电抗函数、RC阻抗函数、RC导纳函数

的零极点并不是交替排列的，因此不是电抗函数。 2 5. F ( S ) S 4S 3
S 2 6S 8
F 变形得： (S ) ( S 1)(S 3) ( S 2)( S 4)
零极点交替排列且离原点最近的为零点，所以是 RC导纳函数。

6.
S 2 7 S 12 F (S ) 2 S 3S 2
T0 ( s )
b
2
1-4
2
L
k 2
b
k
I k (s)
将其代入上式1-3可得
V0 (s) U1 (s) 1 Z ( s) [ F0 (s) ST0 (s)] 2 I1 (s) I1 (s) S
1-5

同理，图1所示的一端口网络的策动点导纳函数为
I1 ( s ) Y ( s) U1 ( s )
b
1-6 1-7
由1-1式变形可得
U 1 ( s ) I1 ( s) U k ( s) I k ( s)
k 2
2 将上式两边同除以 U1 (s)U1(s) 即 U1 (s) 可得
I1 ( s ) 1 U1 ( s ) U1 ( s ) 2
U
k 2
b
k
( s) I k (s)
1-8
而第K条支路的电压的共S 4 5S 2 6

S ( S 2 1)( S 2 4) 变形得：F ( S ) 2 ( S 2)( S 2 3)

函数具有1-14式的形式，但仔细观察不难发现
F ( j ) (1 2 )(4 2 ) j (2 2 )(3 2 )
j
零点与极点在
轴上交替排列。


二.RC函数
1.基本概念

仅由电阻元件与电容元件构成的网络称为RC网 络。一端口RC网络的策动点函数称为RC函数。
2.RC阻抗函数与RC导纳函数的形式 参照电抗函数的分析方法可得RC阻抗函数与RC 导纳函数的形式。 （1）RC阻抗函数：



其中
(S z1 )(S z 2 )(S zm ) Z RC (s) K (S p1 )(S p 2 )(S pn )
电抗函数、RC阻抗函 数、RC导纳函数
一、电抗函数

1、基本概念
电抗网络：仅有电感元件和电容元件构成 的网络。电抗网络又称无损网络。 电抗函数：一端口电抗网络的策动点函数。

2、电抗函数的形式

（1）、设图1网络支路数为b， 外部支路编号1，内部 支路编号从2到b。由特 勒根定理得：
U1 ( s) I1 ( s) U k ( s) I k ( s) 0
将1-9式代入1-8式得
1 U k ( s) ( Rk SLk ) I k ( s) SCk
b
1-9
I1 ( s) 1 Y ( s) U1 ( s) U1 ( s) 2
1 2 ( Rk SLk ) I k ( s) SCk k 2
1-10

将1-4式代入1-10式可得
2 2 S (S 2 Z 1 )( S 2 Z 2 ) F ( s) K 2 2 ( S 2 P1 )( S 2 P 2 )
1-14
2 2 (S 2 Z 1 )( S 2 Z 2 ) F ( s) K 2 2 S (S 2 P1 )(S 2 P 2 )
( S 2 1)( S 2 3) F (S ) S ( S 2 2)( S 2 4)
显然，是电抗函数。 3.
S 2 7 S 10 F (S ) S 2 4S 3
变形得
(S 2)(S 5) F (S ) ( S 1)( S 3)
零极点交替排列且离原点最近的为极点，所以是 RC阻抗函数。
将其代入上式可得
b U1 (s) 1 1 Z ( s) ( Rk SLk ) I k 2 ( s) 2 I1 ( s) I1 ( s) k 2 SCk
1-3
定义能量函数
F0 ( s )
R
k 2
b
k
(s) I k (s )
2
1 V0 ( s ) I k ( s) k 2 Ck
I1 (s)
S
YLC ( s)

1 U1 ( s)
2
[
SV0 ( s) S
2

S S
2
T0 ( s)]
1-13
从以上两式不难发现 Z LC (s) 与 YLC (s) 均是S的奇函数，所 以电抗函数的零点与极点一定成对出现在S平面上对原点


对称的位置上，由于电抗函数为正实函数，所以电抗 函数在右半S平面没有零点，所以电抗函数的零点必 共轭成对出现在虚轴上，由阻抗函数与导纳函数的倒 数关系可知电抗函数的零点与极点均共轭分布在虚轴 上。再由电抗函数的正实性质可知虚轴上的所有极点 与所有零点必定是单阶的。 综上所述，电抗函数有如下两种形式：
Y (s)

1 U1 ( s )
2
[ F0 ( s )
SV0 ( s ) S
2

S S
2
T0 ( s )] 1-11
（2）电抗函数 由1-5式与1-11式并考虑到电抗网络中只有电感元件 与电容元件可得电抗网络的策动点阻抗函数与策动点导纳 函数分别为 1 1 1-12 Z LC (s) [ V0 (s) ST0 (s)] 2
K0 KN K1 K2 Z LC ( j ) j[ K 2 2 2 ] jX () 2 2 2 P1 P 2 PN
1-17

式中电抗
K0 KN K1 K 2 X ( ) K 2 2 2 2 2 P1 P 2 PN 2
1-18

将上式对 取导，有：
dX ( )


2 Ki (Pi 2 ) K 2 2 2 2 i 1 (Pi )
K0
N
1-19
对于任何有限实频率 上式右端均为正值 dX ( ) dX ( ) 0 ( ) ； lim K 0 d d
F ( s) S 2 7 S 10
对分子分母进行因式分解得： S ( S 4)( S 6) F (s) ( S 2)( S 5) 零极点交替分布且离原点最近（在原点上）为零点


但是距离原点最远处也是零点，因此，F（S）不是 RC导纳函数，也不是RC阻抗函数。 S 4 4S 2 3 2. F ( s) 5 S 6 S 3 8S 变形得：

mn
或
m n 1

式1-16表明，RC导纳函数的零点与极点均在负 实轴上且都是单阶的，在实轴上距原点最近处（含原 点上）必为零点，距原点最远处（含无限远）必为极 点。零点与极点交替排列。

三. 练习


对下列函数进行分类，判断其属于以下四类中的 哪一类（并说明理由）（a）电抗函数；（b）RC阻 抗函数；（c）RC导纳函数；（d）其他。 1. S 3 10S 2 24S

1-20
式1-20表明，X ( ) 为单调增函数。根据此性质再考虑到 该函数有多个零点与极点，因此其零点与极点必定在 轴上交替出现。 以上对LC阻抗函数的讨论同样适合LC导纳函数， 因此对电抗函数而言除了具有1-14或1-15式的形式之 外还如下特点：FLC ( j ) 是 的严格单调增函数，其
1-21
0 p1 z1 p2 z 2 pn zm
且
或 m n 1 式1-16表明，RC阻抗函数的零点与极点均在负实轴 上且都是单阶的，在实轴上距原点最近处（含原点上）必 为极点，距原点最远处（含无限远）必为零点。零点与极 点交替排列。
mn
1-15

对策动点阻抗函数进行部分分式展开可得：
K0 KN S K1S K2 S Z LC (s) K S 2 2 2 2 2 2 S S P1 S P 2 S PN
1-16



当阻抗函数在无穷远处存在单阶极点（即阻抗函数的 分子多项式比分母多项式次数高一次）时 K 0 ，当阻抗函数在原点处存在单阶极点（即阻抗函数的 分母多项式为奇多项式）时 K0 0 。 为研究电抗函数的零极点在 j 轴上的分布规律令 S j 代入1-16式可得：
（2）RC导纳函数：
(S z1 )(S z 2 )(S zm ) YRC (s) K ( S p1 )(S p 2 )( S pn )

1-22
其中 并且
0 z1 p1 z 2 p2 zm pn
k 2
b
1-1
式中 I k (s) 为 I k (s) 共轭复函数
I12 (s) 将上式各项同除以 I1 (s)I1 (s) ，即
并移项可得
U1 ( s ) 1 2 I1 ( s ) I1 ( s )
U
k 2
b
k
( s) I k ( s)
1-2
1 又因为第K条支路的电压为 U k ( s) ( Rk SLk SC ) I k ( s) k

变形得： F (S ) (S 3)(S 4)
( S 1)( S 2)
由于该函数的零极点不是交替排列的，因此不属于 RC阻抗函数与RC导纳函数。