RL电路的瞬态分析
第2章电路瞬态分析
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u1 i1
u1 i1
R1 S
iC
R1
iC
E
u 2 R2
C uC E
u 2 R2
i2
i2
解：（1） uC(0)uC(0)0
E i1(0) R1 iC(0)
i2(0)0A
u2(0)uC(0)0V
u1(0)E
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u1 i1
u1
R1 E
L 储存的磁场能
Wm
1 2
LI2
则
p dWm
dt
所以电感电流 i 不能发生突变,否则外部需要向 L
供给无穷大功率。
直流电路中 I = 常数 U=0 L 相当于短路,短直流作用
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电感串联：
i
L1
u
L2
LL1L2
电感并联：
i
u
L1 L2
1 1 1 L L1 L2
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iL ( ) iC ( ) IS (0 5 ) 5 A
uL
iC C
IS
u R ( ) R R ( ) i [ 5 ( 5 ) ] 2 V U 5 S
uC
uC()USuR()
uR -
[5(25)]30V
R iR
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注意：
t=0+时刻，求初始值时：
应根据换路定律，先求取不能突变的量，即 uc(0+)、 il(0+) ；在此之后，再计算其它可能突 变的量。
电工技术及应用4.3 RL电路的瞬态过程
二、RL电路零输入响应（即放磁过程）
如图所示， S 打到 1 端达到稳态，此时的电流为 I0 ，
在 t=0 时将 S 打到 2 端短路 RL 电路，其瞬态过程中电流的
变化可用三要素法分析。
1．初始值 设原电路中电流为I0，即iL(0－) =I0，根据换路定律有
iL (0＋)＝iL (0－)＝I0
2．稳态值
开关S闭合后，经t→∞后，电感中的电流趋于零，则
iL () 0
3．时间常数 RL电路的时间常数为
τ＝L/R
根据三要素法得通过电感的电流表达式为
iL ( t ) iL ( ) [iL (0 ) iL ( )]e t / 0 ( I 0 0)e t /
即
iL ( t ) I 0 e t /
即
US iL ( t ) (1 e t / ) R
t /
US U S t / (0 )e R R
电阻的端电压为
uR iL R U S (1 e t / )
根据KVL，由 uR uL U S 可得电感两的电压表达式为
uL ( t ) U S uR U S U S (1 e t / ) U S e t /
电感的端电压为
uL ( t ) I 0 Re t /
电阻的端电压为
uR I 0 Re t /
iL、uR和uL随时间变 化的曲线如图所示。
iL、uR和uL随时间变化的曲线
三、RL电路断开
在如图所示的电路中，若在稳态的情况下切断开关
S，用其瞬态过程中电流的变化可用三要素法分析。
根据三要素法得通过电感的电流表达式为
iL ( t ) iL ( ) [iL (0 ) iL ( )]e t / 0 ( I 0 0)e t /
电工学 第三章 电路的瞬态分析
+
_
2 U 8V
iC
R2 4
iL + uL _
R3 4
2
+
_
U 8V
i1
R1
iC
u+ C 4 _
R2 4 C
iL + uL _
R3 4 L
i1
4
+ uC _
t = 0 -等效电路
化简得到t = 0-等效电路，可得：
R1 U 4 U i L (0 ) 1A R1 R3 R R1 R3 4 4 2 4 4 44 R1 R3
A U0 U
微分方程的解： uC (U 0
t U ) e RC U
27
3.3.1 RC电路的响应
(3) 电容电压 uC 的变化规律
0 t 0
R +
+
uC U (U 0
t U ) e RC
t
U0
1 + U -
uR–
-
U (U 0 U ) e
求解
稳态值 （三要素）
时间常数
25
3.3.1 RC电路的响应
换路前电路已处稳态，电 容处于开路已储能状态。
0 t 0
R +
+
U0 -
1 + U -
uR–
t =0时开关 S: 0 1
1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程
duC C C uR R dt duC 代入上式得 RC uC U dt
学习要求
第三章
电路的瞬态分析
RL电路的瞬态过程
课 题 13 — 3 RL 电路的瞬态过程时间：1月3日教学目标 1．了解RL 电路瞬态过程中电压和电流随时间而变化的规律。
2．能确定时间常数、初始值和稳态值三个要素。
教学重点 1．RL 电路瞬态过程中电压和电流随时间而变化的规律。
2．能确定时间常数、初始值和稳态值三个要素。
教学难点 RL 电路瞬态过程中电压和电流随时间而变化的规律。
课前复习1．RC 电路充放电电流、电压的变化规律。
2．τ 的物理意义。
第三节 RL 电路的瞬态过程具有电感的电路中，当电源接通或切断的瞬间，电流不能发生突变，存在着瞬态过程。
一、RL 电路接通电源1．电路2．u R + u L = E即i R + Lti ∆∆ = E （1）i ( 0+ ) = 0；u R ( 0+ ) = 0；u L ( 0+ ) = E（2）u R ( ∝) = E ；u L (∝) = 0；i ( ∝) = RE 3．电流、电压随时间变化规律i =RE (1- e -t / τ) 式中：τ = RL 是RL 电路时间常数。
u R = E (1 - e -t / τ )u L = E e -t / τ4．曲线二、RL电路切断电源1．电路S断开瞬间，电感线圈中的初始电流i L( 0+) = E / R1 = i02．电流、电压随时间变化规律i = i0 e-t / τu R = u L= i0R e-t / τ3．“放电”结束i（∝）= 0；u R（∝）= u L（∝）= 0 4．曲线例：本节例题课堂练习习题（《电工基础》第2版周绍敏主编）2．选择题（9）、（10）。
3．填充题（1）～（6）课堂小结RL电路的瞬态过程。
布置作业习题（《电工基础》第2版周绍敏主编）4．计算题（6）、（7）。
电路瞬态分析
t=0
(一) RC电路的零输入响应 a
uC(0- )= U0 S合向b后
根据KVL uR+ uC =0
+
U0 -
b R iC C
+–uC
把
iC=C
duC dt
代入上式得
RC
duC dt
+
uC=
0
通解 uC = Aes t
由特征方程 RCs +1=0 得 s = –1/RC
通解 uC = Ae –t /RC
确定积分常数， uC(0+)=uC(0–)= U0
代入通解，得A= U0 则 uC = U0e –t /RC
电路瞬态分析
2.3 RC电路的瞬态分析 S
t=0
(一) RC电路的零输入响应 a
+
uC = U0e –t /RC
U0 -
+ uR –
第2章 2 3
b R iC C
+–uC
uR = – uC = –U0e –t /RC
作t=0+时的等效电路 L 1A iL
+ U5VS–
++–uuuLLR––u+C+–
iC
C
S
uC(0– )=0 iL(0–)=1A
iC(0+)=iL(0+)+ IS=1+5=6A
IS
iR (0+)=1A
5A
uuRL(0(0+)+=)=50VV
5 R iR
电路瞬态分析
2. 求稳态值
作t= 时的等效电路
第2章 电路的瞬态分析
第2章 目录
2.1 瞬态分析的基本概念 2.2 储能元件和换路定律 2.3 RC电路的瞬态分析 2.4 RL电路的瞬态分析 2.5 一阶电路瞬态分析的三要素法
电路分析中的戴维南定理与瞬态响应公式整理
电路分析中的戴维南定理与瞬态响应公式整理在电路分析中，戴维南定理和瞬态响应公式是两个重要的工具，能够帮助我们简化电路分析的过程，并求解电路中的各种参数。
本文将对这两个工具进行整理和介绍。
一、戴维南定理戴维南定理是电路分析中常用的一种方法，它可以将一个复杂的电路简化为一个等效电路，而等效电路则更容易分析和求解。
戴维南定理基于两个核心概念：戴维南等效电动势和戴维南等效电阻。
1. 戴维南等效电动势（E_N）戴维南等效电动势是指将电路中的所有电源电动势（如电池、电流源等）以及电压源转换为一个等效电流源，其大小等于电动势总和。
在计算戴维南等效电动势时，需要注意电动势的正负极性。
2. 戴维南等效电阻（R_N）戴维南等效电阻是指将电路中的所有电阻并联起来，得出一个等效电阻。
在计算戴维南等效电阻时，需要考虑电阻的串并联关系，可以运用串联电阻和并联电阻的公式进行计算。
利用戴维南等效电动势和戴维南等效电阻，可以将原始电路简化为一个等效电路。
这个等效电路中只包含一个电流源和一个电阻，便于我们进行后续的电路分析和计算。
二、瞬态响应公式瞬态响应是指电路在初始时刻或经历突变后的响应。
为了求解电路中的瞬态响应，我们可以利用瞬态响应公式进行计算。
以下是几个常用的瞬态响应公式：1. RL电路的瞬态响应对于直流电感电路（RL电路），其瞬态响应可以通过以下公式进行求解：i(t) = i(∞) + [i(0) - i(∞)] * e^(-t/τ)其中，i(t)代表时间t时刻的电流值；i(0)代表初始时刻的电流值；i(∞)代表稳态时的电流值；τ代表时间常数，等于电感的电感值除以电阻的阻值。
2. RC电路的瞬态响应对于直流电容电路（RC电路），其瞬态响应可以通过以下公式进行求解：v(t) = v(∞) + [v(0) - v(∞)] * e^(-t/τ)其中，v(t)代表时间t时刻的电压值；v(0)代表初始时刻的电压值；v(∞)代表稳态时的电压值；τ代表时间常数，等于电容的电容值乘以电阻的阻值。
第5章_电路的瞬态分析
τ 2τ
t
uC(t0+τ)=0.368uC(t0)
28
第二节 RC电路的瞬态过程
（四）时间常数τ对uC的影响
1.τ不同时电容电压的波形
uC
uC (∞)=U 0. 632U
τ1< τ2< τ3
o 1 2 3
t
τ越大， uC上升越慢，过程越长
29
第二节 RC电路的瞬态过程
i(0
)
U R
i() 0
uR (0 ) U uR () 0
第二节 RC电路的瞬态过程
i i(） [i(0 ) i(）]et
i
U
t
e
R
t
uR uR () [uR (0 ) uR ()]e
t
uR Ue
24
第二节 RC电路的瞬态过程
（二）电容充电时电压和电流的波形
uC,i,uR
uC (∞)=U
8
第一节 瞬态过程的基本知识
(二) 产生瞬态过程的原因 在于物质能量不能跃变。 电路中，有儲能元件电感和电容时，它们所
储存的能量也是不能发生跃变的。
电路中含有储能元件 (内因)
在换路瞬间储能元件的能量不能跃变
C 储能
WC
1 2
CuC2
uC不能突变
L 储能
WL
1 2
Li
2 L
iL不能突变
9
第一节 瞬态过程的基本知识
种利用此三个要素分析过渡过程的方法称 为“三要素法”。
14
第一节 瞬态过程的基本知识
其一般形式为：
u或i
f (t) f () f (0 ) f ()et
电工C第2章电路的瞬态分析
所以电容是一种储能元件，能量的转换是可 逆的，它不消耗能量。
3、电容器中储存的电场能
当t = 0 ξ时,u 由0 U,则输入电能
pdt
uidt
uC
du
dt
U
Cudu
1 CU 2
0
0
0 dt
0
2
则C储存的电场能为：
We =
1 CU 2 2C
单位：焦 [耳] (J)
5V
uC（0）
5V
u（L 0） US u（R 0） uC（0）
iL(0 ) iL(0 ) 1A
5- 5- 0 0V
u（C 0） u（C 0） 0
2、求稳态值即t=∞时的值 t=∞时的等效电路
iL () iR () IS 5A
uR () iR ()R 5 5 25V
电容的单位 1F 106 F 109 nF 1012 pF
1、电容上电压与电流的关系
若电压uc与电流ic取关联参考方向 (电容充电)
ic (t)
dq dt
dCuc dt
C
duc dt
当u U时, i 0
所以在直流电路中电容相当于开路
当电压变化时，电容电流才有值
故电容具有隔直流、通交流的作用
电感中的电流不能突变。
t 0 --- 换路前瞬间
t 0 --- 换路后瞬间
f(t)
则： uC (0 ) uC (0 )
t
0- 0 0+
iL (0 ) iL (0 )
注意：换路瞬间，uC、iL 不能突变。其它电量均可能突变，
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L R0
2s
R0
( 6*1.2 ) 6 1.2
4
5
5
i(t)
1
4
1.2 iL(t)
10H
t=0
18V
(a)
Ra
0
+ _uoc
15V
iL(t)
10H
b
(b)
又 iL () Uoc Rt0 3A 故得iL (t) 3(1 e2 )A t 0
然后求得i(t)，应用置换定理，列网孔方程，
iL（0）
+R1
R2
E
_
iL
(1
R1 R2
)L
diL dt
R1iL
E
iL t0 iL (0)
由数学知识知此种微分方程的解由两部分组成：
iL
(t
)
[iL
(0)
稳E 态R1
t
]e
稳E态R1
t
[iL (0) iL ()]e iL ()
( L R , R R1 R2 R1 R2 )
RL电路的瞬态分析
第二章 电路的瞬态分析
2.1 瞬态分析的基本概念 2.2 储能元件 2.3 换路定理 2.4 RC电路的瞬态分析 2.5 RL电路的瞬态分析 2.6 一阶电路瞬态分析的三要素法
授课思路：
EWB仿真 任意RL电路数学分析
结果分析 方法应用
三要素法 全响应
零输入响应 零状态响应
2.5 瞬态电路的分析方法
L ( R1 // R2 )
1(s)
iL ()
E R1
5( A)
iL
(t
)
iL
(
)
[iL
(0
)
iL
()]e
t
5 3et ( A)
例1 下图中， R1=1， R2=10K， E=5V，L=1H，求 换路瞬间R两端电压；设换路前电路处于稳态。
K
iL
+R1
R2
2.6 三要素法
K
iL（0i）L
+R1
R2
E
t
iL(t) [iL(0) iL()]e iL()
_
t
f (t) [ f (0 ) f ()]e f ()
其中三要素为:
初始值 ---- f (0 )
稳态值 ---- f ()
时间常数----
一、零输入响应
t
f (t) f () [ f (00 ) f ()]e
零状态响应：
t
iL(t) iL()(1 e )
三、全响应 零输入响应 零状态响应
K +R1
E
_
iL（0）
iL
R2
由元件本身储能和激励引起的响应。
t
f (t) f (0) [ f (00 ) f (0)]e
K +R1
E
_
iL（i0L）
R2
无激励输入，由储能元件本身储能引起的 响应。
t
f (t) f (0) [ f (0 ) f (0)]e
零输入响应：
t
iL (t) iL(0 )e
二、零状态响应
K +R1
E
_
iL（0）=0
iL
R2
储能元件本身无储能，由激励引起的响应。
The end Thanks
例2：图示电路，求 t 0时，iL(t), i(t); 初始无储能
5
i(t)
1
18V
4
1.2 iL(t)
10H
t=0
R
0
+ 15V _uoc
a iL(t)
10求解iL(t)
含源电阻网络（单口）
6 uoc 18 7.2 15V
例1 下图中， R1=1， R2=10K， E=5V，L=1H，
求电感电流iL (t)
K
iL（0）iL
uR1 uL E
+R1 E
+
R2 uL_
iR1 iR2 iL
_
1 (
R2
L diL dt
iL
)
•
R1
L
diL dt
E
(1
R1 )L R2
diL dt
R1iL
E
K
4、若t(0, )，根据三要素法，写出答案。
五、注意
1、等效电阻的求解（从动态元件两端看过去是 的等效电阻）； 2、初值是换路后的零时刻值f(0+)
例1 下图中， R1=1， R2=10K， E=5V，L=1H，求 电感电流iL(t)。设iL(0) =2A。
K
+R1
R2
E
_
iL iL (0) 2( A)
E
_
_
u R2
iL
+
电路处于旧稳态
零状态响应
iL (0 )
E R1
5( A) iL (0 )
uR (0 ) iL (0 )R2 5 10 103 5 104 (V )
K
L R
104 (s)
iL
+R1
R2
E
_
R2
iL
避免出现高电压现象，就是增大时
间常数；工程上经常在电感两端降低R2 值或并接旁路电容。
7.2*i(t) 1.2*iL (t) 18
i(t )
18
1.2iL 7.2
(t )
2
t
0.5e
2
A
t0
K +R1
E
_
iL（0）iL
R2
K +R1
E
_
iL（0）=0
iL
R2
四、运用三要素法解题步骤
1、在已知条件下，，求得电路变量的初始值
iL(0+)/iL(0)（应用换路定理）； 2、求（由戴维南、诺顿等效电路得到等效R）；
3、以开路/短路代替电容/电感，求电路变量的稳态值
(t =时等效电路对应变量值)；