第二章波动方程资料
第二章-直线上的波动方程
第二章 直线上的波动方程本章采用特征线和Green 公式两种方法讨论一维波动方程的解法。
讨论了下列方程的解。
1）齐次波动方程20,,0(,0)(),(,0)()tt xx t u c u x t u x x u x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩；2）非齐次波动方程22222(,)(,)(,),,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c f x t x t t x u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩3）边值问题20,0,(,0)(),(,0)(),0(0,)(),(,)(),tt xx t u c u x l t u x x u x x x u t f t u l t g t t ϕψ⎧-=<<-∞<<∞⎪==<<∞⎨⎪==-∞<<∞⎩。
§2.1 直线上的波动方程讨论无限长弦振动满足的齐次波动方程22222(,)(,)0,,0(,0)(),(,0)()t u x t u x t c x t tx u x x u x x ϕψ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪==⎩（1）定理 方程（1）的解为()()1(,)()22x atx atx at x at u x t s ds a ϕϕψ+--++=+⎰ （2）解 首先不考虑初始条件的所有可能解。
此时，()()0c c u t x t x∂∂∂∂-+=∂∂∂∂。
问题分解为分别求解方程()0c v t x∂∂-=∂∂ （3）和()c u v t x∂∂+=∂∂。
（4）利用特征线方法，方程（3）的解：dxc t=-∂，(,)(,0)v x t v x ct =+。
方程（4）的解：dxc t=∂，因此沿00()x x c t t =+-， 0000((),)((2),0)du x c t t t v x c t t dt+-=+-，即000000000001(,)(,0)((2),0)(,0)2t x ctx ct u x t u x ct v x c t t dt v t dt c +---=+-=⎰⎰。
波函数和波动方程
满足的波动方程
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
边界条件和归一化条件
边界条件 － 波函数 (r)及其导数 (r) / x
在边界处保持连续。 归一化条件 － 粒子在整个空间出现的几率为1
全空间 (r,t) 2d 3r 1
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
几率流密度 (1)
S方程： ( 2 2 V ) (r,t) i (r,t)
2m
t
*(r,t) 为 (r,t)的复数共轭, 它满足
( 2 2 V ) *(r,t) i *(r,t)
2m
t
其中
V
*
(r )
V
(r )
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
光子的偏振态的叠加 (1)
设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气石 晶片
情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束 将全部通过。
情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束 将被完全吸收。
情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部
分通过:
I I0 cos2
sin 0.776n
n 1
50.90
与实验结果吻合
量子力学与原子核物理
微观粒子的状态
第二章 波函数和波动方程
经典力学的决定性观念－经典力学中，对于一 个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始
条后任件意，时即刻t=0粒时子的(确或切系位统置)的与位动置量r，t 与那动么量在p以t
薛定谔方程的引入 (1)
描述一维自由粒子 的波函数
(x,t)
1
i ( pxEt)
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
(完整版)波动方程
y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处 前进波 x 0处 后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点
《大学物理》第二章--波动方程
u
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近
取一体积元 ab ， 这一体积元的长度为 dx，体积 dV Sdx 当有纵波传播时，该体积元发生线变， 设 t 时刻体积元正被拉长(先做力分析—应力分析）： 左端受到应力为σ，方向向左； 右端受到应力为 σ＋dσ ，方向向右；
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
a
t
时 刻
b
u
x
o
●
y
●
y dy
●
y E x
y v t
v dxS Sdx x t
a o
● ●
b
●
u
d
S
x
●
x
x dx
a
t
时 刻
b
u
x
o
●
y
2
●
y dy
●
y y E 2 2 x t
式中的Ａ，Ｂ，Ｃ为正值恒量，则
Ａ，波速为Ｃ／Ｂ Ｂ，周期为１／Ｂ
Ｃ，波长为 C / 2 Ｄ，圆频率为Ｂ Ｄ
例４，一列平面简谐波在媒质中以波速u=5m/s沿x轴正向 传播，原点处质元的振动曲线如图所示． （１）求解并画出x=25m处质元的振动曲线． （２）求解并画出t=3s时的波形曲线． Y(cm) 1
S
x
●
x
x dx
a
t
时 刻
b
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
大学物理波动方程
x
2 10 x 2 8 x -π 2
所以波动方程为： 特别注意半波损失
10 根据已知条件,x=0处的振动为:
0
x
y 0 . 01 cos 100 t 0
y0 .01 cos( 100 t ) 0 .01 cos( 100 t 8 x/2 ) 0 .01 cos( 100 t x/2 )
y 0 A cos t 0.1 10 3 cos(2 12.5 10 3 t ) m 0.1 10 3 cos 25 10 3 t m
《大学物理》
(2 ) 波 动 表 式 为
y A cos ( t
式 中 x 以 m 计 ， t 以 s 计 。
u
波长 周期 T
Y
1 .9 1011 N m 2 7 .6 10 3 kg m 3
5 .0 10 3 m/s
u
1
5.0 10 3 m s 1 12.5 10 kg m
3 3
0.40m
8 10 5 s
(1) 原点处质点的振动表式可写成
知 原 点 处 质 点 振 动 的 振 幅 为 A = 0 .1 m m ， 试 求 ： (1 )原 点 处 质 点 的 振 动 表 式 ， (2 )波 动 表 式 ， (5 )在 原 点 振 动 0 .0 0 2 1 s时 的 波 形 。
解 棒中的波速
(3 )离 原 点 1 0 c m处 质 点 的 振 动 表 式 ， (4 )离 原 点 2 0 c m和 3 0 c m两 点 处 质 点 振 动 的 相 位 差 ，
反射波反射到x处，引起的振动与入射波在x=6处引起的振 动的相位差为:
第2章波动方程
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
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注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
1 cos x, (1 cos
x),
x x
0 0
F
(
x,
t
)
12 (12x(
t), x
t
),
x x
0, 0,
t t
0 0
第二章 波 动 方 程
第一节 一阶线性方程的特征线解法
考虑连续性方程的初值问题：
常微分方程初值问题：
更一般的，考虑 方程可变为
方程(1.3)的特征线为 利用常微分方程解法, 得到
用特征线方程解一阶偏微分方程的步骤：
第二节 初值问题（一维情形）
2.1 初值问题与两个基本物理原理
考虑初值问题：
可分解为如下三个初值问题：
1 4
xt 2
1 12
t3;
当 x at 0, x 0 时，有
u( x, t )
1
1 a
sin
x
cos
at
x a
1 12 a3
(x3
3ax2t
3a2
xt 2
3a3xt 2
).
§3 初值问题(高维情形)
❖ 三维波动方程的球对称解 ❖ 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法 ❖ 泊松公式的物理意义
得到新定解问题的解
xat
U
( x, t )
1 2
[(x
at)
(x
at)]
1 2a
( )d
xat
t xa(t )
1 2a
0
F (s, )dsd ,
xa(t )
限制在 0 x ,t 0 上，得到：
当 x at 0时，有
u( x, t )
sin
x
cos
at
t
1 a
sin
at
cos
x
定理 2.2： 推论：
2.3 依赖区间、决定区域和影响区域
1）弦振动方程的波动特征：左右传播波与传播速度的有限性 考察自由振动方程：
注：振动的波动性和传播的有限性：弦振动方程的解为左右传播波的 叠加，因此称为波动方程；传播速度有限。
例1 若初值条件为
2 (x)
1
-
0
2
2
试说明无界自由振动方程解的物理意义。
依赖区间
t
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
一点的影响区域如图
t
x x1 at
x x2 at
影响区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x x1 at
x x1
4) 初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。
初值的奇性沿特征线向定解区域（上半空间）内传播。
x at
( )d
2
2a xat
1
t xa(t )
F(s, )dsd
2a 0 xa(t )
其中，对 x 0, 有
(x) (x), (x) (x), F(x,t) f (x,t).
问题是，对 x < 0,如何定义 (x), (x), F(x,t) ?
或者说，如何把 (x), (x), f (x,t) 延拓到 x < 0,使得
u(0,t)=0 ?
由微积分知，若一个连续函数 g(x)在(, )上是奇函数，
则必有 g(0)=0。 故要使得解 u(x,t)满足u(0,t)=0，只要 u(x,t)是 x 的奇函
数即可。而由命题1知，只要(x), (x), F(x,t)是 x 的奇
函数。
为此，只需要对 (x), (x), f (x,t) 关于 x 作奇延拓。
解：由达朗贝尔公式有 随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-
-
4
2
t1
-
-
4
2
t2
-
-
4
2
2 1
0
2
4
2 1
0
2
4
2
1
2
0
2
4
t3
-
-
4
2
t4
-
-
4
2
t5
-
-
4
2
2 1
0
2
4
2
1
0
2
4
2 1
0
2
4
2） 依赖区间、决定区域和影响区域
看达朗贝尔公式，回答下面三个问题：
特征线， 斜率1/a
特征线
当 x at 0时，有
xat
u( x, t )
1 2
[ ( x
at)
(x
at)]
1 2a
( )d
xat
t xa(t )
1 2a
0
xa(t )
f (s, )dsd .
当 x at 0, x 0 时，有
x at
u ( x, t )
1 2
[ ( x
at )
(x
at)]
1 2a
2.5 半无界问题（延拓法） 一、 端点固定的情况
(1) 齐次端点条件 考虑定解问题
设此时定解问题为
U
tt
a2U xx
F (x,t),
x ,t 0 (3.13)
U (x, 0) (x),Ut (x, 0) (x), x ,
则在 x ,t 0 上，有
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
§3 初值问题(高维情形)
1. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播，称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题（球面平均法） 考虑初值问题
则齐次方程(3.1)可化为
或者等价地写成
推导思路——球平均法
其中
另一方面，由于 故有
因此，有
更进一步，
(x)
(x), (x),
x x
0, 0.
(x)
(x), (
x),Βιβλιοθήκη x x0, 0.f (x,t), x 0,t 0, F(x,t) f (x,t), x 0,t 0.
通过(x), (x), f (x,t) 的奇延拓，得到定解问题(3.13)的
解 U(x,t)。问题(3.12)的解 u(x,t) 就是 U(x,t)在 t 0, 0 x 上的限制，即