反数是（（3分）下列图形是几家电信公司的标志, 其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是3. （3分）不等式组: 山一呼 的解集在数轴上表示正确的是（[x+l>0A .4. （3分）对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（5. （3分）四川5.12大地震后，灾区急需帐篷.rf4y=2000 6x+y=9000 \+y=2000L6K +4^9000A .C .B .A .(3 分)给出下列函数：① y = 2x ;② y =- 2x+1;③ y =± (x > 0);④ y = x 2 ( x v- 1).其 中，y 随x 的增大而减小的函数是（C . 410. （3分）如图，将厶ABC 沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中:6.7. A .①②B .①③（3分）中央电视台2套“开心辞典” 则三个球体的重量等于（C .②④D .②③④栏目中，有一期的题目如图所示， 两个天平都平衡, ）个正方体的重量.9. （3分）如图，扇形 OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 A .匚 cm4C ，cm1 cm , 1 cm 2（3分）如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（则这个①EF圆锥的底面半径为（B .// AB 且 EF = 1AB ;② / BAF =Z CAF ;③ S 四边形 ADFE = - AF?DE ;④ / BDF + ZFEC = 214. （ 3分）如图，在△ ABC 中，/ ACB = 90° , AC = 4, BC = 3,将厶ABC 绕点C 顺时针旋转至△ A 1B 1C 的位置，其中B 1C 丄AB , B 1C 、A 1B 1交AB 于M 、N 两点，则线段 MN 的16. （3分）反比例函数宀攵的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点,垂足是点N ,如果MON = 2 , 则k 的值为 _____________C . 3二、填空题 （共6小题，每小题 3分，满分18分） 11. （3 分） 分解因式：（2a - b ） 2+8ab = 12. （3 分）函数「 ii-中，自变量X 的取值范围是 13. （3 分） 2008年为提高中西部地区校舍维修标准，国家财政安排 32.58亿元帮助解决北 方农村中小学取暖问题，这个数字用科学记数法表示为元（保留两位有效数字）15.（ 3分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图方式铺地板，则第n 个图形中_______ 块（用含n 的代数式表示）MN 垂直于x 轴,2 / BAC ，正确的个数是（A . 1 长为三、解答题(共7小题，满分52分)17. (5 分)计算：卜上丿|-( 3- n) °+2cos60° +4 -.218. (5 分)当a= 「，b = 2 时，计算：一+( “ - •)的值.a2 b a19. (6分)如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE丄CD于E, F为AE上一点，且/BFE = Z C.(1)求证：△ ABFEAD ;(2)若AB = 5, AD = 3,Z BAE = 30°，求BF 的长.20. ( 7分)小明在寒假中对他所住的小区学生作了有关上海世博会各国展馆的认识度调查，他随机对他所住小区的40名初中学生调查了对中国馆，捷克馆与法国馆认识情况如下图，接着他又到居委会了解他所住的小区学生数情况如下表，(1 )从统计图中可知他所住的小区初中学生中对___________ 馆的认识度最高；(2 )请你估计他所住的小区初中学生中有___________ 人认识捷克馆；(3)小明用下面的算式—.■；：.'. - | -，计算得到结果为525，并由此估计出他所住的小区共有525名学生认识法国馆；你认为这样的估计正确吗？答：__________ ;为什么？答： _______ .域.人数初中学生展馆认识情况统计图21. （ 8分）如图，AB 是O O 的直径，且点 C 为O O 上的一点，/ BAC = 30°, M 是OA 上 一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点 E ,直线CF 交EN 于点F , 且/ ECF=Z E .（1）证明：CF 是O O 的切线;（2 ）设0 O 的半径为1，且AC = CE ,求MO 的长.E22. （10分）如图，一把“ T 型”尺（图1）,其中MN 丄OP ，将这把“ T 型”尺放置于矩形 ABCD 中（其中AB = 4, AD = 5）,使边OP 始终经过点 A ，且保持 OA = AB , “ T 型”尺 在绕点A 转动的过程中，直线 MN 交边BC 、CD 于E 、F 两点.（图2） （1 ）试问线段BE 与OE 的长度关系如何？并说明理由； （2）当厶CEF 是等腰直角三角形时，求线段 BE 的长；认识不认识图1(3 )设 BE = x , CF = y ,223 . (11分)如图，已知抛物线y= ax+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M (1, m)恰好在此抛物线的对称轴上，O M的半径为 -.设O M与y轴交于D，抛物线的顶点为 E .(1 )求m的值及抛物线的解析式；(2)设/ DBC = a, / CBE = 求sin ( a-® 的值；(3) 探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△ BCE相似？若P的坐标；若不存在，请说明理由.2017年广东省深圳高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析、选择题（共10小题，每小题3分，满分30 分）C.- 4【分析】首先化简：一，然后根据相反数的定义即可求解.【解答】解：：•：—= - 2•••：—的相反数是2.故选：B.【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数.2. （3分）下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误;B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误.故选：C.【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.3 . （3分）不等式组:(2x-4<0的解集在数轴上表示正确的是（1. （3分）：—的相反数是（【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可. 【解答】解：解不等式组得 ,再分别表示在数轴上，如图： 故选：B .-1 0 2【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来 （＞,》向右画；v,w 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几 个.在表示解集时,“W”要用实心圆点表示；“V” , “〉”要用空心圆点表示.4. （ 3分）对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（【分析】我们在观察物体时，无论什么角的观察物体，物体的形状都不会发生改变. 【解答】解：本题中，只有 B 的几何体和题目中的几何体一致. 故选：B .【点评】本题主要考查学生空间想象能力，但要注意无论什么角度，物体的原有形状是 不变的. 5. （ 3分）四川5.12大地震后，灾区急需帐篷.某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置 6人，乙种帐篷每顶安置 4人，共安置9000 x 顶、乙种帐篷y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是r+4y=2000B. “L 6x+y=9u00人，设该企业捐助甲种帐篷\+4y=2000A . “fx+y=2000C. *L 4x+6y=9000【分析】此题中的等量关系有:① 甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=2000顶；② 甲种帐篷安置的总人数 +乙种帐篷安置的总人数= 9000人.【解答】解：根据甲、乙两种型号的帐篷共 2000顶，得方程x+y = 2000；根据共安置9000 人，得方程 6x+4y = 9000. 列方程组为$+尸200°.k 6x+4y=9000故选：D .【点评】列方程组解应用题的关键是找准等量关系.此题中要能够分别根据帐篷数和人 数列出方程.6. （3分）给出下列函数： ①y = 2x ；②y =- 2x+1 ；③y =…（x > 0）；④y = x （x v - 1）.其x中，y 随x 的增大而减小的函数是（ ）A .①②B .①③C .②④D .②③④【分析】根据正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质解答. 【解答】解：①y = 2x ,正比例函数，k > 0，故y 随着x 的增大而增大； ② y =- 2x+1，一次函数，k v 0,故y 随着x 增大而减小；9③ y = — （x > 0）,反比例函数，k > 0在第一象限内y 随x 的增大而减小；x④ y = x 2 （x v - 1）,图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；而在对称轴左侧， y 随着x 的增大而减小. 故选：D .【点评】 本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调 性），是一道难度中等的题目.7.（ 3分）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示， 两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（）个正方体的重量.]- ~ k 一D .严诃1L 6K 4-^9000C. 4【分析】由图可知：2球体的重量=5圆柱体的重量，2正方体的重量=3圆柱体的重量.可 设一个球体重x ,圆柱重y ,正方体重z .根据等量关系列方程即可得出答案. 【解答】解：设一个球体重 x ,圆柱重y ,正方体重z . 根据等量关系列方程2x = 5y ； 2z = 3y ,消去 y 可得：x =乙3则3x = 5z ,即三个球体的重量等于五个正方体的重量. 故选：D .【点评】此题的关键是找到球，正方体，圆柱体的关系.& （ 3分）如图，扇形 OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为 1cm ,则这个圆锥的底面半径为（）D . cm2【分析】根据格点求得扇形的母线长及扇形的圆心角，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长 等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可. 【解答】解：•••小正方形方格的边长为 1cm , •母线长为：2「，圆心角为90°, •••扇形的弧长为： 180 ISO ' •••圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长,解得：r=小故选：C . 【点评】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的利用圆锥的侧面展开扇形和圆锥 的关系. 9. （3分）如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定 的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图象是（）A.崖【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故 h 与t 的关系变为先快后慢.【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度 h 与时间t 之间的关系分为两段，先快后慢. 故选：C .【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力.要能根据几 何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画 出正确的图象.10. （3分）如图，将厶ABC 沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中：①EF【分析】根据对折的性质可得 AE = EF , DFE ，据此和已知条件判断图中的相等关系. 【解答】解：①由题意得AE = EF , BF 是厶ABC 的中位线，故①错；// AB 且 EF = 1AB ；②/ BAF =/ CAF ； 22 / BAC ，正确的个数是（）③ S 四边形 A DFE =-^AF?DE ；④/ BDF + Z FEC=C . 3D . 4/ DAF = Z DFA ,Z EAF = Z AFE ,z BAC =Z FC ,但并不能说明 AE = EC ,：不能说明 EF②题中没有说AB = AC,那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A, F关于D , E对称.那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④/ BDF = Z BAF+ / DFA，/ FEC =Z EAF + Z AFE ,二/ BDF + / FEC = Z BAC + Z DFE=2Z BAC,故④对.正确的有两个，故选B.【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等.二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)2 211. (3 分)分解因式：(2a - b) +8ab = (2a+b) .【分析】先根据完全平方公式展开，合并同类项后，再利用完全平方式分解因式即可.2【解答】解：(2a- b) +8ab,2 2=4a - 4ab+b +8ab,‘ 2 2=4a +4ab+b ,2=(2a+b).【点评】本题主要考查运用完全平方公式分解因式，先利用完全平方公式展开整理成多项式的一般形式是解题的关键.12. (3分)函数厂一一:_ 中，自变量x的取值范围是X》-丄且X M0 .x 2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0,可以求出x的范围.【解答】解：根据题意得：2x+1 > 0且X M 0,解得：X》-1且x M 0 .2故答案为X》-■'且x M 0.2【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1 )当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2 )当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.13. (3分)2008年为提高中西部地区校舍维修标准，国家财政安排32.58亿元帮助解决北方农村中小学取暖问题，这个数字用科学记数法表示为 3.3 x 109元(保留两位有效数第12页(共24页)字）.【分析】将一个绝对值较大的数运用科学记数法表示为a x 10n的形式时，其中1w|a|v 10, n为整数位数减1.有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数开始，后面所有的数字都是有效数字.用科学记数法表示的数，有效数字只与前面a有关，而与n的大小无关.9 9【解答】解：32.58 亿=3.258X 10 ~ 3.3 x 10 元.【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握和有效数字的运用.要保留两个有效数字，则要观察第三个数，四舍五入.科学记数法要求前面的部分是大于或等于1,而小于10,小数点向左移动9位，应该为93.3X 10 .14. （3分）如图，在△ ABC中，/ ACB= 90° , AC= 4, BC = 3,将厶ABC绕点C顺时针旋转至△ A1B1C的位置，其中B1C丄AB, B1C、A1B1交AB于M、N两点，则线段MN的长为0.8 .【分析】在Rt△ ACB中，利用勾股定理可求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求得CM的值.由旋转的性质知：BC= B1C,进而可求得B1M的长，再由△B1CA1SA B1MN即可求得MN的长.【解答】解：Rt A ABC中，AC= 4, BC= 3,由勾股定理得：AB = 5,由于△ ABC 的面积：S= 1AC?BC = 1AB?CM，得：CM =一 =—,2 2AB 5由旋转的性质知：BC= B1C= 3,贝U B1M =,5T B1C丄AB,B1C 丄A1C,B1CA1SA B1MN,匚=-.，3_即：：=J_MN 4即：MN = 11x21= 0.8.5 3故答案为：0.8.【点评】此题主要考查了旋转的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质的相关知识，难度不大.15. （3分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图方式铺地板，则第n个图形中需要黑色瓷砖（3n+1）块（用含n的代数式表示）.【分析】找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.【解答】解：第一个图形有黑色瓷砖3+1 = 4块.第二个图形有黑色瓷砖3X 2+1 = 7块.第三个图形有黑色瓷砖3X 3+1 = 10块.第n个图形中需要黑色瓷砖3n+1块.故答案为：（3n+1）.【点评】关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.16. （3分）反比例函数二'的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴, 垂足是点N,如果S^MON= 2，贝U k的值为 -4 .【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S==|k|.【解答】解：T MN垂直于x轴，垂足是点N, S A MON =「|k|= 2,•••函数图象在二、四象限, • k v 0, • - k =- 4 . 故答案为：-4 .【点评】本题比较简单，考查的是反比例函数中比例系数 合的思想.三、解答题（共7小题，满分52分）17 . （5 分）计算：「/： j |-（ 3- n ） °+2cos60【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意： 【解答】解：原式=2 -匚-1+2X 丄+匚=2 .2【点评】本题需注意的知识点是：负数的绝对值是正数；任何不等于0的数的0次幕是1.18 . （5分）当 a = \ b = 2时，计算:【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入进行计算即可. 【解答】解：』-x-：(a+b)(a-b)b , a+b【点评】 本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简 的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.19 . （6分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点B 作BE 丄CD 于E , F 为AE 上一点，且/BFE = / C .(1) 求证：△ ABFEAD ；(2) 若 AB = 5, AD = 3,Z BAE = 30°，求 BF 的长.k 的几何意义，体现了数形结 |_，：|= 2-好？， ( 3-n) 0= 1 .当 a = T , --)的值.ab = 2时，原式=【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法得到△ 相似ABF EAD，再根据三角形的边对应成比例即可求得BF的长.【解答】(1)证明：•••四边形ABCD为平行四边形，• AD // BC, AB // DC .•••/ D+ / C= 180°,/ BAE =Z AED .•••/AFB + / BFE = 180°,/ C=/ BFE ,• / AFB = / D .(2)解：T BE丄CD, AB // DC ,• EB 丄AB .•△ ABE 为Rt△.•/ AB= 5, / BAE = 30°,•AE=「".3•/△ ABFEAD ,• BF = - 一 .2【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质的综合运用.20 . ( 7分)小明在寒假中对他所住的小区学生作了有关上海世博会各国展馆的认识度调查，他随机对他所住小区的40名初中学生调查了对中国馆，捷克馆与法国馆认识情况如下图，接着他又到居委会了解他所住的小区学生数情况如下表，(1 )从统计图中可知他所住的小区初中学生中对中国馆的认识度最高;(2 )请你估计他所住的小区初中学生中有140人认识捷克馆；(3)小明用下面的算式--: ::,计算得到结果为525，并由此估计出他所住的小区共有525名学生认识法国馆;你认为这样的估计正确吗？答：不正确为什么？答：对初中学生随机抽样的结果并不能表示小学生与高中生的结果，缺乏代表性学段小学初中高中人数240200160人数初中学生展馆认识情况统计图认识不认识【分析】(1 )分析条形图可知，初中学生中对中国馆的认识度最高;(2)调查的40名学生中有28名认识捷克馆，其所占百分比为28十40,而小区初中学生有200名，故可求出小区初中学生认识捷克馆人数；(3)不正确，35十40只是小区内初中学生所占百分比，不能表示小学生与高中生的认识结果.【解答】解：(1)分析条形图，40名初中生都认识中国馆，所以初中学生中对中国馆的认识度最高;(2)28- 40 X 200= 140 人；(3)不正确，35- 40只是小区内初中学生所占百分比.对初中学生随机抽样的结果并不能表示小学生与高中生的结果，缺乏代表性.【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.21. ( 8分)如图，AB是O O的直径，且点C为O O上的一点，/ BAC = 30°, M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F ,且/ ECF =Z E.(1)证明：CF是O O的切线；(2 )设0 O的半径为1，且AC = CE,求MO的长.【分析】(1)要证CF为O O的切线，只要证明Z OCF = 90°即可；(2)根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出值，MB的从而可得到MO的长.【解答】(1)证明：如图，连接OC,•/ AB是O O的直径，•Z ACB= 90 ° ,vZ BAC= 30 ° ,•Z ABC= 60 ° ；在Rt△EMB 中，vZ E+ Z MBE = 90°,•Z E= 30°；vZ E=Z ECF,•Z ECF = 30 ° ,•Z ECF+ Z OCB = 90 ° ；vZ ECF+ Z OCB + Z OCF = 180°,•Z OCF = 90°,• CF为O O的切线；(2)解：在Rt△ ACB 中，Z A = 30°,Z ACB = 90• AC= ABcos30°=驾习,BC = AB sin30°= 1 ；v AC= CE,• BE= BC+CE= 1+ ；，在Rt A EMB 中，Z E= 30°,Z BME = 90°,• MB = BEsin30° =；< ■2• MO = MB - OB= ：：2£【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可.22. （10分）如图，一把“ T型”尺（图1）,其中MN丄OP，将这把“ T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB = 4, AD = 5）,使边OP始终经过点A，且保持OA = AB , “ T型”尺在绕点A转动的过程中，直线MN交边BC、CD于E、F两点.（图2）（1 ）试问线段BE与OE的长度关系如何？并说明理由；（2）当厶CEF是等腰直角三角形时，求线段BE的长;(3 )设BE = x , CF = y ,域.【分析】（1）线段BE与OE的长度相等，如图，连接AE，在△ ABE与厶AOE中，已知条件可以证明它们全等，然后利用全等三角形的性质即可得到结论；（2）延长AO交BC于点T,由于△ CEF是等腰直角三角形，由此可以得到厶OET与厶ABT均为等腰直角三角形，而在△ ABT中，AB = 4，利用勾股定理即可求出AT,然后可以求出线段BE的长；（3）在BC上取点H ,使BH = BA = 4,过点H作AB的平行线，交EF、AD于点K、L ,如图，根据已知条件可以证明四边形ABHL为正方形，然后得到KL = KO,令HK = a,第19页（共24页）则在△ HEK中，EH = 4 - x, EK = x+4 - a,利用勾股定理可以求出用x表示的a的值，又HL // AB,根据平行线的性质可以求出函数关系式；要求BE的最大值，则当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF = 3，设BE = OE= x,在直角三角形CEF中，根据勾股定理列方程即可求解.【解答】解：(1)线段BE与OE的长度相等如图，连接AE，在△ ABE与厶AOE中，•/ OA= AB, AE = AE,/ ABE = / AOE = 90°,•△ ABE◎△ AOE ,• BE= OE;(2)延长AO交BC于点T,•••/ OEC=/ OEC,/ EOT=/ C = 90°,•△OET s^ CEF ,同理，T/ ATB=/ ATB,/ EOT =/ ABT = 90°,•△OET s^ BAT,•••△CEF是等腰直角三角形，•△ OET与厶ABT均为等腰直角三角形，于是在△ ABT 中，AB= 4,则AT= 匚_ ■一" = 「一，「= 1甘:_：,• BE= OE = OT =：［：-(3)在BC上取点H，使BH = BA= 4,过点H作AB的平行线,交EF、AD于点K、L,(如图)•四边形ABHL为正方形由(1)可知KL = KO ,令HK = a,则在△ HEK 中，EH = 4- x, EK = x+4 - a•••( 4 - x) 2+a2=( x+4 - a) 2,化简得：工a 4+x又HL // AB,n• ¥EC 5-玄即40)(亠技m〜a^EH~4-x '尸lG-x22•函数关系式为■ ■-,16-/BE的最小值应大于0,最大值即当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF = 3. 设BE = OE=x,在直角三角形CEF中，根据勾股定理，得2 2(3+x) =( 5 - x) +16 ,解得x= 2.所以定义域，即x的取值范围为0v x w 2.【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、然后把求函数关系式放到这个复杂的几何图形中，所以综合性很强，能力要求比较高，对于以上所有知识必须很熟练才能好的解决问题.223. (11分)如图，已知抛物线y= ax+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M (1, m)恰好在此抛物线的对称轴上，O M的半径为：.设O M与y轴交于D，抛物线的顶点为E.(1 )求m的值及抛物线的解析式；(2)设/ DBC = a, / CBE = 求sin ( a- B)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△ BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.•点D 的坐标为(0 , 1),【分析】（1 ）根据题意与图象可得点 C 的坐标，根据圆的性质可得点 B 的坐标，根据对称轴方程与点B 的坐标即可求得函数的解析式；（2）由抛物线的解析式可求得点 A , E , B , C , D 的坐标，判断 Rt A BOD s Rt △ BCE , 得Z CBE =Z OBD = 3,因此匕 sin( a- 3) = sin( Z DBC -Z OBD ) = sin Z OBC =(3)显然 Rt △ COA s Rt △ BCE ，此时点 P 1 (0, 0),过A 作AP 2丄AC 交y 正半轴于 P 2,由Rt △ CAP 2" Rt △ BCE ，得P 2 （0，丄），3过 C 作 CP 3丄 AC 交 x 正半轴于 P 3,由 Rt △ P 3CA s Rt △ BCE ，得 P 3 ( 9, 0), 故在坐标轴上存在三个点 P 1 (0, 0) , P 2 (0，丄)P 3(9, 0),使得以P 、A 、C 为顶点3的三角形与△ BCE 相似.【解答】解：(1)由题意可知C (0, - 3),--匕=1 ,2a•抛物线的解析式为 y = ax 2 - 2ax - 3 (a > 0),过M 作MN 丄y 轴于N ,连接 CM ,贝U MN = 1 , CM = ■■, • CN = 2,于是 m =- 1. 同理可求得B ( 3 , 0),2• a x 3 - 2a x 3 - 3= 0,得 a = 1.2•抛物线的解析式为 y = x - 2x - 3.(2 )由(1 )得 A (- 1 , 0), E (1, - 4), B (3 , 0), C (0, - 3).v M 至U AB , CD 的距离相等，OB = OC ,• OA = OD ,C0_V2 . :_.；【分析】(1 )根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点 B 的坐标即可求得函数的解析式；(2)由抛物线的解析式可求得点A, E, B, C, D的坐标，判断Rt A BOD s Rt△ BCE ,得/ CBE=/ OBD = 3,因此匕sin( a- 3) = sin(/ DBC -/ OBD) = sin/ OBC= ;(3)显然Rt△ COA s Rt△ BCE，此时点P1 (0, 0),过 A 作AP2丄AC 交y 正半轴于P2,由Rt△ CAP2" Rt△ BCE，得P2 (0, ),过 C 作CP3丄AC 交x 正半轴于P3,由Rt△ P3CA S Rt△ BCE，得P3 ( 9, 0),故在坐标轴上存在三个点P1 (0 , 0) , P2 (0, ), P3 (9 , 0),使得以P、A、C为顶点的三角形与△ BCE相似.【解答】解：(1)由题意可知C(0 - 3) - =1•抛物线的解析式为y= ax2- 2ax- 3 (a > 0),过M作MN丄y轴于N ,连接CM ,贝U MN = 1 , CM = ,• CN= 2 于是m=- 1 .同理可求得B( 3 0)2• a x 3 - 2a x 3 - 3= 0,得a= 1.•抛物线的解析式为y= x2- 2x- 3.(2)由( 1)得A(- 1 0) E(1 - 4) B(3 0) C(0 - 3).•/ M至U AB , CD的距离相等，OB= OC ,•点D的坐标为(0 , 1),• OA= OD第22 页(共24 页)•点D的坐标为(0 , 1),【分析】(1 )根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点 B 的坐标即可求得函数的解析式；(2)由抛物线的解析式可求得点A, E, B, C, D的坐标，判断Rt A BOD s Rt△ BCE ,得/ CBE=Z OBD = 3,因此匕sin( a- 3) = sin(/ DBC -Z OBD) = sin/ OBC= ；(3)显然Rt△ COA s Rt△ BCE，此时点P1 (0, 0),过 A 作AP2丄AC 交y 正半轴于P2,由Rt△ CAP2" Rt△ BCE，得P2 (0, ),过 C 作CP3丄AC 交x 正半轴于P3,由Rt△ P3CA S Rt△ BCE，得P3 ( 9, 0),故在坐标轴上存在三个点P1 (0, 0) , P2 (0, ), P3 (9, 0),使得以P、A、C为顶点的三角形与△ BCE相似.【解答】解：(1)由题意可知C(0，- 3)，- =1，•抛物线的解析式为y= ax2- 2ax- 3 (a > 0),过M作MN丄y轴于N，连接CM，贝U MN = 1, CM = ,•CN= 2，于是m=- 1 .同理可求得B( 3，0)，2•a x 32- 2a x 3- 3= 0，得a= 1 .2•抛物线的解析式为y= x2- 2x- 3.(2)由( 1)得A(- 1，0)，E(1，- 4)，B(3，0)，C(0，- 3).•/ M至U AB, CD的距离相等，OB= OC,•OA= OD，•点 D 的坐标为( 0， 1 )，第22 页(共24 页)。
芜湖一中 2017年高一自主招生考试数学试卷及答案
C． a ≤1
D． a 1
2．反比例函数
y
2 x
，当
x≤3
时，y
的取值范围是
A．y≤
2 3
B．y≥ 2
3
C．y≥ 2 或 y<0
3
2 D．0<y≤ 3
3．下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后，合放在桌上，小明从
最上面连续抽出 2 张，则抽到点数为“鳖十”（点数之和为 10）的概率是（ ）
BC OM
33
②如图 4，当 BC OA 3 时， BC 3BA 3 2 3 6 ．此时 C(8,0)........12 分 BA OM
图3
图4
15．(本小题满分 12 分) 从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部）， 它们的和能被10整除，求n的最小值．（详细过程才给分） 解：当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．...........................3分 当n=5时，设a1，a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数． 若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a1，a2，…，a5中不可能同时出现1和9； 2和8；3和7；4和6． 于是a1，a2，…，a5中必定有一个数是5． 若a1，a2，…，a5中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10）， 故含7； 于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾． 若a1，a2，…，a5中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20）， 故含3； 于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾． 综上所述，n的最小值为5．.......................................................................................12分 注：若本题只有答案，无过程，可给3分；有答案，但过程不严谨者可给4~6分，只有过程 严谨齐全才能得满分。
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2017高中自主招生考试数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．
1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）
A． m＞3
B．m≥3C．m≤3D． m＜3
2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）
（2）（3）
A．B．C． 0.3 D．
3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）
A．到CD的距离保持不变B．位置不变
C．
等分
D．随C点移动而移动
4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）
A．
2﹣1
B．
4﹣2
C．
3﹣2
D．
2﹣2
5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图（6），已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）
A． 6圈B． 6.5圈C． 7圈D． 8圈
7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图（7），则以下结论正确的有：①abc＞0；
②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）
（6）（7）（8）
A． 2个B． 3个C． 4个D． 5个
8．（3分）如图8，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果
，那么△ABC的内切圆半径为（）
A． 1 B．C． 2 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）与是相反数，计算=_________．
10．（3分）若[x]表示不超过x的最大整数，，则[A]=_________．
11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=_________．
（11）（12）
12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD 的最小值为_________．
13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是_________．
14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是_________．
15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm．
（15）（16）
16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_________cm．
三、解答题（72）
17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．
18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为
1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．
19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC 交于点E，BN△AEF与DC交于点F．
（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．
（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．
20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．
（1）求菱形的面积；
（2）求证：EF=MN；
（3）求r1+r2的值．
21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
高考是我们人生中重要的阶段，我们要学会给高三的自己加油打气。