第4章 动态电路的瞬态分析

因为R和RV 串联，所以 时间常数为

电路分析基础
R R1 RV 10 10103 10K
L 1 10 4 S 3 R 10 10
得到换路后的电感电流为
iL i(0 )e
t

e

t 10 4
e
10 4 t
A
（2）电压表所承受的电压为
uV RV iL 10103 e10 t 10e10
当t=0+时，可得A = iL(0+)；
电路分析基础
电阻及电感的电压分别是
uR RiL RI0e
t

t
t ≥0

uL uR RI0e
t ≥0
L 式中， R
具有时间的单位秒（s），称为 RL电路的时间常数
形如图4-10a、410b所示：
iL 、uR 和uL的波
电路分析基础
t
uC Ae
t
pt

4etV
t 或者： iC iC (0 )e 0.8e A
duC iC C 0.8e t A dt
t
u uR iC R2 1.6e V 或者： R uR (0 )e

t

1.6etV
电路分析基础
2. RL电路的零输入响应
一阶RL电路如图4-9a所示，t
=0-
时开关S闭
合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L 的电流为I0。即
iL(0-)=I0，故电感储存了
磁能。在t =0时开关S打开，所以在t ≥0时， 电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图4-8b所示。由于t >0后， 放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储 能产生的，所以为零输入响应。
电路分析基础
RC电路零输入响应
由KVL得： 而又有：
uR uc 0
uR iR
duc i C dt
则可得一阶常微分方程：
duc RC uc 0 dt
其通解形式为：
uC Ae
pt
（t>=0）
A为待定的积分常数，由初始条件确定；p是特征方程的根。
1 1 p 通解代入微分方程可得特征根为： RC
4 4
t
KV
当t =0时，电压表所承受的电压 最大，为 uV max 10 KV
电路分析基础
该值远远超过电压表的最大量程，而使电压表遭受损坏。 由此可见，当断开带有大电感的电路时，应该事先把与其并 联的电压表取下。 工程上，为防止RL电路由于某种原因引起电源脱落而造 成不应有的设备损坏或人员伤亡，往往在线圈两端并联一个 泄放电阻或反接一个二极管。图4-11c所示为一种最常见的 泄放电路，反接的二极管称为“续流”二极管。
uC (0 ) R2 2 12 US 4V R1 R2 42
由换路定律，有
uC (0 ) uc (0 ) 4V
作出t =0+等效电路如图 4-8b所示，电容用4V电压源 代替，由图4-8b可知：
u R (0 )
R2 2 4 uC (0 ) 1.6V R2 R3 23
例4-4 在如图4-11a所示电路中，US=10V，R=10Ω，L=1H，电压表的电阻 RV=10KΩ。换路前电路已处于稳定状态，在t =0时开关S断开。求： （1）开关S断开后的电感电流iL ； （2）开关S断开后电压表所承受的最大电压值。
t=0
+ +
R
iL
+
+
R
+
iL uL
-
RV
-
V -
uV
L
RV
思考问题
在电路状态发生的瞬间，R、L、C元件的性能有何不 同？如果表示？
电路分析基础 4.1 电容元件与电感元件
一、电容 电容器是一种能储存电荷的元件
电容的电流
i
电容的电压
du dq c dt dt
1 t u (t ) u (0) i( )d ( ) C 0
电路分析基础
(4) 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； u，i 为非关联方向时，u= – L di / dt 。
电路分析基础
4.2 换路定律及初始值的确定 一、电路的动态过程 换路 电路的接通或断开，电路接线的改变或是电路参数、电 源的突然变化等，统称为换路。
电路的动态过程
电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态，需要有一 个动态变化的中间过程，称为电路的动态过程（也称过渡 过程或暂态过程）。
电路分析基础
例4-1
如图所示的电路中，已知US =10V，R1=2kΩ，R2=5kΩ，开关S闭合前电 容两端的电压为零。求开关S闭合后，各元件电压和各支路电流的初始值。 解：开关S闭合前 uC(0-)=0，开关闭合后，根据换路定律有 uC(0+)= uC(0-)=0 在t =0+ 时刻，根据KVL有
电路分析基础
电感的功率
瞬时功率可正可负，当 p(t )>0时，说明电感是在吸收能量， 处于充电状态；当 p(t )<0时，说明电感是在供出能量，处于 放电状态 。
p (t Leabharlann u (t )i (t ) Li (t )
电感的能量
di (t ) dt
Li( )di( )
wL (t ) p( )d
电路分析基础
例4-2
在图a所示电路中，开关S在t =0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初 始值
uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。
解：(1) t =0- 时刻的等效电路如 图b所示，由该图可知：
uC (0 ) 10 2 4V 3 2

t
i (t )
i ( )

1 2 L i (t ) i 2 () 2


电感的储能作用：电感元件上电流增加时吸收电能；电流 下降时释放电能，它本身不消耗能量，也不会释放出多于 它吸收的能量。
电路分析基础
电容的电压-电流关系小结：
(1) i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关； i C
i1 (0 ) i2 (0 ) 4 2A 2 4 1A 4
iC (0 ) 2 2 1 1A u L (0 ) 10 3 2 4 0
电路分析基础
求初始值的一般步骤
根据t =0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 根据换路定律，作出t =0+ 时的等效电路，并在图上标出各待求量。 由t =0+ 时的等效电路，运用直流电路的分析方法求出各待求量的初 始值。
du dt
(2) 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0 i=0。电容在
直流电路中相当于开路，电容有隔直作用；
1 t (3) 电容元件是一种记忆元件； u (t ) u (0) 0 i ( )d ( ) C
(4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。当
u，i为关联方向时，i= C du/dt；
第4章 动态电路的瞬态分析
电路分析基础
本章内容
电容元件和电感元件 换路定律及初始值的确定 一阶电路的响应 求解一阶电路的三要素法 一阶电路的典型应用
电路分析基础
重点和难点
电容元件和电感元件性质 换路定律 激励与响应 一阶电路三要素分析法
电路分析基础
任务模块
实验现象
如图所示电路，分别由R、L、C和灯泡串联组 成，当开关S接通瞬间，可观察电阻支路中的灯 泡立即发亮并保持稳定；电感支路中的灯泡由 最后亮度达到稳定；电容支路的灯泡由立即发 亮但很快变为不亮。
iL(0+)的值。
电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值求法：
画出t =0+电路，在该电路中若uC(0+)= uC(0-)=US，电容用一个电压源US代替，若
uC(0+)= 0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，电感一个电流源IS代替，若 iL(0+)= 0则电感作开路处理。
当t=0+时，可得A = uC(0+)；
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RC电路零输入响应电压电流波形图
电路分析基础
例4-3 电路如图4-8a所示，t =0- 时电路已处于稳态，t =0时开关S打开。 求t ≥0时的电压uC、uR和电流iC。
解：由于在t =0- 时电路已处 于稳态，在直流电源作用下， 电容相当于开路，则：
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RL电路的零输入响应
由KVL得： 而又有：
uL uR 0
uR RiL
diL uL L dt
则可得一阶常微分方程：
diL L RiL 0 dt
其通解形式为：
iL Ae
pt
（t>=0）
A为待定的积分常数，由初始条件确定；p是特征方程的根。
R 1 通解代入微分方程可得特征根为：p L
电路分析基础
二、换路定律
储能元件的换路定律：换路瞬间，电容上的电压uc和电感中的电流iL不能 突变。
换路定理可用公式表示为：
uC(0-) = uC(0+) iL(0-) = iL(0+)
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三、初始值的确定
换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值 uC(0+)和 iL(0+) 利用换路前瞬间 t =0-电路确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和