曲线与方程(1)PPT优选课件
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《曲线与方程》导学课件人教版1
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知识探究 《曲线与方程》导学课件人教版1
探究3.曲线C上的点的坐标都是方程 的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
O
C
x
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探设究曲1线.曲C表线示C上直的角点坐的标坐系标中都以是点方（程a，b）为圆心，ry为半径的C圆.
（2）设M1的坐标(x1,y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即 |x1||y1|=k. 而|x1|,|y1|正是点M1到y轴，x轴的距离，因此点M1到两条直线 的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点。 由⑴⑵可知,xy＝±k是与两条坐标轴的距离之积是常数k(k＞0)的 点的轨迹方程 .
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课堂小结
1.方程的曲线与曲线的方程是两个并存的概念，我们常用方程描 述曲线的数量关系，用曲线反映方程的几何性质，二者相辅相成， 对立统一. 2.方程与曲线是一种对应关系，根据已知条件求曲线的方程与通 过曲线的方程研究曲线的性质，是解析几何的两个主要问题. 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0 的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？
如果x0，y0是方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的解，即
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， 也就是 (x0 a)2 ( y0 b)2 r
即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r，它一定在以(a,b)
为圆心、r为半径的圆上.
高二数学选修2-1 曲线与方程(1、2、3) ppt
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？ 如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线，方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方 程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴 的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
课本例
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
y
(0, F. 2)
0
.M
B
( x, y )
l
x
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
思考2
D
Mx C
A
例2、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲 2 线 y 3x 1 上移动，求 ABC 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 ABC的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上 有一点M满足 MA MC , GM AB( R). 求点C的轨 迹方程。
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解， 那么（ D） A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。 B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。 C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。 D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
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1曲线：过点 1，,1且斜率为1的直线；方程：xy--11 1.
2OAB中AB边上的中线，其中O0,0，A,2,0，B,0,2；
方程x - y 0.
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新知运用
例1 下列说法是否正确？并说明理由：
1点A0,1，B-1,0，C1,0分别为三个顶点，
边AB的中线的方程是 x 0
2曲线C：过点4,1的反比例函数图像，
方程F：y
4 x
，那么曲线C是方程F的曲线。
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课堂小结
点 曲线
一点不多 一点不少
曲线的方程 方程的曲线
解 方程
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课后作业
1.课本37页练习第2题，习题2.1A组第1题: 2.曲线C：到x轴距离等于1的点形成的轨迹， 写出C的方程．
《曲线与方程》ppt人教版1
12
《曲线与方程》ppt人教版1
敬请各位教师批评指正
《曲线与方程》ppt人教版1
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概念生成
你认为，“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念 有没有区别？
所强调的对象不一样：“曲线的方程”对象是方程； “方程的曲线”，对象是曲线。
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自主探究
问题4 在上述每组曲线与方程中，你能否修改曲线与方程中 的一个，使得方程变成曲线的方程，曲线变成方程的 曲线？
这节课我们就来学习“曲线与方程”
情境导入
问题2 1.我们如何研究曲线与方程的关系呢？
2OAB中AB边上的中线，其中O0,0，A,2,0，B,0,2；
方程x - y 0.
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新知运用
例1 下列说法是否正确？并说明理由：
1点A0,1，B-1,0，C1,0分别为三个顶点，
边AB的中线的方程是 x 0
2曲线C：过点4,1的反比例函数图像，
方程F：y
4 x
，那么曲线C是方程F的曲线。
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课堂小结
点 曲线
一点不多 一点不少
曲线的方程 方程的曲线
解 方程
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课后作业
1.课本37页练习第2题，习题2.1A组第1题: 2.曲线C：到x轴距离等于1的点形成的轨迹， 写出C的方程．
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12
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概念生成
你认为，“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念 有没有区别？
所强调的对象不一样：“曲线的方程”对象是方程； “方程的曲线”，对象是曲线。
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自主探究
问题4 在上述每组曲线与方程中，你能否修改曲线与方程中 的一个，使得方程变成曲线的方程，曲线变成方程的 曲线？
这节课我们就来学习“曲线与方程”
情境导入
问题2 1.我们如何研究曲线与方程的关系呢？
曲线和方程一PPT课件
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
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课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
第12页/共16页
课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
第7页/共16页
由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
第8页/共16页
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
第2页/共16页
2.方程的曲线与曲线的方程的关系:
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课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
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课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
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由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
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归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
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2.方程的曲线与曲线的方程的关系:
曲线与方程ppt课件
xy＝＝－0－2＋23＋30＋y1.x1，xy11＝＝33xy＋＋22.， 代入 y1＝3x12－1， 得 3y＋2＝3(3x＋2)2－1. ∴y＝9x2＋12x＋3，即为所求轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
曲线与方程优秀课件公开课定稿.ppt
.精品课件.
1
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为?
y
.C
为什么?
x
圆C 平面内，到定点C(a,b)的距离等于定长r （x a)2 (y b)2 r2
曲线
条件
方程
得出关系：
（1）圆上点的坐标都是方程（x a)2 ( y b)2 r2 的解.
（2）以方程（x a)2 (y b)2 r2 的解为坐标的点都在圆上.
y
f(x,y)=0
❖ (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ❖ 那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程0;
x
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线. 解释：1.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”
阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线 上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
2.1.1曲线和方程
(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 ?
yl
为什么?
0x
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 x-y=0
曲线上的点
条件
方程的解
得出关系：
（1） l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
解:(1)不正确，应为x=3,
(2)不正确,应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).
.精品课件.
6
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
曲线与方程 PPT课件 1 北师大版
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
•
63、彩虹风雨后，成功细节中。
•
64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。
•
65、只要有信心，就能在信念中行走。
•
66、每天告诉自己一次，我真的很不错。
课堂新授
2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点
P0(x0,y0)在曲线C上的充分必要条件是
F(x0,y0)=0.
y
例1 证明圆心为坐标原点， 半径等于5的圆的方程是
x2 y2 25, 并判断点
M2
o
x
M1
M1(3,-4)、 M2 (2 5,2), 是否在这个圆上。
注意：证明要从“在，合”，“合，在”两个方面证
（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程。 y
B(3,7)
解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线 上任意一点，也就是点M属于集合 P={M||MA|=|MB|},
M
A
o
x
即：
(-1,-1)
（ x1)2(y1)2 (x3)2(y7)2
将上式两边平方，整理得
x+2y-7=0
•
15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。
•
16、心态决定命运，自信走向成功。
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
曲线与方程 课件
x0＝y0
思考3:x0＝y0可以认为是点M的坐标是方 程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐 标都是方程x－y＝0的解吗？
y
Ox C 思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解， 那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解 为坐标的点都在曲线C上吗？
探究（一）：直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标 系中平分第一、三象
y M
限的直线.
Ox C
思考1:曲线C上的点有什么几何特征？
(x0－1)2＋(y0－2)2＝9
思考3:(x0－1)2＋(y0－2)2＝9可以认为 是点M的坐标是方程(x－1)2＋(y－2)2＝
9的解，那么曲线C上的点的坐标都是方
程(x－1)2＋(y－2)2＝9的解吗？
y
C
O (1,2) x
思考4:如果x0，y0是方程(x－1)2＋(y－ 2)2＝9的解，那么点M（x0，y0）一定在 曲线C上吗？
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程
y 2 9 (x 1)2 的解吗？以这个方 程的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
C
O (1,2) x
探究（三）：曲线与方程的概念
思考1:在直角坐标系中，若曲线C表示 平分第一、三象限的直线，则方程x－y ＝0叫做曲线C的方程，同时曲线C叫做 方程x－y＝0的曲线.那么，过原点且平 分第一象限的射线的方程是什么？
曲线与方程
Y
1
-1
O1
X
-1
Y
O
X
x2 y2 1y 0
y x (x 0)
探究（一）：直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标
思考3:x0＝y0可以认为是点M的坐标是方 程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐 标都是方程x－y＝0的解吗？
y
Ox C 思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解， 那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解 为坐标的点都在曲线C上吗？
探究（一）：直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标 系中平分第一、三象
y M
限的直线.
Ox C
思考1:曲线C上的点有什么几何特征？
(x0－1)2＋(y0－2)2＝9
思考3:(x0－1)2＋(y0－2)2＝9可以认为 是点M的坐标是方程(x－1)2＋(y－2)2＝
9的解，那么曲线C上的点的坐标都是方
程(x－1)2＋(y－2)2＝9的解吗？
y
C
O (1,2) x
思考4:如果x0，y0是方程(x－1)2＋(y－ 2)2＝9的解，那么点M（x0，y0）一定在 曲线C上吗？
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程
y 2 9 (x 1)2 的解吗？以这个方 程的解为坐标的点都在曲线C上吗？
y
C
O (1,2) x
探究（三）：曲线与方程的概念
思考1:在直角坐标系中，若曲线C表示 平分第一、三象限的直线，则方程x－y ＝0叫做曲线C的方程，同时曲线C叫做 方程x－y＝0的曲线.那么，过原点且平 分第一象限的射线的方程是什么？
曲线与方程
Y
1
-1
O1
X
-1
Y
O
X
x2 y2 1y 0
y x (x 0)
探究（一）：直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标
曲线与方程1(教学课件201911)
２．已知k y 2 4x 所表示的曲线过点(-1,1),求实数 k 的值． 3. 求到点P (3,4)与Q (-2,3)等距离的点的轨迹方程．
四、小结：
两个常用公式
知
识
直线与方程
要
点
பைடு நூலகம்
曲线与方程
两点间的距离公式 中点坐标公式
注：“直线与方程”是“曲线与方程”的特殊情况.
试一试 判断下列各点是否在曲线L上.
（1） A(2,5)
L : 4x 5y 7 0
（2） B(4,3)
L : x2 y2 25
（3）C(1,3) L : x2 y2 3x 5 0
例2 求以坐标原点O 为圆心，半径为2的圆的方程. y
解 设点 P(x, y)为圆上的任意一点.则 P(x, y)
（2）中点坐标公式
已知 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 )，则线段 P1P2 中点 P0 (x0 , y0 ) 的坐标
公式为：
x0
x1
2
x2
，
y0
y1 2
y2
．
（5．２）
三、曲线与方程
点P
坐标（x，y）
曲线
方程
点的集合
关于x，y的等式
1、平面曲线Ｌ上的点的坐标都是二元方程F（x，y）=0的解；
问：如何判断点在曲线上？
例1 判断点 P(2,3)是否为曲线Ｌ：x y 1 0 上的点.
解 因为x=2, y=3是方程 x y 1 0的解，所以，点P(2,3)是曲
线Ｌ：x y 1 0 上的点. 注意：判断某点是否在曲线Ｌ上，根据定义，只需验证该点的
坐标是否为该方程的解即可，反之亦然.
四、小结：
两个常用公式
知
识
直线与方程
要
点
பைடு நூலகம்
曲线与方程
两点间的距离公式 中点坐标公式
注：“直线与方程”是“曲线与方程”的特殊情况.
试一试 判断下列各点是否在曲线L上.
（1） A(2,5)
L : 4x 5y 7 0
（2） B(4,3)
L : x2 y2 25
（3）C(1,3) L : x2 y2 3x 5 0
例2 求以坐标原点O 为圆心，半径为2的圆的方程. y
解 设点 P(x, y)为圆上的任意一点.则 P(x, y)
（2）中点坐标公式
已知 P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 )，则线段 P1P2 中点 P0 (x0 , y0 ) 的坐标
公式为：
x0
x1
2
x2
，
y0
y1 2
y2
．
（5．２）
三、曲线与方程
点P
坐标（x，y）
曲线
方程
点的集合
关于x，y的等式
1、平面曲线Ｌ上的点的坐标都是二元方程F（x，y）=0的解；
问：如何判断点在曲线上？
例1 判断点 P(2,3)是否为曲线Ｌ：x y 1 0 上的点.
解 因为x=2, y=3是方程 x y 1 0的解，所以，点P(2,3)是曲
线Ｌ：x y 1 0 上的点. 注意：判断某点是否在曲线Ｌ上，根据定义，只需验证该点的
坐标是否为该方程的解即可，反之亦然.
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1）以一个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；
2）这条曲线 的点的坐标都是这个方程的解。
定义的特征
1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,说明曲线上没有坐
标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条
件而毫无例外(纯粹性)
2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合条件的
所有的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)
C、曲线C上的点都在方程f(x,y)=0的曲线上
D、以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都有在曲 线C上
2020/10/18
4
例题分析
例3、课本例1
1）证明时应证明两方面：纯粹性与完备性 2）判断点在曲线上的依据是什么？ 3）变式：x2+y2=25(y>0)所表示的曲线是怎样的？
练习：证明以C(1，－1)为圆心，半径等于2的圆的 方程为(x－1)2+(y＋1)2=4
复习回顾
1、直线方程与方程的直线 2、两坐标轴所围成的角位于第一、 三象限角平分线方程是什么？
y 2
3、已知直线的图象如左图，则直线的方 程为（ ）
-1
A、y=2x
B、y=2x(-1<x<1)
O 1 x C、y=2x (-1≤x≤1) D、y=x
Байду номын сангаас
-2
2020/10/18
1
曲线的方程与方程的曲线
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解 建立了如下的关系
2020/10/18
5
课堂练习
优化随堂练习
2020/10/18
6
课堂小结
1、曲线的方程与方程的曲线 2 、概念的特征 3、点在曲线上的充要条件：
点(x0,y0)在曲线C上 f(x0,y0)=0;
2020/10/18
7
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
由曲线方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么P点
2020/1(0x/108,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0
2
例题分析
例1、判断正误 1) 圆心坐标为(a,b)半径为r(r>0)的圆方程为(x-
√ a)2+(y-b)2=r2 ( ) × 2)到x轴距离为2的点的直线方程是y=2 ( )
3)到两坐标轴距离都等于1的点的轨迹方程是
xy=1 ×( ) × 4)过点(3,0)且垂直于x轴的直线方程为|x|=3( )
2020/10/18
3
例题分析
例2、如果曲线C上任一点的坐标都是方程
C f(x,y)=0的解，那么（ ）
A、曲线C的方程是f(x,y)=0;
B、方程f(x,y)=0的曲线是C；
2）这条曲线 的点的坐标都是这个方程的解。
定义的特征
1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,说明曲线上没有坐
标不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合这个条
件而毫无例外(纯粹性)
2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合条件的
所有的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)
C、曲线C上的点都在方程f(x,y)=0的曲线上
D、以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都有在曲 线C上
2020/10/18
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例题分析
例3、课本例1
1）证明时应证明两方面：纯粹性与完备性 2）判断点在曲线上的依据是什么？ 3）变式：x2+y2=25(y>0)所表示的曲线是怎样的？
练习：证明以C(1，－1)为圆心，半径等于2的圆的 方程为(x－1)2+(y＋1)2=4
复习回顾
1、直线方程与方程的直线 2、两坐标轴所围成的角位于第一、 三象限角平分线方程是什么？
y 2
3、已知直线的图象如左图，则直线的方 程为（ ）
-1
A、y=2x
B、y=2x(-1<x<1)
O 1 x C、y=2x (-1≤x≤1) D、y=x
Байду номын сангаас
-2
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1
曲线的方程与方程的曲线
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解 建立了如下的关系
2020/10/18
5
课堂练习
优化随堂练习
2020/10/18
6
课堂小结
1、曲线的方程与方程的曲线 2 、概念的特征 3、点在曲线上的充要条件：
点(x0,y0)在曲线C上 f(x0,y0)=0;
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
由曲线方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么P点
2020/1(0x/108,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0
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例题分析
例1、判断正误 1) 圆心坐标为(a,b)半径为r(r>0)的圆方程为(x-
√ a)2+(y-b)2=r2 ( ) × 2)到x轴距离为2的点的直线方程是y=2 ( )
3)到两坐标轴距离都等于1的点的轨迹方程是
xy=1 ×( ) × 4)过点(3,0)且垂直于x轴的直线方程为|x|=3( )
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例题分析
例2、如果曲线C上任一点的坐标都是方程
C f(x,y)=0的解，那么（ ）
A、曲线C的方程是f(x,y)=0;
B、方程f(x,y)=0的曲线是C；