2.1.5.2点到直线的距离公式-导学案
【B版】人教课标版高中数学必修二导学案-点到直线的距离-新版
2.2.4点到直线的距离I ．学习要点：点到直线的距离公式II ．学习过程：一、复习引入1、两点分别为()()1122,,,A x y B x y ，两点之间距离公式(,)d A B =2、已知两条直线方程：11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=则12l l ⊥⇔__________________.3、直线:0l Ax By C ++=()220A B +≠，若直线m 过点()11,P x y 且与l 垂直，那么直线m 的方程为：二、新课探究探究：已知直线:25l x y +=，一点P （-1,2），那么如何求点P 到直线l 到距离？三、概念形成设坐标平面上，有点()11,P x y 和直线:0l Ax By C ++=()220A B +≠. 我们来寻求点P 到直线l 距离的求法，1.作直线m 通过点()11,P x y ，并且与直线l 垂直，设垂足为()000,P x y ；2.由m l ⊥，得直线m 的方程为： ；3.联立方程组，解得()000,P x y 坐标（用11,,,,x y A B C 表示）0x =___________________0y =___________________4.由两点间距离公式0PP =0PP =_______________________即， 点P 到直线l 距离d =____________________5.求点()11,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离的计算步骤：①给点的坐标赋值： 12?,?x x ==②给A,B,C 赋值：A=?，B=?，C=?③计算d =___________________四、例题讲解例1、求下列点到直线的距离.1.O(0,0), 1l :3450x y +-=；2.A （2，-3）, 2:10l x y +-=3.B(1,0), 30l y +=；4.C(1,2), 4:30l x y +=；5.D(-2,3), 5:7l y =例2、 求坐标原点到下列直线的距离1.1:43150l x y --=2.2:0l x y -=3.3:0l Ax By C ++=结论一：坐标原点到直线的距离公式：_________________例3、（1）求平行直线1:12580l x y -+=与2:125240l x y --=之间的距离；（2）求证：两条平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=之间的距离是d =结论二：两条平行直线11:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=之间的距离公式 _____________________________五、课堂练习1、求点P （-1,2）到直线:25l x y +=的距离d.2、求两条平行线2380x y +-=和23180x y ++=之间的距离.3、求平行直线3250x y --=和6430x y -+=之间距离.4、在x 轴上求与直线3450x y +-=的距离等于5的点的坐标.六、拓展练习1．点(0，5)到直线y =2x 的距离是（ B ）（A ）25 （B ）5 （C ）23 （D 2．点P (x ，y )在直线x +y －4=0上，O 是原点，则|OP |的最小值是（ B ）（A （B ）22 （C ）6 （D ）23．P 点在直线3x +y －5=0上，且P 到直线x －y －1=0的距离等于2，则P 点坐标为（ C ）（A ）(1，2) （B ）(2，1)（C ）(1，2)或(2，－1) （D ）(2，1)或(－1，2)4．求经过点P (2，1)，且到点Q (1，－2)的距离为2的直线方程. 答案：x －y －1=0或7x +y －15=05．已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)、A (－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程. (答案：x +3y －5=0或x =－1)。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案教案标题：点到直线的距离公式教案教学目标：1. 理解点到直线的距离公式的概念和应用。
2. 掌握使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
3. 运用点到直线的距离公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、白板、黑板、白板笔、教学PPT、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。
教学过程：引入活动：1. 使用一张图片或实物，向学生展示一个点和一条直线，并提问：如何计算点到直线的距离？2. 让学生思考并讨论这个问题，引导他们思考点到直线的距离公式的可能性。
知识讲解：1. 通过教学PPT或黑板，向学生介绍点到直线的距离公式的概念和推导过程。
2. 解释公式中的各个符号的含义，如点的坐标、直线的一般方程等。
3. 提供示例，演示如何使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
示例练习：1. 提供一些简单的示例问题，让学生尝试使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
2. 引导学生思考并解决问题中可能遇到的困难和问题。
3. 鼓励学生在小组内互相讨论和交流解题思路和答案。
拓展应用：1. 提供一些实际生活中的问题，让学生运用点到直线的距离公式解决问题。
2. 引导学生分析问题，确定如何应用点到直线的距离公式进行计算。
3. 鼓励学生在小组内分享和讨论解题思路和答案。
总结归纳：1. 总结点到直线的距离公式的应用和计算方法。
2. 强调学生掌握并理解该公式的重要性和实际应用价值。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用点到直线的距离公式。
评估活动：1. 提供一些评估题目，让学生独立完成并提交答案。
2. 评估学生对点到直线的距离公式的理解和应用能力。
教学延伸：1. 鼓励学生在课余时间进一步研究和应用点到直线的距离公式。
2. 推荐相关的教学资源和参考书籍，帮助学生深入学习和理解该知识点。
教学反思：1. 教师对本节课的教学进行总结和反思，分析学生的学习情况和问题。
2. 根据学生的反馈和表现，调整教学策略和方法，进一步优化教学效果。
《点到直线的距离公式》教案、导学案、同步练习
《2.3.3 点到直线的距离公式》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习点到直线的距离公式。
在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了“以数论形，以形辅数”的数学思想方法．“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；《点到直线的距离》的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.B.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.C. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：点到直线的距离公式2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导3.数学运算：点到直线的距离公式的运用4.直观想象：几何中的距离问题【教学重点】：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用．【教学难点】：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析．【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?通过生活中点到直线距离的问题情境，二、探究新知思考：最容易想到的方法是什么？思路①. 定义法,其步骤为：①求l 的垂线l PQ的方程；② 解方程组；③得交点Q 的坐标；④求|P Q|的长反思：这种解法的优缺点是什么？我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。
能否用向量方法求点到直线的距离？如图，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模，设M(x,y)是直线l 上的任意一点， n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在上n 的投影向量, |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n|。
《点到直线的距离公式》说课稿和教案
《点到直线的距离公式》说课稿一、教材分析:1、教学内容的分析: 点到直线的距离公式是《平面解析几何》第一章最后一节内容，是在研究了平面内直线的方程，两直线的位置关系的基础上的一个重要内容，它既是第一章的终点部分，又是第二章解决一些轨迹问题的基础，同时，这节课也是培养学生迁移，联想及探索创新能力的好素材。
2、学生的分析：学生刚学完两条直线的位置关系，在处理一些简单问题上有了一个明显的认识，但在较复杂的应用方面还不够熟练，所以进行必要的引导很有必要二、教学目标分析：（依据教纲和本节教材的特点确定）（1）知识目标：A：理解点到直线距离公式的推导过程。
B：掌握点到直线的距离公式。
（2）能力目标：培养学生迁移，联想能力，逻辑思维能力，数形结合能力。
（3）情感目标：通过多种手法，进行数学的美学教育，提高学生的学习积极性。
三、教学重点：点到直线的距离公式。
四、教学难点：引导学生迁移，联想，创新思维，找出证明途径。
五、教学关键：教师必须抓住学生思维的火花，让学生的内在动机外显行为化。
六、教法分析:（遵循“教师为主导，学生为主体”的原则）1、教师必须抛弃过去的那种单纯的教师讲授，学生接受的教学模式，在教学中启发引导，迁移联想，构建模型。
由于本节内容为第一章最后一节内容，学生对点、线、线线关系均有了一个较为明确的认识。
因此改变传统的求证方法，以引导思路为主，让学生边探索，边发现，最后证明距离公式。
2、多媒体教学，使整个课上得生动、有趣、高效。
3、使用教具，多媒体课件及投影仪。
七、学习方法分析：充分地调动学生的学习积极性，增加学生的参与机会，让学生“动手、动脑”，因此在教学中，引导学生“动手做，大胆猜，严格证，勤钻研”的学习方法，让学生“学”有所“思”，“思”有所“得”，最终达到学生会学的目的。
八、教学程序：1、复习提问：① 平面内点与直线的位置关系有几种？ ② 点到直线的距离的定义（设计意图：通过简明的情景设置为本节作好 知识的铺垫与图形准备） 2、演示启发：由复习可知，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，那么怎样用解析法求点到直线的距离呢？（设计意图：提出问题，激发学生的求知欲，探索欲。
《点到直线的距离公式》导学案
《点到直线的距离公式》教案【预习】阅读书本第84—86页．【预习目标】感知点到直线的距离公式．【导引】已知点()00,y x P 是直线l ：0=++C By Ax （A 、B 不全为零）外一点，则点P 到直线l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=．【试试看】1.求点)4,3(-A 到直线l ：083=+x 的距离．2.求点)2,0(D 到直线l ：02=--y x 的距离．【本课目标】1.能应用点到直线的距离公式解题．2.提高学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．【重点】点到直线的距离公式及其应用．【难点】点到直线的距离公式推导．【导学】【情境引入】如图，在已有公路线附近有一大型仓库，现要再修建一条公路与之连接起来，便于运货．那么怎么设计能使这段公路最短？最短路程又是多少？现实生活中，常常遇到此类问题，即求点到直线的距离．【新知探究】 下面我们研究如何求点到直线的距离，先从最简单的开始．师：最简单的直线是什么？生：就是坐标轴．师：如果点()00,y x P ，那么P 到两条坐标轴的距离分别是多少？任务1：求点()00,y x P 到x 轴、y 轴的距离．【例1】求点()2,1-P 到x 轴、y 轴的距离． 仓库 公路【试金石】求点()2,1-P 到x 轴、y 轴的距离．（学生讨论，作图，再求解）老师和学生共同总结：P 到x 轴的距离为0y ，P 到y 轴的距离为0x ．师：如果直线l 平行于坐标轴，那么点P 到直线l 的距离是多少？任务2：求点()00,y x P 到直线a x =、b y =的距离．【例2】求点()2,1-P 到1=x 轴、1-=y 轴的距离．【试金石】求点()2,1-P 到1=x 轴、1-=y 轴的距离．（学生讨论，作图，再求解）老师和学生共同总结：若直线l 平行于x 轴，设直线l 的方程是b y =，则()00,y x P 到直线l 的距离就是b y -0，同理若直线l 平行于y 轴，设直线l 的方程是a x =，则()00,y x P 到直线l 的距离就是a x -0．师：上述两类直线都比较简单，不具有一般性，那么对于一般的直线和平面上的任意点，点到直线的距离应该如何求？能不能得到一个有实际价值的公式？【探究】思考如何计算点)2,0(D 到直线l ：02=--y x 的距离，试回答下述问题：（1）过点D 作l DE ⊥，垂足为E ，则线段DE 的长表示什么？（2）DE 所在直线的斜率是多少？并写出DE 所在直线的方程．（3）如何求垂足E 的坐标？（4）利用两点间的距离公式，能否求出DE 的长？（学生作图，思考，探索解题思路和途径）任务3:一般地，求点()00,y x P 到直线l ：0=++C By Ax （A 、B 不全为零）的距离． 求点()00,y x P 到直线l ：0=++C By Ax （A 、B 都不为零）的距离．按照探究中的思路，分析求距离的流程，学生思考，这种方法的优点和缺点．（优点是思路清晰，容易想到，缺点是运算量较大） 师：我们再思考一下，有没有其他办法求这个距离．（学生思考）xy O ()00,P x y · Q · R S · · d利用直角三角形的面积，师板演过程，得到点到直线的距离公式2200B A CBy Ax d +++=．这个方法和前面的方法相比，运算量明显减少．因此这种方法比较好．反思：在使用公式前需将直线的方程化为一般式．公式出来了，我们回头再看看，这个公式是不是对所以的点和所有的直线都适用呢？我们来验证一下这个公式对任务一和任务二的两种情况是否适用．（以小组为单位，讨论、探究，得出结论）【例3】求点)0,1(-P 到下列直线的距离：（1）0102=-+y x ；（2）23=x ；（3）12-=x y ．【试金石】求点)2,1(-P 到下列直线的距离：（1）01332=-+y x ；（2）63-=x ；（3）y x 2=．【思考交流】如果两条直线平行，如何求这两条直线间的距离？例如，如何求两条平行直线013=-+y x 与0762=-+y x 之间的距离？师：直线到直线的距离转化为点到直线的距离，点的坐标任取，一般取简单的点．(坐标轴的交点）【试金石】求两条平行直线03=+-y x 与0122=+-y x 之间的距离．【检测】1.求点P 到直线l 的距离：（1）)1,2(P ，032:=-x l ；（2）)4,3(-P ，3034:+=x y l ．2.若点),(y x P 在直线04=-+y x 上，O 是原点，求OP 的最小值．【课堂小结】（由学生小结这节课所学内容）已知点()00,y x P 是直线l ：0=++C By Ax （A 、B 不全为零）外一点，则点P 到直线l 的距离为：2200B A CBy Ax d +++=．1.此公式的作用是求点到直线的距离；2.此公式是在A 、B 都不为零的情况下推导出来的，0=A 或0=B 此公式也成立；3.用此公式时，直线方程要化成一般式．。
2.1.5.1平面直角坐标系中两点间的距离公式-导学案
编制人：刘治平 审核人： 冯王林 日期：2011,12.8 编号： 班级： 姓名： 组别： 评价：太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？ 今天多一份拼搏、明天多几份欢笑。
平面直角坐标系中两点间的距离公式使用说明：1用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。
2限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题， 准备课上讨论探究。
学习目标掌握平面内两点间的距离公式，并能用之灵活地解决有关的参量问题。
【 重点、难点】1. 重点是平面内两点间的距离公式及其应用。
2. 难点是个别题如何建立直角坐标系及如何设点的坐标。
一、预习案相关知识：数轴上两点间的距离公式如何求解？ 教材助读：1.已知A （X1，Y1 ），B （ X2，Y2），则|AB|=—————————,A.B 两点的中点坐标为———————。
2.理解X1.X2.Y1.Y2的意义及用时的符号 预习自测：1.已知数轴上A,B 两点的坐标X1=2a-b,X2=a-2b,则|AB|=—————，|BA|=————— 2.已知A （-1，0），B （-2，3）. 则|AB|=—————. 3. 已知M （3，-2）， （2，3），则|MN|=—————.4 .已知点A （x ，-5）和B （-0，10）,的距离为17，则x= ————.我的疑惑：———————————————————— —————————————————————————。
二、探究案基础知识探究1.已知ΔABC 的顶点坐标为A （- 1，5 ）， B （ -2，-1）， C （ 4，7 ）， 则BC 边上的中线AM 的长为————。
. 2.与两点A （- 1，1 ） ，B （ 1，2） 等距离，且在x 轴上的点的坐标是————。
3. 已知ΔABC 的顶点坐标为A （- 1，0 ）， B （ 1，0）， C （12，32），试判断ΔABC 的形状。
4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是（ 1,-2），则|AB|=—————. 思考1：x 轴上点的坐标如何设？y 轴上点的坐标如何设？ 思考2：写出已知两点的中点的坐标公式。
2.1.5平面上两点间的距离(2)(2014年人教A版数学必修二导学案)
2． 一般地， 已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0 ， l1 : Ax By C2 0 ( C1 C2 ) 之间的距离为
| C1 C 2 | A2 B 2
．
说明：公式成立的前提需把直线 l 方程写成一般式．
【课堂研讨】
例 1.用两种方法求两条平行直线 2 x 3 y 4 0 与 2 x 3 y 9 0 之间的距离．
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课题：2.1.5 平面上两点间的距离检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【课堂检测】 1．直线 3x 4 y 7 0 与直线 6 x 8 y 3 0 之间的距离是 2．直角坐标系中第一象限内的点 P( x, y) 到 x 轴， y 轴及直线 x y 2 0 的距离
例 4.已知两直线 l1 : 3x 4 y 7 0 ，l 2 : 3x 4 y m 0 被直线 l 截得的线段长为 2 ，
l 过点 (2,1) ，且这样的直线有两条，求 m 的范围．
/ /
例 2.求与直线 3x 4 y 5 0 平行且与其距离为 2 的直线方程．
例 3.建立适当的直角坐标系， 证明： 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 一腰上的高．
/ /
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6．正方形的中心在 C (1,0) ，一条边所在直线的方程是 x 3 y 5 0 ，求其它三边 所在的直线方程．
/ /
4．直线 l1 过点 A(5,0) ， l 2 过点 B(0,1) ， l1 // l 2 且 l1 与 l 2 间距离等于 5 ， 求 l1 与 l 2 的方程．
/ /
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2.1.5 第2课时 点到直线的距离公式
l
x
PQ是RtΔ PMN斜边上的高,由三角形面积可知
PQ Ax0 By0 C A B
2 2
.
点到直线的距离公式 由此我们得到， 点 P( x0 , y0 )到直线 l : Ax By C 0 的距离
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
点到直线的距离公式
(2)
| 0 - (- 7) |
7 5 = 2 2 10 2 +4
1.求点(-1,3)到直线3x+4y-5=0的距离. 2.求两条平行直线3x+4y-1=0与3x+4y-6=0之间的距离.
答案: (1)
| 3? ( 1) + 3? 4 5 | 32 + 42
=
4 5
(2)
| (- 1) - (- 6) | 32 + 42
过点P作PQ l , 垂足为Q, 过点P分别作x轴. y轴的平行线,
交直线l于点Ｍ（ｘ，ｙ）、Ｎ（ｘ，ｙ）． 0 1 1 0
y
Q
P(x0 , y0 )
M ( x0 , y1 )
N ( x1 , y0 )
O
l
x
公式的推导过程
由 Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0,
2 2
,
| bx0 + 0 - ab | a 2 + b2
bx0 - ab 2ab a +b
2 2
a 2 + b2 | ab + ab | 则点C到直线AB的距离为 | CF |= = 2 2 a +b 2ab | PD | - | PE |= = | CF | 则 2 2 a +b
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点到直线的距离公式（导学案）
使用说明：
1.用20分钟左右的时间，预习课本74-76页的内容，自主高效阅读，提升自己的阅读理解能力；
2.结合课本的基础知识完成预习案，也可进一步完成探究案及相关练习自测。
【学习目标】
1．理解点到直线的距离公式的推导；
2．掌握点到直线的距离公式，并能简单应用；
3．讨论，探究两平行直线的距离公式。
【重点难点】
重点：点到直线的距离公式灵活应用；
难点：点到直线的距离公式的推导。
预习案
一、相关知识
在平面几何中，求点P到直线l的距离步骤：
1.先过点P作l的垂线PH,
2.再求出PH的长度，
3. PH的长度就是点P到直线l的距离。
二、教材助读
1.在平面直角坐标系中，用坐标的方法求点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的步骤：其算法框图：
2.用上述方法可以得到点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式
三、预习自测
求下列点到直线的距离：
(1). (0,0),3240;
x y
-+=
(2). (1,340;
x y
---=
(3). (2,3),.
x y
-=
探究案
基础知识探究
1.实例分析点到直线的距离公式的推导过程（(3,5),:3450
p l x y
---=）
2.求原点到直线
1
:51290
l x y
--=的距离；
3.求点(1,2)
p-到直线
2
:2100
l x y
+-=距离。
综合应用探究
试推导两平行线
1
Ax By C
++=与
2
Ax By C
++=间的距离公式。
(12
22
d
A B
=
+
)
求两平行线3210,3260
x y x y
--=-+=的距离
确定直线l的___k
求与l垂直直线的斜率k’=____ 求过点P_____l的直线l’的方程
求点____与点____间的距离求l与l’的_____H
得到点P到l距离d=|PH|
00
22
||
Ax By C d
A B
++
=
+
当堂检测
1. 已知点(,3)(0)m m >到直线:240l x y -+=的距离为1，则m 等于_______.
2. 两平行直线12,l l 分别过(1,0)A 与(0,5)B .若1l 与2l 的距离为5，求这两直线方程。
3. 求两平行线的距离20,2470x y x y +=+-=。
4. 求与直线72450x y +-=平行，且距离等于3的直线方程。
知识规律总结：
1. 使用点到直线距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式。
2. ___________________________________________________________ ______________________________________________________________。