幂函数-习题课课件
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《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
《幂函数》_课件(新人教版必修1)
4
(2,4) y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
(2,4) y=x2 y=x
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 0 1 2 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8
-3 -4
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4 6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4)
4
y=x3
(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1
3
y=x 2
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2
y=x-1
4
y=x0
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
(-2,4) 在第一象限内 , 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? (-1,1)
公共点
(1,1)
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且 在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向 于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当 x趋向于+∞时，图象在X轴上方无限地逼近x轴； (4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数．
数学2.3《幂函数》课件(湘教版必修1)
§2.3幂函数
问题引入
几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付 p=w元, 这里p是w的函数;
(2)
如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
2
a
,
这里S是a的函数;
(3)
如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
3
a
,
这里V是a函数;
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
这里S是a的函数;
y x2
S
2
a
,
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
这里V是a函数;
y
3
x
3
a
,
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
边长 a
1
s2
,
这里a是S的函数;
1
y x2
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度
t v 1 km/ s,这里v是t的函数.
y=x y=x2 形状
定义域 R
R
y=x3 y=x1/2
y=x-1
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R ［0,+∞）
奇偶性 奇
偶
R ［0,+∞）
奇
非奇
非偶
{y|y≠0}
奇
增 单调性
在[0，+∞)上增 在(-∞，0]上减
增
增
在（0，+∞）上减 在（-∞，0）上减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
y t (t 0)
问题引入
几个具体问题:
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付 p=w元, 这里p是w的函数;
(2)
如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
S
2
a
,
这里S是a的函数;
(3)
如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
3
a
,
这里V是a函数;
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
这里S是a的函数;
y x2
S
2
a
,
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V
这里V是a函数;
y
3
x
3
a
,
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
边长 a
1
s2
,
这里a是S的函数;
1
y x2
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度
t v 1 km/ s,这里v是t的函数.
y=x y=x2 形状
定义域 R
R
y=x3 y=x1/2
y=x-1
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R ［0,+∞）
奇偶性 奇
偶
R ［0,+∞）
奇
非奇
非偶
{y|y≠0}
奇
增 单调性
在[0，+∞)上增 在(-∞，0]上减
增
增
在（0，+∞）上减 在（-∞，0）上减
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
y t (t 0)
幂函数ppt课件
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
2024年6月3日
肇庆加美学校
1
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，
1
那么y=__x__2__.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
1
y x 2 y x1
R
R
[0，+∞） {x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 奇函数 函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
R上是 增函数
在（ －43;∞） 上是增函数 上是减函数
（1）y = 1
x2
（3）y=x2 + x
（2）y=2x2
（4）y 5 x3
（5）y = 2x
2024年6月3日
答案（1）（4）
肇庆加美学校
6
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。
1
y x2
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
2024年6月3日
肇庆加美学校
4
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
名称
a
x
y
底数
指数
幂值
指数
底数
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
2024年6月3日
肇庆加美学校
1
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，
1
那么y=__x__2__.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
1
y x 2 y x1
R
R
[0，+∞） {x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 奇函数 函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
R上是 增函数
在（ －43;∞） 上是增函数 上是减函数
（1）y = 1
x2
（3）y=x2 + x
（2）y=2x2
（4）y 5 x3
（5）y = 2x
2024年6月3日
答案（1）（4）
肇庆加美学校
6
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。
1
y x2
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
2024年6月3日
肇庆加美学校
4
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
名称
a
x
y
底数
指数
幂值
指数
底数
幂函数(优秀课件)
（2）考察幂函数 在区间(0, +∞)上是单调减函数. 因为 所以
3
2
3
2
5
.
1
5
.
1
2
,
)
2
)(
2
(
;
,
)
1
)(
1
(
-
-
+
+
a2
a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
3
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3
2
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1
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2
,
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a2
a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
《幂的运算复习》课件
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
乘方运算
概念：乘方运算是一种特殊的乘法运算，表示一个数自乘若干次
符号：乘方运算的符号为“^”，如2^3表示2的3次方
运算规则：a^m * a^n = a^(m+n)，如2^3 * 2^2 = 2^5
幂的运算方法：包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等
《幂的运算复习》PPT课件
单击添加副标题
Ppt
汇报人：PPT
目录
01
单击添加目录项标题
03
幂的运算方法
05
幂的运算注意事项
02
幂的定义与性质
04
幂的运算应用
06
幂的运算易错点分析
07
幂的运算练习题与答案解析
添加章节标题
01
幂的定义与性质
02
幂的定义
幂是指一个数自乘若干次
幂的表示方法：a^n，其中a是底数，n是指数
幂的运算分配律：a^m*(b+c)=a^mb+a^mc
幂的运算结合律：a^m*a^n=a^(m+n)
幂的运算优先级：乘方>乘除>加减
底数与指数的符号问题
底数与指数的符号对幂的运算结果有重要影响
底数为负数时，幂的运算结果也为负数
指数为负数时，幂的运算结果也为负数
底数为正数时，指数为正数或负数，幂的运算结果都为正数
指数方程的解法：利用指数函数的性质和指数方程的性质进行求解
指数方程的性质：指数函数的单调性、奇偶性、周期性等
指数方程的求解步骤：确定指数方程的类型、利用指数函数的性质进行求解、验证解的正确性
幂函数的性质与图像
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名师伴你行
3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值 范围分别为 (-∞,0) ， (1,+∞) ， (0,1) .
4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 的形状及函数的 奇偶性 作出.
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名师伴你行
学点一 幂函数的定义
已知函数y=(a2-3a+2) x a2 -5a5 (a为常数).
∵函数y= x 4 在(0,+∞)上是递增的，又
3
3
2
3
3
1.1 4 1.4 4 ;综上，1.1 3 1.1 4 1.4 4 .;
返回目录
学点三 奇偶性的判定
名师伴你行
判断下列函数的奇偶性：
1
2
（1）y = x3（; 2）y = x3（; 3）y = x ；-2 （4）y
1
= x2（; 5）y
由已知
3 k 1 k 2 22
>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又
3
∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)= x 2 不是偶函数；
当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， 3
f(x)= x 2不是偶函数,∴f(x)=x2.
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学点二 比较大小
名师伴你行
比较下列各组数的大小：
∵f(-x)=
1 (-x)2
1 x2
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
返回目录
名师伴你行
1
（4）∵f(x)= x2 = x 的定义域为{x|x≥0}，定义域不
关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数.
（5）∵f(x)=
x
3 2
=
1
3
x2
=
1 x3
,
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
∴f(x)为非奇非偶函数.
8
7 8
-(
数，又因为
1) 8
1 8
7
8，函数y=
1 ,则
9
(1) 8
7
x8
7
8 (
1 9
在(0,+∞)上为增函
7
)8
，从而
7
1
- 8 8 -( )
9
7
8.
（3）(
2 2 )3
3
2
2 2 ( )3 3
(
π) 6
π 2 ( )3 6
，
函数y= x 3 在(0,+∞)上为减函数，又因为
1
，5 而
4
5，
6
56
(
5)
1
5
即(4Biblioteka 1)5(
1
5) 5
5
6
5
6
5
6
（3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π,
∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1.
（4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的，
∵
3 4
2 3
3
3
2
, 1.1 4 1.13 ;
2 3
π 6,
所以
(
2
2
)3
(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
(
π
2
)3
即(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
3
3
6
6
3
6
【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特
别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进
行分组，常数0和1是常用的参数.
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名师伴你行
比较大小:
4
4
(1)(6.3) 3 与(6.2) 3 ;
（3）由题意得
a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0,
解得 a 4 解得 a3
名师伴你行
【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
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名师伴你行
已知幂函数f(x)=
x
3 2
k
1 2
k
2
(k∈Z)为偶函数,且在区
间(0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式.
3
= x 2.
【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义.
1
1
【解析】 （1）∵f(-x)=（-x）3=-x3=-f(x)，又∵定义域为R,
∴y=x
1 3
为奇函数.
2
2
（2）f(x)=x3 ,定义域为R，且f(-x)=(-x)3
1
2
=［(-x)2］3 =x3 为偶函数.
1
（3）∵f(x)=x-2= x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又
进入
学点一
学点二 学点三
学点四
学点五
名师伴你行
名师伴你行
1.一般地,函数y=xa叫做 幂函数 ，其中x是自变量,a是常数. 2.幂函数y=xa具有下面性质： （1）所有的幂函数在区间 (0,+∞) 上都有定义，并且 函数图象都通过 (1,1) 点. （2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点 (0,0) ，并且 在区间 ［0,+∞) 上是增函数. （3）如果a<0，则幂函数在区间 (0,+∞) 上是减函数， 当x从右边趋向于 y轴 时，图象在y轴右方无限地逼 近 y轴 ；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼 近 x 轴.
数值，根据幂函数的性质知函数y=x3 (x>0)是增函数，即
4
4
4
4
(6.3)3>(6.2)3, ∴(-6.3) 3 >(-6.2) 3 .
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名师伴你行
（2）则 (4
1 51
)5
0,(-
4 1 )5
5
5 (
(
4
)
1
5
,-(
5
1
)5
56
)
1
,5∴
(
4
)
1 5
(
5
)
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
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名师伴你行
判 定 下 列 函 数 的 奇 偶 性：
（1）y
3
= x 2；(2)y
1
4
= x 2 ;(3)y = x 3 .
3
（1）y= x 2 = x3 ,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,
（1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？
【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定 义可求.
【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0,
∴a= 3 5 . 2
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（2）由题意得
a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0,
（1）3
5
2和
5
3.1 2
;
（2）- 8
（3）(-
7 8
和
2 2 )3
3
17 -( )8
9 和 (-
;
π
6
2
) 3.
【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.
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【解析】（1）函数y=
5
32
在(0,+∞)上为减函数，名师伴你行
又 3<3.1，所以
5
32
5
3.1 2 .
（2）-
(2)
(
4
)
1 5
5
与
(
5
1
)5
6
;
3
3
2
(3)(a-1)π与 (b )-（1 其中a>b>0）; (4) 1.1 4 ,1.4 4 ,1.1 3 .
4
（1）∵(6.3) 3
4
4
(6.3) 3 , 4
4
(6.2) 3
4
(6.2) 3 且
4
4 3
>1,6.3>6.2,
∴(6.3) 3与(6.2) 3实际上是幂函数y=4 x3 在x=6.3与x=6.2的函
名师伴你行
3.在如图所示的幂函数图象中，幂函数①②③中α的取值 范围分别为 (-∞,0) ， (1,+∞) ， (0,1) .
4.要作出幂函数在其他象限的图象，可由函数在第一象限 的形状及函数的 奇偶性 作出.
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名师伴你行
学点一 幂函数的定义
已知函数y=(a2-3a+2) x a2 -5a5 (a为常数).
∵函数y= x 4 在(0,+∞)上是递增的，又
3
3
2
3
3
1.1 4 1.4 4 ;综上，1.1 3 1.1 4 1.4 4 .;
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学点三 奇偶性的判定
名师伴你行
判断下列函数的奇偶性：
1
2
（1）y = x3（; 2）y = x3（; 3）y = x ；-2 （4）y
1
= x2（; 5）y
由已知
3 k 1 k 2 22
>0,即k2-2k-3<0,∴-1<k<3,又
3
∵k∈Z,∴k=0,1,2.当k=0时,f(x)= x 2 不是偶函数；
当k=1时，f(x)=x2是偶函数；当k=2时， 3
f(x)= x 2不是偶函数,∴f(x)=x2.
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学点二 比较大小
名师伴你行
比较下列各组数的大小：
∵f(-x)=
1 (-x)2
1 x2
=f(x),
∴f(x)为偶函数.
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名师伴你行
1
（4）∵f(x)= x2 = x 的定义域为{x|x≥0}，定义域不
关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数.
（5）∵f(x)=
x
3 2
=
1
3
x2
=
1 x3
,
∴f(x)的定义域为(0,+∞).
∴f(x)为非奇非偶函数.
8
7 8
-(
数，又因为
1) 8
1 8
7
8，函数y=
1 ,则
9
(1) 8
7
x8
7
8 (
1 9
在(0,+∞)上为增函
7
)8
，从而
7
1
- 8 8 -( )
9
7
8.
（3）(
2 2 )3
3
2
2 2 ( )3 3
(
π) 6
π 2 ( )3 6
，
函数y= x 3 在(0,+∞)上为减函数，又因为
1
，5 而
4
5，
6
56
(
5)
1
5
即(4Biblioteka 1)5(
1
5) 5
5
6
5
6
5
6
（3）∵π>0,而(a-1)π=a-π,(bπ)-1=b-π,
∴a-π<b-π,即(a-1)π<(bπ)-1.
（4）函数y=1.1x在(-∞,+∞)上是递增的，
∵
3 4
2 3
3
3
2
, 1.1 4 1.13 ;
2 3
π 6,
所以
(
2
2
)3
(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
(
π
2
)3
即(
2
)
2 3
(
π
)
2 3
3
3
6
6
3
6
【评析】比较大小题要综合考虑函数的性质，特
别是单调性的应用，更要善于运用“搭桥法”进
行分组，常数0和1是常用的参数.
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比较大小:
4
4
(1)(6.3) 3 与(6.2) 3 ;
（3）由题意得
a2-5a+5=-1 a2-3a+2≠0,
解得 a 4 解得 a3
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【评析】正确理解幂函数与以往所学函数的关系，有 利于温故知新.
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已知幂函数f(x)=
x
3 2
k
1 2
k
2
(k∈Z)为偶函数,且在区
间(0,+∞)上是增函数，求函数f(x)的解析式.
3
= x 2.
【分析】判定函数奇偶性应用函数奇偶性定义.
1
1
【解析】 （1）∵f(-x)=（-x）3=-x3=-f(x)，又∵定义域为R,
∴y=x
1 3
为奇函数.
2
2
（2）f(x)=x3 ,定义域为R，且f(-x)=(-x)3
1
2
=［(-x)2］3 =x3 为偶函数.
1
（3）∵f(x)=x-2= x2 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，又
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1.一般地,函数y=xa叫做 幂函数 ，其中x是自变量,a是常数. 2.幂函数y=xa具有下面性质： （1）所有的幂函数在区间 (0,+∞) 上都有定义，并且 函数图象都通过 (1,1) 点. （2）如果a>0，则幂函数的图象都通过点 (0,0) ，并且 在区间 ［0,+∞) 上是增函数. （3）如果a<0，则幂函数在区间 (0,+∞) 上是减函数， 当x从右边趋向于 y轴 时，图象在y轴右方无限地逼 近 y轴 ；当x趋向于+∞时，图象在x轴上方无限地逼 近 x 轴.
数值，根据幂函数的性质知函数y=x3 (x>0)是增函数，即
4
4
4
4
(6.3)3>(6.2)3, ∴(-6.3) 3 >(-6.2) 3 .
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（2）则 (4
1 51
)5
0,(-
4 1 )5
5
5 (
(
4
)
1
5
,-(
5
1
)5
56
)
1
,5∴
(
4
)
1 5
(
5
)
【评析】一般先将函数式化成正指数幂或根式形式， 确定定义域，再用定义判断奇偶性；也可通过图象特 征来判断.
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判 定 下 列 函 数 的 奇 偶 性：
（1）y
3
= x 2；(2)y
1
4
= x 2 ;(3)y = x 3 .
3
（1）y= x 2 = x3 ,∴x≥0,∴定义域［0,+∞)不关于原点对称,
（1）当a为何值时，此函数为幂函数？ （2）当a为何值时，此函数为正比例函数？ （3）当a为何值时，此函数为反比例函数？
【分析】根据幂函数、正比例函数、反比例函数的定 义可求.
【解析】（1）由题意得a2-3a+2=1，即a2-3a+1=0,
∴a= 3 5 . 2
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（2）由题意得
a2-5a+5=1 a2-3a+2≠0,
（1）3
5
2和
5
3.1 2
;
（2）- 8
（3）(-
7 8
和
2 2 )3
3
17 -( )8
9 和 (-
;
π
6
2
) 3.
【分析】依据幂函数的图象和性质比较大小.
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【解析】（1）函数y=
5
32
在(0,+∞)上为减函数，名师伴你行
又 3<3.1，所以
5
32
5
3.1 2 .
（2）-
(2)
(
4
)
1 5
5
与
(
5
1
)5
6
;
3
3
2
(3)(a-1)π与 (b )-（1 其中a>b>0）; (4) 1.1 4 ,1.4 4 ,1.1 3 .
4
（1）∵(6.3) 3
4
4
(6.3) 3 , 4
4
(6.2) 3
4
(6.2) 3 且
4
4 3
>1,6.3>6.2,
∴(6.3) 3与(6.2) 3实际上是幂函数y=4 x3 在x=6.3与x=6.2的函