第四章根轨迹法§4-1反馈系统的根轨迹
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第04章(1) 根轨迹法
K s1 s2
0 0 -1
0.25 -0.5 -0.5
0.5 -0.5+j0.5 -0.5-j0.5 0.5-
1 -0.5+j0.87 -0.5-j0.87 0.5-
… … …
∞ -0.5+j∞ -0.5-j∞ 0.5-
2010-5-9
第四章
根轨迹法
4
自动控制理论 对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态: 1) 0≤K<, s1, s1为两相异的实数根(过阻尼状态) 2) K=, s1, s1为两相等实根,s1 = s2 =-0.5,(临界阻尼) 3) <K<∞, s1 ,s2为一对共轭复根(欠阻尼) 如要求系统在阶跃信号的作用下,超调量为49%. 由式(3-26)求得
注意: 注意:检验只有满足 K =
2010-5-9
dK =Байду номын сангаас ds
图4-11 根轨迹的复数分离点
A( s ) 0 的s才是真正的分离点和会合点 B(s)
普通高等教育"十一五" 普通高等教育"十一五"国家级规划教材
自动控制理论
第四章
根轨迹法
2010-5-9
第四章
根轨迹法
1
第一节
根轨迹法的基本概念
根轨迹法的基本概念
根轨迹的定义 根轨迹是闭环系统特征方程的根随着开环系统参数变化(从0变到 根轨迹 ∞时)在s 平面上变化的轨迹. 根轨迹法(W.R.Evans,伊凡思在1948提出 ): 根轨迹法 当开环增益或其它参数从0到∞改变时,其全部数值所对应的 闭环极点(特征根)均可在根轨迹图上简便地确定.根轨迹法是一 种图解法.
K
闭环系统的特征方程: 闭环系统的特征方程:
控制工程基础第4章 根轨迹法
n 3, m 0, 故三条根轨迹趋向处。
渐进线与实轴交点的坐标为
[S]
a
0
1
3
2
0
1
渐进线与实轴正向的夹角为
a -2 -1 0
a
2k
1180
3
60 , 180
六、根轨迹的起始角与终止角
起始角：起始于开环极点的根轨迹在起点 处的切线与水平线正方向的夹角。
终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点 处的切线与水平线正方向的夹角。
s4
2
1
s3 -2 s20 s1
s3 180 , s3 2 180 s4 1, s4 2 2
若s4位于根轨迹上，则必满足
幅角条件，即1 2 180，
N
s4一定在 2，0的中垂线MN上。
利用幅值条件可算出各根轨迹上的 K 值。
例
Gs
K
s0.5s 1
2K
ss 2
K
ss 2
终止于 zb 的根轨迹在终点处
的切线与水平正方向的夹角
j 1
i 1
ib
其它零点到 zb 的向量夹角
七、分离点的坐标
几条根轨迹在[S]平面上相遇后又分开的点， 称为根轨迹的分离点（或会合点）。
分离点坐标的求法：
1 d (G(s)H (s)) 0
ds
2 由根轨迹方程
令：dK 0 解出s ds
n
1 180 p1 z p1 p2
180 116.57 90
206.57
由于对称性
2 206.57
会合点 -3
206.57
p1
[S]
z116.57
2.12
-2 -1 0
孔祥东控制工程基础课新版件第四章
n i1
pi
m
j 1
zj
s nm1
在 n m的条件下，当 K1 时，有 n m条根轨迹分支趋向无穷
远处，即 s 。这时可以只考虑高次项，将上式近似写为
G(s)H (s)
K1
s
snm
n i1
P(s)
K1
(s a )nm
s nm
K1
(n m)( a )snm1
不难看出，此系统的根轨迹有 n-m 条分支，它们都是由(σa，j0)出
发的射线，其相角为
a
180 (2q 1) nm
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
如果选择
(n
m)(
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重要 依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是系 统的特征根，就必定在根轨迹上。
第四章 根轨迹法
§4-2 常规根轨迹
系统开环传递函数通常可以写成两种因子式
m
K1 (s z j )
G(s)H (s)
j 1 n
第四章 根轨迹法
Gp1(s) 0 K1 s(s 2a)
§4-1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的基本概念
根轨迹 是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上运动而形
成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的 影响，以及它们与系统性能的关系。
下面结合图4-1所示的二阶系统
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
综上所述，根轨迹是指系统特征根(闭环极点)随系统参量变化在s平面上 运动而形成的轨迹。通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极 点分布的影响，以及它们与系统性能的关系。
自动控制原理第四章--根轨迹法
G(s)H(s) 1
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
第四章根轨迹1
根轨迹示例1
j
j j
j j
0
j
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
j j 0
0
0
0
根轨迹示例2
j
jLeabharlann jj0j j 0 0
0
0
0
n=[1 2];d=conv([1 2 0],[1 262]);rlocus(n,d) n=1;d=conv([1 5],[[1 10]);rlocus(n,d)
j
j j
0
j
s(s 2)(s 3) K1 (s 1) 0
K1 ( s 1) 1 G( s) H ( s) 1 s( s 2)( s 3)
• 开环传递函数为：
K1 ( s 1) G( s) H ( s) s( s 2)( s 3)
开环传递函数的三个极点为： 时特征方程式的三个根相同
1
K1 G(s) H ( s) s( s 1)( s 2) p1 0 p2 1 p3 2
K1达到某一数值
时，两条根轨迹汇合在一起，然后随 的继续增大，从负实轴上 K1 分离出来进入右半平面，最后趋向无穷远处 另一条 p3 2 从出发，随 K 的增大一直沿着负实轴趋向于 1 负无穷远处。
确定闭环特征方程式的根轨迹，判断 与虚轴交点
s 3s 2s K1 0
3 2
用劳斯判据
设系统特征方程为：
s3+3s2+2s+K=0 劳 斯 表
s3 1 2 s2 3 k s1 (6-k)/3 s0 K
第一列全大于零, 系统稳定
3s2+K= 3s2 +6+0
第四章根轨迹分析
GK ( s ) K g ( s zi )
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
由于GK(s)是复数s的函数，故上式为一矢量方程
根轨迹的基本概念(续)
幅值方程： 确定根轨迹上某点对应的Kg值
K g s zi
i 1 m
s p
j 1
n
1
Kg
f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0 D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0 f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0
即由D( s) N ( s) N ( s) D( s) 0解出的s就是分离点
幅值条件和相角条件的应用
例2：单位反馈系统的Gk ( s )
Kg s( s 1)
, 试判断s1(-
1,j1)、 s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。
解: 由相角方程得：
0 [( s2 p1 ) ( s2 p2 )] 116.6 63.4） 180 （
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 控制系统根轨迹的绘制 求取闭环系统零极点的方法 增加开环零极点对根轨迹的影响 控制系统根轨迹分析举例
1
第4章
根轨迹
本章序言
•时域分析中，高阶系统解析法求闭环极点较困 难。 •1948年，伊万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
由幅值件得：K g
n
s p s z
i 1 j 1 m
j
i
1）当Kg=0时，有s=-pi； 则根轨迹必起始于开环极点。
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
由于GK(s)是复数s的函数，故上式为一矢量方程
根轨迹的基本概念(续)
幅值方程： 确定根轨迹上某点对应的Kg值
K g s zi
i 1 m
s p
j 1
n
1
Kg
f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0 D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0 f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0
即由D( s) N ( s) N ( s) D( s) 0解出的s就是分离点
幅值条件和相角条件的应用
例2：单位反馈系统的Gk ( s )
Kg s( s 1)
, 试判断s1(-
1,j1)、 s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。
解: 由相角方程得：
0 [( s2 p1 ) ( s2 p2 )] 116.6 63.4） 180 （
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 控制系统根轨迹的绘制 求取闭环系统零极点的方法 增加开环零极点对根轨迹的影响 控制系统根轨迹分析举例
1
第4章
根轨迹
本章序言
•时域分析中，高阶系统解析法求闭环极点较困 难。 •1948年，伊万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
由幅值件得：K g
n
s p s z
i 1 j 1 m
j
i
1）当Kg=0时，有s=-pi； 则根轨迹必起始于开环极点。
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(2) 闭 环 零 点 由 开 环 前 向 通路 传 递 函 数 的 零 点 和 反馈 通 路 传 函 的 极 点 所 组 成;对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 零 点 就 是 开 环 零点
(3) 闭 环 极 点 与 开 环 零 点 、开 环 极 点 以 及 根 轨 迹 增益 均 有 关
根 轨 迹 法 的 基 本 任 务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 及 根 轨 迹 增 益, 通 过 图 解 的
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同相 s1, s2均 为 负 实 数 s1 s2 -1
k 1/2时
s1,2 -1 j 2k - 1, 实 部 相 同 位 于 垂 直 于 实 轴 的 直上线
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷.远
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
(s zi )
i 1 n
(s pj )
1 K
j 1
幅值条件
m
n
G(s)H(s) (s zi ) - (s p j)
i 1
j 1
m
n
i - j
i 1
j 1
180 (1 2) ( 0,1,2,)
相角条件
(s
j 1
z
j
)
h
(s
j 1
pj )
f
l
则
G(s)H(s)
K
(s
i 1 q
Zi
)
(s
j 1 h
zj)
(3)
(s
i 1
Pi
)
(s
j 1
z
j
)
n qh
mf l
k kGkH
f
h
(s) KG
(s
i 1
Z
i
)
(
j 1
s
pj )
n
m
(s
i 1
Pi )
K
(s
j 1
zj)
C(s)
结论
(1) 闭 环 系 统 根 轨 迹 增 益 等于 开 环 系 统 前 向 通 道 根轨 迹 增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增 益就 等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
-2
0
K
二、根轨迹与系统性能
稳定性: 根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能: 根据系统在坐标原点的极点数, 可以确定系统的型别,
同时可以确定对应的静态误差系数.
动态性能: 0 k 0.5时，所有闭环极点位于实轴上 －过阻尼
k 0.5时，闭环两个实数极点重合
第四章 根轨迹法
§4-1 反馈系统的根轨迹 一、根轨迹的基本概念
开环系统某一参数从零 到无穷变化时 ,闭环系统特征方程
式的根在 S平面内变化的轨迹称根 轨迹。(root locus)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R(s)
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
R(s)
K S (0.5 S1)
C(s)
s2 2s 2k 0
两闭环极点为: s1 -1 1- 2k s2 -1- 1- 2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭极环点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时
k 1/2时
－临界阻尼
k 0.5时，闭环极点为复数极点
－ 欠阻尼
三、闭环零极点与环 传 函 为
(s)
G (s) 1 G (s)H(s)
(1)
R(s)
G(s)
一般开环传函可以写成
f
G(s) K G
(s
i 1
zi
)
q
(s
i 1
zi
)
H(s) (2)
l
H(s) K H
方 法找 出 闭 环 极 点.
四、根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
m
一般形式G(s)H(s)
K(s z1)(s z2 )(s (s p1)(s p2 )(s
zm)＝ pn )
K (s zi )
i 1 n
(s pj )
j 1
m
| G(s)H(s)|
(3) 闭 环 极 点 与 开 环 零 点 、开 环 极 点 以 及 根 轨 迹 增益 均 有 关
根 轨 迹 法 的 基 本 任 务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 及 根 轨 迹 增 益, 通 过 图 解 的
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同相 s1, s2均 为 负 实 数 s1 s2 -1
k 1/2时
s1,2 -1 j 2k - 1, 实 部 相 同 位 于 垂 直 于 实 轴 的 直上线
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷.远
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
(s zi )
i 1 n
(s pj )
1 K
j 1
幅值条件
m
n
G(s)H(s) (s zi ) - (s p j)
i 1
j 1
m
n
i - j
i 1
j 1
180 (1 2) ( 0,1,2,)
相角条件
(s
j 1
z
j
)
h
(s
j 1
pj )
f
l
则
G(s)H(s)
K
(s
i 1 q
Zi
)
(s
j 1 h
zj)
(3)
(s
i 1
Pi
)
(s
j 1
z
j
)
n qh
mf l
k kGkH
f
h
(s) KG
(s
i 1
Z
i
)
(
j 1
s
pj )
n
m
(s
i 1
Pi )
K
(s
j 1
zj)
C(s)
结论
(1) 闭 环 系 统 根 轨 迹 增 益 等于 开 环 系 统 前 向 通 道 根轨 迹 增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增 益就 等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
-2
0
K
二、根轨迹与系统性能
稳定性: 根轨迹若越过虚轴进入s右半平面, 与虚轴交点处的
k 即为临界增益
稳态性能: 根据系统在坐标原点的极点数, 可以确定系统的型别,
同时可以确定对应的静态误差系数.
动态性能: 0 k 0.5时，所有闭环极点位于实轴上 －过阻尼
k 0.5时，闭环两个实数极点重合
第四章 根轨迹法
§4-1 反馈系统的根轨迹 一、根轨迹的基本概念
开环系统某一参数从零 到无穷变化时 ,闭环系统特征方程
式的根在 S平面内变化的轨迹称根 轨迹。(root locus)
例. 设有一单位反馈系统如图所示G(S) 2k s(s 2)
该系统的闭环传函为
(s)
C(s) R(s)
s2
2k 2s
2k
系统的特征方程为
R(s)
K S (0.5 S1)
C(s)
s2 2s 2k 0
两闭环极点为: s1 -1 1- 2k s2 -1- 1- 2k
下 面 分 析 参 数k从0到 无 穷 变 化 对 系 统 闭极环点 分 布 的 影 响:
k 0时 s1 0 0 k 1 2时
k 1/2时
－临界阻尼
k 0.5时，闭环极点为复数极点
－ 欠阻尼
三、闭环零极点与环 传 函 为
(s)
G (s) 1 G (s)H(s)
(1)
R(s)
G(s)
一般开环传函可以写成
f
G(s) K G
(s
i 1
zi
)
q
(s
i 1
zi
)
H(s) (2)
l
H(s) K H
方 法找 出 闭 环 极 点.
四、根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点的集合.
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) -1
m
一般形式G(s)H(s)
K(s z1)(s z2 )(s (s p1)(s p2 )(s
zm)＝ pn )
K (s zi )
i 1 n
(s pj )
j 1
m
| G(s)H(s)|