08第八章 扭转
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第八章 约束扭转
8-6 扭转角微分方程式及其解和初参数方程式 以上已得出了开口薄壁杆件受约束扭转时应力 的计算公式 : B B E1I 8 15 8 16 I
M S 8 20 I
M E1I 8 18
Mtl Mt , GIt GI t 82
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式
§8-2
约束扭转正应力分析
符拉索夫对于开口薄壁杆件约束扭转时变 形作了如下两个假设。 （1）杆的中曲面上无剪应变 ，
（2）周边上的投影不变形。横截面的周边 无弯曲变形及沿周边切线方向无伸长缩短 s 0 ） 变形，亦即无切向线应变（ 在上述两个假设的基 础上，便可研究任意 横截面上任意一点的 纵向位移，找出代表 横截面翘曲情况的纵 向位移函数
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2
开口薄壁杆件受自由扭转时，横截面上的扭 转剪应力沿壁厚按直线规律变化。截面中线 无剪应力（从而在包含截面中线的纵向曲面 无剪切变形，），在截面边缘处剪应力最大， 其值为 M t t max （8-1） It 开口薄壁杆自由扭转时两端截面之间的相对 扭转角 及单位长度扭转角 ，分别为
第八章 扭转
二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ Ａ．扭矩最大截面 Ｃ．单位长度扭转角最大的截面 2、扭转切应力公式 ）。 Ｂ．直径最小的截面 Ｄ．不能确定 ）杆件。
MT 适用于（ Ip
Ａ．任意截面 Ｂ．任意实心截面 Ｃ．任意材料的圆截面 Ｄ．线弹性材料的圆截面 3、单位长度扭转 与（ ）无关。 Ａ．杆的长度 Ｂ．扭矩 Ｃ．材料性质 Ｄ．截面几何性质 解析：长度为 l 的等截面圆杆承受矩Ｍn 时，圆杆两端的相对扭转角为 式中ＧＩＰ称为圆杆的抗扭刚度。单位长度扭转角为
故，强度满足。 （2）刚度校核。 180 4774 .5 180 T ' max GI P 80109 0.14 10.54 32
0.37
故，刚度满足。
m
' 0.5
m
6、如图所示的空心轴，外径 D=69mm，内径 d=50mm，受均布力偶 m=0.2KN.m/m 的作用。 轴的许用应力[ ]=40MPa，[ ]=1.3o/m，G=80GPa。轴的长度 l=4m。试校核轴的强度和刚 度。
Mn 2 At
式中 t 为横截面的厚度（等厚度截面 t 为常数），Ａ为截面中线包围的面积。 截面的最大切应力发生在厚度最小处，即
max
Mn 2 At min
等厚度闭口薄壁杆件的扭转角为
M n sl （式中 s 为截面中线的长度） 4GA 2 t
9．当闭口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最小厚度处。 （√） 10．受扭杆件所受的外力偶矩，经常要由杆件所传递的功率及其转速换算而得。（√） 解析：杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已 知轴传递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
返回主目录
Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
整理课件
24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
整理课件
第八章 扭转问题
第八章 直杆的扭转 Torsion of Bar
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
工程力学--第八章_圆轴的扭转
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
混凝土结构中的受扭构件
8.1 概 述
第八章 受扭构件
8.2 纯扭构件的开裂扭矩
一、开裂前后的受力性能 1、开裂前，钢筋混凝土纯扭构件的受力与弹性扭转理 论基本吻合； 2、开裂前，受扭钢筋的应力很低，可忽略钢筋的影响； 3、开裂前，矩形截面受扭构件截面上的剪应力分布见 下页图，最大剪应力tmax发生在截面长边中点； 4、（开裂前，主拉应力和主压应力迹线沿构件表面成 螺旋型，且构件侧面的主拉应力和主压应力相等；） 5、当主拉应力达到混凝土抗拉强度时，在构件的某个 薄弱部位形成裂缝，裂缝沿主压应力迹线迅速延伸； 6、对于素混凝土构件，开裂会迅速导致构件破坏，破 坏面呈一空间扭曲曲面。
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
8.1 概 述 一、受扭构件的概念
截面上有扭矩作用，且扭矩值不可忽略的构件。
二、受扭构件的分类（按引起扭转的原因分类）
平衡扭转和协调扭转（亦称约束扭转）
8.1 概 述
第八章 受扭构件
1、平衡扭转
（1）平衡扭转的概念
构件中的扭矩由荷载直接引起，其值可由平衡条件直接求出。 该类扭转称平衡扭转。
h
b
hw
（2）Wtw、 W’tf、 Wtf的计算
hf
bf
b Wtw (3h b) Wtf (b f b) 6 2
2
h2 f
Wtf
hf 2 2
(bf b)
▲翼缘宽度应满足bf' ≤b+6hf' 及bf ≤b+6hf的条件，且hw/b≤6。
8.2 开裂扭距
第八章 受扭构件
f yv Ast1 Tu 0.35 1.2 z Acor ftWt sf tWt
f yv Ast1
z
f yv Ast1 sf tWt
第八章 受扭构件
8.2 纯扭构件的开裂扭矩
一、开裂前后的受力性能 1、开裂前，钢筋混凝土纯扭构件的受力与弹性扭转理 论基本吻合； 2、开裂前，受扭钢筋的应力很低，可忽略钢筋的影响； 3、开裂前，矩形截面受扭构件截面上的剪应力分布见 下页图，最大剪应力tmax发生在截面长边中点； 4、（开裂前，主拉应力和主压应力迹线沿构件表面成 螺旋型，且构件侧面的主拉应力和主压应力相等；） 5、当主拉应力达到混凝土抗拉强度时，在构件的某个 薄弱部位形成裂缝，裂缝沿主压应力迹线迅速延伸； 6、对于素混凝土构件，开裂会迅速导致构件破坏，破 坏面呈一空间扭曲曲面。
第八章 受扭构件
第八章 受扭构件
8.1 概 述 一、受扭构件的概念
截面上有扭矩作用，且扭矩值不可忽略的构件。
二、受扭构件的分类（按引起扭转的原因分类）
平衡扭转和协调扭转（亦称约束扭转）
8.1 概 述
第八章 受扭构件
1、平衡扭转
（1）平衡扭转的概念
构件中的扭矩由荷载直接引起，其值可由平衡条件直接求出。 该类扭转称平衡扭转。
h
b
hw
（2）Wtw、 W’tf、 Wtf的计算
hf
bf
b Wtw (3h b) Wtf (b f b) 6 2
2
h2 f
Wtf
hf 2 2
(bf b)
▲翼缘宽度应满足bf' ≤b+6hf' 及bf ≤b+6hf的条件，且hw/b≤6。
8.2 开裂扭距
第八章 受扭构件
f yv Ast1 Tu 0.35 1.2 z Acor ftWt sf tWt
f yv Ast1
z
f yv Ast1 sf tWt
08a纯扭构件的扭曲承载力计算
（三）圆轴扭转的剪应力
Mk
Jp
截面极惯性矩（圆截面）
J p
2dF
d 2
2
3d
dБайду номын сангаас
4
0
32
截面极惯性矩（环截面）
(D4 d 4)
Jp
32
（三）圆轴扭转的剪应力
Mk
Jp
max
M k max
Jp
截面抗扭系数 强度条件
Wp
Jp
max
max
M K max Wp
[ ]
（四）矩形截面扭转的剪应力
1、矩形截面构件的开裂扭矩
（1）弹性分析方法
若混凝土为弹性材料，构件 截面上的剪应力分布如图所示。 最大扭剪应力τ 及最大主应力
max
均发生在长边中点，与该点剪应 力相对应的主拉应力和主压应力 分别与构件轴线成450方向。
在钢筋混凝土结构中，大多数情况下都是处于弯矩、 剪力和扭转共同作用下的复合受力状态。如下图所示：
（一）受扭构件的类型
平衡扭转：静定的 受扭构件，由荷载 产生的扭矩是由构 件的静力平衡条件 确定而与受扭构件 的扭转刚度无关的， 称为平衡扭转 。
（一）受扭构件的类型
协调扭转 ：对于超 静定受扭构件，作 用在构件上的扭矩 除了静力平衡条件 以外，还必须由相 邻构件的变形协调 条件才能确定的， 称为协调扭转。
2、钢筋混凝土矩形截面纯扭构件的受力性能
2、钢筋混凝土矩形截面纯扭构件的受力性能
钢筋棍凝土受扭试件的破坏展开图
2、钢筋混凝土矩形截面纯扭构件的受力性能
扭矩达到一定值时， 某一条螺旋形裂缝形成主 裂缝，与之相交的纵筋和 箍筋达到屈服强度，截面 三边受拉，一边受压，最 后混凝土被压碎而破坏， 可以用变角度空间桁架模 型来进行受力。
扭矩、扭矩图
AB T L / GIP
GI P称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 27
例2.
空心圆轴如图，已知MA=150N· m，MB=50N· m MC=100N· m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大切应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
MA
8
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。 解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 9 n 700
A
f22
2) 计算各段应力:
f24
MA
f18
MB
MC
C
BC段： N-mm-MPa单位制
A
1000
B
1000
t max 2
T2 T2 3 pD2 d WT 2 [1 ] 16 D2
3
T /N· m
150
100 B C
100 10 16 3 4 86.7MPa 22 p[1 - (18 / 22) ]
13
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8.3.1 圆轴扭转的应力公式
1. 变形几何条件
变形前
变形后
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性 转动角df，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。
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图8-10
• 四、剪切变形能 • 如拉伸一样,当纯剪切时变形物体要储存变 形能。如图8-11(a),(b),假定微体的左右面 由于剪应力发生相对错动,力τ dyt在位移 γ dx上所做的功等于微体储存的变形能。因 为力的变化与位移成正比,所以,它的功等
• 于τ dy·t·γ dx之半,于是在弹性范围内有 • 单位体积的变形能 • 根据虎克定律 • 所以
• 1)各纵向线倾斜了同一微小角度γ ,矩形歪 斜成平行四边形； • 2)各圆周线的形状、大小和间距不变,只是 各圆周线绕杆轴线转动了不同的角度。
图8-5
图8-6
• 剪应力τ 的大小,由均匀分布的内力矩与外 力偶矩的平衡条件来确定,其计算公式为
• 此即薄壁圆筒的扭转剪应力公式。
图8-7
• 下面讨论圆筒的扭转变形,设圆筒两端截面 的相对扭转角为φ(见图8-8),因为 • 所以
• GIP反映了截面抵抗扭转变形的能力,称为截 面的抗扭刚度。 • §8-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度 条件 • 一、圆轴扭转时的破坏现象
• 1.塑性材料如低碳钢在受扭过程中先是屈 服,如继续增大载荷,试件将沿横截面破坏。 • 2.铸铁试件在受扭过程中,变形始终很小, 试件沿与轴线成45°的螺旋面破坏。
•即
• 上式表明：在互相垂直的两个平面上,剪应 力必然成对存在,且数值相等；二者都
• 垂直于两平面的交线,其方向则共同指向 或共同背离两平面的交线,这种关系称为剪 应力互等定理。在图8-9所示微体的四个侧 面上,只存在剪应力而无正应力,这种受力 状态称为纯剪切。 • 三、剪切虎克定律 • 薄壁圆筒的扭转实验表明(图8-10),当剪应 力不超过材料的比例极限τ p时,剪应力τ 与 剪应变γ 成正比,即
• 所以,外力偶矩所做的功
•将
代入上式
• 于是得到扭转时的变形能为
• *§8-7 扭转超静定问题
• 杆在扭转时,若杆支座反力偶或杆横截面的 扭矩,仅用静力方程不能求得时,这样的问 题称为扭转超静定问题。 • 扭转超静定问题的解法与拉压超静定的解 法相同,即除了根据静力平衡条件列出静力 方程外,还要由变形谐调条件建立变形几何 方程,并利用扭矩与扭转角的物理关系,代 入变形几何方程以得到补充方程,静力平衡 方程与补充方程联立求解而得到所有的未 知数。
• 式中θ
max和[θ
]的单位为度/米(°/m)。
• 图8-21
• *§8-6 圆轴扭转时的变形能
• 当轴扭转时,轴内将积蓄变形能。扭转实验 表明,在弹性范围内受扭圆轴端面的扭转角 φ与外力偶矩m成正比。如图8-22所示,当等 截面圆轴承受的外力偶矩从零逐渐增到m时, 其扭转角也从零增加到φ。
图8-22
• 称u为纯剪切比位能(或能密度)。
• §8-4 圆轴扭转时的应力与变形计算
• 一、圆轴扭转时横截面上的应力与变形计 算 • 1.变形方面
图8-12
1)各圆周线绕轴线相对地转了一个角度,但大 小形状和两圆周线之间的距离不变；2)在 小变形的情况下,各纵向线仍近似为一条直 线,只是倾斜了同一个微小角度γ ,变形前 轴表面的方格,扭歪成菱形。圆轴右端相对 于左端截面绕轴线转过的角度φ称为扭转角, 以弧度表示。 • 用相邻两截面截出dx微段,然后再用半径为 ρ 与ρ +dρ 的两个圆柱的两个柱面从微段 中截出一个圆环,如图8-13所示。
• 对脆性材料［τ ］=(0.8～1.0)［σ ］ • 二、圆轴扭转的强度条件
• 为了保证圆轴扭转时不发生破坏,要求它在 工作时危险截面上的最大工作剪应力τ max不
• 超过材料的许用扭转剪应力[τ ],所以扭转 强度条件为
图8-19
• 三、圆轴扭转的刚度条件
• 在生产中要限制轴产生过大的扭转变形。 扭转变形过大,将会引起较大的扭转振动, 影响机器的正常运转和工件的加工质量。 为了保证轴的刚度,通常规定轴的最大单位 长度扭转角θ max不超过许用扭转角[θ ],即 刚度条件为
• 规定为负。因此,同一截面左右两侧的扭矩, 不但数值相等,而且符号相同。 • 3)扭矩图 • 为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律, 可用横坐标表示截面位置,纵坐标表示各截 面扭矩的大小,按适当比例尺绘出扭矩图, 以便确定最大扭矩数值及危险截面。
• §8-3 薄壁圆筒的扭转纯剪切
• 一、薄壁圆筒扭转时横截面上的应力
•第八章 扭转 •§8-1 概述
图8-1
• 扭转变形的受力特点和变形特点是： • 1)受力特点：在直圆杆的两端,在垂直于杆 轴的平面内,有大小相等、方向相反的力偶 作用；
图8-2
• 2)变形特点：杆上各横截面均绕杆的轴线 发生相对转动,杆件表面的纵线倾斜成γ 角, 如图8-2所示。
• §8-2 外力偶矩与扭矩的计算扭矩图 • 一、功率、转速和外力偶矩之间的关系
• 图8-13 图8-14 • 在受扭时,环的右端面相对左端面转了一个 角度dφ,同时柱的母线AB旋转了一个角度 γ ρ 并达到AB′位置。因为
• 所以 • 式中 表示转角的变化率,即单位长度的 扭转角,对同一截面 为一常数,以θ 表示, 则
• 所以,任意点的剪应变γ ρ 与该点到圆心的 距离成正比,此即剪应变的分布规律。 • 2.物理方面
• 根据剪切虎克定律,横截面上距圆心为ρ 的 任意点处的剪应力为
• 即横截面上任意点的剪应力τ ρ 与该点到圆 心的距离成正比,这是剪应力的分布规律, 如图8-15所示。当ρ =R时,τ =τ max 即横截 面上周边各点的剪应力最大。
图8-15
3.静力方面
• 取微分面积dA(图8-14),则微内力矩dm= ρ τ ρ dA,整个截面上的内力所组成的内力偶 矩即扭矩 • 积分 是与圆面积有关的几何量,称为圆 截面的极惯性矩,以IP表示
• *§8-8 矩形截面杆扭转的概念
图8-24
• (1)横截面的剪应力和周边相切
图8-25
图8-26
• (2)在4个棱角上的剪应力为零,同理可证 τ B1=τ B2 =0。 • (3)最大剪应力τ max发生在长边的中点A处, 而在短边中点B处τ 1也有相当大的数值
• 式中α ,γ 是与 有关的系数,h和b分别代 表矩形长边和短边的长度。 • 杆的单位长度扭转角
• 如由试验测出扭转角φ ,则由上式可求剪应 变γ 。
图8-8
图8-9
• 二、纯剪切及剪应力互等定理 • 如果从圆筒上取出表面尺寸分别为dx,dy,厚 度为t的微体(图8-9)。在微体的右侧面上有 剪应力τ ,则由静力平衡条件可知,左侧
面上也一定有剪应力τ ,与右侧面上的剪应 力大小相等方向相反,构成一矩为 (τ tdy)×dx的力偶,但微体是平衡的,故上 下两面也有大小相等方向相反的剪应力 τ ′,构成一个矩为(τ ′tdx)×dy的反力 偶,由 •得
• 在工程计算中,作用在轴上的外力偶矩通常 不是直接给出的,而是给出轴所传递的功率 N(kW)和轴的转速n(r/min),因此应将已知 的功率和转速换算成外力偶矩,其计算公式 为
• 二、扭矩和扭矩图
• 1)扭转时的内力——扭矩
图8-3
• 外力偶矩确定以后,就可用截面法计算横截 面上的内力,设有一轴,在垂直于该轴线的 平面内作用有大小相等方向相反的外力偶, 轴处于平衡状态,如图8-3所示。
• 假想用任意截面将轴切开,取出一段来进行 分析,例如取A部分为研究对象。为了与外力 偶矩m平衡,在截面1—1处必有力偶矩Mn存在, 根据平衡条件 就得到
• Mn称为截面1—1上的扭矩。 • 2)扭矩的符号 • 为了讨论方便,需要定出扭矩的符号：用右 手螺旋定则决定,如用右手的四指弯向表示 扭矩的转向,拇指的指向与截面的外法线方 向一致时,规定该扭矩为正(图8-3),反之,
• 式中β 也是与 有关的系数,α ,β ,γ 可由 表8-1中查取。
坏的标志仍 为屈服或断裂。试件扭转屈服时横截面的 最大剪应力称为扭转屈服应力,用τ s表示； 试件扭断时横截面的最大剪应力称为
扭转强度极限,以τ b表示。τ s,τ b称为扭转 的极限应力,并用τ °表示。将其除以安全 系数n,就得到材料的许用扭转剪应力 • 在静载荷作用下,许用扭转剪应力[τ ]与许 用拉应力[σ ]存在如下关系： • 对塑性材料［τ ］=(0.5～0.6)［σ ］
• 由此得
• 于是横截面上的剪应力
• 当ρ =R时,即在横截面边缘处,剪应力最大
• 引用记号 •则
• Wn 称为抗扭截面模量,它是一个只与截面形 状尺寸有关的量,对实心圆轴(图8-16)
• 对于空心圆轴
• 式中
图8-16
图8-17
• 二、圆轴扭转时的变形计算 抗扭刚度
• 扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相 对转角。由 可知,相距dx的两个横 截面间的相对扭转角为