2014届高三数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性

课时跟踪检测(七) 函数的奇偶性与周期性1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ∈R2．(2011·陕西高考)设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )3．(2012·福建高考)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数4．(2013·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.125．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减少的，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增加的B ．减少的C ．先增后减的D ．先减后增的6．(2012·吉林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)，x 2＋x (x ≤0)，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．8．设函数f (x )与g (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，则f (x )的解析式为__________，g (x )的解析式为________．9.(2013·安徽“江南十校”联考)定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图像如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．1．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．{x |－3<x <0，或x >3} B ．{x |x <－3，或0<x <3} C ．{x |x <－3，或x >3} D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}2．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 3．设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M (M ⊆D )，有x ＋l ∈D ，且f (x ＋l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数．(1)如果定义域为[－1，＋∞)的函数f (x )＝x 2为[－1，＋∞)上的m 高调函数，求m 的取值范围．(2)如果定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝|x －a 2|－a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围．答 案课时跟踪检测(七)A 级1．A2．选B 由f (－x )＝f (x )知f (x )是偶函数，由f (x ＋2)＝f (x )知f (x )是周期为2的函数，再结合图像可知B 正确．3．选C 若x 为无理数，则x ＋1也是无理数，故有D (x ＋1)＝0＝D (x )；若x 为有理数，则x ＋1也是有理数，故有D (x ＋1)＝1＝D (x )．综上，1是D (x )的周期，故D (x )不是周期函数的结论是错误的，应选C.4．选A 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 5．选D 由f (x )在[－1,0]上是减少的，又f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增加的．由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )，故2是函数f (x )的一个周期． 结合以上性质，模拟画出f (x )部分图像的变化趋势，如下图．由图像可以观察出，f (x )在[1,2]上是减少的，在[2,3]上为增加的．6．选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数． 画出h (x )的图像可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数． 7．解析：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－f (－x )＝－lg(－x )，f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，lg x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－lg (－x )>0，⇒x ∈(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)8．解析：∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，且g (－x )＝－g (x )． 而f (x )＋g (x )＝1x －1， 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1， 即f (x )－g (x )＝1－x －1＝－1x ＋1， ∴f (x )＝1x 2－1，g (x )＝xx 2－1.答案：f (x )＝1x 2－1 g (x )＝xx 2－19．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图像，如图所示，注意到y ＝f (x )的图像与直线y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23和⎝⎛⎭⎫－23，－23，结合图像可知，f (x )>x 的解集为－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23 答案：⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23 10．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 11．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2， f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． 故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1， 这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是增加的．12．解：(1)证明：由函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )， 即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )． 故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0， 故x ∈[－1,0]时， f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4. 从而，x ∈[－5，－4]时， 函数f (x )＝－－x －4.B 级1．选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>f (－3)或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<f (3)， 所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．2．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－103．解：(1)f (x )＝x 2(x ≥－1)的图像如图①所示，要使f (－1＋m )≥f (－1)，只要m ≥2；此时x ≥－1时，恒有f (x ＋m )≥f (x )，所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)；(2)由f (x )为奇函数及x ≥0时的解析式知f (x )的图像如图②所示，∵f (3a 2)＝a 2＝f (－a 2)，由f (－a 2＋4)≥f (－a 2)＝a 2＝f (3a 2)， 得－a 2＋4≥3a 2，从而a 2≤1， 又a 2≤1时，恒有f (x ＋4)≥ f (x )，故a 2≤1即可．所以实数a 的取值范围为[－1,1]．。