专题19 推理与证明
专题19 推理与证明
精锐教育学科教师辅导讲义(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中，要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能力．四、知识讲解第一节 归纳与类比（一）高考目标1．了解归纳与类比的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解归纳与类比在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 考向预测1．考查的重点是对合情推理和演绎推理的理解及应用．2．主要是以选择题和填空题的形式出现，难度不大，多以中低档题为主．（二）课前自主预习知识梳理1．根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该事物中每一个都有这种属性，这种推理方式称为2．根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为 3．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；类比推理是两类事物特征之间的推理． 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理． （三）、基础自测1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2n ＋2B.2nn ＋ C.22n －1 D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (a ≥2)， 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n n ＋，故选B.2．利用归纳推理推断，当n 是自然数时，18(n 2－1)[1－(－1)n]的值( )A ．一定是零B ．不一定是整数C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 [答案] C[解析] 当n ＝1时，值为0；当n ＝2时，值为0；当n ＝3时，值为2；当n ＝4时，值为0；当n ＝5时，值为6.3．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的( ) A ．一条中线上的点，但不是中心 B ．一条垂线上的点，但不是垂心 C ．一条角平分线上的点，但不是内心 D ．中心 [答案] D[解析] 边的中点对应于面的中心．4．(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] C[解析] 因为其规律是a 为肩上两数之和，故a ＝3＋3＝6.(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等； ④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A ．①B ．①②C ．①②③D ．③ [答案] B[解析] 类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，”而③④违背了这一原则．5．在平面几何中，若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )成立，类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则这个四面体的体积V ＝________成立．[答案] 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)[解析] 通过类比，可把四面体分割为四部分．6．(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212[解析] 由13＋23＋33＋…＋n 3＝[n n ＋2]2知n ＝6时为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，试猜想这个数列的通项公式．图(4)可得f 5(n )＝f 4(n )＋f 3(n －1)＝(n ＋1)2＋n n ＋2＝12(n ＋1)(3n ＋2)；….则边长为n 的正k 边形(k ≥3，k ∈N)中点的个数f k (n )＝____________。
第19 讲 等腰三角形 (测)(解析版)
2021年中考数学一轮复习讲练测专题19等腰三角形达标检测1．（2020·河北九年级其他模拟）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( )A．90°B．100°C．130°D．180°【答案】B【解析】试题分析：如图，∠1=90°-∠BAC；∠2=120°-∠ACB；∠3=120°-∠ABC；∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150°∵∠3=50°∴∠1+∠2=100°故选B考点：1．特殊角的度数；2．三角形内角和2．（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·四川广安市·九年级其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，22）（0，-22）（0，4）．故选B．4．（2020·河北邢台市·九年级零模）在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法？（）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：根据题意可得有以下三种情况：故选：C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质.5．（2020·德昌县民族初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C=18018010040.22ADC-︒︒-=︒=︒∠故选B．考点：等腰三角形的性质．6．（2020·柳州市柳林中学中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．【详解】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．7．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD【答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB=CD，故选：D．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．8．（2020·广东汕头市·九年级其他模拟）如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=12ABD．S△ABC=3S△DEF【答案】C【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，3，即可判断选项C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断选项D．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，∵DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF ，∴△DEF 是等边三角形，在△ADF 、△BED 、△CFE 中ADF=BED=CFE{A=B=CDF=DE=EF∠∠∠∠∠∠ ∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴AD=BE=CF ，∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，∴BD=2BE ，DE=3BE，∴AB=3BE ，即3DE=AB ，即DE=12AB 错误； ∵△ABC 和△DEF 是等边三角形，∴△ABC ∽△DEF ，∴S △ABC ：S △DEF =（AB ）2：（DE ）2=（3DE ）2：DE 2=3，即只有选项C 错误；选项A 、B 、D 正确．故选C ．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握判定定理和性质是关键.9．（2020·青海中考真题）如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC 于D,ΔDBC的周长是24cm,则BC=___________cm．【答案】10【分析】由MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．【详解】C ，∵24cmDBC∴BD+DC+BC=24cm，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+DC+BC=24cm，即AC+BC=24cm，又∵AC=14cm，∴BC=24-14=10cm．故答案为：10点睛：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．10．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB= AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的象与△ACD 重合对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合由上述操作可得出的是_________(将正确结论的序号都填上)【答案】②③【分析】认真读题，由已知条件沿直线AD对折，重合，说明∠B与∠C相等，AD⊥BC，BD=CD，根据结论对号入座即可．【详解】解：从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合；因为AB=AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合；根据所得的图象与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD=CD，又AD平分∠BAC，所以③符合．故操作可以得出的是②③两结论．故答案为：②③．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称的性质；做题时，要认真读题，紧靠题目的已知条件和操作的结论进行判断．11．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F 在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝_____度．【答案】20．【分析】根据题意易得△ABF≌△CBF（SAS），设∠BAF＝∠BCF＝α，得到∠AEF＝60°+α，在△AFE 中，得到α＝20°，即可求解．【详解】解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠BCF，设∠BAF＝∠BCF＝α，∴∠AEF＝60°+α，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，∴60°+α+60°+α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BCE＝20°，故答案为：20．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形的外角等于与其不相邻的两个内角和，熟练进行逻辑推理是解题关键．12．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．【答案】30°【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴60BAC AB AC ∠=︒=，．又点D 是边BC 的中点， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒． 故答案是：30°．【点睛】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．13．（2020·湖南永州市·九年级二模）如图，在ΔABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD 平分∠ABC 交AC 于D ，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD 是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C ， ∴△BDC 是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．14．（2020·浙江八年级其他模拟）如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=__°（填一个即可）【答案】130【解析】分类讨论：（1）AB AC =则50∠=°ACB a ∥b130α∴=︒（2）AB BC =则65ACB ∠=︒ a ∥b115α∴=︒（3）AC BC =则80ACB ∠=︒a ∥b100α∴=︒综上述，=α 130或100或11515．（2020·黑龙江绥化市·九年级一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为______．【答案】69°或21°【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图1所示：∵BD ⊥AC ，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°−48°=42°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°−48°=42°，∴∠BAC=180°−42°=138°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−138°)=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为69°或21°.16．（2020·江苏镇江市·九年级其他模拟）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=___．【答案】44°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】∵AB=AC，∠ABC=68°，∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=44°．故答案为44°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．17．（2020·福建省福州第一中学九年级一模）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法）.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为．【答案】答案见解析【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出答案；(2)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；(3)根据线段中垂线的性质得出答案．【详解】(1) 如图所示：(2)如图所示：(3)AE=AF．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，属于基础题型．正确掌握基本作图方法是解题关键．18．（2020·广东清远市·九年级二模）作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）作△ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E，交BC于点F）；（2）连结BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周长．【答案】（1）答案见解析；（2）16．【分析】(1)分别以点B、C为圆心，以大于12BC长为半径画弧，在BC的两侧两弧分别相交于一点，作这两点作直线即可；(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE，从而得到△ABE的周长等于AB与AC的和，代入数据进行计算即可．【详解】解：(1)如图所示，(2)∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，∵AB=6，BC=10，∴△ABE的周长=6+10=16．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确线段垂直平分线的性质与画法是解题关键．19．（2020·贵州铜仁市·九年级零模）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、F分别为AB、AC中点，ED⊥AB，GF⊥AC，若BC＝15cm，求EG的长．【答案】EG＝5cm．【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG=60°，同理求出∠AGE=60°，从而判断出，△AEG 为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可．【详解】解：如图，连接AE 、AG ，∵D 为AB 中点，ED ⊥AB ，∴EB ＝EA ，∴△ABE 为等腰三角形，又∵∠B ＝1801202︒︒-＝30°， ∴∠BAE ＝30°，∴∠AEG ＝60°，同理可证：∠AGE ＝60°，∴△AEG 为等边三角形，∴AE ＝EG ＝AG ，又∵AE ＝BE ，AG ＝GC ，∴BE ＝EG ＝GC ，又BE +EG +GC ＝BC ＝15（cm ），∴EG ＝5（cm ）．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键．20．（2020·山东济南市·九年级一模）如图，点C 是线段AB 上任意一点，分别以AC BC 、为边在AB 的同侧作等边ACD ∆和等边BCE ∆，分别连接AE BD 、.求证：AE BD =.【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质，证ACE DCB ∆≅∆，得.AE BD =【详解】解：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，,,AC DC EC BC ∴== 60ACD BCE ∠=∠=ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE BCD ∴∠=∠ACE DCB ∴∆≅∆AE BD ∴=【点睛】考核知识点：等边三角形的性质，全等三角形判定和性质.理解性质是关键.21．（2020·河北九年级其他模拟）如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .（1）证明：ADP CDP △≌△；（2）判断CEP △的形状，并说明理由.（3）如图2，把菱形ABCD 改为正方形ABCD ，其他条件不变，直接．．写出线段AP 与线段CE 的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）2CE =.【分析】（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明；（2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.（2）CEP ∆是等边三角形，由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即60CPF EDF ∠=∠=︒，又∵PA PE =，AP CP =；∴PE PC =，∴CEP ∆是等边三角形.（3）CE =.过程如下：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，， ∴△PDA ≌△PDC ，∴PA=PC ，∠3=∠1，∵PA=PE ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，∴∠FPC=EDF=90°，∴△PEC 是等腰直角三角形．∴CE=2PC =2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（2020·通辽市科尔沁区第七中学八年级月考）问题探究：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE=AD，∴AE=AD+DE=BE+2CM，故答案为AE=BE+2CM．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。
2014年高考数学三轮复习精品资料(解析板)-专题19 立体几何大题理(新课标版)
【新课标版】【三年真题重温】 【2011⋅新课标全国】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．【解析】(Ⅰ) ∵DAB ∠=060,AB =2AD ,由余弦定理得BD ,∴22BD AD +=2AB , ∴BD ⊥AD ．又∵PD ⊥面ABCD ， ∴BD ⊥PD ． ∴BD ⊥平面PAD ， ∴PA BD ⊥．cos ,〈〉==m n ．故二面角A PB C --的余弦值为 ．【2012 新课标全国】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。
解析：（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =得：45ADC ︒∠=设AC a =，则12C O =，111230CD C O C DO ︒=⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【2013⋅新课标全国】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。
【答案】（1）取AB 的中点O ，连接1OC O 、1OA O 、1A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ，由于AB=A A 1，∠BA【命题意图猜想】纵观2011年和2012年2013年的高考题对本热点的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，2011年以四棱锥为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力..在2012年主要以直三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力. 2013年以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定、线面垂直、面面垂直的性质以及向量法求线面角，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从近几年的高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定高考大题没涉及，而在小题中考查，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．预测2014年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面平行，面面平行为主要考查点，第二问可能给出一个角，求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．【高考信息速递】【最新考纲解读】1．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．了解可以作为推理依据的公理和定理．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．2．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(4)理解直线的方向向量与平面的法向量定义．(5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．【方法技巧提炼】1. 线线平行与垂直的证明证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.2.线面平行与垂直的证明方法线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解答题考查证明细节.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.3.面面平行与垂直的证明（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.（2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.4.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.5. 如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径。
专题19 立体几何中体积与表面积—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
好教育云平台 1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以32r BC ==，那么圆柱的体积是2233124V r h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.2.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.3.【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.4.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92π 【解析】试题分析：设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. 5.【2015新课标2文10】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 【名师点睛】由于三棱锥底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练. 6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．7.【2014全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( )（A）（B）（C）（D）【答案】C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理．8.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.9.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=【考点】三棱锥外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．10.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ==== 【考点】球的表面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.【2017江苏，6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．12【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的 等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ， 故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等， 三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的，高为1故三棱锥P －A 1MN 的体积为【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力. 【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.13.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.【答案】80；40．PC 1B 1A 1NCMBA考点：三视图.【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积． 14.【2017课标II ，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PAD 面积为P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）4√3 【解析】试题解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC ∥AD.又BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD.（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由12AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM ⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM ABCD底面，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=√2x，PM=√3x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN=√142x因为△PCD的面积为2√7，所以1 2×√2x×√142x=2√7，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=2√3，所以四棱锥P-ABCD的体积V=13×2(2+4)2×2√3=4√3.【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.15.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）1试题解析：（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD , ∵CD AD =，O 为AC 中点， ∴OD AC ⊥，又∵ABC ∆是等边三角形， ∴OB AC ⊥，又∵O OD OB = ，∴⊥AC 平面OBD ，⊂BD 平面OBD ， ∴BD AC ⊥.（2）设2==CD AD ，∴22=AC ，22==CD AB ， 又∵BD AB =，∴22=BD ， ∴≅∆ABD CBD ∆，∴EC AE =， 又∵EC AE ⊥，22=AC ， ∴2==EC AE ， 在ABD ∆中，设xDE =，根据余弦定理DEAD AE DE AD BD AD AB BD AD ADB ⋅-+=⋅-+=∠22cos 222222 x x ⨯⨯-+=⨯⨯-+=22222222)22()22(2222222解得2=x ，∴点E 是BD 的中点，则ACE B ACE D V V --=，∴1=--ACEB ACED VV . 【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 【答案】详见解析 【解析】试题解析：证明：（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==. 由（I ）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC .所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。
说理与证明-精选题(包含答案与详细讲解)
说理与证明一、命题与定理1、在下列空格内填上正确或错误：（1）在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个正确．（2）在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个错误．（3）三角形三条角平分线交于一点正确．（4）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等正确．（5）三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形错误．2、下列命题中，属于真命题的是（）A、若一个角的补角大于这个角B、若a∥b，b∥c，则a∥cC、若a⊥c，b⊥c，则a∥bD、互补的两角必有一条公共边3、已知命题①一个命题是真命题，它的逆命题也是真命题．②如果ab=0，那么a=0，b=0．③三角形三条边的垂直平分线的交点到三条边的距离相等．④等腰三角形两底角的平分线相等．真命题有（）A、1B、2C、3D、44、（2010•芜湖）下列命题中是真命题的是（）A、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B、有两边和一角对应相等的两个三角形全等C、两条对角线相等的平行四边形是矩形D、两边相等的平行四边形是菱形5、（2010•泰州）下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；③方程的解是x=0；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．其中真命题的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、（2010•广州）下列命题中，是真命题的是（）A、若a•b＞0，则a＞0，b＞0B、若a•b＜0，则a＜0，b＜0C、若a•b=0，则a=0，且b=0D、若a•b=0，则a=0，或b=07、（2010•巴中）下列命题是真命题的是（）A、若a2=b2，则a=bB、若x=y，则2﹣3x＞2﹣3yC、若x2=2，则x=±D、若x3=8，则x=±28、（2008•漳州）下列命题是假命题的是（）A、等角的补角相等B、内错角相等C、两点之间，线段最短D、两点确定一条直线9、任何命题都有逆命题．√10、写出你熟悉的一个定理：两直线平行，同位角相等，写出这个定理的逆定理：同位角相等，两直线平行．．11、命题“如果∠1与∠2是邻补角，那么∠1+∠2=180°”．它的逆命题是如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2是邻补角．．12、写出定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的逆定理是到角的两边距离相等的点在角平分线上．13、在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD=BC；③∠A=∠C，以其中两个作为题设，另外一个作为结论，用“如果…那么…”的形式，写出一个你认为正确的结论：如果AB∥DC，∠A=∠C，那么AD=BC．14、（1）如图1，矩形ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边AD和CD上，且AF⊥BE于O，求的值；（2）在上面的问题中，若=k，通过变式，我们可以得到如下的两个命题：①若将AF沿直线AB方向平移到PQ，将BE沿直线AD方向平移到RS，然后将PQ与RS同时绕点O旋转（保持PQ 与RS垂直），则=k；②设P、R、Q、S依次是矩形的边AB、BC、CD、DA上的点，若=k，则PQ⊥RS．（Ⅰ）判断命题的真假性：①真命题；②假命题；（在横线上填“真命题”或“假命题”）（Ⅱ）若其中有假命题，请你在图3中，用画图的方法举反例进行说明；若以上两个命题都是真命题，请选择其中一个给予证明．二、推理与论证15、（2009•防城港）如图，点A1，A2，A3，A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（）A、4种B、6种C、8种D、10种16、（2007•台湾）小华和小明到同一早餐店买馒头和米浆．已知小华买了5个馒头和5杯米浆；小明买了7个馒头和3杯米浆，且小华花的钱比小明少10元．关于馒头与米浆的价钱，下列叙述何者正确（）A、2个馒头比2杯米浆多10元B、2个馒头比2杯米浆少10元C、12个馒头比8杯米浆多10元D、12个馒头比8杯米浆少10元17、（2006•厦门）唐寅点秋香的故事家喻户晓了，现在我们来玩个游戏：“唐伯虎点秋香”．【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香．友情提示：这四个人分别是：春香、夏香、秋香、冬香．【所给人物】A，B，C，D①A不是秋香，也不是夏香；②B不是冬香，也不是春香；③如果A不是冬香，那么C不是夏香；④D既不是夏香，也不是春香；⑤C不是春香，也不是冬香．若上面的命题都是真命题，问谁是秋香（）A、AB、BC、CD、D18、（2006•嘉峪关）某超市（商场）失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案时总得有甲作从犯；（3）乙不会开车．在此案中，能肯定的作案对象是（）A、嫌疑犯乙B、嫌疑犯丙C、嫌疑犯甲D、嫌疑犯甲和丙19、（2006•南宁）图是小李发明的填图游戏，游戏规则是：把5，6，7，8四个数分别填入图中的空格内，使得网格中每行、每列的数字从左至右和从上到下都按从小到大的顺序排列．那么一共有6种不同的填法．20、（2006•茂名）甲、乙、丙、丁四人参加某校招聘教师考试，试后甲、乙两人去询问成绩．请你根据下面回答者对甲、乙两人回答的内容进行分析，则这四人的名次排列共可能有4种不同情况．21、某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄：①小刘说：“我比小陈小2岁．”②小陈说：“小李和我差三岁．”③小李说：“我比小刘年岁小，小刘23岁．”那么他们三人的岁数分别是小刘23岁，小陈25岁，小李22岁．三、反证法22、（2010•通化）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A、有一个内角大于60°B、有一个内角小于60°C、每一个内角都大于60°D、每一个内角都小于60°23、用反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，第一步应假设（）A、a∥bB、a与b垂直C、a与b不一定平行D、a与b相交24、已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设a平行b，则∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等）这与∠1≠∠2相矛盾，所以假设不成立，所以a不平行b．25、用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C”的过程中，第一步应是假设∠B=∠C．26、用反证方法证明“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步是假设：任意三角形中能有两个钝角．27、已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．28、如图，四边形PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形，（1）若MP∥BC或NQ∥AB，求证：S四边形PQMN=S ABCD（2）若S四边形PQMN=S ABCD，问是否能推出MP∥BC或QN∥AB？证明你的结论．答案与评分标准一、（共28小题）1、在下列空格内填上正确或错误：（1）在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个正确．（2）在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个错误．（3）三角形三条角平分线交于一点正确．（4）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等正确．（5）三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形错误．考点：命题与定理。
高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训19算法初步复数推理与证明文
专题限时集训(十九) 算法初步、复数、推理与证明[建议A 、B 组各用时：45分钟] [A 组 高考题、模拟题重组练]一、程序框图(流程图)1．执行如图191所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )图191A ．5B ．4C ．3D ．2D [假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3>2，输出S ＝90<91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是N 的最小值． 故选D.]2．如图192所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )图192A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2D [因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1 000”．故选D.]3．执行如图193所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )图193A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5xC [输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上， 故选C.] 二、复数4．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)C [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数． 故选C.]5．若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)B [∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.]6．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]7．若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i D [∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i.] 8．设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2 A [由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋i1－i2＝2i2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.] 三、合情推理9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩． 故选D.]10．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法． 故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 11．观察下列等式：43n (n ＋1) [通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．][B 组 “12＋4”模拟题提速练]一、选择题1．若z 是复数，z ＝1－2i1＋i，则z ·z ＝( )A.102B ．52C ．1 D.52D [z ＝1－2i1＋i＝1－2i 1－i 1＋i1－i＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝52，故选D.]2．已知x1＋i＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－iD [x 1＋i ＝12(x －x i)＝1－y i ，所以x ＝2，y ＝1，故选D.]3．若复数z ＝(a ＋i)2(a ∈R )在复平面内对应的点在y 轴上，则|z |＝( )A ．1B ．3C ．2D ．4C [z ＝(a ＋i)2＝a 2＋2a i －1，由题意知a 2－1＝0，解得a ＝±1，则z ＝±2i，所以|z |＝2，故选C.]4．若复数z 1＝a ＋i(a ∈R )，z 2＝1－i ，且z 1z 2为纯虚数，则z 1在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [因为z 1z 2＝a ＋i 1－i ＝a ＋i1＋i 1－i1＋i ＝a －12＋a ＋12i 为纯虚数，所以a －12＝0且a ＋12≠0，所以a ＝1，所以z 1＝1＋i ，其在复平面内所对应的点为(1,1)，位于第一象限，故选A.]5．某程序框图如图194所示，则该程序运行后输出的值是( )图194A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017D [由程序框图得第一次循环，i ＝2 014，S ＝2 017；第二次循环，i ＝2 013，S ＝2 016；第三次循环，i ＝2 012，S ＝2 017；……，依此类推得最后一次循环为i ＝0，S ＝2 017，此时循环结束，输出S ＝2 017，故选D.]6．在如图195所示的程序框图中，已知f 0(x )＝sin x ，则输出的结果是( )图195A ．sin xB ．cos xC ．－sin xD ．－cos xA [因为f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ．所以题目中的函数为周期函数，且周期T ＝4，所以f 2 016(x )＝f 0(x )＝sin x ．]7．执行如图196所示的程序框图，若输出的S ＝2524，则判断框内填入的条件可以是( )图196A ．k ≥7?B ．k ＞7?C ．k ≤8?D ．k ＜8?D [模拟执行程序框图，可得：S ＝0，k ＝0， 满足条件，k ＝2，S ＝12，满足条件，k ＝4，S ＝12＋14，满足条件，k ＝6，S ＝12＋14＋16，满足条件，k ＝8，S ＝12＋14＋16＋18＝2524.由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S 的值为2524.结合选项可得判断框内填入的条件可以是k ＜8.]8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝219，则I (a )＝129，D(a)＝921)，阅读如图197所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为( )图197A．792 B．693C．594 D．495D[对于选项A，如果输出b的值为792，则a＝792，I(a)＝279，D(a)＝972，b＝D(a)－I(a)＝972－279＝693，不满足题意．对于选项B，如果输出b的值为693，则a＝693，I(a)＝369，D(a)＝963，b＝D(a)－I(a)＝963－369＝594，不满足题意．对于选项C，如果输出b的值为594，则a＝594，I(a)＝459，D(a)＝954，b＝D(a)－I(a)＝954－459＝495，不满足题意．对于选项D，如果输出b的值为495，则a＝495，I(a)＝459，D(a)＝954，b＝D(a)－I(a)＝954－459＝495，满足题意．]9．已知21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6，…，以此类推，第5个等式为( )A．24×1×3×5×7＝5×6×7×8B．25×1×3×5×7×9＝5×6×7×8×9C．24×1×3×5×7×9＝6×7×8×9×10D．25×1×3×5×7×9＝6×7×8×9×10D[因为21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6，…，所以第5个等式为25×1×3×5×7×9＝6×7×8×9×10.]10．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图198他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a10的值为( ) A．45 B．55C ．65D ．66B [第1个图中，小石子有1个， 第2个图中，小石子有3＝1＋2个， 第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个， 第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B.]11．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( ) A ．201 B ．411 C.465D ．565C [200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.] 12．如图199所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ＞1，n ∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 015a 2 016＝( )图199A.2 0122 013 B.2 0132 012 C.2 0142 015D.2 0142 013C [每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3，那么9a n a n ＋1＝93n －3×3n ＝1n －1n ＝1n －1－1n， 则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 015a 2 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015，故选C.]二、填空题13．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的虚部为________.－1[∵z＝1－i(i为虚数单位)，∴zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝1＋i21－i1＋i－2i＝2i2－2i＝－i，故其虚部为－1.]14．公元约263年，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图1910是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________．(参考数据：3≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)图191024[由程序框图得第一次循环，n＝6，S＝3sin 60 °≈2.598＜3.10；第二次循环，n＝12，S＝6sin 30 °＝3＜3.10；第三次循环，n＝24，S＝12sin 15 °≈3.105 6＞3.10，此时循环结束，输出n的值为24.]15．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去某地参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．乙丙[甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．]11 16．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)； ……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________. 1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) [根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *)．]。
高考数学命题热点名师解密：专题(19)演绎推理与合情推理(理)(含答案)
专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n ＝k ＋1成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n ＝k 到n ＝k ＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项a n 或前n 项和S n ，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法例1已知数列{}{},n n a b 满足，，则2017b =（ ）A. 20172018B. 20182017C. 20152016D. 20162015【答案】A 【解析】数列{}{},n n a b 满足，，，，由此猜想，故选A.【规律方法总结】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习1.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……………则在表中数字2017出现在（）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列【答案】D练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=A. 35B. 48C. 63D. 80【答案】C【解析】根据规律得,所以,选C.练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB. 2nC. 1n -D. 1n +【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为1n +，选D. 练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（ ）A. 1089B. 680C. 840D. 2520【答案】A【解析】当7n =时，序列如图：故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．【答案】194【解析】 由题意得，前19行共有个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋16＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.【答案】12【解析】1＝12＋(12－13)＋13，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋14，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋15，…，以此类推，故1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＋(16－17)＋1 7＝12＋16＋17＋112＋120＋130＋142，故n＝12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）．（2）三角恒等式：．证明如下：左边2.类比法例2. 二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=,则其思维测度W=（ ）A. 42r πB. 43r πC. 44r πD. 46r π【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故42W r π=．选A ．练习1. 如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n ∈N *，恒成立，则实数A＝________.【答案】ln2练习2.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC 的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )A. S2＝S＋S＋SB.C. S＝S1＋S2＋S3D.【答案】A【解析】如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(12BC·AD)2＝14BC2·AD2＝14BC2·(OA2＋OD2)＝14(OB2＋OC2)·OA2＋14BC2·OD2＝(12OB·OA)2＋(12OC·OA)2＋(12BC·OD)2＝.练习3. 对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)【答案】A【解析】由关于x的不等式的解集为，得的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(1,2)．练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n等于( )A.mn mndc- B.mm nndc-C.nn mmdc- D.nm nmdc-【答案】C【解析】观察{a n }的性质：，则联想nb －ma 对应等比数列{b n }中的nm d c，而{a n }中除以(n －m )对应等比数列中开(n －m )次方，故b m ＋n ＝n n m md c -. 练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图，可选答案为B 。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明
高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二 直接证明与间接证明 命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立， 即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立， 即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立， 即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0， 所以原不等式成立． 命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根． 证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾． 因此，所给三个方程不可能都只有一个实根． 教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确 答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m， 等式两边平方得3＋n m ＝9nm， 即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ， 所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9， 只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α， 因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9， 即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。
2年中考1年模拟备战2020年中考数学精品专题19 全等三角形(原卷版)
第四篇图形的性质专题19全等三角形知识点名师点晴全等三角形全等图形理解全等图形的定义，会识别全等图形全等三角形的判定理解并掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并会判定两个三角形全等直角三角形的判定会利用HL判定两个三角形全等角平分线角平分线的性质理解并掌握角平分线的性质角平分线的判定利用角平分线的判定解决有关的实际问题归纳1：全等三角形的性质基础知识归纳：全等三角形的对应边相等，对应角相等基本方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题注意问题归纳：利用全等三角形的性质时，关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．【例1】（2019山西省，第17题，7分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：B C=DF．归纳2：全等三角形的判定方法基础知识归纳：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．基本方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．注意问题归纳：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2】（2019江苏省无锡市，第21题，8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB=OC．归纳3：角平分线基础知识归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．基本方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意问题归纳：注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．【例3】（2019浙江省湖州市，第8题，3分）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．42【2019年题组】一、选择题1．（2019山东省临沂市，第6题，3分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．22．（2019滨州，第11题，3分）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．13．（2019湖南省永州市，第7题，4分）下列说法正确的是（）A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度4．（2019湖南省永州市，第8题，4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．155．（2019贵州省安顺市，第7题，3分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．AB=ED D．BF=EC6．（2019四川省宜宾市，第7题，3分）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF 的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF=120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．347．（2019重庆，第12题，4分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG ⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．42C．22+4D．32+28．（2019内蒙古包头市，第7题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是（）A．1B．32C．2D．529．（2019湖南省张家界市，第7题，3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC13=AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A ．4B ．3C ．2D ．110．（2019陕西，第6题，3分）如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE =1，则BC 的长为（ ）A ．22+B ．23+C ．23+D ．3二、填空题11．（2019湖南省永州市，第15题，4分）已知∠AOB =60°，OC 是∠AOB 的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若DE =2，则DF = ．12．（2019四川省宜宾市，第16题，3分）如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点A 、C 、E 在同一直线上，AD 与BE 、BC 分别交于点F 、M ，BE 与CD 交于点N ．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．①AM =BN ；②△ABF ≌△DNF ；③∠FMC +∠FNC =180°；④111MN AC CE=+13．（2019四川省巴中市，第15题，4分）如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分別连结AP 、BP 、CP ，若AP =6，BP =8，CP =10．则S △ABP +S △BPC = ．14．（2019四川省绵阳市，第18题，3分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=22．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'=．15．（2019山东省临沂市，第19题，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．16．（2019南通，第14题，3分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．17．（2019湖北省襄阳市，第14题，3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A=∠D，②AC=DB，③AB=DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．18．（2019湖北省黄冈市，第16题，3分）如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是．19．（2019湖南省邵阳市，第15题，3分）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．（不添加任何字母和辅助线）20．（2019辽宁省盘锦市，第18题，3分）如图，点A1，A2，A3…，A n在x轴正半轴上，点C1，C2，C3，…，∁n在y轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在第一象限角平分线OM上，OB1=B1B2=B1B3=…=B n﹣1B n32=a，A1B1⊥B1C1，A2B2⊥B2C2，A3B3⊥B3C3，…，A n B n⊥B n∁n，…，则第n个四边形OA n B n∁n的面积是．21．（2019辽宁省营口市，第17题，3分）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD12=DC=2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为．22．（2019黑龙江省齐齐哈尔市，第12题，3分）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．三、解答题23．（2019云南，第16题，6分）如图，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．24．（2019四川省乐山市，第19题，9分）如图，线段AC、BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．求证：∠B=∠C．25．（2019四川省南充市，第18题，6分）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO=35°，求∠DOC的度数．26．（2019四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．27．（2019四川省巴中市，第18题，8分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．28．（2019四川省广元市，第18题，7分）如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD12AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：D F=BE．29．（2019四川省泸州市，第18题，6分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA=OD．求证：OB=OC．30．（2019四川省眉山市，第21题，8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．31．（2019莱芜区，第21题，9分）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE=AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：B E=BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．32．（2019山东省淄博市，第19题，5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠E=∠C．33．（2019山东省菏泽市，第23题，10分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：B P⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC=62，AD=3，求△PDE的面积．34．（2019广州，第18题，9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．35．（2019广西柳州市，第20题，6分）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使得∠A'O'B'=∠AOB．作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A'O'B'（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= ，∴△C'O'D'≌△COD（），∴∠A'O'B'=∠AOB．（）36．（2019广西贵港市，第20题，5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．37．（2019南京，第19题，7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．38．（2019南通，第21题，8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD=CA．连接BC并延长到点E，使CE=CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？39．（2019江苏省苏州市，第24题，8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF=BC；（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数．40．（2019江苏省镇江市，第20题，6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE=CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．41．（2019浙江省温州市，第18题，8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．42．（2019湖北省孝感市，第18题，8分）如图，已知∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AC=BD，求证：A E=BE．43．（2019湖北省宜昌市，第18题，7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数．44．（2019湖北省荆州市，第19题，8分）如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），连接AF，DE （如图②）．（1）在图②中，∠AOF= ；（用含α的式子表示）（2）在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．45．（2019湖北省黄石市，第21题，8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．（1）求证：∠C=∠BAD；（2）求证：A C=EF．46．（2019湖南省益阳市，第21题，8分）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．47．（2019甘肃省兰州市，第20题，6分）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：A C∥DF．48．（2019西藏，第20题，5分）如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠ABC=∠DEF．49．（2019贵州省安顺市，第24题，12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．A B，AD，DC之间的等量关系；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．50．（2019贵州省铜仁市，第20题，10分）如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：B D=CE．51．（2019辽宁省大连市，第19题，9分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：A F=DE．52．（2019陕西，第18题，5分）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE=BF，AC∥BD，且AC=BD，求证：C F=DE．53．（2019黑龙江省鸡西市，第26题，8分）如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC=30°，求证：D F+BH3BD；（2）如图②所示，若∠ABC=45°，如图③所示，若∠ABC=60°（点M与点D重合），猜想线段DF、BH 与BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【2018年题组】一、选择题1．（2018四川省成都市，第6题，3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 2．（2018山东省临沂市，第11题，3分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．32B．2C．22D．103．（2018山东省德州市，第12题，4分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44．（2018广西玉林市，第9题，3分）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直5．（2018贵州省安顺市，第5题，3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD6．（2018黔西南州，第7题，4分）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙7．（2018辽宁省鞍山市，第7题，3分）如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，CE与BD相交于点G，EF⊥BD于点F，若EF=2，则EG的长为（）A．334B．433C．332D．48．（2018黑龙江省，第18题，3分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15B．12.5C．14.5D．179．（2018四川省凉山州，第3题，4分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB=1，以O 为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为（）A．3B．2C．3D．510．（2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（）A．12B．1C．32D．311．（2018四川省攀枝花市，第4题，3分）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a ∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°12．（2018四川省泸州市，第8题，3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9B．6C．4D．313．（2018四川省绵阳市，第11题，3分）如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE 2=，AD 6=，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-14．（2018山东省东营市，第10题，3分）如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE =∠BAC =90°，AD =AE ，AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④15．（2018山东省淄博市，第11题，4分）如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC ，若AN =1，则BC 的长为（ ）A ．4B ．6C ．43D ．816．（2018山东省淄博市，第12题，4分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A．25394+B．25392+C．18253+D．253182+17．（2018山东省青岛市，第6题，3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F．已知EF=32，则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3318．（2018山西省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6319．（2018广西贺州市，第10题，3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC 的中点，AD=ED=3，则BC的长为（）A．2B．3C．6D．220．（2018江苏省南通市，第5题，3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，1221．（2018江苏省扬州市，第7题，3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC22．（2018浙江省温州市，第10题，4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53223．（2018湖北省荆州市，第4题，3分）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°24．（2018湖北省荆门市，第11题，3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A 2B2C．1D．225．（2018湖北省黄冈市，第5题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．2326．（2018湖南省常德市，第6题，3分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6B．5C．4D．3327．（2018湖南省长沙市，第11题，3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米28．（2018陕西省，第6题，3分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A 423B．2C823D．2二、填空题29．（2018四川省成都市，第22题，4分）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．30．（2018四川省甘孜州，第12题，4分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）31．（2018山东省济宁市，第13题，3分）在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件，使△BED与△FDE全等．32．（2018浙江省衢州市，第13题，4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．33．（2018浙江省金华市，第12题，4分）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．34．（2018黑龙江省牡丹江市，第14题，3分）如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是．35．（2018云南省，第6题，3分）在△ABC中，AB=34，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为．36．（2018四川省巴中市，第15题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD．若EF=2，则AB=．37．（2018四川省广安市，第14题，3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=．38．（2018四川省绵阳市，第18题，3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．39．（2018四川省达州市，第16题，3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．40．（2018天津市，第17题，3分）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF ⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．41．（2018广东省深圳市，第16题，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=2，则AC= ．42．（2018广西玉林市，第17题，3分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是．43．（2018江苏省泰州市，第14题，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．44．（2018湖北省荆州市，第15题，3510的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=15+1 10．（填“＞”或“＜”或“=”）45．（2018湖北省襄阳市，第15题，3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为．46．（2018湖北省黄冈市，第13题，3分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．47．（2018辽宁省丹东市，第16题，3分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=18，点P是BC边上的动点，连接AP，将△ACP沿着直线AP翻折后得到△AEP，当PE⊥BC时，BP的长是．48．（2018辽宁省盘锦市，第18题，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．49．（2018辽宁省阜新市，第14题，3分）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为．50．（2018辽宁省鞍山市，第15题，3分）已知，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且BC=2AD，则等腰三角形ABC底角的度数为．51．（2018重庆市，第16题，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．52．（2018黑龙江省，第9题，3分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是．三、解答题53．（2018江苏省泰州市，第20题，8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．54．（2018江苏省苏州市，第21题，6分）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：B C∥EF．55．（2018江苏省镇江市，第22题，6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．56．（2018浙江省嘉兴市，第19题，6分）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF ⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．57．（2018浙江省温州市，第18题，8分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．58．（2018湖北省恩施州，第18题，8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC ∥FD，AD交BE于O．求证：A D与BE互相平分．59．（2018湖北省武汉市，第18题，8分）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．60．（2018湖北省荆门市，第19题，9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC=3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．61．（2018贵州省铜仁市，第20题，10分）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：A E∥FB．62．（2018黑龙江省哈尔滨市，第24题，8分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：A D=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．63．（2018江苏省常州市，第27题，10分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．（2）如图2．在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？64．（2018浙江省宁波市，第23题，10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC 于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．65．（2018湖北省鄂州市，第18题，8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：A E=EF；（2）当AF=AE时，设∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之间的数量关系式．66．（2018黑龙江省牡丹江市，第24题，6分）在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF 的长．67．（2018黑龙江省，第26题，8分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：B C﹣DE=2 DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．68．（2018山东省滨州市，第25题，13分）已知．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：B E=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．一、选择题1．（2019河南省实验中学模拟，第8题，3分）如图，△P AB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB 上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△P AB与△PCD的面积之差为（）A．5B．10C．l5D．202．（2019丹东模拟，第8题，3分）如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC=EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO=BC；⑤∠EAD=120°．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．53．（2019重庆八中模拟，第2题，4分）在下列图形中，有两条以上的对称轴的图形有（）个．①角；②正方形；③全等三角形；④等腰三角形；⑤等腰梯形；⑥线段；⑦直角三角形；⑧等边三角形；⑨平行四边形；⑩圆．A．2B．3C．4D．5二、填空题4．（2019石景山区二模，第14题，2分）如图，正方形ABCD，E是AD上一点，AE113AD==，CF⊥BE于F，则BF的长为．5．（2019玄武区二模，第16题，2分）如图，正方形ABCD与正方形CEFG，E是AD的中点，若AB=2，则点B与点F之间的距离为．6．（2019重庆市巴蜀中学三模，第17题，43的正方形ABCD中，点E是BC边上一点，点F是CD边上一点，且BF⊥AE于点G，将△ABE绕顶点A逆时针旋转°得△AB'E'，使得点B'、E'恰好分别落在AE、CD上，AE'交BF于点H．则四边形B'E'HG的面积为．三、解答题7．（2019丰台区一模，第27题，7分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，点E为AC 延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交CB的延长线于点F．（1）求证：B F=CE；（2）若CE=AC，用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明．8．（2019石景山区二模，第21题，5分）如图，AB平分∠CAD，∠ACB+∠ADB=180°．（1）求证：B C=BD；（2）若BD=10，cos∠ADB25，求AD﹣AC的值．9．（2019吉林市二模，第18题，5分）如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AB=AC，BE⊥AC于点E，AE=AD．求证：A C平分∠DAB．10．（2019成都一模，第22题，10分）如图1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC、BE，点P为DC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出线段AP的取值范围．11．（2019历下区三模，第21题，6分）如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°．（1）求证：△BEC≌△CF A；（2）若AF=3，EF=4，求BE的长．12．（2019邢台二模，第23题，9分）如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD=BD，∠ADB=∠EDC，DE=DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB=36°，求∠EDC；（3）若OB=OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．13．（2019松滋市三模，第19题，6分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE≌△CDE；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．14．（2019陕西师大附中八模，第18题，5分）如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC上，AC与DE交于点F，且∠EAC=∠EDC，AC=AE，BC=DE．求证：∠B=∠ADE．15．（2019西安交大附中一模，第18题，5分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC=DE，CB=CE，求证：∠A=∠D．16．（2019福建省名校联合三模，第18题，8分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；。
专题19二面角的大小-解析版
专题19 二面角的大小二面角在复杂空间图形中隐藏得比较深,不易发现或作出,再加上参数向量渗透其中,导致思维痛点产生.二面角计算问题是高考数学命题中的必选项,必须寻找排除痛点的有效途径;二面角的平面角离不开平面的垂线(垂足),少不了寻找射影,突破方法很多,如定义法、三垂线定理法、垂面法、射影面积法、向量法等,这些基本运用不熟,找不到问题求解的基本思路,就会产生痛点.二面角的平面角的寻找、求作、证明需要强有力的逻辑推理能力支撑,定理不熟悉、空间概念不清、垂直关系不会证明、数量计算不准,都将导致卡壳点产生.一、极端化分析动态面面位置关系问题1:已知等腰RtΔABC内接于圆O,点M是下半圆弧上的动点,如图1,现将上半圆面沿AB折起,使所成二面角C−AB−M为π4,则直线AC与直线OM所成角的最小值是A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】卡壳点:不会寻找特殊点或极限点.应对策略:考虑动点M在特殊点处时,线线角的大小.问题解答:解法1如图2,折起后,点M在以AB为直径的半圆上运动.考虑特殊情况,当M=A或M=B时,所成角为π4.当M为⏜AB的中点时,设CB的中点为D,如图2,当半径为1时,CM2=2−√2,DM2=32−√22,cos∠DOM=12,所成角为π3.让DM继续变小,当DM2=32−√62时,cos∠DOM=√32,所成角为π6.所以选择B.解法2选择O为原点,OA为x轴,如图3,则有A(1,0,0),C(0,√22,√22),M(cosθ,sinθ,0),于是AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√22,√22),OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ,0).故cosα=AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−cosθ+√22sinθ|√2=|√22cosθ−12sinθ|⩽√32.所以α⩾π6.【反思】(1)特殊化、极限法、极端法是思考空间量的大小的重要方法,解法1中点M 在以AB 为直径的半圆上运动,考虑其中的特殊位置,寻找问题的解. (2)解法2建立函数模型,运用函数求最值的思想解决,本质上是解析法.二、找线面垂直关系立标求二面角问题2:如图4,已知在四棱雉S −ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD =60∘,SA =SD =√5,SB =√7,E 是棱AD 的中点,点F 在棱SC 上,且SF ⃗⃗⃗⃗ =λSC ⃗⃗⃗⃗ ,SA//平面BEF . (I)求实数λ的值;(II)求二面角S −BE −F 的平面角的余弦值.【解析】卡壳点:复杂图形中难以找到二面角的平面角.应对策略:在复杂图形中寻找到三直线垂直关系,建立空间直角坐标系. 问题解答:(I)连接AC ,设AC ∩BE =G ,则平面SAC ∩平面EFB =FG . 因为SA//平面EFB ,所以SA//FG . 因为ΔGEA ∽ΔGBC ,所以AGGC =AEBC =12. 所以SFFC =AG GC=12,从而SF =13SC ,即λ=13.(II)因为SA =SD =√5,所以SE⟂AD,SE =2. 又因为AB =AD =2,∠BAD =60∘,所以BE =√3. 所以SE 2+BE 2=SB 2,所以SE⟂BE ,所以SE⟂平面ABCD .图5以EA,EB,ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图5, 则A(1,0,0),B(0,√3,0),S(0,0,2),平面SEB的法向量m=EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0).设平面EFB的法向量n=(x,y,z),则n⟂EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x,y,z)⋅(0,√3,0)=0,解得y= 0.由n⟂GF⃗⃗⃗⃗⃗ ,得n⟂AS⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x,y,z)⋅(−1,0,2)=0,得x=2z.令z=1,得n=(2,0,1),所以cos⟨m,n⟩=m⋅n|m|⋅|n|=2√55.故所求二面角的平面角的余弦值是2√55.【反思】(1)题设中有菱形且有一个内角为π3,所以其中垂直关系比较多,所以数据比较多,从意识上注意使用勾股定理逆定理的可能性,发现SE⟂BE,从而得到SE⟂平面ABCD.(2)在证明了SE⟂平面ABCD后,建立空间直角坐标系才是恰当的.三、向量助力寻找二面角的平面角问题3:如图6,在正四面体ABCD中,点P,Q,R分别在棱AB,AD,AC上,且AQ=QD,APPB =CRRA=12,分别记二面角A−PQ−R,A−PR−Q,A−QR−P的平面角为α,β,γ,则A.β>γ>αB.γ>β>αC.α>γ>βD.α>β>γ【解析】卡壳点:难以寻找到三个二面角大小之间的“桥”.应对策略:三个二面角的平面角作比较,想到用平面法向量来比较.问题解答:记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a,b,c ,且|a|=|b|=|c|=1.a ⋅b =c ⋅b =c ⋅a =12.易得平面APR,ARQ,AQP 的法向量分别为n 1=a +b −3c,n 2=c +b −3a,n 3=a +c −3b .由于PR⃗⃗⃗⃗⃗ =23b −13a,RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c −23b ,因此平面PRQ 的法向量n =xa +yb +zc 满足{(xa +yb +zc )⋅(2b3−a3)=0,(xa +yb +zc )⋅(c 2−2b 3)=0,即{3y +z =0,x +5y −2z =0. 于是可取n =11a −b +3c ,n 1⋅n =11a 2−b 2−9c 2+10a ⋅b +6b ⋅c −30c ⋅a =−6,n 2⋅n =−33a 2−b 2+3c 2+14a ⋅b +2b ⋅c +2c ⋅a =−22,n 3⋅n =11a 2+3b 2+3c 2−34a ⋅b −10b ⋅c +14c ⋅a =2. 考虑到|n 1|=|n 2|=|n 3|,以及γ必然为锐角,于是α>π2>β>γ.故选D.【反思】(1)将二面角用平面法向量的夹角表示,然后比较大小是一个智慧点,选择好基向量,将四个平面的法向量用基向量表示,运算量比较大.(2)此题为2017年温州市高考数学适应性试题,比2017年相关的浙江高考数学题要难得多.四、三垂线法找二面角的平面角问题4:如图7,已知斜三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,侧面A 1ACC 1为菱形,∠A 1AC =60∘,平面A 1ACC 1⟂平面ABC,N 是CC 1的中点. (I)求证:A 1C⟂BN ;(II)求二面角B −A 1N −C 的平面角的余弦值. 【解析】卡壳点:难以找到二面角的平面角.应对策略:由面面垂直找到平面的垂线,从而由三垂线法找到二面角的平面角,或建立空间直角坐标系.问题解答:(I)解法1如图8,取AC 的中点O ,连接BO,A 1C,ON ,由题意知BO⟂AC . 又平面A 1ACC 1⟂平面ABC ,所以BO⟂平面A 1ACC 1,BO⟂A 1C .因为O,N 分别是AC,CC 1的中点,所以A 1C⟂ON ,故A 1C⟂平面BON .因为BN ⊂平面BON ,所以A 1C⟂BN .(II)由(I)知BO⟂平面A 1ACC 1,过点O 作OM⟂A 1N ,连接BM ,则图8MB 为二面角B −A 1N −C 的平面角,OM =√32×√3=32,BO =√3,BM =√94+3=√212.cos ∠OMB =OMBM =√217. 解法2(I)取AC 的中点O ,连接BO,A 1O ,由题意知BO⟂AC,A 1O⟂AC . 又因为平面A 1ACC 1⟂平面ABC ,所以A 1O⟂平面ABC . 以O 为原点,建立如图9所示的空间直角坐标系O −xyz ,则O (0,0,0),B(√3,0,0),A 1(0,0,√3),N (0,32,√32),C (0,1,0).从而A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3),BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,32,√32),故A 1C⟂BN . (II)由(I)知,A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,−√32),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3).设平面A 1BN 的法向量n 1=(x ,y ,z ),则{A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1=0,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1=0,即{32y −√32z =0,√3x −√3z =0.令x =1,所以n 1=(1,√33,1). 又平面A 1NC 的法向量n 2=(1,0,0),设二面角B −A 1N −C 的平面角为θ,则cosθ=n 1⋅n2|n 1||n 2|=√217. 【反思】(1)第(I)问证明线线垂直时,需要通过线面垂直来转化,第(I)问对第(II)问没有明显的帮助作用,只是融人到整体的思考之中.(2)整个题中“BO⟂平面A 1ACC 1”是一个关键点,为寻找到二面角的平面角打下基础.五、平同视角找一面角的平面角问题5:如图10,在四棱锥A −BCDE 中,平面ABC⟂平面BCDE,∠CDE =∠BED =π2,AB =CD =2,DE =BE =1,AC =√2.求二面角B −AD −E 的大小.【解析】卡壳点:不能寻找到二面角的平面角.应对策略:学会用不同的视角来审视同一个问题.问题解答:解法1(定义法)如图11,作BF⟂AD,与AD交于点F,过点F作FG//DE,与AE交于点G,连接BG.在直角梯形BCDE中,由CD2=BD2+BC2,得BD⟂BC.又平面ABC⟂平面BCDE,所以BD⟂平面ABC,从而BD⟂AB. 由于AC⟂平面BCDE,得AC⟂CD.在RtΔACD中,由CD=2,AC=√2,得AD=√6.在RtΔAED中,DE=1,AD=√6,得AE=√7.在RtΔABD中,BD=√2,AB=2,AD=√6,得BF=2√3 3,AF=23AD,从而GF=23.在ΔABE,ΔABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=5√7 14,BG=23.在ΔBFG中,cos∠BFG=GF 2+BF2−BG22BF⋅GF=√32,所以∠BFG=π6,即二面角B−AD−E的大小是π6.解法2(补形转化法)如图12,将EB延长至点M,使DCME为矩形,以此为底,CA为高补成长方体AD1E1M1−CDEM.连接EM1,过点B作BR⟂EM1,交EM1于点R,过点R作RH//ED,易知点H在AD上,则∠RHB为二面角B−AD−E的平面角.余下同上述求解.解法3(余角转化法)易证平面EDA⟂平面CDA,从而二面角B−AD−E图12与二面角B−AD−C之和为π2.问题转化为求二面角B−AD−C的大小.如图13,过点B作BH⟂CD,交CD 于点H .过点H 作HI⟂AD 于点I ,连接BI ,则∠BIH 为二面角B −AD −C 的平面角.由IHAC =DHAD得IH =√33,tan ∠BIH =BH IH=√3,所以∠BIH =π3.因此二面角B −AD −E 的大小是π6.解法4(体积转化法)由基本图形知,只需在平面ADE 上找一点E ,求点E 到平面ADB 的距离d ,则二面角B −AD −E 的平面角θ可由sinθ=dED 求得,而d 可由体积法V E−ABD =V A−BDE 得到,BD ×AB ×d =DE ×BE ×AC,d =由{m ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{0−2y 1−√2z 1=0,x 1−2y 1−√2z 1=0,可取m =(0,1,−√2).由{n ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{0−2y 2−√2z 2=0,x 2+y 2=0,可取n =(1,−1,√2).于是cos⟨m,n⟩=|m⋅n||m||n|=√32. 由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B −AD −E 的大小是π6.【反思】(1)空间图形的解答一般都有多种解法与思路,复习训练时应强化一题多解,有利于增加获胜的可能性.（2）上述求解中,体积转化法较易,运算量较少,而向量坐标法比较麻烦,涉及线性方程组求解,运算中,稍微有一点出错,将前功尽弃.六、补形技术助力寻找二面角问题6:如图15,在三棱锥P −ABC 中,PA ⊥平面ABC,∠BAC 为直角,Q 为PA 中点,下列说法中,正确说法的个数为（ ） (1)∠PBA +∠PCA +∠BPC =π;(2)记二面角P −BC −A,Q −BC −A 的平面角分别为θ1,θ2,则θ1>2θ2; （3）cos ∠PBC <cos ∠PBQcos ∠QBC . A.0 B.1 C.2 D.3【解析】卡壳点:不会判断3个空间角命题的正确性.应对策略:运用特殊化处理手段是解题的关键.问题解答:解法1把给定图形补形放在正方体内,如图16.①∠PBA+∠PCA+∠BPC=π4+π4+π3<π,错误.②θ1−θ2<θ2,即θ1<2θ2,错误.③cos∠PBC=12<35=√10√2√5=2+54−142×√2×√52√2√522=cos∠PBQcos∠QBC,正确.解法2对于①,由线面角小于等于线线角,可得∠PBA<∠PBC,∠PCA<∠PCB∠BPC,所以∠PBA+∠PCA+∠BPC<∠PBC+∠PCB+∠BPC<π,故①错误.对于②,如图17,判断一:tanθ1=APAE ,tanθ2=QAAE,所以tanθ1=2tanθ2.又tan2θ2=2tanθ2,无论2θ2为锐角、直角还是钝角,θ1<2θ2,故②错误.1−tan2θ2判断二:从实践经验判断,从地面开始,增加相同高度,视角的增加越来越小,可得θ1−θ2<θ2,即θ1<2θ2,所以②错误.对于③,由三面角公式知cos∠PBC=cos∠PBAcos∠ABC,cos∠QBC=cos∠QBAcos∠ABC.又cos∠PBA=cos∠PBQcos∠QBA−sin∠PBQsin∠QBA,可得cos∠PBC−cos∠PBQcos∠QBC=cos∠ABC(cos∠PBA−cos∠PBQcos∠QBA)=−cos∠ABC⋅sin∠PBQsin∠QBA<0,所以cos∠PBC<cos∠PBQcos∠QBC正确.综上所述,正确说法只有1个,选择B.【反思】(1)在特殊化思想引领下,借助补形技术,在一个正方体下,许多角呈现为特殊角,角与角的大小关系也比较容易显化.(2)此问题涉及的数学知识点比较多,比如“线面角小于线线角”“三面角公式”等.（3）此问题涉及的方法也非常重要,比如借助三角函数来比较角的大小,不等式的基本性质运用等.强化练习1.设棱锥V−ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P−AC−B的平面角为γ,则（）A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β【解析】解法1特殊化思考,考虑正四面体,且P 是棱VA 的中点,如答图所示,观察知线线角大于线面角,且二面角的平面角大于直线与平面所成的角,选择B.第1题答图解法2特殊化思考,考虑正四面体,且P 是棱VA 的中点. 记α=∠BPQ,β=∠PBR,γ=∠PRH , 计算分析得cosα=√36,于是sinα=√336,sinβ=√23,sinγ=2√23.选择B.【反思】应用特殊化策略.2.如图,已知正四面体D −ABC (所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R 分别为AB,BC,CA 上的点,AP =PB,BQQC =CRRA =2,分别记二面角D −PR −Q,D −PQ −R,D −QR −P 的平面角为α,β,γ,则（ ）A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α【解析】解法1不妨设底面三角形的边长为6,如答图1,可以判断PQ>QR>RP. 事实上,PQ=√13,QR=√12,RP=√7,点D在底面的投影为点O,点O到三边PQ,QR,RP的距离分别为d1,d2,d3,则d1<d2<d3.所以β最大,α最小,选择B.第2题答图1第2题答图2解法2如答图2,细心观察一下,这三个二面角有一个面是相同的,而且另一个面都包含点D ,由此可见二面角的大小取决于交线的长短,对于交线(设棱长为6),有RP:AR =√72,AP =3,PQ:PB =√133,BQ =4,QR:RC =√32,CQ =2,很明显,RP 最短,PQ 最长,故α<γ<β.故选B. 【反思】利用射影研究二面角大小.3.如图,球O 为单位正方体的内接球,平面ABD ′截球O 所得图形在底面ABCD 上的射影面积是_____,平面ACD ′截球O 所得图形在底面ABCD 上的射影面积是_____.【解析】(1)截面ABD ′是正方体的对角面,截球所得圆的半径是12,S 圆=14π,截面与底面所成的二面角为π4,圆在底面上的射影是椭圆,(2)把截面ACD ′平面化,因为AC =AD ′=CD ′=√2,所以正三角形的内接圆半径为√66,所以圆的面积为π6,此圆在底面上射影是椭圆,截面ACD ′与底面ABCD 所成二面角正弦值的大小为√33,【反思】二面角的大小可用射影面积法确定.4.如图,已知四棱锥A −BCDE ,平面ABC ⊥平面BCDE,△ABC 是边长为2的等边三角形,底面BCDE 是矩形,且CD =√2.试问点F 在线段AB 的什么位置时,二面角B −CE −F 的大小为π4?2224S S S π=椭圆椭圆圆3336S S S π椭圆椭圆圆，【解析】如答图1,过点F作FH⊥BC于点H.因为平面ABC⊥平面BCDE,所以FH⊥平面BCDE.过点H作HQ⊥EC于点Q,连接FQ.第4题答图1第4题答图2因为FH⊥平面BCDE,所以FH⊥CE,又HQ⊥CE,所以BC⊥平面FHQ, 所以∠FQH就是二面角B−CE−F的平面角.设BF=x,则HF=√32x,BH=x2,CH=2−x2.在△BCE中,如答图2,HQ=CH⋅sin∠BCE=(2−x2)⋅√3因为∠FQH=45∘,FH=HQ,所以√32x=(2−x2)√3,解得BF=x=1,即F为AB的中点.故当F是线段AB的中点时,二面角B−CE−F的平面角的大小为π4.【反思】将复杂空间图形进行平面化处理并分析.5.如图,已知多面体ABC−A1B1C1,线段A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC= 2π3,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(I)证明:AB1⊥A1C1;(II)求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小.【解析】(I)由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得AB1=A1B1= 2√2,第5题答图所以A1B12+AB12=AA12.故AB1⊥A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,得B1C1=√5.由AB=BC=2,∠ABC=120∘得AC=2√3.由CC1⊥AC,得AC1=√13,所以AB12+B1C12=AC12,故AB1⊥B1C1.因此AB1⊥平面A1B1C1.又A1C1⊆平面A1B1C1,所以AB1⊥A1C1.(II)延长A1B1,交AB的延长线于点D,延长A1C1,交AC于点E,连接DE,则DE为平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的棱,连接CD,则CEAC+CE =14,AC=2√3,所以CE=2√33.由BD=2,∠DCE为直角,得DE=4√33.由△BCD为等边三角形,得∠CDE=π6,所以∠ADE为直角,于是∠ADA1为平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角,其大小为π4.【反思】拓展图形,完善图形,寻找二面角的平面角.6.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90∘,AB=√2,P是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,PA=AC,求二面角B−PC−A的平面角的大小.【解析】解法1PA=AC=2,BC=AB=√2,PC=2√2,PB=√6,所以BC2+PB2=PC2,所以∠PBC=90∘.如答图1,过点A作AM⊥PC,交PC于点M.在平面PBC中,过点M作MN⊥PC,交PB于点N,连接AN,则∠AMN是二面角B−PC−A的平面角.在Rt△PAC中,AM=12PC=√2①因为△PMN∽△PBC,所以MNBC =PMPB,所以MN=√2⋅√2√6=√63②在Rt△PMN中,PN=√2+69=2√63.第6题答图1在Rt△PAB中,cos∠APB=√6.故在△PNA中,AN=√249+4−2×2×23×2=√609−489=2√33③(3).由①②③得在△AMN中,cos∠AMN=2+69−1292×√2×√63=1294×√33=√33.【反思】根据平面角的定义找出二面角的平面角,此解法的困难之处是求△AMN 的三边长.解法2如答图2,过点B 作BO ⊥AC ,交AC 于点O ,过点O 作OK ⊥PC 于点K ,连接BK .第6题答图2OK 是BK 在平面PAC 上的射影.因为PC ⊥OK 且PC ⊥BK ,所以∠BKO 是所求的角.在Rt △ABC 中,BO =12AC =1,在Rt △PBC 中,利用等面积法求出BK , 所以BK =√2×√62√2=√62. 故在Rt △KOB 中,sin∠BKO =BOBK =√62=√6=√63. 【反思】利用三垂线定理找出二面角的平面角.解法3如答图3,过点B 作BO ⊥AC ,连接OP ,由解法2知BO ⊥平面PAC ,所以△POC 是△PBC 在平面PAC 上的射影,S △PCO =12⋅CO ⋅PA=12×1×2=1,OB PAPA ABC OB AC OB PAC OB ABC PA AC A⊥⎧⊥⎧⎪⇒⊥⇒⊥⎨⎨⊂⎩⎪⋂=⎩平面平面平面在Rt△PBC中,S△PBC=12×√2×√6=√3. 令二面角B−PC−A的平面角为θ,所以cosθ=S△PCOS△PBC =√3=√33.第6题答图3【反思】根据射影定理,令二面角的平面角为θ,则cosθ=S射影S斜.7.如图,在四棱锥P−ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB// CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点.(I)求证:平面EAC⊥平面PBC;(II)若PC=2,求二面角P−AC−E的平面角的余弦值.【解析】(I)因为PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥PC.因为AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=√2,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC.(II)因为平面PAC⊥平面ABCD,为求二面角P−AC−E,只需求二面角B−AC−E. 由(I)知∠ECB为二面角B−AC−E的平面角,PC=2,PB=√6,CE=EB=√62,cos∠ECB=2×√62×√2=√33.二面角P−AC−E的平面角的余弦值为cos(π2−∠ECB)=sin∠ECB=√63【反思】将末知的二面角转化为熟悉的二面角进行研究.8.平面α上放置了一个正四棱锥O−ABCD,AB=OA=2.(I)当正四棱锥O−ABCD由倒立(平面ABCD//α,如图1)至倾倒(平面OBC与平面α重合,如图2)的过程中,平面OBC转动的角的余弦值为多少?(II)在图2中,探求直线OD与平面α所成角的正弦值.【解析】解法1(I)如答图1,取BC的中点E,过点E作EF⊥平面α于点F,则∠EOF为平面OBC转动的角,OE=√3,OF=1,cos∠EOF=√3.3第8题答图1第8题答图2(II)如答图2,过点D 作DH ⊥平面α于点H ,则∠DOH 为直线OD 与平面α所成角. 取AD 的中点G ,作GP ⊥平面α于点P ,可证点P 在OE 上,则DH =GP .连接PO ,则GP =OGsin∠POG =√3sin∠POG ,由余弦定理得GE 2=OG 2+OE 2−2OG ⋅OEcos∠POG 得cos∠POG =13,所以sin∠POG =2√23,GP =2√63,所以DH =2√63,sin∠DOH =√63. 解法2(I)同上.(II)如答图3,取E 为原点,BC 所在直线为x 轴,EO 所在直线为y 轴,建立空间直角坐标系,则O(0,√3,0).第8题答图3因为DH =GP =2√63,PE =√GE 2−GP 2=2√33, 所以D (1,2√33,2√63),OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√33,2√63), 设k ⃗ =(0,0,1),则sin∠DOH =OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ |OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||k ⃗ |=√63. 【反思】此题给出的图形看上去比较美观,富有动感,能增强学生空间想象能力,用传统的逻辑分析与推理方法可解,用向量的坐标方法也可解.。
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学科教师辅导讲义二、命题分析
A．2 B．4 C．6 D
[答案] C
[解析] 因为其规律是a为肩上两数之和，故
(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；
②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等；
④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
A．① B．①② C．①②③
[答案] B
[解析] 类比的原则是“类比前后保持类比的一致性，
5．在平面几何中，若三角形内切圆的半径为
类比上述结论，相应地，在立体几何中，若一个四面体的内切球的半径为
则这个四面体的体积V＝________成立．
[答案] 1
3
R(S1＋S2＋S3＋S4)
[解析] 通过类比，可把四面体分割为四部分．6．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋
于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，
A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α
跟踪练习2
已知等差数列{an}：－7，－5，－3，－1，1,3,5,7,9
S2＝S6，S3＝S5，一般地，对于等差数列{an}
意的n∈N*，且n≤2k－1，等式S2k－n＝Sn恒成立．请你用类比的方法，写出等比数列给予证明．
[解析] 命题为：对于等比数列{an}，其前n
且n≤2k－1等式T2k－n＝Tn恒成立．
证明如下：设{bn}的公比为q，由bk·bk＋1＝
（五）思想方法点拨：
(45,25) C．(25,45) D
处，走过的长度单位是2，方向向右；质点到达
＝2＋4＋6，方向向上；
处，走过长度单位是2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)
后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了
x 2531 4
)1234 5
，…，则a2011＝( )
4 D．5
本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论．行的数构成首项为n，公差为n的等差数列，
＋(n＋1－1)·n＝n2＋n.
满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m<n成立，记这样的
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