2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(浙江专用)04
开学分班考试(一)-2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷及答案(新教材)
2020年秋季高一开学分班考试（衔接教材部分）（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1、下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）﹣2＝C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 2【答案】C【解析】A 、m 3•m 2＝m 5，故A 错误； B 、（﹣m ）﹣2＝B 错误；C 、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D 、（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2，故D 错误． 2、若代数式1x−5有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ． x =0B ． x =5C ． x ≠0D ． x ≠5 【答案】D【解析】分数要求分母不为零。
5,05≠≠-x x3、已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3 D ．6【答案】A ．【解析】设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3．故选A ．4、关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A ．图像与轴的交点坐标为B ．图像的对称轴在轴的右侧C ．当时，的值随值的增大而减小D ．的最小值为-3 【答案】D【解析】∵y=2x 2+4x -1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，2241y x x =+-y ()0,1y 0x <y x y当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．5、若，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】将不等式因式分解得，即或，无解或，所以√(2x−1)2+2|x−2|=2x−1+4−2x=3.故选C.6、已知ABC∆的三边a、b、c满足bcbaca-=-22，判断ABC∆的形状( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C. 等腰三角形D.直角三角形【答案】C【解析】等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c为非零数，所以a=b，故选C.7、若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围是（）A.(-1, +∞)B.(-∞,-1)C.[-1，+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞).【答案】B【解析】当{Δ=4+4a＜0a≠0时，一元二次方程无解，解得a＜-1，且a≠0，所以a的取值范围是a＜-1．8、不等式的解集是( )A．{x|1<x≤5}B．{x|1<x<5}C．{x|1≤x<5 }D．{x|1≤x≤5 }【答案】A【解析】原不等式化为−x+5x−1≥0,x−5x−1≤0，解得1<x≤5．9、不等式2560x x+->的解集是（）A．{}23x x x-或B．{}23x x-<<321xx+≥-C ．{}61x x x -或 D ．{}61x x -<<【答案】C【解析】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，故选C 。
高中数学：浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷(含参考答案)
浙江省杭州二中2024-2025学年高一上学期7月分班考试数学试卷一､选择题（每小题5分，共50分）1.计算等于（）C. D.2.设2t a b =+，21s a b =++，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s ≥ C.t s < D.t s≤3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，7BC =，点M ，N 分别是对角线BD ，AC 的中点，则MN =（ ）A.2B.5C.72 D.324.某几何体的三视图如图所示，则其体积是（）A.(45π+B.36πC.63πD.2169π+5.已知两直线1120a x b y ++=和2220a x b y ++=的交点是()3,4，则过两点()()1122,,A a b B a b ､的直线方程是（）A.340x y +=B.430x y +=C.3420x y ++=D.4320x y ++=6.设x ，y ，0z >，14a x y =+，14b y z =+，14c z x =+，则a ，b ，c 三个数（ ）A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于47.将正整数排成下表则在表中数字2020出现在（ ）A.第44行第85列B.第45行第85列C.第44行第84列D.第45行第84列8.若存在正实数y ，使得154xy y x x y=−+，则实数x 的最大值为（ ） A.15 B.54C.1D.4 9.如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG CF ､.下列结论：（1）ABG AFG ≅ ；（2）BG GC =；（3）AG ∥CF ；（4）3FGC S = .其中正确结论的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 10.()()()()()()()()333333332131412020121314120201−−−−++++ 的值最接近（ ） A.12 B.23 C.34 D.45二､填空题（每小题5分，共25分）11.tan45cos60−= __________.12.方程()()22120x a x a +−+−=的一个根比1大，一个根比1小，则实数a 的取值范围是__________. 13.函数15()22y x =+<<的最大值是__________.14.在等腰ABC 中，A B =，点D 在线段AC 上，且2CD DA =，若2tan 5ABD ∠=，则tan A =__________.15.设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若221a b −=，则1a b −<；②若111b a −=，则1a b −<；1−，则1a b −<；④若331a b −=，则1a b −<. 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三､解答题（每小题10分，共40分）16.解方程：4326736760x x x x +−−+=17.对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”；若()()ff x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”.（1）求证；若x 为()f x 的“不动点”，则x 为()f x 的“稳定点”；（2）若()()21,f x ax a x =−∈∈R R ，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}()(){},A x f x x B xf f x x ====∣∣，且A B =，求实数a 的取值范围. 18.如图，圆1O 和圆2O 相交于点A B ､，半径1O B ､半径2O B 所在直线分别与圆2O ､圆1O 相交于点E F ､，过点B 作EF 的平行线分别与圆1O ､圆2O 相交于点M N ､.证明：MN AE AF =+.19.现有重量为1，2，4，8，16的砝码各一个，有一个天平，在每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入砝码的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中，发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，问这样的放法共有多少种？参考答案一､选择题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为2n .因为2441936=，2452025=，所以2017出现在第45行上.又由2020193684−=，故2017出现在第84列，故选D8.【答案】A 【解析】转化154xy y x x y =−+为()224510xy x y x +−+=，以y 为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x 的范围即可.9.【答案】B【解析】（1）AB AD AF == ，AG AG =，90B AFG ∠∠== ，()Rt Rt ABG AFG HL ∴≅ ；故（1）正确（2）123EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =−. 在Rt ECG 中，根据勾股定理，得()()222642x x −+=+，解得3x =，363BG GC ∴==−=.故（2）正确（3）CG BG = ，BG GF =，CG GF ∴=，FGC ∴ 是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=. 又Rt Rt ABG AFG ≅ ；AGB AGF ∠∠∴=，2AGB AGF AGB ∠∠∠+=18022FGC GFC GCF GFC GCF ∠∠∠∠∠=−=+==AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG ∴∥CF ；故（3）正确.（4）2EF = ，3GF =，故331185525FGC GCE GCE GF S S S GC EC GE ===×⋅= .故（4）错误.∴正确的个数有3个.故选：B .10.【答案】B【解析】由立方和､立方差公式得：()()32111n n n n −−++，()()()()()()322111111121n n n n n n n ++=+++−++=+++ . 所以()()()()()2332111111221n n n n n n n n n n −++−−==++++++. ()()()()()()()()()3333333333333333213141202011213120191202012131412020121314120201−−−−−−−=×××××−++++++++ ()()3311220181123202012020194520219201920202021××=×××××−=××−×× ()()222201920202020122202020201220202020132019202020213202020213202020201×++++++=×=×=×××××+ 222220202020121213202020203202020203++ =×=×+≈ ++ 故选：B . 二､填空题 11.【答案】1212.【答案】21a −<< 13.【答案】14.【答案】215.【答案】①④三､解答题 16.（221167360x x x x++−−= ，1t x x =−，32t =，83−；2x =，12−，3−） 17.（1）解：若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，则()f t t =，()()()f f t f t t ==，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）A ≠∅ ，21ax x ∴−=有实根，14a ∴≥− 又A B ⊆，所以()2211a ax x −−=，即3422210a x a x x a −−+−=的左边有因式21ax x −−，从而有()()222110ax x a x ax a −−+−+= A B = ，2210a x ax a ∴+−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根.若2210a x ax a +−+=没有实根，则34a <；若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +−+=，有210ax +=.由此解得12x a=−，再代入得111042a a +−=，由此34a = 故a 的取值范围是13,44 −. 18.【解析】试题分析：根据平角得R A S ､､三点共线，根据同弦所对角相等得F R S E ､､､四点共圆.根据四点共圆性质得MRB FRA ∠∠=，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+. 试题解析：解：延长12BO BO ､分别与圆1O ､圆2O 相交于点R S ､，连结RM RF RB SA SE SN AB ､､､､､､.则90BAR BAS ∠∠== ，所以R A S ､､三点共线 又90RFS SER ∠∠== ，于是F R S E ､､､四点共圆. 故MRF MBF EFB ERS ∠∠∠∠===，从而MRB FRA ∠∠=，因此MB FA =，同理NB AE =.所以MN AE AF =+.证法二：连接1FO ，2EO ，那么我们易得等腰12O BF O EB ∼ .故我们有21BF BO BO BE ⋅=⋅，那么由相交弦定理的逆定理，我们有1O ，2O ，E ，F 四点共圆.从而我们有2221190O BN O FE O O E O BA ∠∠∠∠===− ， 故我们有22AO E BO N ∠∠=.从而AE BN =，同理AF BM =，即证明了MN AE AF =+.19.答案：是9*7*5*3*1945=，这算个组合计数题.分类讨论是比较困难的.最好的方法是分步原理，但不是很好想，但我觉得也有学生可能可以猜到这个答案.做法如下：将所有的位置分为：1左，1右；2左，2右；3左，3右；4左，4右；5左，5右.k左表示第k次放在天平左边，k右同理.那么我们先来看1这个砝码，你会发现对它的要求是不放在1右都可以.从而右9种选择.再看2这个砝码，若1这个砝码是第k次放，那么2这个砝码不能是第k次放，去掉一个位置，然后不能在去掉1这个砝码后放在右边，故还要去掉一个位置，故有7种可能……类似的考虑4，8，16……关键想法是考虑总共有10个位置，要将5个砝码放到这10个位置满足一定条件，然后砝码的顺序很重要.必须先考虑1.事实上也可以想象成归纳.。
2020年浙江省杭州二中高一入学分班考试数学试卷及答案解析
2020年浙江省杭州二中高一入学分班考试数学试卷一、选择题（本大题满分40分，每小题4分，1至8题四个选项中仅有一项正确；9至10题为多选择题，全对给4分，选项不全且无错误选项的给2分，有错误选项的则给0分）1．（4分）集合{1，2，3}的真子集共有（）A．5 个B．6 个C．7 个D．8 个2．（4分）命题“∃x≥1，使x2＞1．”的否定形式是（）A．“∃x＜1，使x2＞1．”B．“∃x＜1，使x2≤1．”C．“∀x≥1，使x2＞1．”D．“∀x≥1，使x2≤1．”3．（4分）下列函数中在其定义域内是单调函数的是（）A．f（x）＝x2B．f(x)=√x C．f(x)=1x D．f（x）＝x﹣24．（4分）已知f（x）＝|x﹣4|﹣|x+2|，若f（a+1）＜f（2a），则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，3]C．（1，3）D．（﹣3，1）5．（4分）已知a＝log23，b＝log34，c＝log45，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＞c＞a D．b＞a＞c6．（4分）函数y＝x•22﹣|x|在区间[﹣2，2]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（4分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣3，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（）A．（﹣2，3）B．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）C．(−13，12)D．(−∞，−13)∪(12，+∞)8．（4分）已知关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）在[0，1]上有实数根，且﹣4≤2a+b≤﹣2，则a+2b的最大值为（）A ．﹣1B ．0C ．12D ．19．（4分）设集合S ，T ，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则x +y ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y ﹣x ∈S ．若S 有3个元素，则T 可能有（ ） A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素10．（4分）已知函数f(x)={|log 2x|，x ＞0−log 2|x +1|，x ≤0．若f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）且x 1＞x 2＞x 3＞x 4，则下列结论正确的有（ ） A ．x 1+x 2+x 3+x 4＜0 B ．x 1+x 2+x 3+x 4＞0 C ．x 1x 2x 3x 4≥1D ．0＜x 1x 2x 3x 4＜1二、选择题（本大题满分16分，每小题4分，13题每空2分.） 11．（4分）若2a ＝5b ＝10，则4﹣a ＝ ，1a+1b= ．12．（4分）已知函数f(x)=2x−m 2x +m是奇函数，则f （m ）＝ ．13．（4分）设正实数a ，b 满足：a +b ＝1，则4a+ab的最小值为 ．14．（4分）若对任意的x ∈[1，5]，不等式2≤x +ax+b ≤5恒成立，则a ﹣b 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共有4个小题，共44分）15．（10分）已知集合A ＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），B ＝[m ，m +2]． （Ⅰ）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（Ⅱ）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．16．（10分）人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB （1TB ＝1024GB ）级别跃升到PB （1PB ＝1024TB ），EB （1EB ＝1024TB ）乃至ZB （17B ＝1024EB ）级别．国际数据公司（IDC ）的研究结果表明，全球产生的数据量为：年份 2008 2009 2010 2011 … x （单位：年） 0 1 2 3 … 数据量（单位：ZB ）0.490.81.21.82…为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x （单位：年）的关系，根据上述数据信息，选择函数f（x）＝kx+b和g（x）＝ma x（a＞0且a≠1）进行拟合研究．（Ⅰ）国际数据公司（IDC）预测2020年全球数据量将达到80.0ZB，你认为依据哪一个函数拟合更为合理；（Ⅱ）设我国2020的数据量为cZB，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到100cZB 约需要多少年？参考数据：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5312≈251.76．17．（12分）已知a∈R，函数f(x)={x−7，x≥ax2−4x，x＜a．（Ⅰ）若函数y＝f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（f（x））≥f（x），求实数x的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若f（a+4）≤f（3a），求实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＝2，函数g（x）＝﹣f2（x）+（3﹣2m）f（x）+m+2（0＜m≤1）．（i）若x∈[1，2m]，证明：g(x)≤10 3；（ii）若x∈[12，2]，求|g（x）|的最大值h（m）．2020年浙江省杭州二中高一入学分班考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分40分，每小题4分，1至8题四个选项中仅有一项正确；9至10题为多选择题，全对给4分，选项不全且无错误选项的给2分，有错误选项的则给0分） 1．（4分）集合{1，2，3}的真子集共有（ ） A ．5 个B ．6 个C ．7 个D ．8 个【解答】解：集合{1，2，3}的真子集共有： 23﹣1＝7个． 故选：C ．2．（4分）命题“∃x ≥1，使x 2＞1．”的否定形式是（ ） A ．“∃x ＜1，使x 2＞1．” B ．“∃x ＜1，使x 2≤1．” C ．“∀x ≥1，使x 2＞1．”D ．“∀x ≥1，使x 2≤1．”【解答】解：特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ≥1，使x 2＞1”的否定形式为：∀x ≥1，均有x 2≤1． 故选：D ．3．（4分）下列函数中在其定义域内是单调函数的是（ ） A ．f （x ）＝x 2B ．f(x)=√xC ．f(x)=1xD ．f （x ）＝x ﹣2【解答】解：f （x ）＝x 2是偶函数，所以在其定义域内不是单调函数，所以A 不正确； f （x ）=√x ，在其定义域内是单调增函数，所以B 正确； f （x ）=1x ，在其定义域内不是单调函数，所以C 不正确； f （x ）＝x ﹣2，在其定义域内不是单调函数，所以D 不正确；故选：B ．4．（4分）已知f （x ）＝|x ﹣4|﹣|x +2|，若f （a +1）＜f （2a ），则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，3]C ．（1，3）D ．（﹣3，1）【解答】解：f （x ）＝|x ﹣4|﹣|x +2|={6，x ≤−2−2x +2，−2＜x ＜4−6，x ≥4的图象，如下图：由图，可知f （a +1）＜f （2a ）等价于{2a ≤−2a +1＞−2 或 {−2＜2a ＜42a ＜a +1，解得﹣3＜a ≤﹣1或﹣1＜a ＜1，∴﹣3＜a ＜1， ∴a 的取值范围为（﹣3，1）． 故选：D ．5．（4分）已知a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝log 45，则有（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c【解答】解：设n ∈N ，且n ＞2，log n （n +1）＞0，log n ﹣1n ＞0，log n (n+1)log n−1n=log n (n +1)⋅log n (n −1)＜[log n (n 2−1)2]2＜(log n n 22)=1，∴log n （n +1）＜log n ﹣1n ，∴log 45＜log 34＜log 23，即a ＞b ＞c ． 故选：A ．6．（4分）函数y ＝x •22﹣|x |在区间[﹣2，2]上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数y ＝x •22﹣|x |，定义域为[﹣2，2]关于原点对称， 且f （﹣x ）＝（﹣x ）•22﹣|x |＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，图象关于原点对称， 排除CD ；由f （1）＝2以及f （2）＝2， 函数不单调， 排除B ． 故选：A ．7．（4分）已知不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是（﹣3，2），则不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是（ ） A ．（﹣2，3） B ．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）C ．(−13，12)D ．(−∞，−13)∪(12，+∞)【解答】解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣3，2）， 所以对应方程ax 2+bx +c ＝0的解是﹣3和2，且a ＜0； 由根与系数的关系知，{−3+2=−ba −3×2=c a ；解得b ＝a ，c ＝﹣6a ，所以不等式cx 2+bx +a ＞0可化为﹣6ax 2+ax +a ＞0， 即6x 2﹣x ﹣1＞0， 即（3x +1）（2x ﹣1）＞0， 解得x ＜−13或x ＞12；所以所求不等式的解集是（﹣∞，−13）∪（12，+∞）．故选：D ．8．（4分）已知关于x 的方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）在[0，1]上有实数根，且﹣4≤2a +b ≤﹣2，则a +2b 的最大值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．12D ．1【解答】解：关于x 的方程x 2+ax +b ＝0（a ，b ∈R ）在[0，1]上有实数根， 即函数f （x ）＝﹣x 2与g （x ）＝ax +b 在x ∈[0，1]上的图象有交点，作出函数f （x ）与g （x ）的大致图象，如图所示； 因为﹣4≤2a +b ≤﹣2，所以﹣4≤g （2）≤﹣2； 又a +2b ＝2（12a +b ）＝2g （12）；所以a +2b 的最大值可以转化为求g （12）的最大值，由数形结合可知，当y ＝g （x ）的图象经过点A （2，﹣4）且和y ＝f （x ）的图象在x ∈[0，1]上相交于点B （1，﹣1）时，g （12）取得最大值，此时直线方程为y+1−4+1=x−12−1，化简为y ＝﹣3x +2；所以y ＝g （12）＝﹣3×12+2=12， 计算a +2b ＝2g （12）＝1．故选：D ．9．（4分）设集合S ，T ，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则x +y ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y ﹣x ∈S ．若S 有3个元素，则T 可能有（ ） A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【解答】解：若S 有3个元素，不妨设S ＝{a ，b ，c }，其中a ＜b ＜c ， 由①可知，则必有x 1＝a +b ，x 2＝a +c ，x 3＝b +c ∈T ，由②可知，x 2﹣x 1＝c ﹣b ∈S ，x 3﹣x 2＝b ﹣a ∈T ，x 3﹣x 1＝c ﹣a ∈S ， 显然有c ﹣a ＞b ﹣a ＞0，c ﹣a ＞c ﹣b ＞0，（1）若c ﹣a ＝c ，则a ＝0，此时T 中有元素b ，c ，则c ﹣b ＝b ，c ＝2b 符合，此时T 中有3个元素，（2）若c ﹣a ＝b ，则有c ﹣b ＝b ﹣a ＝a ，即c ＝3a ，b ＝2a ， 此时T ＝{3a ，4a ，5a }中有3个元素， 综上所述，T 中有3个元素． 故选：B ．10．（4分）已知函数f(x)={|log 2x|，x ＞0−log 2|x +1|，x ≤0．若f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）且x 1＞x 2＞x 3＞x 4，则下列结论正确的有（ ） A ．x 1+x 2+x 3+x 4＜0 B ．x 1+x 2+x 3+x 4＞0 C ．x 1x 2x 3x 4≥1D ．0＜x 1x 2x 3x 4＜1【解答】解：作出函数f(x)={|log 2x|，x ＞0−log 2|x +1|，x ≤0的图象如图：由图可得x 1＞1＞x 2＞0＞x 3＞x 4，由|log 2x 1|＝|log 2x 2|，得log 2x 1＝﹣log 2x 2，即log 2（x 1x 2）＝0，则x 1x 2＝1， x 3+x 4＝﹣2，x 1+x 2＞2√x 1x 2=2， 故x 1+x 2+x 3+x 4＞2﹣2＝0；又2＝﹣x 3+（﹣x 4）＞2√(−x 3)(−x 4)=2√x 3x 4，得0＜x 3x 4＜1． 故选：BD ．二、选择题（本大题满分16分，每小题4分，13题每空2分.） 11．（4分）若2a ＝5b ＝10，则4﹣a ＝1100，1a+1b= 1 ．【解答】解：∵2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴4﹣a =14a =1(2a )2=1100； 1a+1b=1log 210+1log 510=lg 2+lg 5＝lg 10＝1．故答案为：1100，1．12．（4分）已知函数f(x)=2x −m2x +m 是奇函数，则f （m ）＝ 13．【解答】解：由于函数f(x)=2x−m2x +m是奇函数，所以f （﹣x ）+f （x ）＝0，整理得f(−x)+f(x)=2−x−m 2−x +m +2x−m2x +m =0，解得m ＝1，所以f(x)=2x−12x +1，则f （1）=13．故答案为：13．13．（4分）设正实数a ，b 满足：a +b ＝1，则4a+ab的最小值为 8 ．【解答】解：正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则4a +a b=4a+1−b b=4a+1b−1=4a+4b a +a+bb−1=4+4b a +a b ≥4+2√4b a ⋅ab =8，当且仅当4b a=ab且a +b ＝1即b =13，a =23时取等号，故答案为：814．（4分）若对任意的x ∈[1，5]，不等式2≤x +ax+b ≤5恒成立，则a ﹣b 的最大值是 4+4√3 ．【解答】解：设f （x ）＝x +a x+b ，1≤x ≤5，当a ≤0时，f （x ）在[1，5]递增，可得f （x ）的最小值为1+a +b ，最大值为5+a 5+b ， 由题意可得{1+a +b ≥25+a 5+b ≤5，即为{b ≥1−a b ≤−a 5，可得1﹣a ≤−a 5，解得a ≥54，这与a ≤0矛盾， 故a ＞0．当√a ＞5即a ＞25时，f （x ）在[1，5]递减，可得f （x ）的最大值为f （1）＝1+a +b ，最小值为5+a5+b ，由题意可得{1+a +b ≤55+a 5+b ≥2即为{b ≤4−a b ≥−3−a 5，可得﹣3−a 5≤4﹣a ，解得a ≤354这与a ＞25矛盾；当√a ＜1，即0＜a ＜1时，f （x ）在[1，5]递增，可得f （x ）的最小值为1+a +b ，最大值为5+a5+b ， 由题意可得{1+a +b ≥25+a 5+b ≤5，即为{b ≥1−a b ≤−a 5，可得1﹣a ≤−a 5，解得a ≥54，这与0＜a ＜1矛盾；当1≤a ≤5时，f （1）≤f （5），可得f （x ）的最小值为f （√a ）＝2√a +b ，最大值为5+a5+b ， 由题意可得{2√a +b ≥25+a 5+b ≤5，即为{b ≥2−2√a b ≤−a 5，可得2﹣2√a ≤−a 5，解得5−√15≤√a ≤5+√15，则40﹣10√15≤a ≤5，而65a ≤a ﹣b ≤a +2√a −2≤3+2√5；当5＜a ≤25时，f （1）＞f （5），可得f （x ）的最小值为f （√a ）＝2√a +b ，最大值为1+a +b ， 由题意可得{2√a +b ≥21+a +b ≤5，即为{b ≥2−2√a b ≤4−a ，可得2﹣2√a ≤4﹣a ，解得0≤√a ≤1+√3，即0≤a ≤4+2√3，故5＜a ≤4+2√3，而2a ﹣4≤a ﹣b ≤a +2√a −2≤4+4√3． 综上可得a ﹣b 的最大值为4+4√3， 故答案为：4+4√3．三、解答题（本大题共有4个小题，共44分）15．（10分）已知集合A ＝（﹣∞，1]∪（3，+∞），B ＝[m ，m +2]． （Ⅰ）若m ＝2，求（∁R A ）∩B ；（Ⅱ）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）由A ＝（﹣∞，1]∪（3，+∞）可知∁R A ＝（1，3]， 由m ＝2可知B ＝[2，4]， 故（∁R A ）∩B ＝[2，3]；（2）由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，可知B ⫋A ， ∴m +2≤1或m ＞3，即m ≤﹣1或m ＞3， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）．16．（10分）人类已经进入大数据时代．目前，数据量已经从TB （1TB ＝1024GB ）级别跃升到PB （1PB ＝1024TB ），EB （1EB ＝1024TB ）乃至ZB （17B ＝1024EB ）级别．国际数据公司（IDC ）的研究结果表明，全球产生的数据量为：年份2008 2009 2010 2011 …x （单位：年） 0 1 2 3 … 数据量（单位：ZB ）0.490.81.21.82…为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x （单位：年）的关系，根据上述数据信息，选择函数f （x ）＝kx +b 和g （x ）＝ma x （a ＞0且a ≠1）进行拟合研究． （Ⅰ）国际数据公司（IDC ）预测2020年全球数据量将达到80.0ZB ，你认为依据哪一个函数拟合更为合理；（Ⅱ）设我国2020的数据量为cZB ，根据拟合函数，请你估计我国的数据量达到100cZB 约需要多少年？参考数据：1.5310≈70.29，1.5311≈107.55，1.5312≈164.55，1.5312≈251.76．【解答】解：（Ⅰ）设2008，2009，2010，2011，…，2020年分别对应第1年，第2年，第3年，第4年，…，第13年，设数据量为y ，由已知列表如下：x 1 2 3 4 … 13 y0.490.81.21.82…80.0画出散点图如下：由散点图可知，5个点在一条曲线上，应选择函数g （x ）＝ma x ．（Ⅱ）将数据（1，0.49），（13，80）代入g （x ）＝ma x 中得：{0.49=ma 80=ma 13，解得：{m ≈0.32a ≈1.53，∴g （x ）＝0.32×1.53x ，由题意有c＝0.32×1.5313，则100c＝0.32×1.53x，∴x≈24，∴我国的数据量达到100cZB约需要24年．17．（12分）已知a∈R，函数f(x)={x−7，x≥ax2−4x，x＜a．（Ⅰ）若函数y＝f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（f（x））≥f（x），求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x﹣7＝0得x＝7，由x2﹣4x＝0得x＝0或x＝4，若函数f（x）恰有两个零点，则两个零点分别为0，4时，可得a＞7；若两个零点分别为0，7时，可得0＜a≤4；若两个零点分别为4，7时，零点0必然出现，不符合题意；故实数a的取值范围为（0，4]∪（7，+∞）．（Ⅱ）设μ＝f（x），当μ≥a时，f（μ）＝μ﹣7＞μ，必无解；当μ＜a时，μ2﹣4μ≥μ，解得μ≥5或μ≤0，情况一：当a＜0时，可得μ＜a，即f（x）＜a，①x≥a时，x﹣7＜a，则a≤x＜7﹣a，②x＜a时，x2﹣4x＜a，因为x2﹣4x＞a2﹣4a＞0＞a，无解，因此实数x的取值范围是[a，7+a）；情况二：当0≤a≤4时，可得μ≤0，即f（x）≤0，①当x≥a时，x﹣7≤0，则a≤x≤7，②x＜a时，x2﹣4x≤0，则0≤x≤a，因此实数x的取值范围是[0，7]；情况三：当4＜a＜5时，可得μ≤0，即f（x）≤0，①x≥a时，x﹣7≤0，则a≤x≤7，②x＜a时，x2﹣4x≤0，则0≤x≤4，因此实数x的取值范围为[0，4]∪[a，7]；情况四：当a＞5时，可得5≤μ＜a或μ≤0，即5≤f（x）＜a或f（x）≤0，①x≥a时，5≤x﹣7＜a或x﹣7≤0，则12≤x＜7+a或x≤7，②x＜a时，5≤x2﹣4x＜a或x2﹣4x≤0或5≤x＜2+√a+4或2−√a+4＜x≤−1或0≤x≤4，因为a −(√a +4+2)=2a−2+√a+4=2a−2+√a+40，故2+√a +4＜a ，因此（i ）5＜a ≤7时，实数x 的取值范围是(2−√a +4，−1]∪[0，4]∪[5，2+√a +4)∪[a ，7]∪[12，7+a)；（ii ）当7＜a ＜12时，实数x 的取值范围是(2−√a +4，−1]∪[0，4]∪[5，2+√a +4)∪[12，7+a)；（iii ）当a ≥12时，实数x 的取值范围是(2−√a +4，−1]∪[0，4]∪[5，2+√a +4)∪[a ，7+a)；18．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）． （Ⅰ）若f （a +4）≤f （3a ），求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设a ＝2，函数g （x ）＝﹣f 2（x ）+（3﹣2m ）f （x ）+m +2（0＜m ≤1）． （i ）若x ∈[1，2m ]，证明：g(x)≤103； （ii ）若x ∈[12，2]，求|g （x ）|的最大值h （m ）． 【解答】解：（Ⅰ）当0＜a ＜1时，f （x ）递减， f （a +4）≤f （3a ）等价于{0＜a ＜1a +4≥3a，解得：0＜a ＜1，当a ＞1时，f （x ）递增，f （a +4）≤f （3a ）等价于{a ＞1a +4≤3a ，解得：a ≥2，综上：0＜a ＜1或a ≥2；解：（Ⅱ）∵a ＝2，∴f （x ）＝log 2x 是增函数，证明：（i ）若x ∈[1，2m ]，则f （x ）∈[0，m ]，令t ＝f （x ），则0≤t ≤m ， 故g （x ）＝h （t ）=−[t −3−2m 2]2+m 2﹣2m +174，0≤t ≤m ， 当0≤3−2m 2≤m 即34≤m ≤1时，y max ＝m 2﹣2m +174=（m ﹣1）2+134＜103， 当3−2m 2＞m 即0＜m ＜34时，当t ＝m 时，y max ＝﹣3m 2+4m +2＝﹣3(m −23)2+103≤103，故g （x ）≤103；（ii ）若x ∈[12，2]，则f （x ）∈[﹣1，1]，令t ＝f （x ），则t ∈[﹣1，1]，故g （x ）＝φ（t ）=−[t −3−2m 2]2+m 2﹣2m +174，t ∈[﹣1，1]， ∵0＜m ≤1，∴12≤3−2m 2＜32，当12≤3−2m 2≤1即12≤m ≤1时，φ（﹣1）＝3m ﹣2∈[−12，1]，|φ（﹣1）|∈[0，1]，φ（1）＝4﹣m ＞0， φ（3−2m 2）＝m 2﹣2m +174∈[134，72]，此时|g （x ）|＝|φ（t ）|的最大值为m 2﹣2m +174， 当3−2m 2＞1即0＜m ＜12时，φ（t ）在[﹣1，1]上递增，φ（t ）min ＝φ（﹣1）＝3m ﹣2∈（﹣2，−12），|φ（t ）min |＝|φ（﹣1）|∈（12，2）， φ（t ）max ＝φ（1）＝4﹣m ∈（72，4），此时|g （x ）|＝|φ（t ）|的最大值为：4﹣m ， 综上，h （m ）={4−m ，0＜m ＜12m 2−2m +174，12≤m ＜1．。
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷(浙江专用)02(wd无答案)
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（浙江专用）02一、单选题(★) 1. 下列运算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．C．4x3（﹣2x2）＝﹣6x5D．(★★) 2. 已知0＜ x＜1，10＜ y＜20，且 y随 x的增大而增大，则 y与 x的关系式不可以是（）A．y＝10x+10B．y＝﹣10（x﹣1）2+20C．y＝10x2+10D．y＝﹣10x+20(★) 3. 按如图所示的运算程序，能使输出 m的值为8的是（）A．x＝﹣7，y＝﹣2B．x＝5，y＝3C．x＝3，y＝﹣1D．x＝﹣4，y＝3(★) 4. 如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都指向3的概率为（）A．B．C．D．(★★) 5. 如果关于 x的一元二次方程 ax 2+ bx+ c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程是2倍根方程D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程是2倍根方程(★★★) 6. 如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC，按以下步骤作图：①以点 A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交 AC， AB于 M， N两点；②分别以点 M， N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作射线 AP，交 BC于点 E.则tan∠ BAE＝（）A．﹣1B．C．+1D．(★★) 7. 如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点，若，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知点 M（2，3）是一次函数 y＝ kx+1的图象和反比例函数 y＝的图象的交点，当一次函数的值大于反比例函数的值时， x的取值范围是（）A．x＜﹣3或0＜x＜2B．x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．x＜﹣3(★★★) 9. 如图，中，，点为上的动点（不与，重合），过作于，于，设的长度为，与的长度和为，则能表示与之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 已知二次函数 y＝ x 2，当a≤ x≤ b时m≤ y≤ n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值二、填空题(★) 11. 计算（﹣2）（+2）的结果等于_________.(★★) 12. 1829年法国盲人路易•布莱尔发明了点字，用6个点（凸或不凸）构成的点阵中凸点的个数和位置表示不同的符号，形成了现代盲文.所有6点阵共可表示_________个不同的符号（没有任何凸点的不计数）.(★★) 13. 如果不等式组无解，则 a的取值范围是_________.(★★) 14. 在△ ABC中，cos B＝， BC＝4 ， AC＝4，则 AB＝_________.(★★★) 15. 如图，已知正方形 ABCD的边长为2，延长 BC至 E点，使 CE＝ BC，连结 AE交CD于点 F，连结 BF并延长与线段 DE交于点 G，则 FG的长是_________.(★★★) 16. 如图，△ ABC中，∠ BAC＝60°，∠ ABC＝45°， AB＝6， D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径作⊙ O分别交 AB、 AC于 E、 F，连结 EF，则线段 EF长度的最小值为_________.三、解答题(★★) 17. 阅读理解：把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，我们称之为集合，其中大括号内的数称其为集合的元素.如果一个集合满足：只要其中有一个元素 a，使得﹣2 a+4也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3，﹣2}，因为﹣2×3+4＝﹣2，﹣2恰好是这个集合的元素，所以{3，﹣2}是条件集合；例如：集合{﹣2，9，8}，因为﹣2×（﹣2）+4＝8，8恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，9，8}是条件集合.（1）集合{﹣4，12} 条件集合；集合条件集合（填“是”或“不是”）.（2）若集合{8，10， n}是条件集合，求 n的所有可能值.(★★) 18. 解方程与不等式组：（1）解方程：；（2）解不等式组：.(★★★) 19. 疫情期间，用无人机观察某段笔直街道，无人机在竖直高度为400m的 C处，观测到该段街道的一端 A处俯角为30°，另一端 B处的俯角为45°，求该段街道 AB的长.（点 A，B， D在同一条直线上，结果保留根号）.(★★★) 20. 如图，一次函数 y 1＝ kx+ b的图象交坐标轴于 A， B两点，交反比例函数 y 2＝的图象于 C， D两点， A（﹣2，0）， C（1，3）.（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△ COD的面积；（3）观察图象，直接写出 y 1≥ y 2时 x的取值范围.(★★★) 21. 如图，⊙ O的直径MN⊥弦 AB于 C，点 P是 AB上的一点，且 PB＝ PM，延长MP交⊙ O于 D，连结 AD.（1）求证：AD∥ BM；（2）若 MB＝6，⊙ O的直径为10，求sin∠ ADP的值.(★★★) 22. 已知关于 x的二次函数 y＝ ax 2﹣4 ax+ a+1（ a＞0）（1）若二次函数的图象与 x轴有交点，求 a的取值范围；（2）若 P（ m， n）和 Q（5， b）是抛物线上两点，且 n＞ b，求实数 m的取值范围；（3）当m≤ x≤ m+2时，求 y的最小值（用含 a、 m的代数式表示）.(★★★) 23. 如图，在矩形 ABCD中， AB＝8，点 E是边 CD的中点， AE和 BC的延长线交于点 F，点 G是边 BC上的一点，且满足 BG＝ BC＝ a，连接 AG， DG.且 DG与 AE交于点 O.（1）若 a＝1，求△ AOG的面积.（2）当△ AOG是直角三角形时，求所有满足要求的 a值.（3）记 S △DOE＝ x， S △AOG＝ y.①求 y关于 x的函数关系式；②当∠ AGO＝∠ DEA时，求tan∠ DAE的值.。
浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期分班考试(创新班选拔)数学试题含答案
2023.6.29新高一分班考（创新班选拔）（答案在最后）1.已知12a b a b-=-+，则a b 的值为_____________.【答案】13【解析】【分析】变形给定等式即可得解.【详解】由12a b a b -=-+，得0b ≠，2()a b a b -=--，整理得3a b =，所以13a b =.故答案为：132.已知一圆锥的主视图和俯视图如图所示，则该圆锥的侧面积和侧面展开图的圆心角分别为_____________.【答案】15π；6π5【解析】【分析】根据题意，得到圆锥的底面圆的半径和母线，设侧面展开图的扇形所在圆的圆心角为α，结合弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】根据给定的圆锥的三视图，可得圆锥的底面圆的半径为3r =，高为4，则母线长为5l =，可圆锥的侧面积为ππ3515πS rl ==⨯⨯=，底面圆的周长为2π2π36πr =⨯=，设侧面展开图的扇形所在圆的圆心角为α，则6πl α=，可得56πα=，解得6π5α=.故答案为：15π；6π5.3.如图中，O 的半径为20，则阴影部分的面积为_____________.【答案】200【解析】【分析】由图可知弓形AB 的面积等于扇形OAB 的面积减去AOB 的面积，所以阴影部分的面积等于以102为半径的半圆的面积减去弓形的面积，求解即可.【详解】由已知20OA OB ==，所以2AB =，所以2AP BP ==，120202002AOB S =⨯⨯= ，扇形OAB 的面积为21π20100π4⨯⨯=，所以阴影部分的面积为(()21π102100π2002002⨯--=.故答案为：200.4.已知二次函数2y ax bx c =++恒非负，0b a >>，0c ≠，则a b c b a++-的最小值为_____________.【答案】3【解析】【分析】根据题意，由二次函数恒非负可得,,a b c 的不等关系，然后将原式化简，结合基本不等式代入计算，即可求解.【详解】由于二次函数2y ax bx c =++恒非负，所以20Δ40a b ac >⎧⎨=-≤⎩，所以24ac b ≥，且0b a >>，则24b c a ≥，则()()22344b a b a b a a b c a b a b a a b a ++⎡⎤+-++⎣⎦≥=---()()4334b a aa b a -⋅≥=-，当且仅当23,4b a b a c a=-=时，即4c b a ==时，等号成立，所以a b c b a++-的最小值为3.故答案为：35.如图，在ABC 中，45A ∠=，BC =，点D E 、分别在边AC AB 、上，且1DE =，B C D E 、、、四点共圆，则该圆的半径为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AD DF =，AF=，根据AED ACB ∽得到AB AD =，根据HFB EFD V V ∽得到HB ED=，然后利用勾股定理求HC 即可得到该圆的半径.【详解】过点B 作HB BC ⊥交圆于点H ，连接HD 交AB 于点F ，连接HC ，因为HB BC ⊥，所以HC 为直径，所以90HDC ∠=︒，因为45A ∠=︒，所以AD DF =，AF =，因为180AED DEF DEF ACB ∠+∠=∠+∠=︒，所以AED ACB ∠=∠，所以AED ACB ∽，所以CB AB ED AD==，在HFB 和EFD △中，HFB EFD ∠=∠，HBF EDF ∠=∠（同弧所对的圆周角相等），所以HFB EFD V V ∽，所以HB FB AB AF AB ED FD AD AD --====HB =，所以HC =，所以该圆的半径为2.故答案为：262.6.如图，在矩形ABCD 中，6AD =，4AB =，G 为CD 中点，将四边形ABFE 沿FE 折叠为A B FE ''，,,D A B ''共线，,,A A G '共线，则BF 的长为_____________.【答案】43【解析】【分析】过A '作A I AD '⊥，过点B 作BH AG ⊥，设,A I x A E AE y =='='，利用勾股定理得到53x y =，则转化为经典的“3,4,5”直角三角形，最后再利用射影定理即可.【详解】过A '作A I AD '⊥，垂足为I ，过点B 作BH AG ⊥，与AD 交于点.H 于是ABH DAG ∠=∠，由~~AIA ADG BAH ' 可得，3,AB AI AD AH A I DG=='=于是43AH =，设,A I x A E AE y =='='，于是3,3AI x EI x y ==-，在A EI ' 中使用勾股定理()2223x x y y +-=，解得53x y =，记3,4,5,9A I x t EI t EA t AI t =='===，在直角EDA '△中，由射影定理，2A I IE ID ='⋅，于是294A I t ID EI ='=，因为9964t AD t =+=，所以8,15t =于是853AE t ==，因为BH AG ⊥，EF AG ⊥，则//BH EF ，因为//HE BF ，所以四边形BHEF 为平行四边形，因此844333BF AE AH =-=-=.故答案为：43.7.已知ABCD 为正方形，其内分别有长宽为1和3的矩形、边长为1的正方形，矩形R 的面积的所有取值之和为m n（,m n 为正整数且互质），则m n +=_____________.【答案】67【解析】【分析】先将每个矩形的顶点标上字母，然后求出必要的几何量，再设出右上角的直角三角形的两条直角边长，并列方程求解，最后通过解出的边长求出所有可能的面积，即可得到结果.【详解】如图，将三个矩形的顶点按图中所示标出字母，并分别过,,G H K 三点按图中所示像大正方形的边作垂线，垂足分别为,,P Q R .设KLA ϕ∠=，由几何关系可知：KLA KJB AIJ BML CNM NGP IHQ ϕ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=，90RKL RKJ AJI BLM CMN PNG HIQ ϕ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒-.从而cos sin 3cos sin BC BM MC LM MN ϕϕϕϕ=+=+=+，sin cos cos sin AB BL LR RJ JA LM KL KJ IJ ϕϕϕϕ=+++=+++3sin cos cos sin 2cos 4sin ϕϕϕϕϕϕ=+++=+.所以3cos sin 2cos 4sin ϕϕϕϕ+=+，得1tan 3ϕ=，从而10sin 10ϕ=，310cos 10ϕ=.故3cos sin 31010AB BC ϕϕ==+=⋅+=，且cos cos 10QH IH ϕϕ===，cos cos 10AI IJ ϕϕ===，sin sin 10IQ IH ϕϕ===，cos cos 10NC NM ϕϕ===.故1010ID AD AI AB AI =-=-=-=，10105QD ID IQ =-=-=，3107101010DN DC NC AB NC =-=-==.由于90HQE FPG ∠=︒=∠，9090QEH DEF DFE GFP PGF ∠=︒-∠=∠=︒-∠=∠，HE FG =，故QHE 全等于PFG △，所以PG QE =，31010PF QH ==.设DE x =，DF y =，则5PG QE QD DE x ==-=-.由于QHE 相似于DEF ，故QH DE QE DF =310105x y =，化简得到()36y x x =-.同时，有DF FP PN NC=+++tan cos 10y PG ϕϕ=+++1103510y x ⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭135y x =-+，即35y x =+.所以有()36y x x =-，35y x =+，将第一式代入第二式得()65x x x +=-，解得10x =或5x =.再由35y x =+即知1031010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或541015x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.而矩形R的面积R S EH EF =⋅===.分别代入即知，矩形R 的面积95R S =或53R S =.所以95525315m n =+=，故5215m n =⎧⎨=⎩，这就得到521567m n +=+=.故答案为：67.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，利用直角三角形制造的互余关系下的相似三角形，可以得到相似比关系，从而求得相应线段的长度.8.已知9个正整数的中位数和平均数均为9，众数为1，则其中最大数的最小值为_____________.【答案】16【解析】【分析】根据题意，由条件可得前5个数是1,1,7,8,9，当后4个数是连续的4个正整数时，最大的数最小，即可得到结果.【详解】因为中位数是9，所以将这9个正整数从小到大排列，第5个数是9，因为众数为1，所以1至少有2个，要使这列数的最大数最小，则其他8个数要尽量大，所以前5个数是1,1,7,8,9，所以后4个数的和为()991178955⨯-++++=，当后4个数是连续的4个正整数时，最大的数最小，设最后一个数为x ，则()()()12355x x x x +-+-+-=，解得15.25x =，因为x *∈N ，则16x =.故答案为：169.抛物线222y x kx k =+-向右平移2个单位，向上平移1个单位，恰好过坐标原点，则k 的值为_____________.【答案】5-或1【解析】【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，代入原点即可求解.【详解】将抛物线222y x kx k =+-向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到的解析式为：()()222221y x k x k =-+--+，所以()222445y x k x k k =+---+，因为抛物线过坐标原点，所以2450k k --+=，解得5k =-或1k =.故答案为：5-或1.10.将一长方形折叠后恰好如图所示，则梯形ABDC 的面积为_____________.【答案】725##14.4【解析】【分析】根据折叠和平行得到三角形ACP 和三角形PBD 为等腰三角形，即可得到,CP PD 的长度，根据勾股定理和等面积得到梯形的高，然后求面积即可.【详解】如图，过点P 作PF AB ⊥于点F ，由题意得EAC CAP ∠=∠，因为四边形ABDC 为梯形，所以AB CD ，所以PCA EAC CAP ∠=∠=∠，所以三角形ACP 为等腰三角形，3CP AP ==，同理可得，4PD PB ==，因为222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，根据等面积的思路得到PF AB PA PB ⋅=⋅，所以341255PF ⨯==，所以()1234572525ABDC S ++⨯==.故答案为：725.11.如图，已知ABC 为等腰三角形，AB AC =，AB 为O 的直径，BC 交O 于点D ，//CE AB ，BE 交AC AD 、于点F G 、，5EF =，4FG =，则BG 的长为_____________.【答案】6【解析】【分析】连接GC ，根据已知条件证明EGC V 相似于CGF △，得2EG CG CG EG FG CG FG=⇒=⋅，即可求BG 的长.【详解】如图所示，连接GC ,因为ABC 为等腰三角形，AB AC =，且以AB 为直径的圆交BC 于D ，所以AD BC ⊥，即D 为BC 的中点，所以GCD GBD ∠=∠，BG CG =，又因为ACD ABD ∠=∠，所以ACG ABG ∠∠=，因为//CE AB ，所以CEG ABG ∠=∠，即CEG ACG FCG ∠=∠=∠，所以EGC V 相似于CGF △，即2EG CG CG EG FG CG FG=⇒=⋅，又因为5,4EF FG ==，所以2()36CG EG FG EF FG FG =⋅=+⋅=，所以6BG CG ==.故答案为：6.12.已知在Rt ABC △中，90B ∠= ，6AB =，8BC =，点D E 、分别在边AB BC 、上，F 为DE 的中点，则AF FC +的最小值为_____________.【答案】10【解析】【分析】在Rt ABC △中，由勾股定理求得AC ，再根据三角形三边关系及三点共线求得AF FC +的最小值.【详解】在Rt ABC △中，10AC ==，当、、A F C 三点不共线时，在AFC △中，AF FC AC +>；当、、A F C 三点共线时，AF FC AC +=，此时D 与A 重合，E 与C 重合，F 为AC 的中点.所以AF FC +的最小值为10AC =.故答案为：10.13.如图，正方形OABC 的顶点A C 、分别在y x 、轴上，点B 坐标为()6,6，将四边形AEDO 翻折至FEDO '，点O '在边BC 上，FO '与AB 相交于点G ，35AEDO EBCDS S =四边形四边形，反比例函数(0)ky k x=>过点G 且与BC 相交于点H ，则O H '的长为_____________.【答案】1【解析】【分析】如图，由对称图形的特征可得OM O M '=，根据题意和梯形的面积公式、中点公式可得9(,3)4M ，进而可得3O C O B ''==，求出CD ，利用相似三角形的性质求得4BG =，即(2,6)G ，由12y x=求得2CH =，即可求解.【详解】如图，取DE 的中点M ，连接,OM O M '，则OM O M '=，连接OO '，交DE 于N ，则DE OO '⊥，设(06),(06)AE a a OD b b =<<=<<，则,6O D b CD b '==-，因为35AEDO EBCDS S =四边形四边形，所以3273682AEDO S =⨯=四边形，即1276()22a b ⨯⨯+=，解得92a b +=，所以9(,3)(,3)24a b M +=，则154OM =，设(6,)(06)O c c '<<，则154O M '=，解得3c =，即(6,3)O '为CB 的中点，故3O C O B ''==.又//OM DO '，所以//,//O M OD OM O D ''，所以四边形OMO D '为平行四边形，则154OD b O M '===，所以94CD =.由O BG DCO '' ，得O B BG DC CO '='，即3934BG=，解得4BG =，所以62AG BG =-=，得(2,6)G ，而点G 在函数ky x=图象上，故12k =，则12y x=，所以(6,2)H ，即2CH =，所以1O H O C CH ''=-=.故答案为：1【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用面积之比和中点坐标公式求出点M 的坐标，进而求得O '的坐标，结合相似三角形的性质可得2CH =即为所求.14.已知二次函数2y x bx c=++（1）若1b =-，且二次函数图象过点()1,2-，求二次函数的解析式及顶点坐标；（2）若该二次函数顶点为(),m k ，且过点(,)k m ，求m k -；（3）若该二次函数过点111213(,),(,),(2,)(0)A x y B x t y C x t y t --≠，且21M y y =-，32N y y =-，试比较M N 、的大小.【答案】（1）22y x x =-+；17(,)24（2）0或1（3）M N <【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得1,2b c =-=，得到函数的解析式，以及顶点坐标；（2）根据题意，可设抛物线的解析式为2()y x m k =-+，代入点(,)k m ，得到关于m k -的方程，即可求解；（3）根据题意，结合函数的解析式，求得2111y x bx c =++，2221112y x x t t bx bt c =-++-+和223111442y x x t t bx bt c =-++-+，求得,M N 的表达式，利用作差比较法，即可求解.【小问1详解】由题意知：1b =-，且二次函数图象过点()1,2-，可得112b bc =-⎧⎨++=⎩，解得1,2b c =-=，所以该函数的解析式为22y x x =-+，且函数图象的顶点坐标为17(,)24.【小问2详解】因为函数2y x bx c =++中，二次项系数为1，因为该函数图象的顶点坐标为(),m k ，可设抛物线的解析式为2()y x m k =-+，又因为2()y x m k =-+的图象进过另一点(,)k m ，可得2()m k m k =-+，即2()m k k m -=-，解得0m k -=或1m k -=.【小问3详解】因为函数2y x bx c =++的图象经过点111213(,),(,),(2,)A x y B x t y C x t y --三个不同点，所以2111y x bx c =++，222211111()()2y x t b x t c x x t t bx bt c =-+-+=-++-+，222311111(2)(2)442y x t b x t c x x t t bx bt c =-+-+=-++-+，所以2222111211112()2x x t t bx bt c x bx c y t M y x t bt -++-+-++=-+=-=-，322222*********(2)x x t t bx bt c x x t t bx bt c N y y =--++-+--++-+=2123x t t bt =-+-，因为0t ≠，可得2221123(2)20x t t bt x t t b M t t N -+---+-==>-，所以M N <.15.如图，一次函数()0y ax a =>与反比例函数()0ky k x=>相交于,A B 两点，点A 在第一象限，点C 是反比例函数ky x=第一象限上异于点A 的一点，AC 与x 轴交于点N ，BC 与x 轴交于点D .（1）若2a =，点C 坐标为()4,1，求证：CD CN =；（2）若,a k 为任意正实数，CD 是否等于CN ？（3）已知ABC S = ，60ACB ∠=︒，点D 坐标为()，求k .【答案】（1）证明见解析（2）是，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）先将两个函数图象联立，解出A 和B 的坐标，然后通过解方程组的方法求出直线AC 和BC 的解析式，并得到N 和D 的坐标，最后根据坐标验证CD CN =即可；（2）设C 的坐标为,k t t ⎛⎫⎪⎝⎭，然后采取与（1）完全相同的方法即可证明CD CN =；（3）根据（2）求出的各点坐标，可从每个已知条件分别得到关于,,t a k 的一个方程，然后对方程进行代数变形，将k 用已知的表达式表示，即可求出k .【小问1详解】由()4,1C 可知414k =⨯=，再由2a =，联立24y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得A，(B -.设直线AC 的解析式为y px q =+，则代入这两个点的坐标可得14p q q =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得21p q ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩.所以直线AC的解析式为12y x =-++，令0y =，得4x =+，所以()4N +.类似可以求出直线BC的解析式为12y x =-+，令0y =，得4x =()4D -.由()4D，()4N +，()4,1C ，可知CD ==CN ==.所以CD CN =.【小问2详解】设(),0k C t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，联立y ax k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得A，B ⎛ ⎝.设直线AC 的解析式为y px q =+，则代入这两个点的坐标可得k tp q t q⎧=+⎪⎪=+，解得p t k q t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以直线AC的解析式为k y x t t =-+，令0y =，得x t =+，所以N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.类似可以求出直线BC的解析式为k y x t t =+，令0y =，得x t =-D t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.由D t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，,k C t t ⎛⎫⎪⎝⎭，可知CD ==，CN ==.所以CD CN =.【小问3详解】由于CD CN =，故CDN CND ∠=∠.而60CDN CND ACB ∠+∠=∠=︒，故30CDN CND ∠=∠=︒.之前已经求得A，B ⎛ ⎝，,k C t t ⎛⎫⎪⎝⎭，N t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.现在由已知有()D，故t -=.同时我们有tan 30tan 3C C Dk y t CDN x x t=︒=∠==-.而11sin sin 60224ABC S AC BC ACB AC BC AC BC ==⋅⋅∠=⋅⋅︒=⋅ ，故32AC BC ⋅=.所以][2222222102432k k AC BC t t t t ⎡⎤⎛⎛⎛⎛⎢⎥==⋅=+⋅++ ⎢⎥⎝⎝⎝⎝⎣⎦][222222ak ak t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222222211ak t t t t t t ⎛⎫⎛⎛⎛⎫⎛⎛⎛⎫⎪=+-+=+-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎝⎝⎝⎭.故我们最终得到：t -=，33t =，222211024t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎪+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭.从而(2222222226410241133t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎛⎛⎛ ⎪ ⎪=+-+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎝⎭，得248t ⎛+= ⎝，即t +=.所以有((222211443k t t t t t ⎛⎫⎛⎛⎛⎛⎫ ⎪=⋅=+--⋅=-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎝⎭综上，k的值为16.（1）如图，已知在ABC 中，60BAC ∠= ，I 为内心，,D E 分别在边,AB AC 上，且DE 过I ，AI DE ⊥，16BD =，9CE =，求BC的长；（2）如图，已知在等腰Rt ABC △中，D 是边BC 上一点，BDk CD=，E 是AD 上一点，135BEC ∠= ，CE 延长线交AB 于点F ，求BFAF的值.【答案】（1）37；（2【解析】【分析】（1）过点I 分别作,,AB BC CA 的垂线，记垂足为,,H F G .设DH x =，用两种方法表示出三角形ABC 的面积从而建立方程即可求解；（2）作出ABC 的外接圆，记CF 与外接圆交于点,G BE 与AC 交于点H ，与外接圆交于点P .结合相似三角形的性质以及赛瓦定理即可得解.【详解】（1）过点I 分别作,,AB BC CA 的垂线，记垂足为,,H F G .由题设，易知ADE V 为等边三角形，则有IHD IGE ≅ ，设DH x =，则有3,3HI x HA x ==，则16,BF BH x ==+9,416,49CF CG x AB x AC x ==+=+=+，因为ABC 在AB 上的高()3492h x =+，由等面积法，于是()()()13141649416492253222ABC S x x x x x x =⋅+⋅+=⋅+++++ ，解得6x =，于是22537BC x =+=.（2）作出ABC 的外接圆，记CF 与外接圆交于点,G BE 与AC 交于点H ，与外接圆交于点P .因为45,45AGC ABC APB ACB ∠∠∠∠==== ，结合135BEC PEG ∠=∠=︒，显然APEG 为平行四边形，于是//,//AG BP AP GC ，所以PAC ACG ∠=∠，GAB ABP ∠=∠，结合同圆中圆周角相等，对应弧、弦相等，则AG PC =，AP GB =，由上，GAB GCB ∠=∠，GBA EBC ∠=∠，进而有BAG BCE ~ ，由题意，易知BC 为直径，且GP AC =，则90BPC ∠=︒，45AGC PCG ∠=∠=︒，同理有90BGC ∠=︒，45GBC PCG ∠=∠=︒，所以22CE PC ==，22BG BE =，由~AHP CHE 且~AFG BFE，所以222CH CE AFHA AP BGBF ===.由赛瓦定理有1BD CH AF DC HA FB ⋅⋅=，即21AF AF k BF FB ⋅⋅=，因此BFAF=17.如图，点A B C 、、在O 上，AB AC =.（1）求证：BAO CAO ∠∠=；（2）作BD AC ⊥，延长AO 交BD 于点E ，求证：BE CD =；（3）在（2）的条件下：①已知3cos 5BAC ∠=，后面条件不全，征集中，联系人QQ:2853279698。
浙江省杭州学军中学2024年新高一分班考试数学试题
学军中学新高一分班考 数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分。
1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧。
其中真命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中年高考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ）A. 28，28，1B. 28，27.5，3C. 28，28，3D. 28，27.5，13. 已知方程组{3x −2y =3a −42x −3y =2a −1的解满足x ＞y ，则a 的取值范围是（ ） A. a ＞1 B. a ＜1 C. a ＞5 D. a ＜54. 如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使BD=2DC ，连接AC ，tanB=53，则tan ∠CAD 的值是（ ） A. √33 B. √35 C. 13 D. 155. 如图，在Rt △ABC 中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，四边形DEFG 、GHIJ 均为正方形，点E 在AC 上，点I 在BC 上，J 为边DG 的中点，则GH 的长为（ ）A. 1921 B. 1 C. 6077 D. 1802596. 如图，正方形OABC 的一个顶点O 是平面直角坐标系的原点，顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，P 为边OC 上的一个动点，且BP ⊥PQ ，BP=PQ ，当点P 从点C 运动到点O 时，可知点Q 始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线7. 如图，以点M （-5，0）为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A,B 两点，P 是☉M 上异于A ，B 的一动点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点C ，D ，以CD 为直径的☉N 与x 轴交于点E ，F 则EF 的长为（ ）A. 4√2B. 4√3C. 6D. 随P 点位置而变化8. 已知二次函数图象的对称轴为x=1，且过点A （3，0）与B （0，1.5），则下列说法中正确的是（ ） ① 当0≤x ≤2√2+1时，函数有最大值2；② 当0≤x ≤2√2+1时，函数有最小值-2； ③ P 是第一象限内抛物线上的一个动点，则△PAB 面积的最大值为32； ④ 对于非零实数m ，当x >1+1m 时，y 都随着x 的增大而减小。
开学分班考试(四)-2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷及答案(新教材)
2020年秋季高一开学分班考试（四）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）1、设集合A ={3,5,6,8},集合4 ={45,7,8},则等于（）A. {5,8}B. {3…6}C. {4,7}D. {3,568}【答案】A【解析】集合A ={3,5,6,8},集合8 ={4,5,7,8},又集合A与集合4中的公共元素为5,8 ,二. Ac3 = {5,8},故选A.2、已知命题〃：V X£R,X2—X+I>O,则一y，（）A. ±wR, x2 -x + l<0B. VxwR，x2 -x + l<0C. HrwR, x2-x + l>0D. YxeR，x2 -x + l>0【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题〃：V XE RV—X +I,。
，则「P：3xwR, x2 -x+l<0 » 故选A.3、如果/（戈）=以2-（2—〃）1+1在区间（7,1上为减函数，则。
的取值（）A. （0,1]B. [0,1）C. [0,1]D. （0,1）【答案】C【解析】由题意，当4=0时，可得，（x） = -2x + l,在尺上是单调递减，满足题意，当“<0时，显然不成立：当。
>0时，要使/（X）在（一8，；上为减函数，则三;之：，解得：综上：可得0<a<\,故选：C.4、关于x的不等式产十这一3<0,解集为（一3』），则不等式以2+工一3<0的解集为（）1 3A.（1,2）B.（-12）C.（――1）D.（一二1）2 2【答案】D【解析】由题/ = -3/ = 1是方程/+统一3 = 0的两根，可得-3+1 = -〃,即。
=2,z 3所以不等式为2/+工_3<0,即（2x + 3）（x—l）〈0、所以—故选：D5、（2020・重庆巴蜀中学高一期末）若八J7+l） =X+ J7,则/（X）的解析式为（）A. f(x) = x2-xB. f (x) = x2 - x(x > 0)C. f(x) = x2-x[x>\)D. f(x) = A2 + X【答案】c【解析】/( 4+1)=x+y/x，设4+l=f，色1，则x= (L 1) 2,:J (f) = (/- 1)4-1=F - r,役1,・••函数f(X)的解析式为=X2-A-(X>1).故选：C.6、若。
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试题(浙江专用)06(解析版)
2020年秋季高一新生入学分班考试数学试题（浙江专用）06 一、单选题1．与根式﹣）A B．﹣x C D【答案】D【解析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．【详解】∴x＜0，∴﹣0，∴﹣x•x-，故选：D．【点睛】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．2．若方程组23133530.9a ba b-=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2ab=⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x yx y++-=⎧⎨+--=⎩的解是（）A．8.31.2xy=⎧⎨=⎩B．6.32.2xy=⎧⎨=⎩C．10.32.2xy=⎧⎨=⎩D．10.30.2xy=⎧⎨=⎩【答案】B【解析】设x+2＝a，1﹣y＝﹣b，把要求解的方程组转化为23133530.9a ba b-=⎧⎨+=⎩，再求x、y的值．【详解】解：设x+2＝a，1﹣y＝﹣b．则方程组2(2)3(1)13 3(2)5(1)30.9x yx y++-=⎧⎨+--=⎩可变形为2313 3530.9 a ba b-=⎧⎨+=⎩．∵方程组23133530.9a ba b-=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2ab=⎧⎨=⎩．∴x+2＝8.3，1﹣y＝﹣1.2．∴6.32.2 xy=⎧⎨=⎩．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程的解．把要求解的方程组转化为已知方程组，是解决本题的关键．3．将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c ＝0有实数解的概率为（）A．815B．1730C．49D．1736【答案】D【解析】列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax2﹣6x+c＝0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】列表得：∴一共有36种情况，∵b＝﹣6，当b2﹣4ac≥0时，有实根，即36﹣4ac≥0有实根，∴ac≤9，∴方程有实数根的有17种情况， ∴方程有实数根的概率＝1736， 故选：D ．【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．4．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是27°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°，若斜坡AF 的坡度i ＝1：3，则大树的高度为（ ）（结果保留整数，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.5，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.1，3≈1.7）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米 【答案】C 【解析】过点D 作DM ⊥BC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，由AF 的坡比i ＝13DA ＝6，可求得AN 与DN 的长，设大树的高度为x 米，由三角函数定义可得AC ＝1.1x ，在BDM 中，tan ∠BDM ＝BM DM ＝tan27°≈0.5，则BM ＝0.5DM ，得出方程x ﹣3＝0.5×（3)1.1x ，解方程即可求得答案． 【详解】过点D 作DM ⊥BC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则四边形DMCN 是矩形，∵DA ＝6，斜坡AF 的坡比i ＝1333＝tan ∠DAN ， ∴∠DAN ＝30°，DN ＝12AD ＝3，AN 3＝3， 设大树的高度为x 米，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝BCAC≈1.1，∴AC＝1.1x，∴DM＝CN＝AN+AC＝331.1x+，在BDM中，tan∠BDM＝BMDM＝tan27°≈0.5，∴BM＝0.5DM，∴x ﹣3＝0.5×（331.1x+），解得x≈10．即树高BC约10米．故选：C．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题；能借助仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形是解题的关键．5．若关于x的不等式组11(1)213132422x a xx x⎧+<++⎪⎪⎨⎛⎫⎪--⎪⎪⎝⎭⎩至少有4个整数解，且关于y的分式方程3﹣1ayy-＝51y-有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．4 B．9 C．11 D．.12【答案】A【解析】根据题意分别表示出不等式组与分式方程的解，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．【详解】不等式组整理得：12x ax<-⎧⎨-⎩，解得：﹣2≤x ＜a ﹣1，由不等式组至少有4个整数解，得到a ﹣1＞1，即a ＞2，分式方程去分母得：3（y ﹣1）﹣ay ＝﹣5，去括号得：3y ﹣3﹣ay ＝﹣5，即（3﹣a ）y ＝﹣2，解得：y ＝23a -， 由分式方程有整数解，得到a ﹣3＝±1，a ﹣3＝﹣2， 解得：a ＝2（不符合题意，舍去），a ＝4，a ＝1（不符合题意，舍去），故符合条件的所有整数a 的和为4．故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如果a ，b ，c 是正数，且满足a +b +c ＝9，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为（ ） A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】B【解析】先根据题意得出a ＝9﹣b ﹣c ，b ＝9﹣a ﹣c ，c ＝9﹣a ﹣b ，再代入原式进行计算即可．【详解】∵a ，b ，c 是正数，且满足a +b +c ＝9，∴a ＝9﹣b ﹣c ，b ＝9﹣a ﹣c ，c ＝9﹣a ﹣b ， ∴原式＝99b c a c b c c a ----++++9a b a b--+ ＝99b c c a ++++9a b +﹣3 ＝9×109﹣3 ＝7，故选：B ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 7．如图，在半径为2的⊙O 中，半径OC 垂直弦AB ，D 为⊙O 上的点，∠ADC ＝30°，则AB 的长是（ ）A ．3B ．3C ．23D ．4【答案】C 【解析】设半径OC ⊥AB 于点E ，连接OA ,利用圆周角定理求出∠BO C ，解直角三角形求出BE 即可解决问题．【详解】设半径OC ⊥AB 于点E ，连接OA ,∴AC BC =，∴∠D ＝12∠BOC ＝30°， ∴∠BO C ＝60°，∵AOB 是等腰三角形，OE AB ⊥，OB ＝2，∴AE ＝EB ＝OB •sin60°3，∴AB ＝2AE ＝3故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．如图，点E 是AB 的中点，5AC =，2BD =，若A CED B ∠=∠=∠，则AB 的长是（ ）A ．7B 10C ．210D ．10 【答案】C【解析】证明ACE BED ，可得AE AE BE BD=，由此即可解决问题． 【详解】 解：∵BEC BED CED A ACE ∠=∠+∠=∠+∠，A CED ∠=∠，∴ACE BED ∠=∠，∵A B ∠=∠，∴ACE BED ， ∴AC AE BE BD=， ∵点E 是AB 的中点，∴AE EB =，∴210AE AC BD =⋅=，∵0AE >， ∴10AE = ∴2210AB AE ==故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．9．已知二次函数y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣2a ﹣4（a 为常数）的图象与x 轴有交点，且当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥﹣2B ．a ＜3C ．﹣2≤a ＜3D ．﹣2≤a ≤3【答案】D【解析】根据图象与x 轴有交点，得出判别式∆≥0，解得a ≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，可得a ≤3，从而得出答案．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，∴∆＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0解得：a≥﹣2；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣22a-＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，∴a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．10．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C 点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t 之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分点A在D点的左侧、点A在DG上、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．【详解】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，当点A在D点的左侧时，设AC交DE于点H，则CE＝t，HE＝ET tan ACB＝t×3＝3t，则S＝S△CEH＝12×CE×HE＝12×t×3t＝3t2，图象为开口向上的二次函数；当点A在DG上时，同理可得：S＝3a2﹣3（a﹣t）2＝3（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；点C在EF的中点右侧时，同理可得：S＝S△BFH＝12×BF×HF＝12×（2a﹣t）×32a﹣t3（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．故选：A．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题11．如图，圆锥母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ＝13，该圆锥的侧面积是______【答案】12π【解析】根据正弦的定义求出圆锥的底面半径，根据扇形面积公式计算，求出圆锥的侧面积．【详解】解：∵圆锥母线长为6，sinθ＝13， ∴圆锥的底面半径＝6×13＝2，∴圆锥的底面积＝4π，∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π， ∴该圆锥的侧面积＝12×4π×6＝12π， 故答案为：12π．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．12．比较a ＝249，b ＝328，c ＝521这三个数的大小，按照从大到小的顺序排列为______．【答案】a ＞c ＞b ．【解析】直接利用幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】∵a ＝249＝（27）7，b ＝328＝（34）7，c ＝521＝（53）7，∴27＝128，34＝81，53＝125，∴a ＞c ＞b ．故答案为：a ＞c ＞b ．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确化简各数是解题关键．13．已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：2a |a ﹣b |+|c ﹣a 2()b a ＝_____．【答案】c ﹣2a【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：a ＜0，b ＜0，c ＞0，|a |＞|b |， 故a ﹣b ＜0，c ﹣a ＞0，b ﹣a ＞0， 原式＝﹣a +a ﹣b +c ﹣a +b ﹣a ＝c ﹣2a ． 故答案为：2c a 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 14．若三角形三条边长分别为a ，b ，c ，且a 2b ﹣a 2c +b 2c ﹣b 3＝0，则这个三角形一定是____．【答案】等腰三角形【解析】首先需要将a 2b ﹣a 2c +b 2c ﹣b 3因式分解，则可得到（b ﹣c ）（a ﹣b ）（a +b ）＝0，即可得到：b ＝c 或a ＝b ，即这个三角形一定是等腰三角形． 【详解】∵a 2b ﹣a 2c +b 2c ﹣b 3＝a 2（b ﹣c ）﹣b 2（b ﹣c ） ＝（b ﹣c ）（a 2﹣b 2）＝（b ﹣c ）（a ﹣b ）（a +b ）＝0， ∴b ﹣c ＝0或a ﹣b ＝0或a +b ＝0（舍去）， ∴b ＝c 或a ＝b ．∴这个三角形一定是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】此题考查了因式分解的应用．注意掌握因式分解的步骤，分解要彻底．15．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝10，AB ＝12，以BC 为直径的圆⊙O 交AC 于点G ，交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交CB 的延长线于点E ，交AC 于点F ．则下列结论正确的是____．①DF ⊥AC ； ②DO ＝DB ； ③S △ABC ＝48； ④cos ∠E ＝2425．【答案】①③④【解析】连接OD、BG、CD，如图，利用切线的性质得到OD⊥DF，再利用圆周角定理和等腰三角形的性质证明OD∥AC，则可对①进行判断；利用OB＝12BC＝5，BD＝6可对②进行判断；利用勾股定理计算出CD＝8，则可计算出△ABC的面积，从而可对③进行判断；利用面积法计算出BG＝485，则cos∠CBG＝2425，然后证明∠E＝∠CBG，从而可对④进行判断．【详解】解：连接OD、BG、CD，如图，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵CA＝CB，∴CD平分AB，即AD＝BD＝6，而OB＝OC，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴DF⊥AC，所以①正确；∵OB＝12BC＝5，BD＝6，∴OD≠BD，所以②错误；在Rt△BCD中，CD＝8，∴S△ABC＝12CD•AB＝12×8×12＝48，所以③正确；∵BC为直径，∴∠BGC＝90°，∴S△ABC＝12BG•AC＝48，∴BG＝485，∴cos∠CBG＝BGBC＝48510＝2425，∵BG⊥AC，EF⊥AC，∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG，∴cos E＝2425，所以④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质、圆周角定理和解直角三角形．16．已知函数y＝a（x+2）（x﹣2a），有下列说法：①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点，则只有唯一平移方法：向右平移2个单位；②当0＜a＜1时，抛物线的顶点在第四象限；③方程a（x+2）（x﹣2a）＝﹣4必有实数根；④若a＜0，则当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．其中说法正确的是____．（填写序号）【答案】②③【解析】把函数解析式化为一般式，再结合方程、函数图象等进行判断即可．【详解】解：当函数图象向上平移4个单位时，解析式为y＝ax2+2（a﹣1）x，则其图象过原点，故①不正确；在y＝ax2+2（a﹣1）x﹣4中，令x＝0可得y＝﹣4，当0＜a＜1时，其对称轴为x＝﹣1aa-＞0，此时其顶点坐标在第四象限，故②正确；∵y ＝a （x +2）（x ﹣2a ）＝ax 2+2（a ﹣1）x ﹣4， ∴方程a （x +2）（x ﹣2a）＝﹣4可化为ax 2+2（a ﹣1）x ﹣4＝﹣4，即ax 2+2（a ﹣1）x ＝0，该方程有实数根，故③正确； 当a ＜0时，抛物线开口向下，且对称轴在y 轴的左侧， 但无法确定其在x ＝﹣2的左侧还是右侧，故④不正确； 综上可知正确的是②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数与方程、图象的平移等知识是解题的关键．三、解答题17．计算：（1|﹣（﹣1）2020﹣20；（2）（21639a a ++-）÷13a +．【答案】（1+1；（2）33a a +-．【解析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）原式＝1﹣1+1；（2）原式＝36(3)(3)a a a -++-•（a +3） ＝(3)(3)3a a a ++-•（a +3）＝33a a +-． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班、（2）班进行了检测，如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况．（1）利用图中提供的信息，补全如表：班级平均数/分中位数/分众数/分方差/分2初三（1）班2424 5.4初三（2）班2421（2）哪个班的学生纠错的得分更稳定？若把24分以上（含24分）记为“优秀”，两班各40名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；（3）现从两个班抽取了数学成绩最好的甲、乙、丙、丁四位同学，并随机分成两组进行数学竞赛，求恰好选中甲、乙一组的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）初三（1）班的学生纠错的得分更稳定．28名，24名；（3）16．【解析】（1）中位数、众数的定义、方差的定义进行解答即可；（2）方差越小越稳定．找到样本中24分和24分人数所占的比例，即可得出答案；（3）画出树状图，由树状图求得所有可能的结果与甲、乙分在同一组的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）初三（1）班有4名学生24分，最多，故众数为24分；把初三（2）班的成绩从小到大排列，则处于中间位置的数为24和24，故中位数为24分，初三（1）班的方差为：S 22＝110[（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×2+（27﹣24）2×2+（30﹣24）2×2+（15﹣24）2]＝110×198＝19.8； 补全如表： 比较 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分2 初三（1）班 24 24 24 5.4 初三（2）班 24242119.8故答案为：24，24，19.8； （2）∵S 12＜S 22，∴初三（1）班的学生纠错的得分更稳定．初三（1）班优秀学生为40×4310+＝28人； 初三（2）班优秀学生为40×610＝24人．（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙一组的有2种情况， ∴恰好选中甲、乙一组的概率为212＝16． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法、方差、众数和中位数．注意概率＝所求情况数与总情况数之比19．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值． 【答案】a +b +c =-3．【解析】设21110x ax ++=，2110x bx c ++=，得11c x a b-=-，同理，由2220x x a ++=，2220x cx b ++=，得2(1)1a bxc c -=≠-，再根据韦达定理即可求解． 【详解】解：设21110x ax ++=，2110x bx c ++=，两式相减，得1()10a b x c -+-=，解得11c x a b-=-， 同理，由2220x x a ++=，2220x cx b ++=，得2(1)1a bx c c -=≠-， 211x x =， ∴11x 是第一个方程的根， 1x 与11x 是方程21110x ax ++=的两根， 2x ∴是方程210x ax ++=和20x x a ++=的公共根，因此两式相减有2(1)(1)0a x --=， 当1a =时，这两个方程无实根， 故21x =，从而11x =， 于是2a =-，1b c +=-， 所以3a b c ++=-． 【点睛】本题考查了根与系数的关系及二元一次方程的解，关键是根据韦达定理解题，属于中档题．20．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点E ，连接AE 、BE 、FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF ，FC ．求证下列结论：（1）FB AB =；（2）CF EF ⊥，FC EF =．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据已知和正方形的性质推出EAB DAF ∠=∠，EBA ADP ∠=∠，AB AD =，证ABE ADF ≅即可；取EF 的中点M ，连接AM ，推出AM MF EM DF ===，证AMB FMB ∠=∠，BM BM =，AM MF =，推出ABM FBM ≅，利用全等三角形的性质得出结论；（2）利用（1）中ABM FBM ≅可得BAM BFM ∠=∠，求出FDC EBF ∠=∠，推出BEF DFC ≅，利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】 证明：（1）正方形ABCD ，BE PD ⊥，EA FA ⊥，AB AD CD BC ∴===，90BAD EAF BEF ∠=∠=︒=∠，APD EPB ∠=∠，∴∠=∠EAB DAF ，EBA ADP ∠=∠，AB AD =，在ABE △与ADF 中，EAB DAF AB ADEBA ADP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABE ADF ASA ∴≅，AE AF ∴=，BE DF =，45AEF AFE ∴∠=∠=︒，取EF 的中点M ，连接AM ，AM EF ∴⊥，AM EM FM ==，//BE AM ∴，AP BP =， AM BE DF ∴==，45EMB EBM ∴∠=∠=︒，9045135AMB FMB ∴∠=︒+︒=︒=∠，在ABM 与FBM 中，AM FM AMB FMB BM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM FBM SAS ∴≅，AB BF ∴=；（2）ABM FBM ≅，BAM BFM ∴∠=∠，90BEF ∠=︒，AM EF ⊥，90BAM APM ∴∠+∠=︒，90EBF EFB ∠+∠=︒，APF EBF ∴∠=∠，//AB CD ，APD FDC ∴∠=∠， EBF FDC ∴∠=∠，在BEF 与DFC △中，BE DF EBF FDC BF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEF DFC SAS ∴≅，CF EF ∴=，90DFC FEB ∠=∠=︒， CF EF ∴=且CF EF ⊥．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 21．已知函数y ＝261x +，请根据已学知识探究该函数的图象和性质． （1）列表，写出表中a 、b 、c 的值：a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y …0.6a3b31.2c…（2）描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ．（3）已知函数y ＝x +2的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式261x +≥x +2的解集： ．【答案】（1）1.2，6，0.6；（2）图象见解析，函数关于y 轴对称；（3）图象见解析，x ≤1． 【解析】（1）分别将x 的值代入函数y ＝261x +中，可得结论； （2）根据表中的数据，描点连线、画出函数的图象，并直接说性质； （3）由图象：函数y ＝261x +的图象在y ＝x +2的图象的上方对应的x 值取值范围可得． 【详解】解：（1）当x ＝﹣2时，a ＝641+＝1.2， 当x ＝0时，b ＝6， 当x ＝3时，c ＝2631+＝0.6， 故答案为：1.2，6，0.6； （2）如图所示：性质：函数关于y 轴对称；（答案不唯一：或函数有最大值是6）； 故答案为：函数关于y 轴对称； （3）由图象得：不等式261x +≥x +2的解集是：x ≤1；故答案为：x ≤1．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想，正确画出函数的图象是解题的关键．22．如图，AB 是半O 的直径，点C 是半圆弧的中点，点D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 、OC 于点E 、F ．（1）在图中与BOF 相似的三角形有 个；（2）求证：2BE AD =；（3）求DE BE的值． 【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）212． 【解析】（1）利用相似三角形的判定方法，结合圆周角定理得出即可；（2）利用全等三角形的判定与性质得出ACG BCE ≅，进而求出即可； （3）利用已知首先判断DHE BCE ，进而得出答案． 【详解】（1）因为圆周角ADB ∠、ACB ∠所对的弦是直径，所以90ADB ACB ∠=∠=， 由点D 是弧AC 的中点，可得：ABD CBD ∠=∠；又点C 是半圆弧的中点，所以90FOB COB ∠=∠=，因此由ADB FOB ∠=∠，DBA FBO ∠=∠得BAD BFO ；由ECB ACB FOB ∠=∠=∠，FBO ABD CBD CBE ∠=∠=∠=∠，所以BCE BOF ；又AED CEB ∠=∠，90ADB ACB ∠=∠=，所以DAE CBE FBO ∠=∠=∠， 又90ADE FOB ∠=∠=，所以ADE BOF ，即与BOF 相似的三角形有BAD ；EAD ；BEC △共3个．（2）证明：如图，延长AD 与BC 相交于G ，∵点C 是半圆弧的中点，点D 是弧AC 的中点，∴CBE GAC ∠=∠，在ACG 和BCE 中∵GAC CBE AC BC ACG BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ACG BCE ≅∴BE AG =，而2AG AD =，∴2BE AD =．（3）解：如图，连接OD 交AC 于点H ，则OD AC ⊥，可得：//DH BC ，故DHE BCE ， 故DE DH BE BC =，设2BC x =，则2OD OB x ==， 故OH x =，()21DH x =-， 则212DE BE -=．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用圆周角定理得出对应角相等是解题关键．23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴相交于C ．（1）求直线BC 的表达式．（2）垂直于y 轴的直线l 与直线BC 交于点N （x 1，y 1），与抛物线相交于点P （x 2，y 2），Q （x 3，y 3）．若x 1＜x 2＜x 3，结合函数图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．【答案】（1）y ＝x ﹣3；（2）1＜x 1+x 2+x 3＜2．【解析】（1）利用抛物线解析式求得点B 、C 的坐标，利用待定系数法求得直线BC 的表达式即可；（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．【详解】（1）由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），C（0，﹣3）．所以A（﹣1，0），B（3，0），设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），则330 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得13 kb=⎧⎨=-⎩，所以直线BC的表达式为y＝x﹣3；（2）由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣1）2﹣4，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣4）．∵y2＝y3，∴x2+x3＝2．令y＝﹣4，y＝x﹣3，x＝﹣1．∵x1＜x2＜x3，∴﹣1＜x1＜0，即1＜x1+x2+x3＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，“数形结合”的数学思想是解题的关键．。
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2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（浙江
专用）04
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是
（）
A．B．C．D．
2. 如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为4cm，那么这个圆锥的侧面积为
（）
A．10cm2B．10πcm2C．20cm2D．20πcm2
3. 在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，则AB边的长是（）
A．7sin40°B．7cos40°
C．D．
4. 若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
5. 已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为( )
A．16 B．12 C．10 D．无法确定
6. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：
①是方程组的解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；
其中正确的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7. “分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：＝
＝7+4；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简﹣，可以先设x＝﹣，再两边平方得x2＝（）2＝4++4﹣﹣2＝2，又因为＞，故x＞0，解得x＝，﹣＝
，根据以上方法，化简﹣的结果是（）A．3﹣2B．3+2C．4D．3
8. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程3﹣＝有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．4 B．9 C．11 D．.12
9. 已知抛物线与直线，无论取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（）
A．B．C．D．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝8，E为AB上一点，BE＝8，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作Rt△PDQ，交直线AD于点Q，且满足PQ＝10，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当∠ECF最小时，tan∠ECF的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题
11. 计算：____．
12. 在平面直角坐标系中，如果存在一点P（a，b），满足ab＝﹣1，那么称点P为“负倒数点”，则函数y＝|x|﹣6的图象上负倒数点的个数为_____个．13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝
_____．
14. 已知实数、、，满足，，则实数
的取值范围是_____．
15. 如图，⊙O的半径为6，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A 作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为
______
16. 已知二次函数y＝ax2﹣4ax+a2﹣1，当x≥a时，y随x的增大而增大．若点A（1，c）在该二次函数的图象上，则c的最小值为_____．
三、解答题
17. 先化简，再求值：÷（﹣1﹣x），其中x的值是方程x2﹣x﹣7＝0的根．
18. 如图，已知△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC＝．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线EF与边AB、BC的交点分别为E，F，求的值．
19. 2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生1800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到一男一女的概率．
20. 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房项部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求
楼房AB高度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
21. 如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知点C（0，5），若在该一次函数图象上存在一点D，满足DB＝DC，求此时点D的坐标．
22. 已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．
（1）抛物线的顶点坐标是，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点（说明理由）；
（2）若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；
（3）抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O为AB 上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF，连接OF交AD 于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝a，AF＝b，试用含a，b的代数式表示线段AD的长；（3）若BE＝5，sin B＝，求DG的长．。