必修2---直线与圆
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。
高中数学必修2直线与圆常考题型：两直线的交点坐标、两点间的距离(教师版)
两直线的交点坐标、两点间的距离【知识梳理】1．两直线的交点坐标23．(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．【常考题型】题型一、两条直线的交点问题【例1】 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.题型二、直线恒过定点问题【例2】 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点．【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．题型三、两点间距离公式的应用【例3】已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．【对点训练】3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．【练习反馈】1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为()A．(－4，－3)B．(4,3)C．(－4,3) D．(3,4)2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1 B．－5C．1或－5 D．1－或53．设Q(1,3)，在x轴上有一点P，且|PQ|＝5，则点P的坐标是________．4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.题型一、两条直线的交点问题【例1】 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. 【类题通法】判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 【对点训练】1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.题型二、直线恒过定点问题【例2】 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． 【类题通法】解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【对点训练】2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.题型三、两点间距离公式的应用【例3】 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25，|AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．【类题通法】1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 【对点训练】3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 解：设所求点P (x,0)，于是由|P A |＝|PB |得(x ＋1)2＋(0－2)2＝(x －2)2＋(0－7)2，即x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11，解得x ＝1. 所以，所求P 点坐标为(1,0)，|P A |＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.【练习反馈】1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5，∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________． 解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.。
必修2第四章直线和圆复习
必修2第四章直线和圆复习一圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； （2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. 例题精讲：【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）.A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4解：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件, 再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r , 因为圆心C 在直线x +y －2=0上, ∴b =2－a .由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1. 因此，所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B -- 解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则222(23)(02)r --++=， 解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=. （2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，圆心为(2,3)-，半径r =∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=.【例3】一个圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.解：设圆心(,)P a b ，则3100a b --=⎧= 解得13a b =⎧⎨=-⎩.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.另解：线段AB 的中点'5201(,)22P -+，即'31(,)22P . 直线AB 的斜率101257k -==---. 所以弦AB 的垂直平分线的方程为137(22y x -=-，即7100x y --=.解方程组31007100x y y --=⎧⎨--=⎩，得13x y =⎧⎨=-⎩， 即圆心(1,3)P -.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.二圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,22D E--，半径长的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则442202595309130D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩， 解得8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为2282120x y x y +--+=.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[]222(3)(14)16x m y m m ⎡⎤-++--=+⎣⎦，该方程表示圆，则有160m +>，得1(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,)6m ∈-+∞得x =m +317(,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17(,)6x ∈+∞ 【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆22(1)4x y ++=的圆心为P (-1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x , y ).取PB 中点N ,其坐标为(142-+,032+)，即N (32,32).∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN =12P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆. 所求轨迹方程为：2233()(122x y -+-=.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122D x x +=-. 则1644201930((422D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.三 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =，比较d 与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 . 解：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离1d ==， ∴ a ＝－1. 【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.解：由题意，列出方程组22220(3)9x y x y --=⎧⎨-+=⎩，消y 得251440x x -+=，得12145x x +=，1245x x =. 设直线220x y --=与圆22(3)9x y -+=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21|||AB x x =-==.另解：圆心C 的坐标是(3,0)，半径长3r =. 圆心到直线220x y --=的距离d =所以，直线220x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长是==. 【例3】若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .解：圆的标准方程为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径r 设过点(1,0)P -的直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.∴ 圆心到切线的距离d r ==1k =.∴ 直线方程为1y x =+，在y 轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式d r ==，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点A （2，3）关于直线x +2y =0的对称点仍在这个圆上，且与直线x -y +1=0相交的弦长为求圆的方程.解：设A 关于直线x +2y =0的对称点为A ’. 由已知得AA ’为圆的弦，得到AA ’的对称轴x +2y =0过圆心. 设圆心P （-2a ，a ），半径为r ， 则r =|P A |=(-2a -2)2+(a -3)2.又弦长，圆心到弦AA ’的距离为d∴ 22(31)22a R -=+， 即4(a +1)2+(a -3)2=2+2(31)2a -， 解得a =-7或a =-3.当a =-3时，r a =-7时，r ∴ 所求圆方程为(x -6)2+(y +3)2=52或(x -14)2+(y +7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d 、半径r 、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单. 四圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+； （3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =2C 的圆心为（0，2），半径为2r =又12||C C =12||r r -＜12||C C <12r r +，∴圆1C 与2C 相交.（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=,则所求圆的圆心为33(,)11λλλ--++.∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得17λ=-.∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=【例3】已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 A.22(1)1x y ++= B.221x y += C.22(1)1x y ++= D.22(1)1x y +-= 解：已知圆的半径1r =，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线y x =-的对称点为(0,1)-， 则圆C 的方程为22(1)1x y ++=. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点(,)a b 关于直线y x =的对称点为(,)b a .【例4】求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+. 把2y x =+代入2220x y x y +-+=，得220x x +=，解得122,0x x =-=，于是120,2y y ==，两圆的交点坐标是(2,0)A -，(0,2)B，所以，公共弦长||AB =. 另解：由题意，列出方程组 22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+，它即公共弦所在直线的方程. 圆2240x y +-=的圆心到直线20x y -+=的距离为d =所以，两圆的公共线长为==点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式.五直线与圆的方程的应用【例1】实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：（1）y；（2）2x y -. 解：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆. （1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率. 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。
人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案
四、教学过程设计
解析几何就是用代数方法研究几何图形，当然也要研究几何图形的位置关系，直线与直线的位置关系已经研究清楚，这节课我们研究直线与圆的位置关系。
1．问题情境
问题1．直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
师生活动：学生解答，解释出错原因。
6．课堂小结
问题9判断直线与圆的位置关系有哪些方法?
问题10当直线与圆相交时,如何求弦长?
设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．
师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？
人教版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教案这篇文章共11261字。
（2）通过消元，得到一个一元二次方程；
（3）求出其判别式△的值；
（4）判断△的符号：
若△＞0，则直线与圆相交；
若△＝0，则直线与圆相切；
若△＜0，则直线与圆相离．
4．例题示范
例1如图，已知直线：和圆心为的圆，
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）如果相交，求它们交点的坐标．
设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系．使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．
4．当直线与圆有公共点时，能通过联解方程组得出直线与圆的公共点的坐标．
5．当直线与圆相交时，会求圆的弦长，以及能解决与弦长相关的简单问题．
6．通过直线与圆的位置关系的代数化处理，使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁，从而更深刻地体会坐标法思想．
教学应对
三、教学问题诊断
高中数学选修必修2-直线与圆的位置关系(改)1
直线与圆相交
练习.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
解析
圆心到直线的距离 d＝
1＝ 1＋1
2 2 <1,
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0),
∴选B.
弦长问题 方法一（代数法）： 解方程组求交点，两点间的距离公式求弦长
弦长公式为 | AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
解析 因为|MN|≥2 3,
所以圆心(1,2)到直线 y＝kx＋3 的距离不大于 22－ 32＝1,
|k＋1|
即
≤1, 解得k≤0.
k2＋1
三基能力强化 例3．已知圆C: x2 y2 2x 4 y :11 0 直线 l : 3x 4y 4 ，0则圆上到直线距离为 1的点的个数为——
距离为2呢，0.5呢
直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是：A(2,0),B(1,3)
小结:直线与圆的位置关系的判定方法
(1)利用直线与圆的交点的个数进行判断：
△<0 △=0
直线与圆相离 直线与圆相切
△>0
直线与圆相交
(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d >r
直线与圆相离
d =r
直线与圆相切
d <r
点C(0,1)到直线 l 的距离为：
y
l B
d |3016| 5 5
32 12
10
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
CAOx来自由 x2 3x 2 0，解得：x1 2, x2 1
把 x1 2,代x2入方1程①，得 y1 0 ； x1 2把, x2 1 代入方程① ，得 y2 3 ．
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系1．知道直线与圆的位置关系的分类．2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系． 3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．直线A x ＋B y ＋C ＝0与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系及判断【做一做】 直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)＋(y ＋1)＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 【做一做】 D代数法与几何法的比较剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．【例】 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．解法一：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8a x ＋a 2－900＝0.则Δ＝(8a)2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000.①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a 2＋90 000＞0，解得－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a ＜－50或a ＞50. 解法二：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10，则圆心到直线4x －3y ＋a ＝0的距离d ＝|a|32＋42＝|a|5.①当直线和圆相交时，d<r ，即|a|5<10，所以－50＜a ＜50；②当直线和圆相切时，d ＝r ，即|a|5＝10，所以a ＝50或a ＝－50；③当直线和圆相离时，d>r ，即|a|5>10，所以a ＜－50或a ＞50.处理直线与圆的位置关系的代数法和几何法，都具有普遍性，都要熟练掌握．由这两种解法可看到，几何法比代数法运算量要小，也比较简单、直观．题型一：直线与圆的相交问题【例1】 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB|＝8，求直线l 的方程．反思：(1)讨论直线与圆的相交问题时，通常情况下不求出交点坐标．利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，由勾股定理能解决弦长问题．(2)解答本题时易出现漏掉x ＋4＝0的错误结果，导致这种错误的原因是对直线点斜式方程存在的条件理解不透，从而思维不严密，分类不完整．题型二：直线与圆的相切问题【例2】 求经过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．反思：解决直线与圆的相切问题时，通常利用圆心到切线的距离等于半径来解决．答案：【例1】 解：将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝(25)2－⎝⎛⎭⎫822＝3.当l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意．当l 的斜率存在时，设方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0.由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k 2，解得k ＝－512.所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.【例2】 解：(1)当直线斜率不存在时，其方程为x ＝1，不与圆相切；(2)当直线斜率存在时，设斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)，即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x －1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.1．(2011·山东济南一模)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1 2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－683．直线l：3x－4y－5＝0被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为__________．4．(2011·北京丰台高三期末)过点(－3,4)且与圆(x－1)2＋(y－1)2＝25相切的直线方程为__________．5．已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y＝0上，且在直线l2：x－y＝0上截得的弦长为C的方程．答案：1．A 2.B 3.4 4.4x－3y＋24＝05．解：∵圆心C在直线l1：x－3y＝0上，∴可设圆心为C(3t，t)．又∵圆C与y轴相切，∴圆的半径为r＝|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形，可得2＋2＝|3t|2，解得t＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
必修2直线与圆典型题型汇总
直线与圆方程复习专题注：标*的为易错题，标**为有一定难度的题。
一：斜率与过定点问题1．已知点(1,3)A 、(2,6)B 、(5,)C m 在同一条直线上，那么实数m 的值为_______直线的斜率=_____． 2．已知0m ≠，则过点(1,1)-)的直线320ax my a ++=的斜率为________**3．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(1,1)-、(2,2)，若直线:0l mx y m +-=与线段PQ 有交点，求m 的范围．二：截距问题：4.若三点(2,2)A ,B(,0)a ，(0,)C b (0ab ≠)共线，则11a b+=______ **5.已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限*6.（1）过点(1,2)A 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是 .（2）过点(1,2)A 且在x 轴，y 轴截距互为相反数的直线方程是 .三：平行垂直：7、已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m =______8、若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m =___ （若垂直呢）9、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为__________10、已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，（1）若12l l ⊥，则________m =*（2）若12//l l ，则________m =五：交点问题：11、过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.是____________（垂直呢？）**12．若直线:1l y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，求实数k 的取值范围. 六：距离问题13．已知点(3,)m 到直线340x +-=的距离等于1，则m =_________14．已知直线0323=-+y x 和016=++my x 互相平行，则它们之间的距离是_________15. ①平行于直线34120x y +-=,且与它的距离是7的直线的方程是________________________ ②垂直于直线350x y +-=, 且与点(1,0)P -)的距离是1053的直线的方程是___________ 16.过点(1,2)A 且与原点距离最大的直线方程是____________七：圆的方程例1、 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是圆心坐标是__________________,半径是________________例2、 求过点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程，并判断点)4,2(P 与圆的关系．例3 圆心在直线30x y -=上，与直线0=y 相切，且被直线0x y -=所截得的弦长为的圆的方程．**练习. 方程(0x y +-=所表示的曲线是 ( )A ．一个圆和一条直线B ． 两个点C ． 一个点D ．一个圆和两条射线八：点与圆，直线与圆的位置关系：1、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是*2、设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ． 相离D ．不确定*3、原点与圆22(1)()2(01)x y a a a -+-=<<的位置关系是___________ 九：直线与圆的位置关系（一）相交例1、已知圆 042:22=--+y x y x C 和点(0,2)P ，（1）求直线1:360l x y --=被圆C 截得的弦AB 的长；（2）直线2l 与圆 C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求2l 的方程（*3）过P点的直线l 截圆C 所得的弦长为4，求直线l 的方程。
苏教版高中数学必修二知识讲解_直线与圆的位置关系_基础
直线与圆的位置关系：：【学习目标】1．依据直线和圆的方程，能熟练求出他们的交点坐标.2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系.3．理解直线和圆的三种位置关系（相离、相切、相交）与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解（无解、有唯一解、有两组解）的对应关系.4．能利用直线和圆的方程研究与圆有关的问题，提高学生的思维能力.【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：<时，直线l与圆C相交；当d r=时，直线l与圆C相切；当d r>时，直线l与圆C相离.当d r要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1O M l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为(0，0)，半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为2d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴(2x+1)2+x 2=4， 即5x 2+4x-3=0.判别式Δ=42-4×5×(-3)=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx ―y ―m ―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x ―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点． 【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】 解法一：将直线mx ―y ―m ―1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m 2)x 2―2(m 2+2m+2)x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m(3m+4)，∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为(x ―2)2+(y ―1)2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx ―y ―m ―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离．【答案】（1）m <-m >2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心(3，0)到直线30x my -+=的距离d =，圆的半径2r =．(1)若相交，则d r <2<，所以m <-m >(2)若相切，则d r =2=，所以m =±(3)若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：圆的切线问题【与圆有关的位置关系370892 典型例题1】例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外。
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《直线与方程》练习题
一、选择题
1、若直线1=x 的倾斜角为α，则=α（ ）
A 、ο0
B 、ο45
C 、ο90
D 、不存在
2、经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为ο135，则y 的值等于（ ）
A 、1-
B 、3-
C 、0
D 、2
3、过点（1-，4）作直线l 使点M （1，2）到直线l 距离最大，则直线l 的方程为（ ）
A 、03=-+y x
B 、05=++y x
C 、01=+-y x
D 、05=+-y x
4、如果0<ac 且0<bc ，那么直线0=++c by ax 不通过（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
5、经过点A （1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
6、已知直线012)4()4(2=++++--m y m x m m 的倾斜角为ο135，则m 的值是（ ）
A 、2-或4
B 、4-或2
C 、4或0
D 、0或2-
7、直线l 与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称，则直线l 的方程是（ ）
A 、0223=+-y x
B 、0732=++y x
C 、01223=--y x
D 、0832=++y x
8、方程2240x y -=表示的图形是（ ）
A 、两条相交而不垂直的直线
B 、一个点
C 、两条垂直直线
D 、两条平行直线
9、下列说法正确的是
A 、 若直线1l 与2l 的斜率相等，则1l ∥2l ；
B 、若直线1l ∥2l ，则1l 与2l 的斜率相等；
C 、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；
D 、若直线1l 与2l 的斜率都不存在，则1l ∥2l
10、到直线0143=+-y x 的距离为3，且与此直线平行的直线方程为 （ ）
A 、0443=+-y x
B 、02430443=--=+-y x y x 或
C 、01643=+-y x
D 、0144301643=--=+-y x y x 或
11、若直线y x k =+与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是（ ）
A 、;2±=k
B 、;22-≤≥k k 或
C 、;22<<-k
D 、;112≤<--=k k 或
12、若直线0ax by c ++=过第一、二、三象限，则a 、b 、c 应满足的条件是
Ａ、0,0ab bc >> B 、0,0ab bc <> C 、 0,0ab bc >< D 、0,0ab bc <<
二、填空题
13、如果直线l 与直线x ＋y －1＝0关于y 轴对称，则直线l 的方程是 。
14、点P （2，5）关于直线 x ＋y ＝0 的对称点坐标是 。
15、m 为任意实数时，直线（m －1）x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点 。
16、设三条直线01832,06232=+-=++y m x y x 和01232=+-y mx 围成直角三角形，则m 的值
是 。
三、解答题
17、过点P （0，1）作直线l ，使它被两条已知直线,0103:1=+-y x l 082:2=-+y x l 所截得的线段AB 被点P
平分，求直线l 的方程。
18、已知直线l 过两条直线0832,0543=+-=-+y x y x 的交点，且与A （2，3），B （－4，5）两点的距离相等，
求直线l 的方程。
19、直线x y 2=是ABC ∆中C ∠的平分线所在直线，若A 、B 的坐标分别为A （－4，2），
B （3，1），求点
C 的坐标，并判断ABC ∆的形状。
20、△ABC 的两顶点A （3，7），B （2-，5），若AC 的中点在y 轴上，BC 的中点在x 轴上。
（1）求点C 的坐标；
（2）求AC 边上的中线BD 的长及直线BD 的斜率 。
21、已知点A(3,5)和B(2,15),分别在直线l ：x －y ＋3＝0上找一点P ，使
(1)|PA|+|PB|最小时点P 的坐标，并求出最小值；
(2)||PA|－|PB||最大时点P 的坐标，并求出最大值。
22、已知直线1:60l x my ++=，直线2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值, 使得1l 和 2l ：
(1) 相交； (2) 垂直； (3) 平行； (4) 重合。
《圆与方程》
1、在圆的标准方程：(x -a )2+(y -b )2=2r 中，试按下列要求，分别写出a,b,r 应满足的条件
⑴圆过原点： ；⑵圆心在x 轴上： ；
⑶圆心在y 轴上： ；⑷圆与x 轴相切： ；
⑸圆与y 轴相切： ；
⑹圆与两坐标轴都相切： 。
2、写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点)4,3(C ，半径是5；
（3）经过点)1,5(P ，圆心在点)3,8(-C 。
例题分析：
例１：求圆心在x 轴上且过点Ａ（１，４）、Ｂ（２，－３）圆的方程
练习：已知P(4,9)、Q(6,3)，求以PQ 为直径的圆的标准方程
例2、已知圆经过点A(2,-3)和B(-2,-5)，其圆心在直线032=--y x 上，求圆的标准方程
练习题（一）
1、已知一个圆的圆心在原点，并与直线07034=-+y x 相切，求圆的方程。
2、求下列各圆的方程，并画出它的图形。
（1）过点)1,1(-C 和)3,1(D ，圆心在x 轴上；
（2）半径是5，圆心在y 轴上，且与直线6=y 相切；
3、求下列条件所确定的圆的方程：
（1）圆心为)5,3(-C ，与直线027=+-y x 相切；
（2）过点)2,3(A ，圆心在直线x y 2=上，与直线52+=x y 相切。
4、已知一个圆的直径的端点是),(11y x A ，),(22y x B ，求证圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x
2、求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在x y -=上且过两点（2，0），（0，-4）；
（2）圆心在直线835=-y x 上，且与坐标轴相切
练习题（二）
一、选择题
1．若直线2=-y x 被圆4)(2
2=+-y a x 所截得的弦长为22,则实数a 的值为（ ）
A ．1-或3
B ．1或3
C ．2-或6
D ．0或4
2．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ）
Ａ．23 Ｂ．4
3 Ｃ．52 Ｄ．556 3．直线l 过点）
，（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时，斜率k 的取值范围是( ) A ．），（2222- B ．），（22- C ．），（4242- D ．），（8
181- 4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）
A ．03222=--+x y x
B ．0422=++x y x
C ．03222=-++x y x
D ．0422=-+x y x
5．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围
是（ ） A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k
６．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）
A ．1±
B ．21±
C ．33±
D ．3±
二、填空题
1．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于
2．圆C ：02
2=++++F Ey Dx y x 的外有一点00(,)P x y ，由点P 向圆引切线的长______
3. 对于任意实数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是____ _____
4．动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 .
５．P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为_ ______. 三、解答题
１．求过点(2,4)A 向圆42
2=+y x 所引的切线方程。
２．求直线012=--y x 被圆01222=--+y y x 所截得的弦长。
３．已知实数y x ,满足122=+y x ，求12
++x y 的取值范围。
４．已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长。