三角形的稳定性 公开课大赛(省)优【一等奖教案】
11.1.3三角形的稳定性(教案)
3.培养学生的逻辑思维与分析能力，通过探讨不稳定性三角形与稳定性三角形的判别方法，提升推理与判断能力；
4.培养学生的团队合作与交流能力，在小组讨论与分享三角形稳定性应用案例的过程中，增进同伴间的互动与学习。
11.1.3三角形的稳定性（教案）
一、教学内容
11.1.3三角形的稳定性（教案）
1.三角形的定义及特性；
2.三角形的稳定性原理；
3.不稳定性三角形与稳定性三角形的判别；
பைடு நூலகம்4.三角形在实际生活中的应用案例；
5.三角形稳定性问题的解决方法及技巧。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力，通过观察和分析三角形的稳定性，深化对几何图形特性的理解；
此外，在教学过程中，我也注意到学生在数学语言表达方面的不足。为了提高他们的表达能力，我会在课后布置一些相关的练习，让他们多加练习，以便在课堂上能够更好地展示自己的思考过程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形稳定性的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形稳定性的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-稳定性三角形判别方法的应用：学生在掌握判别方法后，如何将其应用于实际问题，是一个难点。
例如：设计一些实际案例题，让学生运用判别方法进行分析，并提供指导与反馈。
-数学语言的表达与理解：在讨论三角形稳定性问题时，学生需要运用数学语言表达自己的观点，这对他们来说是一个挑战。
三角形的稳定性教案
三角形的稳定性教案教案：三角形的稳定性一、教学目标：1.理解三角形的稳定性概念；2.掌握判断三角形稳定性的方法；3.能运用所学知识判断给定的三角形是否为稳定的。
二、教学重点：1.理解三角形的稳定性概念；2.掌握判断三角形稳定性的方法。
三、教学难点：1.运用所学知识判断给定的三角形是否为稳定的。
四、教学准备：1.教师准备：教学投影仪、计算器、板书工具；2.学生准备：习题册、笔记本。
五、教学过程：步骤一：导入新知识教师通过引入几个日常生活场景，如：建筑物的支撑结构、桥梁等，让学生思考为什么这些结构物能够稳定地存在。
引导学生思考三角形在这些结构物中起到的作用。
步骤二：引入稳定性概念教师通过板书三角形的定义，向学生介绍新的知识点，三角形的稳定性。
然后，教师引导学生进行讨论，一起找出三角形的稳定性与不稳定性的特征。
步骤三：稳定性判断的方法1.教师以图示的方式，向学生介绍几种可以判断三角形稳定性的方法，如：三边长关系、角度关系等。
2.教师以板书、示例的方式，对每种方法进行详细讲解，并指导学生进行相应的练习。
步骤四：练习与讨论1.教师将学生分成小组，让学生互相讨论并判断给定的三角形是否为稳定的。
2.学生完成练习后，教师随机抽取学生回答，进行讨论与纠正。
步骤五：深化巩固教师出示一些错综复杂的三角形图形，让学生运用所学知识进行判断，并解释自己的答案。
教师可以选择一些学生的作答进行批判性思考和分析。
步骤六：反思与总结教师引导学生总结判断三角形稳定性的方法，并将关键知识点进行梳理，帮助学生进行知识的巩固和记忆。
六、教学延伸：1.学生可以上网相关的实际案例，深化对三角形稳定性的理解；2.学生可以进行拓展探究，比较不同的结构物中三角形稳定性的作用。
七、教学评价：1.教师观察学生在课堂练习与讨论中的表现；2.教师评价学生在课后作业中对所学知识的掌握情况。
八、教学反思：通过这节课的教学，学生对三角形稳定性的概念有了初步了解，判断三角形稳定性的方法也掌握了一些。
1.1.3三角形的稳定性(教案)
在难点解析部分，我尝试通过举例和比较来帮助学生理解等腰三角形的性质，但从学生的反馈来看，这一部分的教学效果还有待提高。我意识到，对于这类性质的理解，可能需要更多的时间让学生去消化和吸收。因此，我计划在下一节课中，再次对这一部分内容进行巩固，确保学生能够真正掌握。
4.增强学生的数学应用意识：将三角形稳定性与生活实际相结合，让学生感受数学在生活中的应用，提高解决问题的能力。
5.培养学生的团队合作精神：在实践活动中，鼓励学生相互交流、合作，共同完成任务，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解三角形的稳定性：强调三角形在几何图形中的稳定性特点，以及在实际生活中的应用。
-通过图形演示和数学证明，让学生深刻理解三角形内角和定理，并能应用于计算和证明过程中。
-通过对比不同类型的三角形，让学生能够快速识别并应用其特性。
2.教学难点
-证明三角形内角和定理：对于初学者来说，理解并证明三角形内角和为180°可能存在困难。
-理解等腰三角形的性质：学生可能些性质感到混淆。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形稳定性在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
小学数学《三角形稳定性》【获奖】公开课教案教学设计
三角形稳定性本案例为省级小学数学优质课一等奖教材分析教材分两个层次进行教学：第一个层次是从唯一性的角度：给定小棒根数让学生摆三角形、四边形，通过操作，让学生认识到用3根小棒摆三角形，无论怎样摆，摆出的三角形的形状和大小都是一样的；而用4根小棒摆四边形，则可以摆出形状、大小不同的四边形。
第二个层次是从稳定性的物理性质来理解，也就是三角形和平行四边形拉不拉得动。
其实，三角形的稳定性的本质属性指的就是：三角形的三条边长度确定，它的形状、大小就会完全确定。
拉不拉的动是三角形因为稳定性而表现出来的物理属性。
我们教学要关注三角形稳定性的本质属性。
学情分析通过教材分析我们已经知道，三角形的稳定性有两个层面的理解，那么学生的认知又是怎样的呢？通过前测访谈发现，绝大部分的学生已经知道平行四边形具有易变形的特性（三年级学过），有60%左右的学生知道三角形具有稳定性。
进而再了解发现学生认为三角形的稳定性就是不容易拉动，也就是从稳定性的物理角度去理解，而不是从三角形稳定性的本质属性去理解。
因此怎样转变学生的原有认知，让学生从数学本质层面去理解三角形的稳定性是本节课的重点也是难点。
教学目标1.通过动手操作活动，让学生在操作中体验、感悟三角形稳定性的本质属性。
2.通过解决问题，学生了解三角形稳定性在生活中的应用，体会数学的奇妙。
3.在动手操作和对比总结中，发展学生的归纳总结能力和抽象能力。
教学过程活动一：观看视频，引发思考。
1.观看视频（关于地震中三角形房屋不易倒塌和生命三角区）师：你知道这是为什么吗？（预设：三角形具有稳定性）师追问：为什么不用其它的图形？（预设：平行四边形不牢固）2.揭题：这节课我们就来重点研究三角形的这种特性——三角形的稳定性。
设计意图：视频从唐山大地震引入，介绍了生命三角区和三角形结构的房屋从而引发学生去思考为什么会有这样的现象？只有10秒钟的视频却能快速引发学生的兴趣而且引导学生能够从数学的角度去思考这个问题，这样的引入有意思并且有效率。
《三角形的稳定性》教案
《三角形的稳定性》教案通用一、教学内容本节课选自教材第九章第三节，详细内容主要围绕三角形的稳定性进行讲解。
通过本节课的学习，让学生了解三角形的基本性质，掌握三角形稳定性的判断方法，并学会运用这些性质解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生掌握三角形的基本性质，理解三角形的稳定性概念。
2. 培养学生运用三角形的稳定性解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：三角形的稳定性判断方法。
教学重点：三角形的基本性质及其在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备。
学具：三角板、直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用三角板、直尺等工具，展示三角形在生活中的应用，如桥梁、房屋等，引导学生思考三角形在这些结构中的作用。
2. 知识讲解（10分钟）（1）讲解三角形的基本性质：三个角、三条边、三个顶点。
（2）介绍三角形的稳定性概念，引导学生通过观察和思考，发现三角形的稳定性与边长、角度的关系。
3. 例题讲解（15分钟）（1）判断三角形的稳定性：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。
（2）求解三角形中未知角的度数。
（3）运用三角形的稳定性解决实际问题。
4. 随堂练习（10分钟）（1）判断给定三角形的稳定性。
（2）求解三角形中未知角的度数。
（3）运用三角形的稳定性解决实际问题。
对学生进行提问，了解他们对本节课内容的掌握程度，对疑难问题进行解答。
六、板书设计1. 三角形的基本性质2. 三角形的稳定性3. 判断三角形的稳定性4. 求解三角形中未知角的度数5. 运用三角形的稳定性解决实际问题七、作业设计1. 作业题目：（3）运用三角形的稳定性解决实际问题。
2. 答案：（1）等边三角形稳定，等腰三角形较稳定，一般三角形不稳定。
（2）根据三角形内角和定理进行求解。
（3）根据实际问题，运用三角形的稳定性进行解答。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生探索四边形、多边形的稳定性，培养学生的探究精神。
三角形的稳定性 优秀教案
三角形的稳定性【教学目标】1．通过观察和实际操作得到三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
2．体会稳定性与不稳定性在生产、生活中的应用。
【教学重难点】1．了解三角形的稳定性及其在生产、生活中的应用。
2．三角形的稳定性的得出。
3．体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用。
【教学过程】一、创设情境，导入新课。
问题1：如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE＝CE，AF是角平分线。
那么△ABC的三边有什么关系？根据上述条件，你还能得到什么结论？学生回答：△ABC两边之和大于第三边，还可以得到AD是三角形BC边上的高，AE是三角形BC边上的中线，∠BAF＝∠CAF，S△ABE＝S△ACE等。
问题2：在我们的生产和生活中哪里用到了三角形？学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三脚架等。
二、师生互动，探究新知。
1．通过实际操作探索三角形的稳定性。
问题1：如图，在盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条。
为什么要这样做呢？学生讨论，得出各种结论。
问题2：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变。
问题3：将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状会改变。
问题4：在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变。
问题5：经过以上三次实验，你发现了什么规律？学生讨论回答：可以发现，三角形不会变形，即三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
2．通过生活中的实例感受数学知识在生产和生活中的应用。
问题1：三角形的稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用？学生回答：桥梁、起重机、自行车架等。
问题2：四边形的不稳定性在我们的生产和生活中有哪些应用？学生回答：衣服挂架、放缩尺等。
三、运用新知，解决问题。
《三角形的稳定性》教案
《三角形的稳定性》教案一、教学目标1、知识与技能目标理解三角形的稳定性概念。
能够通过实验和观察，区分三角形与其他多边形在稳定性方面的差异。
2、过程与方法目标经历探究三角形稳定性的过程，培养学生的动手操作能力和观察分析能力。
通过小组合作，提高学生的合作交流能力和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在探索中感受数学的乐趣，体会数学与实际生活的紧密联系。
培养学生严谨的科学态度和创新精神。
二、教学重难点1、教学重点理解三角形稳定性的本质。
掌握三角形稳定性在实际生活中的应用。
2、教学难点探究三角形稳定性的原理。
三、教学方法讲授法、实验法、讨论法四、教学准备多媒体课件、三角形和四边形框架模型、木条、钉子等五、教学过程（一）导入新课通过展示一些生活中常见的物体，如自行车车架、塔吊、三角形屋顶等，引导学生观察这些物体的结构，并思考为什么这些物体要采用三角形的结构。
（二）讲授新课1、三角形稳定性的概念教师拿出事先准备好的三角形框架和四边形框架，让学生分别对两个框架用力，观察它们的形状变化。
学生通过操作发现三角形框架不易变形，而四边形框架容易变形。
教师由此引出三角形稳定性的概念：三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定，其形状和大小就确定了，不会发生改变。
2、探究三角形稳定性的原理教师在黑板上画出一个三角形和一个四边形，让学生分别找出它们的内角和。
学生通过计算得出三角形内角和为 180°，四边形内角和为 360°。
教师引导学生思考：三角形内角和固定，三条边的长度确定，所以形状和大小就确定了；而四边形内角和不固定，四条边的长度确定，形状和大小仍可能发生改变。
3、三角形稳定性在生活中的应用教师通过多媒体展示一些生活中利用三角形稳定性的例子，如桥梁、起重机、晾衣架等，并讲解这些应用中三角形稳定性是如何发挥作用的。
让学生分组讨论，还能在生活中找到哪些利用三角形稳定性的例子，并派代表进行发言。
三角形的稳定性优秀教案.docx
三角形的稳定性【教学内容】教材地位和作用：学生已学习了三角形的高线、角平分线，中点，的基础上，进一步来探究三角形的稳定性质，以及四边形的不稳定性。
由于这节课在实际问题的情境中具有很大的应用价值，所以上好这节课对激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值有着十分重要的作用。
【教学目标】1.知识与技能目标：学习三角形的稳定性。
2.过程与方法目标：通过数学实验的方法师生一起探究三角形的稳定性，学生体验其中的数学方法和思想。
3•情感与态度目标：(1)通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识；(2)让学生树立几何知识源于客观实际，用于实际的观念，激发学生学习兴趣。
【教学重难点】1.重点：对三角形稳定性的认识。
2.难点：三角形稳定性的应用。
【教学准备】(1)宽度均匀、长短不一的木条若干根，铁钉若干个。
(2)学生每组宽度均匀的硬纸条、大头针若干。
【教学过程】提问：为了解决这个问题，今天我们一起来研究研究。
二、新课讲授：活动1（1）将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（用多媒体演示这个过程。
）（2）将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（用多媒体演示这个过程。
）（3）让学生亲自动手，体会三角形的稳定性。
（这个教学准备由教师事先准备好，每小组发一套。
）每小组根据实验的情况，写出相应的实验结论。
由各小组代表发言，师生共同总结出一个重要的结论：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。
活动2比一比谁知道得多：你能举出生活中利用三角形稳定性的例子和利用四边形不稳定性的例子吗？活动3应用新知，回归实际：多媒体播放：三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架钢架桥、活动挂架、放缩尺等。
问题：(1)你能观察到这些结构的特点吗？(2)你解释一下为何要做这样的结构吗？活动4随堂练习，小试牛刀：1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背而加钉了一根木条，这样做的道理是____________________________________ O2.有些人家按了像栅栏样的斜拉铁门，呈平行四边形，拉进拉出，伸缩自如，它应用的原理是：A.三角形的稳定性B.三角形的不稳定性C.四边形的稳定性D.四边形的不稳定性3.学以致用：让学生解决情景引入的问题。
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11．1.3三角形的稳定性
1．通过观察、感悟三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．(重点)
2．三角形的稳定性在生活、生产中的实际应用．(难点)
一、情境导入
一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论“有稳定性好还是没有稳定性好？”先听它们是怎么说的．
三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！”
四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！”
三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！”
四边形：“我的用途广，像活动衣架、缩放尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！”
假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？
二、合作探究
探究点：三角形的稳定性
【类型一】三角形稳定性的应用
要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五
边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n边形木架不变形，至少需要几根木条固定？
解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n边形的一个顶点可以作(n－3)条对角线，把多边形分成(n－2)个三角形，所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要(n－3)根木条固定．
方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．
【类型二】四边形的不稳定性
大家经常看到有些学校、小区的大门都使用了伸缩门，它常常做成四边形的形状，
你知道这是为什么吗？
解析：从四边形特性的角度考虑．
解：伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形易变形这一特性．
方法总结：四边形具有不稳定性，容易变形，我们生活中的很多实例都利用了这一性质，注意在日常生活中积累这方面的经验．
三、板书设计
三角形的稳定性
1．三角形具有稳定性
2．四边形没有稳定性
3．三角形的稳定性的应用
4．四边形的不稳定性的应用
在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何解决生活中的问题．学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号．这样的教学既使得学生对稳定性有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法奠定了认知的基础．
第2课时含30°角的直角三角形的性质
1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)
2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)
一、情境导入
问题：
1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．
二、合作探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，
则AB 的长度是( )
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm
解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD
等于( )
A ．3
B ．2
C ．1.5
D ．1
解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝1
2
×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，
PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻
找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好
是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．
解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到
CD ＝12
DB .
解：CD ＝1
2DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，
∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝1
2
∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD
＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝1
2
DB .
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如
果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以
美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．
三、板书设计
含30°角的直角三角形的性质
性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．。