2015-2016年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(文科)和解析PDF
D．﹣4﹣i
6． （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f（x）单调递减， 若 x1+x2＞0，则 f（x1）+f（x2）的值（ A．恒为负值 C．恒为正值 ） B．恒等于零 D．无法确定正负
7． （5 分）四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求 得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与 x 负相关且 ＝2.347x﹣6.423； ②y 与 x 负相关且 ＝﹣3.476x+5.648； ③y 与 x 正相关且 ＝5.437x+8.493； ④y 与 x 正相关且 ＝﹣4.326x﹣4.578． 其中一定不正确的结论的序号是（ A．①② B．②③ ） C．③④ D．①④
由表中数据，得到线性回归方程 ＝﹣2x+ （ ∈R） ，由此估计山高为 72km 处气 温的度数是（ A．﹣10 ） B．﹣8 C．﹣6 ） D．﹣4
11． （5 分）已知 z1，z2，z3∈C，下列结论正确的是（ A．z12+z22+z32＝0，则 z1＝z2＝z3＝0 B．z12+z22+z32＞0，则 z12+z22＞﹣z32 C．z12+z22＞﹣z32，则 z12+z22+z32＞0 D．
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）
B．方程 x3+ax+b＝0 至多有一个实根 C．方程 x3+ax+b＝0 至多有两个实根 D．方程 x3+ax+b＝0 恰好有两个实根 10． （5 分）登山族为了了解某山高 y（km）与气温 x（°C）之间的关系，随机 统计了 4 次山高与相应的气温，并制作了对照表如下： 气温（0C） 山高 （km） 18 24 13 34 10 38 ﹣1 64
A． （10，1）
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13． （5 分）已知 f（x）＝ ，x≥0，若 f1（x）＝f（x） ，fn+1（x）＝f（fn（x） ） ， ． ．
n∈N+，则 f2016（x）的表达式为
14． （5 分）已知 0＜a＜2，复数 z＝a+i 的模的取值范围是
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1． （5 分）i 为虚数单位， （ A．1 B．﹣1 ）2＝（ ） C．i D．﹣i
2． （5 分）在一组样本数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn） （n≥2，x1，x2，…， xn 不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi） （i＝1，2，…，n）都在直 线 y＝ x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（ A．﹣1 B．0 C． ） D．1 ） D．27
3． （5 分）数列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 值为（ A．28 B．32 C．33
4． （5 分）对变量 x、y 有观测数据（xi，yi） （i＝1，2，…，10） ，得散点图 1； 对变量 u，v 有观测数据（ui，vi） （i＝1，2，…，10） ，得散点图 2．由这两个 散 点 图 可 以 判 断 （ ）
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2015-2016 学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（文科）
15． （5 分）给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的 x 的值与输出的 y 的 值相等，则 x 的可能值的个数为 ．
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16． （5 分）对一个边长为 1 的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成 3×3 方格，接着用中心和四个角的 5 个小正方形，构成如图①所示的几何图形， 其面积 S1＝ ；第二步，将图①的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与 第一步相同的操作，得到图 ② ；依此类推，到第 n 步，所得图形的面积 ．若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中，则到第 n 步，所得 几何体的体积 Vn＝ ．
8． （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 t∈[﹣2，2]，则输出的 S 属于 （ ）
A．[﹣6，﹣2]
B．[﹣5，﹣1]
C．[﹣4，5]
D．[﹣3，6]
9． （5 分）用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3+ax+b＝0 至少有一个 实根”时，要做的假设是（ A．方程 x3+ax+b＝0 没有实根
三、简答题： （本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤) 17． （10 分）复数 z1＝ 求实数 a 的值．
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+（10﹣a2）i，z2＝
+（2a﹣5）i，若
+z2 是实数，
18． （12 分）已知函数 f（x）＝
，
（1）f（0）+f（1） ，f（﹣1）+f（2） ，f（﹣2）+f（3）的值； （2）归纳猜想一般性的结论，并证明之． 19． （12 分）某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人．为 调查该校学生每周平均体育运动时间的情况， 采用分层抽样的方法， 收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时） ． （1）应收集多少位女生的样本数据？ （2）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方 图（如图所示） ，其中样本数据的分组区间为：[0，2]， （2，4]， （4，6]， （6， 8]， （8，10]， （10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的 概率． （3）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成 每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有 95%的把握认为“该校 学生的每周平均体育运动时间与性别有关” ． P（K2≥k0） k0 附：K2＝ 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 ． 0.005 7.879
＝﹣z1（ 为复数 z 的共轭复数） ，则 z1 纯虚数．
12． （5 分）已知整数以按如下规律排成一列： （1，1） 、 （1，2） 、 （2，1） 、 （1，3） 、 （2，2） ， （3，1） ， （1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1） ，…，则第 60 个数对 是（ ） B． （2，10） C． （5，7） D． （7，5）
A．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B．变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D．变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 5． （5 分）设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则 z1z2＝ （ ）
南阳市年高二下期中质量评估数学试题(理)有答案
2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(x f x e x x R =-+∈）得()2xf x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分） 而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQa x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分） （Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分） 如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+， 所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期终质量评估数学(文)试题(扫描版)
2015年秋期高中二年级期终质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．A 8. D 9. B 10．D 11．A 12．C二、填空题13．7 14．1 15．16. 1(,1)4三、解答题17．解析：(1)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩. 解得,111,2a d ==. ……………4分所以{}n a 的通项公式为12n n a +=.…………5分 (2)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, ……7分 所以2222222()()()122311n n S nn n =-+-++-=++ . …………10分 18．解析：(1)由已知条件得cos 2A ＋3cos A ＝1，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，………4分解之得cos A ＝12 (cos A ＝－2舍去)，由000180A <<得A ＝60°,∴角A 的大小为60°……6分(2)由面积公式S ＝12bcsin A ＝53，及b ＝5得c ＝4.………………………………8分根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 得a 2＝21.又因为正弦定理中a sin A ＝2R ，所以(2R)2＝a 2sin 2A ＝28.………………………………10分由正弦定理可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，∴sin Bsin C ＝bc 4R 2＝57.∴sin Bsin C 的值为57.………………………12分19．解析：(1)若a ＝1，则f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x>0)．………………2分当x ∈(0,1)，f ′(x)>0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当x ∈(1，＋∞)，f ′(x)<0时，函数f(x)＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……………6分 (2)f ′(x)＝3a －4x ＋1x，若函数f(x)在区间[2,4]上为单调递增函数，即在区间[2,4]上，f ′(x)＝3a －4x ＋1x ≥0，即3a －4x ＋1x ≥0在[2,4]上恒成立．………8分即3a ≥4x －1x . 令h(x)＝4x －1x ，因为函数h(x)在[2,4]上单调递增， 所以()()max 6344h x h ==， 即3a ≥634，…………10分 解之得4021a <≤,∴实数a 的取值范围为4|021a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.…………………………………………12分20．解析：(1)∵F(1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1），…………………………1分设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由22(1)4y x y x =-⎧⎨=⎩得x 2－3x ＋1＝0，………3分 ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1. …………4分 ∴|AB|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 25. ∴|AB|的大小为5………………6分 (2)证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得y 2－4my －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4…………10分 OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＋y 1y 2 ＝m 2y 1y 2＋m(y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4m 2＋4m 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →是一个定值．……………12分 21. 解析：(1)f ′(x)＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a.曲线y ＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－1，所以a ＝2 …………………4分(2)证明：由(1)知，f(x)＝x 3－3x 2＋2x ＋2. 设g(x)＝f(x)－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(2－k)x ＋4.由题设知2－k>0. 当x ≤0时，g ′(x)＝3x 2－6x ＋2－k>0，g(x)单调递增， g(－1)＝k －2<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根． …………………8分 当x>0时，令h(x)＝x 3－3x 2＋4， 则g(x)＝h(x)＋(2－k)x>h(x)．h ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增， 所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根． ………………………………………11分 综上，g(x)＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个 交点． ……………………………………………………………………12分 22．解析：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，F(c,0)，则c ＝1，因为AF →·FB →＝(a ＋c)(a －c)＝a 2－c 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，则椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.……………………………4分(2)假设存在直线l 符合题意，由题意知k MF ＝1－00－1＝－1，故可设直线l 的方程为：y ＝x ＋n ， 代入x 22＋y 2＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－2＝0，则Δ＝16n 2－24(n 2－1)＞0，解得n 2＜3. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－43n ，x 1x 2＝2n 2－23， …………………………………………8分FP →·MQ →＝(x 1－1，y 1)·(x 2，y 2－1)＝(x 1－1)x 2＋(y 2－1)y 1＝2x 1x 2＋(n －1)(x 1＋x 2)＋n 2－n ＝0，即3n 2＋n －4＝0，……………………………………………………………………10分解得n ＝1或n ＝－43，当n ＝1时，P 或Q 与M 重合，所以n≠1，所以n ＝－43.所以满足题意的直线l 存在，其方程为：y ＝x －43.………………………………12分。
2015-2016学年河南省南阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）对两个变量Y与X进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型Ⅰ的相关系数r为0.96B．模型Ⅱ的相关系数r为0.81C．模型Ⅲ的相关系数r为0.53D．模型Ⅳ的相关系数r为0.352．（5分）复数z＝﹣1+2i ，则复数的虚部是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．（5分）已知两个统计案例如下：①为了探究患慢性支气管炎与吸烟关系，调查了339名50岁以上的人，调查结果如表：②为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得10对母女的身高如下表：，则对这些数据的处理所应用的统计方法是（）A．①回归分析②取平均值B．①独立性检验②回归分析C．①回归分析②独立性检验D．①独立性检验②取平均值4．（5分）用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A．B．C．且D．或5．（5分）已知复数z＝在复平面上所对应的点为P，则点P的坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，0）D．（0，1）6．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+27．（5分）若一直线的参数方程为（t为参数），则此直线的倾斜角为（）A．60°B．120°C．300°D．150°8．（5分）以模型y＝ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x+4，则c＝（）A．0.3B．e0.3C．4D．e49．（5分）直线l：y+kx+2＝0与曲线C：ρ＝2cosθ有交点，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≥﹣C．k∈R D．k∈R但k≠010．（5分）参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A．B．C．D．11．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2B．0.2，0.8C．0.8，0.2D．0.8，0.8 12．（5分）对于函数y＝e x，曲线y＝e x在与坐标轴交点处的切线方程为y＝x+1，由于曲线y＝e x在切线y＝x+1的上方，故有不等式e x≥x+1．类比上述推理：对于函数y＝lnx（x ＞0），有不等式（）A．lnx≥x+1（x＞0）B．lnx≤1﹣x（x＞0）C．lnx≥x﹣1（x＞0）D．lnx≤x﹣1（x＞0）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．14．（5分）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x＝3，则输出的x的值是15．（5分）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为．16．（5分）在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n＝20，则其中的n＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设复数Z＝lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，试求m取何值时（1）Z是实数；（2）Z是纯虚数；（3）Z对应的点位于复平面的第一象限．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角．（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程．（2）设l与圆C相交于A、B两点，求|P A|•|PB|的值．19．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得x i＝80，y i＝20，x i y i＝184，＝720．（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx+a中，b＝，a＝﹣b，其中，为样本平均值．20．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．概率表21．（12分）已知某圆的极坐标方程是ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6＝0求：（1）求圆的普通方程和一个参数方程；（2）圆上所有点（x，y）中xy的最大值和最小值．22．（12分）我们知道，等差数列和等比数列有许多性质可以类比，现在给出一个命题：若数列{a n}、{b n}是两个等差数列，它们的前n项的和分别是S n，T n，则（1）请你证明上述命题；（2）请你就数列{a n}、{b n}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，A相关系数的绝对值约接近1，∴A拟合程度越好．故选：A．2．【解答】解：∵复数z＝﹣1+2i，∴复数＝﹣1﹣2i，∴复数的虚部是﹣2，故选：D．3．【解答】解：∵①中两个变量是定性变量（或称分类变量），②中两个变量是两个定量变量，∴对这些数据的处理所应用的统计方法是：①独立性检验②回归分析故选：B．4．【解答】解：∵＞的反面是≤，即＝或＜．故选：D．5．【解答】解：∵＝，∴点P的坐标为（1，0），故选：A．6．【解答】解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C．7．【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．参数方程消去t化为普通方程为：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），∴斜率k＝﹣＝tanθ，∴θ＝120°．故选：B．8．【解答】解：∵y＝ce kx，∴两边取对数，可得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.3x+4，∴lnc＝4，∴c＝e4．故选：D．9．【解答】解：由曲线C：ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，∴x2+y2＝2x，联立，化为（1+k2）x2+（4k﹣2）x+4＝0．∵直线l与曲线C由交点，∴△＞0．∴（4k﹣2）2﹣16（1+k2）≥0，化为16k≤﹣12，解得．∴k的取值范围是：．故选：A．10．【解答】解：∵，∴x与y同号（t＝±1除外），将代入消掉参数t得：x2+y2＝1（xy≥0，x≠0）；故选：D．11．【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a＝﹣1.2+1＝﹣0.2，第2次判断后循环，a＝﹣0.2+1＝0.8，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a＝0.8；第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a＝1.2﹣1＝0.2，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a＝0.2；故选：C．12．【解答】解：由题意得，y′＝lnx＝，且y＝lnx图象与x轴的交点是（1，0），则在（1，0）处的切线的斜率是1，∴在（1，0）处的切线的方程是y＝x﹣1，∵切线在y＝lnx图象上方（x＞0），∴x﹣1≥lnx（x＞0），故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．14．【解答】解：∵x＝3，∴＝6，∵6＜100，∴当x＝6时，＝21＜100，∴当x＝21时，＝231＞100，停止循环则最后输出的结果是231，故答案为：231．15．【解答】解：消去参数θ得，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1而ρ＝1，而ρ2＝x2+y2，则直角坐标方程为x2+y2＝1，点A在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上，点B在圆x2+y2＝1上则|AB|的最小值为5﹣1﹣1＝3故答案为：316．【解答】解：＝（9+9.5+m+10.5+11）＝（40+m），＝（11+n+8+6+5）＝（30+n）∵其线性回归直线方程是：，∴（30+n）＝﹣3.2×（40+m）+40，即30+n＝﹣3.2（40+m）+200，又m+n＝20，解得m＝n＝10故答案为：10．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）当复数的虚部m2+3m+2＝0 且m2﹣2m﹣2＞0时，即m＝﹣1，或m ＝﹣2时，复数表示实数．（2）当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示实数．由lg（m2﹣2m﹣2）＝0，且（m2+3m+2）≠0，求得m＝3，或m＝﹣1（舍去），故当m＝3时，复数为纯虚数．（3）由lg（m2﹣2m﹣2）＞0，且（m2+3m+2）＞0时，复数对应的点位于复平面的第一象限．解得m＜﹣2，或m＞3，故当m＜﹣2，或m＞3时，复数对应的点位于复平面的第一象限．18．【解答】解：（1）∵C的参数方程为为参数），利用sin2θ+cos2θ＝1，消去参数可得x2+y2＝16．由于l经过点P（2，2），倾斜角，可得直线l的参数方程．（2）把l的参数方程代入圆的方程x2+y2＝16 可得t2+2（+1）t﹣8＝0，∴t1•t2＝﹣8，∴|P A|•|PB|＝8．19．【解答】解：（1）由题意知n＝10，＝＝8，＝＝2，又﹣n ×2＝720﹣10×82＝80，x i y i﹣n＝184﹣10×8×2＝24，由此得b ═＝0.3，a＝2﹣0.3×8＝﹣0.4，故所求回归方程为＝0.3x﹣0.4．…（6分）（2）由于变量y的值随x的值增加而增加（b＝0.3＞0），故x与y之间是正相关．…（9分）（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7﹣0.4＝1.7（千元）．…（12分）20．【解答】解：（1）（2）根据列联表中的数据，得到k2＝≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．事件A 包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个∴P（A）＝＝．21．【解答】解：（1）普通方程：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0…（2分）；参数方程：（θ为参数）…（4分）（2）xy＝（2+cosθ）（2+sinθ）＝4+2（sinθ+cosθ）+2sinθcosθ…（5分）第11页（共12页）令sinθ+cosθ＝t∈[﹣，]，2sinθcosθ＝t2﹣1，则xy＝t2+2t+3…（6分）当t ＝﹣时，最小值是1；…（8分）当t ＝时，最大值是9；…（10分）22．【解答】解：（1）证明：在等差数列{a n}中，a n ＝（n∈N*）那么对于等差数列{a n}、{b n}有：（2）猜想：数列{a n}、{b n}是两个各项均为正的等比数列，它们的前n项的积分别是X n，Y n ，则证明：在等比数列{a n}中，a2n＝a1a2n﹣1＝a2a2n﹣2＝…（n∈N*）a2n﹣1n＝a1a2a3…a2n﹣1（n∈N*）那么对于等比数列{a n}、{b n}有第12页（共12页）。
2015-2016学年高二(下)期中数学试卷(含答案)
2015-2016学年高二（下）期中数学试卷（含答案）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．如果直线y=x+b经过圆x2+y2+4x﹣2y﹣4=0的圆心，则b=( )A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣22．直线x﹣2y+2=0和直线3x﹣y+7=0的夹角是( )A．30° B．60° C．45° D．135°3．设椭圆的焦点为F1、F2，直线L过点F1，且与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为( )A．9 B．16 C．20 D．254．已知A（1，3）、B（4，﹣1）两点，则AB的距离=( )A．5 B．6 C．7 D．45．已知 A（﹣2，3）、B（4，﹣3）两点，则线段AB的中点坐标是( )A．（3，0） B．（2，3） C．（3，3） D．（1，0）二、填空题（每题5分，共40分）6．直线x﹣y﹣1=0的斜率是__________；倾斜角为__________；在y轴上的截距是__________．7．已知直线经过点A（1，2）、B（3，4），则斜率K=__________；倾斜角α=__________．8．如果直线ax﹣2y+1=0和2x﹣ay+3=0平行，则a=__________．9．已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=__________．10．过点A（2，1）且与直线2x+y﹣10=0垂直的直线l的方程是__________．11．椭圆+=1的焦点坐标是__________，长轴长=__________，短轴长=__________，焦距=__________，顶点坐标是__________，离心率e=__________，准线方程是__________．12．以点A（﹣1，2）为圆心，3为半径的圆，方程为__________．三、简答题（每题6分，共36分）13．求平行线L1：2x+3y﹣8=0和L2：2x+3y+18=0的距离．14．圆心在点C（1，3），并且和直线3x﹣4y﹣11=0相切的圆．15．求斜率为3，且和圆x2+y2=4相切的直线方程．16．求经过圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1外的一点P（2，3）向圆所引的切线方程．17．在椭圆中，a=5，b=4，焦点在x轴上，求椭圆方程．18．椭圆焦距为8，离心率e=0.8，求该椭圆的标准方程．一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．如果直线y=x+b经过圆x2+y2+4x﹣2y﹣4=0的圆心，则b=( )A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣2【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，代入直线y=x+b即可得出结论．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+（y﹣1）2=9，则圆心坐标为（﹣2，1），∵直线y=x+b经过圆x2+y2+4x﹣2y﹣4=0的圆心，∴1=﹣2+b，∴b=3，故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆心坐标是关键．2．直线x﹣2y+2=0和直线3x﹣y+7=0的夹角是( )A．30° B．60° C．45° D．135°【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据题意算出两条直线的斜率值，再利用两条直线的夹角公式加以计算，可得夹角的正切值为1，从而得到夹角的大小．【解答】解：∵直线x﹣2y+2=0的斜率k1=，直线3x﹣y+7=0的斜率k2=3，∴设两条直线的夹角为θ，由tanθ=||=1∵0°＜θ＜90°，∴θ=45°即两条直线的夹角等于45°故选：C．【点评】本题给出两条定直线，求它们的夹角大小．考查了直线的位置关系和两条直线的夹角公式等知识，属于基础题．3．设椭圆的焦点为F1、F2，直线L过点F1，且与椭圆相交于A，B两点，则△ABF2的周长为( )A．9 B．16 C．20 D．25【考点】椭圆的简单性质．【专题】整体思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：∵椭圆，则a=5．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|═|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=4〓5=20．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知A（1，3）、B（4，﹣1）两点，则AB的距离=( )A．5 B．6 C．7 D．4【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据两点间的距离公式可直接解答．【解答】解：∵两点A（1，3）、B（4，﹣1），∴A、B两点间的距离是：=5．故选：A．【点评】本题考查了两点间的距离．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用两点间的距离公式．5．已知 A（﹣2，3）、B（4，﹣3）两点，则线段AB的中点坐标是( )A．（3，0） B．（2，3） C．（3，3） D．（1，0）【考点】中点坐标公式．【专题】直线与圆．【分析】根据已知中A，B点的坐标，代入中点坐标公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣2，3）、B（4，﹣3），∴线段AB的中点坐标是（，）=（1，0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是中点坐标公式，难度不大，属于基础题．二、填空题（每题5分，共40分）6．直线x﹣y﹣1=0的斜率是1；倾斜角为45°；在y轴上的截距是﹣1．【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】化直线方程的一般式为斜截式，由此求得直线的斜率，倾斜角以及直线在y轴上的截距．【解答】解：由x﹣y﹣1=0，得y=x﹣1．∴直线x﹣y﹣1=0的斜率是1，倾斜角为45°，在y轴上的截距为﹣1．故答案为：1；45°；﹣1．【点评】本题考查直线的斜率，考查了化直线的一般方程为斜截式方程，是基础题．7．已知直线经过点A（1，2）、B（3，4），则斜率K=1；倾斜角α=．【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用直线的斜率公式代入数值计算即得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得倾斜角．【解答】解：∵直线经过点A（1，2）、B（3，4），∴k==1，∵0≤α＜π，∴α=．故答案为：1；．【点评】本题考查了由直线上的两点求其斜率的问题，考查斜率与倾斜角的关系，是基础题．8．如果直线ax﹣2y+1=0和2x﹣ay+3=0平行，则a=〒2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】直线直线判断的等价条件进行判断即可．【解答】解：若a=0，则两直线方程为﹣2y+1=0，2x+3=0．此时两直线不平行，若a≠0，若两直线平行，则≠，由得a2=4，则a=〒2，满足条件．故答案为：〒2【点评】本题主要考查直线平行的应用，根据系数之间的关系是解决本题的关键．9．已知直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，则a=0或1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．【解答】解：∵直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0与（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0垂直，∴（3a+2）（5a﹣2）+（1﹣4a）（a+4）=0，化简可得a2﹣a=0，解得a=0或a=1故答案为：0或1【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．10．过点A（2，1）且与直线2x+y﹣10=0垂直的直线l的方程是x﹣2y=0．．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由垂直可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线2x+y﹣10=0的斜率为﹣2，由垂直可得所求直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），化为一般式可得x﹣2y=0故答案为：x﹣2y=0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．11．椭圆+=1的焦点坐标是（〒3，0），长轴长=10，短轴长=8，焦距=6，顶点坐标是（〒5，0）；（0，〒4），离心率e=，准线方程是x=．21世纪教育网版权所有【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆+=1可得：a=5，b=4，c==3，即可得出．【解答】解：椭圆+=1可得：a=5，b=4，c==3，于是可得：焦点坐标是（〒3，0），长轴长=2a=10，短轴长=2b=8，焦距=2c=6，顶点坐标是（〒5，0），（0，〒4）离心率e==，准线方程是x=即x=．故答案分别为：（〒3，0）；10；8；6；（〒5，0）；（0，〒4）；；x=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．以点A（﹣1，2）为圆心，3为半径的圆，方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】根据圆心坐标和半径，代入圆的标准方程，可得答案．【解答】解：以点A（﹣1，2）为圆心，3为半径的圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=9，故答案为：（x+1）2+（y﹣2）2=9【点评】本题考查的知识点是圆的标准方程，难度不大，属于基础题．三、简答题（每题6分，共36分）13．求平行线L1：2x+3y﹣8=0和L2：2x+3y+18=0的距离．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】由已知中直线方程，代入平行线距离公式，可得答案．【解答】解：平行线L1：2x+3y﹣8=0和L2：2x+3y+18=0的距离d满足：d==2【点评】本题考查的知识点是平行线间距离公式，难度不大，属于基础题．14．圆心在点C（1，3），并且和直线3x﹣4y﹣11=0相切的圆．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线3x﹣4y﹣11=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程．【解答】解：∵圆心（1，3）到直线3x﹣4y﹣11=0的距离d==4，∴所求圆的半径r=4，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=16．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=r，熟练掌握此性质是解本题的关键．15．求斜率为3，且和圆x2+y2=4相切的直线方程．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】设所求的直线的方程为y=3x+b，根据圆心（0，0）到直线的距离等于半径求得k 的值，可得所求的直线方程．【解答】解：设所求的直线的方程为y=3x+b，即3x﹣y+k=0，则由圆心（0，0）到直线的距离等于半径可得=2，求得k=〒2，故所求的直线方程为3x﹣y〒2=0．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．16．求经过圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1外的一点P（2，3）向圆所引的切线方程．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，当切线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题意；当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，由P的坐标和k表示出切线方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设斜率为k，切线方程为y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3=0，∴圆心到切线的距离d==r=1，解得：k=，此时切线方程为3x﹣4y+6=0，综上，切线方程为x=2或3x﹣4y+6=0．【点评】此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，是高考中常考的题型．本题易漏掉特殊情况导致错误17．在椭圆中，a=5，b=4，焦点在x轴上，求椭圆方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆方程中，由a=5，b=4，焦点在x轴，能够求出椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆方程中，a=5，b=4，焦点在x轴，∴椭圆方程为．【点评】本题考查椭圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．18．椭圆焦距为8，离心率e=0.8，求该椭圆的标准方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求出椭圆的半焦距，结合离心率求出a，则b可求，椭圆的标准方程可求．【解答】解：由题意知，2c=8，c=4，又，得a=5．∴b2=a2﹣c2=25﹣16=9．则椭圆的标准方程为或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础题．。
2016年南阳市高二数学下期末试卷(理有答案和解释)
2016年南阳市高二数学下期末试卷(理有答案和解释）2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分） 1．虚数的平方是（） A．正实数 B．虚数C．负实数 D．虚数或负实数 2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（） A． =0.4x+2.3B． =2x�2.4 C． =�2x+9.5 D． =�0.3x+4.4 4．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（） A． B． C． D． 5．已知X是离散型随机变量，P（X=1）= ，P（X=a）= ，E（X）= ，则D （2X�1）等于（） A． B．� C． D． 6．复数i+2i2+3i3+4i4+…+2016i2016的虚部是（） A．1008 B．�1008 C．1008i D．�1008i 7．（x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60 8．已知X～N（μ，σ2）时，P（μ�σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ�2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ�3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则 dx=（） A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772 9．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（） A． B． C． D． 10．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（） A． B． C． D． 11．从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（） A．96 B．98 C．108 D．120 12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（�3）=0，当x ＞0时，有f（x）�xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（） A．（�∞，�3）∪（0，3） B．（�∞，�3）∪（3，+∞） C．（�3，0）∪（0，3） D．（�3，0）∪（3，+∞）二、填空题（每题5分） 13．已知复数z满足z（1�i）=�1�i，则|z+1|= ． 14．在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）= ． 15．已知f（x）= ，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）= ，f2（x）= ，f3（x）= ，…，照此规律，则fn（x）= ． 16．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：①P（B）= ；②P（B|A1）= ；③事件B 与事件A1不相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为．（把正确结论的序号都填上）三、解答题 17．已知（x +3x2）n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项． 18．已知函数f（x）=�x3+ax在（�1，0）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1∈（�1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an∈（�1，0），并判断an+1与an的大小． 19．3个人坐在一排6个座位上，问：（Ⅰ）3个人都相邻的坐法有多少种？（Ⅱ）空位都不相邻的坐法有多少种？（Ⅲ）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？ 20．甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．（1）求p的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ． 21．某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（Ⅰ）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班 a= b= 50 乙班 c=24 d=26 50 合计 e= f= 100 （Ⅱ）现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：K2= ，其中n=a+b+c+d P（K2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.204 6.635 7.879 10.828 22．设函数f（x）=ex（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（1）求函数f（x），g（x）的解析式；（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）�2（ex+x），试判断函数F（x）的零点个数，并说明理由；（3）若函数f（x）在[t，t+1]（t＞�3）上的最小值为φ（t），解关于t的不等式φ（t）≤4e2．2015-2016学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分） 1．虚数的平方是（）A．正实数 B．虚数 C．负实数 D．虚数或负实数【考点】复数的基本概念．【分析】求出（a+bi）2=a2�b2+2abi，从而得到虚数的平方是虚数或负实数．【解答】解：（a+bi）2=a2+b2i2+2abi=a2�b2+2abi，∵b≠0，∴当a=0时，（a+bi）2是负实数，当a≠0时，（a+bi）2是虚数．∴虚数的平方是虚数或负实数．故选：D． 2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（） A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确【考点】演绎推理的基本方法．【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A． 3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（） A． =0.4x+2.3 B． =2x�2.4 C． =�2x+9.5 D． =�0.3x+4.4 【考点】线性回归方程．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A． 4．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）A． B． C． D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果．【解答】解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，故目标被击中的概率是 1�（1�）（1�）（1�）= ，故选：A． 5．已知X是离散型随机变量，P（X=1）= ，P（X=a）= ，E（X）= ，则D（2X�1）等于（） A． B．�C． D．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出D（X），由此能求出D（2X�1）．【解答】解：∵X是离散型随机变量，P（X=1）= ，P（X=a）= ，E（X）= ，∴由已知得，解得a=2，∴D（X）=（1�）2× +（2�）2× = ，∴D（2x�1）=22D（X）=4× = ．故选：A． 6．复数i+2i2+3i3+4i4+…+2016i2016的虚部是（）A．1008 B．�1008 C．1008i D．�1008i 【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用错位相减法进行求和化简即可．【解答】解：设S=i+2i2+3i3+4i4+…+2016i2016，则iS=i2+2i3+3i4+4i5+…+2016i2017，两式相减得（1�i）S=i+i2+3i3+4i4+…+i2016�2016i2017， = �2016i=�2016i=�2016i，则S= = =1008�1008i，则对应复数的虚部为�1008，故选：B 7．（x2+x+y）5的展开式中，x7y的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60 【考点】二项式定理的应用．【分析】只有当其中一个因式取y，一个因式取x，其余的3个因式都取x2 时，才能可得到含x7y的项，由此得出结论．【解答】解：∵（x2+x+y）5表示5个因式（x2+x+y）的乘积，当只有一个因式取y，一个因式取x，其余的3个因式都取x2，即可得到含x7y的项．故x7y的系数为• • =20，故选：B． 8．已知X～N（μ，σ2）时，P（μ�σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ�2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ�3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，则 dx=（） A．0.043 B．0.0215 C．0.3413 D．0.4772 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由题意可得μ=0，σ=1，求出P（3＜X≤4）= ×[P（�2＜X≤4）�P（�1＜X≤3）]，即可得出结论．【解答】解：由题意，μ=1，σ=1， P（3＜X≤4）= ×[P（�2＜X≤4）�P（�1＜X≤3）]= ×（0.9974�0.9544）=0.0215，故选：B． 9．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象；导数的几何意义．【分析】先根据函数y=f（x）的图象可知函数在区间（�∞，0），（0，+∞）上都是单调减函数，可知导函数y=f'（x）在区间（�∞，0），（0，+∞）上的值小于0，然后得出它的导函数的性质即可直接判断．【解答】解析：由f（x）的图象及f'（x）的意义知，在x＞0时，f'（x）为单调递增函数，且f'（x）＜0；在x＜0时，f'（x）为单调递减函数且f'（x）＜0．故选D． 10．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（） A． B． C． D．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125�（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）= ；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）= ；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）= ．④由以上可知：还剩下125�（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）= ． X 0 1 2 3 P故X的分布列为因此E（X）= = ．故选B． 11．从6名身高不同的同学中选出5名从左至右排成一排照相，要求站在偶数位置的同学高于相邻奇数位置的同学，则可产生不同的照片数为（） A．96 B．98 C．108 D．120 【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，首先计算从6个人中选取5人的情况数目，进而按照选出5人的身高与所站位置的不同分2种情况讨论：1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，分别求出每一种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6个人中选取5人，有C65=6种取法，进而分2种情况讨论： 1、若从五人中的身高是前两名排在第二，四位，则这5个人的排法有A22×A33=12种，则此时有6×12=72种方法； 2、若第一高排在2号第二高排在1号，第三高排在4号，或第一高排在4号第二高在5号，第三高在2号，则此时有2×C65+2×C65=24种方法；则一共有72+24=96种排法；故选：A． 12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（�3）=0，当x＞0时，有f（x）�xf′（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（） A．（�∞，�3）∪（0，3） B．（�∞，�3）∪（3，+∞） C．（�3，0）∪（0，3） D．（�3，0）∪（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算．【分析】构造函数g（x）= ，求函数的导数，以及函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式f（x）＞0转化为g（x）＞0或g（x）＜0进行求解即可．【解答】解：设g（x）= ，则g′（x）= ，∵当x＞0时，有f（x）�xf′（x）＞0成立，∴当x＞0时，有xf′（x）�f（x）＜0成立，即此时g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，∵f（x）是定义在R上的奇函数且f（�3）=0，∴f（3）=0，且g（x）是偶函数，g（3）=g（�3）=0，当x＞0时，f（x）＞0等价为g（x）＞0，即g（x）＞g（3），得0＜x＜3，当x＜0时，f（x）＞0等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（�3），此时函数g（x）增函数，得x＜�3，综上不等式f（x）＞0的解集是（�∞，�3）∪（0，3），故选：A．二、填空题（每题5分） 13．已知复数z满足z（1�i）=�1�i，则|z+1|= ．【考点】复数求模．【分析】设出z=a+bi，求出a，b的值，从而求出|z+1|的值即可．【解答】解：设z=a+bi，∵z（1�i）=�1�i，∴（a+bi）（1�i）=a+b+（b�a）i=�1�i，∴ ，解得：，∴z=�i，则|z+1|=|1�i|= ，故答案为：． 14．在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出甲投中蓝的次数X的数学期望．【解答】解：由题意得X的可能取值为0，1，2，3， P （X=0）=（1�）4= ， P（X=1）= = ， P（X=2）= = ， P（X=3）=1�（）= ，∴EX=0× = ．故答案为：． 15．已知f（x）= ，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N*．经计算f1（x）= ，f2（x）= ，f3（x）= ，…，照此规律，则fn（x）= ．【考点】归纳推理．【分析】由已知中定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N*．结合f1（x）= ，f2（x）= ，f3（x）= ，…，分析出fn（x）解析式随n变化的规律，可得答案．【解答】解：∵f1（x）= = ， f2（x）= = ， f3（x）= = ，…，由此归纳可得：fn（x）= ，故答案为： 16．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：①P（B）= ；②P（B|A1）= ；③事件B与事件A1不相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，其中正确结论的序号为②③④．（把正确结论的序号都填上）【考点】概率的基本性质．【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析五个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则P（B）= + + = ≠ ，故①⑤错误；②P（B|A1）= ，正确；③事件B与事件A1不相互独立，正确；④A1，A2，A3是两两互斥的事件，正确；故答案为：②③④ 三、解答题 17．已知（x +3x2）n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．【考点】二项式系数的性质．【分析】（1）由题意可得 4n�2n=992，求得n的值，可得展开式中二项式系数最大的项．（2）利用通项公式求得第r+1项的系数为3r• ，r=0，1，2，3，4，5，检验可得系数最大的项．【解答】解：（1）由题意可得 4n�2n=992，求得 2n=32，∴n=5．故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，即 T3= •9•x6=90x6，或T4= •27• =270 ．（2）由于（x +3x2）5的展开式的通项公式为Tr+1= •3r• ，故第r+1项的系数为3r• ，r=0，1，2，3，4，5，故当r=4时，该项的系数最大，即第5项的系数最大，该项为T5= •81• =405 ． 18．已知函数f（x）=�x3+ax在（�1，0）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1∈（�1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an∈（�1，0），并判断an+1与an的大小．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）通过函数的导数值恒大于等于0，求实数a的取值范围A；（2）直接利用数学归纳法证明步骤证明an∈（�1，0），通过作差法比较an+1与an的大小．【解答】解：（1）∵f′（x）=�3x2+a≥0即a≥3x2在x∈（�1，0）恒成立，a≥3．∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；…（2）用数学归纳法证明：an∈（�1，0）．（�。
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。
$1-\frac{4}{5}i$。
B。
$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。
C。
$1-\frac{1}{5}i$。
D。
$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。
$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。
B。
$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。
C。
$y$ 平均增加 $2$ 个单位。
D。
$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。
类比推理。
B。
演绎推理。
C。
合情推理。
D。
归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。
$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。
B。
$(2,-2)$。
C。
$(-\frac{5}{2},2)$。
D。
$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。
$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。
B。
$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。
C。
$a$、$b$ 全不为 $0$。
D。
$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。
$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。
B。
$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。
C。
$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。
D。
$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。
河南省南阳市2015-2016学年高二数学下学期期中质量评估试题 理(扫描版)
2016春期中考试高二数学理科参考答案一.选择题： DBADD ADCBD DC 二.填空题：13.2314. f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)215. a<1-或a>0 16.三。
解答题： 17.解：（1）2(1)(1)1(1)(1)i i z i i i i i +==+=-+-+. ………………………4分所以1z i =-- ……………………………5分（2）把1z i =-+代入21z az b i ++=-，即()2111i a i b i -++-++=-，得()21a b ai i -+++=-. ……………………………8分所以211a b a -++=⎧⎨=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩.所以实数,a b 的值分别为1-，2-. ……………………………10分18. 解：（1）∵f（x ）=ax 3+bx 2的图象经过点M （1，4），∴a+b=4①式 f'（x ）=3ax 2+2bx ，则f'（1）=3a+2b…（3分） 由条件②式由①②式解得a=1，b=3 ……………………………6分 （2）f （x ）=x 3+3x 2，f'（x ）=3x 2+6x ，令f'（x ）=3x 2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，∵函数f （x ）在区间[m ，m+1]上单调递增∴[m，m+1]⊆（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）∴m≥0或m+1≤﹣2∴m≥0或m≤﹣3 ……………………………12分19解： （1）∴ (4)分（2）由（1）得类似的， ………6分又；……………………………9分∴…12分20.解：若存在常数使等式成立，则将代入上式，有得，即有对于一切成立………4分证明如下：(1)当时，左边=，右边=，所以等式成立…………………………5分(2)假设时等式成立，即当时，===== ……………………11分也就是说，当时，等式成立，综上所述，可知等式对任何都成立。
河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科).doc
河南省南阳市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1．（ 5 分）已知 i 是虚数单位，则（﹣ 1+i ）（ 2﹣i ） =（）A ．﹣ 3+iB ．﹣ 1+3iC ．﹣ 3+3iD ．﹣ 1+i2．（ 5 分）变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10，1），（ 11.3，2），（ 11.8， 3），（ 12.5，4）， （13，5），变量 U 与 V 相对应的一组数据为（ 10，5），（ 11.3，4），（11.8，3），（ 12.5，2），（13，1）．r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则（）A ．r 2＜ r 1＜ 0B ． 0＜ r 2＜ r1C ． r 2＜ 0＜ r1D ． r 2=r13．（ 5 分）观察下列各式：则72=49 ， 73=343， 74=2401， 则 72015 的末两位数字为（） A ．01 B ． 43 C ． 07 D ． 494．（ 5 分）下面是关于复数 z= 的四个命题：p ：复数 z 对应的点在第二象限，12p 2：z =2i ，p 3：z 的共轭复数为 1+i ， p 4：z 的虚部为﹣ 1． 其中真命题为（）A ．p 2， p 3B ． p 1， p 2C ． p 2， p 4D ． p 3， p 45．（5 分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记 “硬币正面向上 ”为事件 A ，“骰子向上的点数是 3”为事件 B ，则事件 A ，B 中至少有一件发生的概率是（）A ．B ．C ．D ．6．（ 5 分）从 1， 2，3， 4， 5 中任取 2 个不同的数，事件A ： “取到的2 个数之和为偶数”，事件 B ：“取到的 2 个数均为偶数 ”，则 P （ B|A ） =（）A ．B ．C ．D ．7．（ 5 分）设某大学的女生体重 y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系， 根据一组样本数据 （ x i i，2， ，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x ﹣ 85.71，，y ）（ i=1 则下列结论中不正确的是（） A ．y 与 x 具有正的线性相关关系 B ． 回归直线过样本点的中心（ ， ）C ． 若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加 0.85kgD ．若 该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重必为 58.79kg8．（ 5 分）广州2010 年亚运会火炬传递在A， B ，C， D， E 五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以 A 为起点， E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）ABC DEA054 56B507 62C470 98.6D569 05E6 2 8.65 0A ．20.6 B． 21 C． 22 D． 239．（ 5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（ N≥2）和实数 a ，a ，，a ，输出 A ，12 nB，则（）A ．A +B 为 a1， a2，， a n的和B ．为a1，a2，，a n的算术平均数C． A 和 B 分别是 a1， a2，， a n中最大的数和最小的数D ．A 和 B 分别是 a1， a2，， a n中最小的数和最大的数10．（ 5 分）设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若 z 2≥0，则 z 是实数B ． 若 z 2＜ 0，则 z 是虚数2D ． 若 z 是纯虚数，则 2C ． 若 z 是虚数，则 z ≥0z ＜ 011．（5 分）观察（ x 2） ′=2x ，（ x 4） ′=4x 3，（ cosx ） ′=﹣ sinx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f （ x ）满足 f （﹣ x ） =f （ x ），记 g （ x ）为 f （ x ）的导函数，则 g （﹣ x ） =（）A ．﹣ g （ x ）B ． f （ x ）C ．﹣ f （ x ）D ． g （ x ）12．（ 5 分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据 组成传输信息，设定原信息为a 0a 1a 2， a i ∈{0 ， 1} （ i=0 ， 1，2），传输信息为 h 0a 0a 1a 2h 1，其中 h 0=a 0⊕ a 1， h 1=h 0⊕ a 2． ⊕ 运算规则为： 0⊕ 0=0 ，0⊕ 1=1， 1⊕0=1 ，1⊕ 1=0 ，例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（） A ．10111B ． 01100C ． 11010D ． 00011二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．（ 5 分）观察下列等式： 12=1221 ﹣2 =﹣3 12﹣22+3 2=6 12﹣22+3 2﹣ 42=﹣ 10照此规律，第 n 个等式可为．14．（ 5 分）已知复数 z= （i 是虚数单位），则 |z|=．15．（ 5 分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1： 2，则它们的面积比为地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．1：4，类似16．（5 分）甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以件．则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）A 1，A 2 和 A 3 表示由甲罐取出的球是红B 表示由乙罐取出的球是红球的事．① P （B ）=；② P （ B|A 1）=；③ 事件 B 与事件 A 1 相互独立；④ A 1， A 2， A 3 是两两互斥的事件．三、解答题17．（ 10分）实数 m 为何值时，复数z=+（ m 2+m ﹣ 2） i （ i为虚数单位）是（1）实数；（ 2）纯虚数．18．（12 分）某企业有两个分厂生产某种零件， 按规定内径尺寸 （单位： mm ）的值落在（ 29.94， 30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出 500 件，量其内 径尺寸，的结果如下表： 甲厂 分组 30.14） 频数29718515976（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； （2）由于以上统计数据填下面 2×2（ 3）列联表，并问是否有产的零件的质量有差异 ”．62 1899%的把握认为 “两个分厂生甲厂乙厂合计优质品 非优质品 合计附：．19．（ 12 分）设直线 l ： y=k x+1 ， l ： y=k x ﹣ 1，其中实数 k ， k2满足 k k +3=0 ．112211 2（ 1）证明 l 1 与 l 2 相交；（ 2）设 l 1 与 l 2 的交点为（ a ， b ），求证 3a 2+b 2为定值．20．（ 12 分）从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 x i （单位：千克）与 月储蓄 y ii =80， i=20 ， i i=184 ， x i 2=720．（单位：千元）的数据资料， 计算得x y x y （Ⅰ ）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程= x+，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅱ ）若该居民区某家庭月收入为7 千元，预测该家庭的月储蓄．注：线性回归方程= x+ 中， = ，其中 ， 为样本平均值．21．（ 12 分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共 60 人，在每个档次的人数如表：优 良 及格 不及格 优 1 3 1 1 良 1 0 7 6 及格2 4 0 9 不及格1b7a+4（ 1）求数学及格且英语良的概率；（ 2）在数学及格的条件下，英语良的概率； （3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求a ，b 的值．22．（ 12 分）已知函数 f （ x ） =ae x ﹣ x 2（其中 a ∈R ， e 是自然对数底数） ．（ 1）若 a=﹣2，试判断函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）上的单调性；（ 2）若 f （ x ）有两个极值点 x 1， x 2（ x 1＜ x 2），求 a 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，试证明 0＜ f （ x 1）＜ 1．河南省南阳市2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1．（ 5 分）已知 i 是虚数单位，则（﹣ 1+i ）（ 2﹣i ） =（）A ．﹣ 3+iB ．﹣ 1+3iC ．﹣ 3+3iD ．﹣ 1+i考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．分析： 直接利用两个复数代数形式的乘法法则， 以及虚数单位 i 的幂运算性质， 运算求得结果．解答： 解：（﹣ 1+i ）（ 2﹣ i ）=﹣ 2+i+2i+1= ﹣ 1+3i ，故选 B ．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．2．（ 5 分）变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（ 10，1），（ 11.3，2），（ 11.8， 3），（ 12.5，4）， （13，5），变量 U 与 V 相对应的一组数据为（ 10，5），（ 11.3，4），（11.8，3），（ 12.5，2），（13，1）．r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系 数，则（） A ．r ＜ r ＜ 0 B ． 0＜ r ＜ r 1C ． r ＜ 0＜ r 1D ． r =r121222 考点： 相关系数． 专题：计算题．分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．解答：解：∵变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（10， 1），（ 11.3， 2），（11.8， 3），（12.5， 4），（ 13， 5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量 U 与 V 相对应的一组数据为（ 10，5），（ 11.3， 4），（11.8， 3），（12.5， 2），（ 13， 1），∴这组数据的相关系数是﹣ 0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选 C．点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．3．（ 5 分）观察下列各式：则2 3 4，则7 =49 ， 7 =343 ， 7 =2401A ．01 B． 43 C． 07 当相关系数为正时，表示两个20157的末两位数字为（）D． 49考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：由题意依次求出7 的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定72015 的末两位数．解答：解：根据题意得，2， 73 4 5 6，7 =49 =343， 7 =2401， 7 =16807， 7 =11764977=823543 ， 78=5764801， 79=40353607 ，发现： 74k﹣2的末两位数字是49， 74k﹣1的末两位数字是43， 74k的末两位数字是01，4k+17的末两位数字是49，（ k=1 、2、 3、 4、），∵2015=504 ×4﹣ 1，∴72015的末两位数字为 43，故选： B．点评：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．4．（ 5 分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：复数 z 对应的点在第二象限，2p2：z =2i ，p3：z 的共轭复数为1+i ，p4：z 的虚部为﹣ 1．其中真命题为（）A ．p ， p3 B． p ， p C． p ， p4D． p ， p42 1 2 2 3考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为 a+bi 的形式，即可利用复数的几何意义，基本运算判断选项即可．解答：解：复数 z= = =﹣ 1﹣ i．复数 z 对应的点（﹣ 1，﹣ 1）是在第三象限，p1不正确；2 2z =（﹣ 1﹣ i） =2i ， p 2：正确；z 的共轭复数为﹣11+i， p3：不正确；z 的虚部为﹣ 1． p4：正确．故选： C．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．5．（5 分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件上的点数是 3”为事件 B ，则事件 A ，B 中至少有一件发生的概率是（）A ，“骰子向A ．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：根据题意，“事件 A ， B 中至少有一件发生”与“事件 A 、 B 一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A ）、 P（ B），进而可得 P（），由对立事件的概率计算，可得答案．解答：解：根据题意，“事件 A ， B 中至少有一件发生”与“事件 A 、 B 一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）= ，P（B） = ，则 P（）=（ 1﹣）（ 1﹣）= ，则“事件 A ，B 中至少有一件发生”的概率为 1﹣= ；故选 C．点评：本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系（互斥、对立等）．6．（ 5 分）从 1， 2，3， 4， 5 中任取 2 个不同的数，事件事件 B ：“取到的 2 个数均为偶数”，则 P（ B|A ） =（）A ：“取到的 2 个数之和为偶数”，A ．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题．分析：用列举法求出事件A= “取到的 2 个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求p （A ），同理求出 P（ AB ），根据条件概率公式P（ B|A ）=即可求得结果．解答：解：事件 A= “取到的 2 个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3， 5）、（2，4），∴p（ A ） = ，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴ P（ AB ） =∴P（ B|A ） = ．故选 B．点评：此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．7．（ 5 分）设某大学的女生体重y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ x i， y i）（ i=1 ， 2，，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A ．y 与 x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 0.85kgD ．若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg考点：回归分析的初步应用．专题：阅读型．分析：根据回归方程为=0.85x ﹣85.71，0.85＞ 0，可知 A ，B，C 均正确，对于 D 回归方程只能进行预测，但不可断定．解答：解：对于 A ， 0.85＞ 0，所以 y 与 x 具有正的线性相关关系，故正确；对于 B ，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于 C，∵ 回归方程为=0.85x ﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于 D ，x=170cm 时， =0.85×170﹣ 85.71=58.79 ，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg ，故不正确故选 D．点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．8．（ 5 分）广州2010 年亚运会火炬传递在A， B ，C， D， E 五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以 A 为起点， E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（）ABC DEA054 5 6B507 6 2C470 9 8.6D569 0 5E6 2 8.65 0A ．20.6 B． 21 C． 22 D． 23考点：频率分布表；统筹问题的思想及其应用的广泛性．专题：概率与统计．分析：以 A 为起点， E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有 A 33种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，列出路径的长度，得到结果．解答：解：∵以 A 为起点， E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有 A 33=6 种结果，列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，A →B →C→D→E，总长是26，A →C→D→B→E，总长是21，A →B →D→C→E，总长是28.6，A →D →B→C→E，总长是26.6，A →C→B →D→E，总长是22，A →D →C→B→E，总长是23，总上可知最短的路径是21．故选 B点评：本题考查频率分布表，考查统筹问题的思想及其应用的广泛性，考查利用统计问题解决实际问题，本题采用列举法来解题．9．（ 5 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（ N≥2）和实数a1，a2，，a n，输出 A ，B，则（）A ．A +B 为 a1， a2，， a n的和B ．为a1，a2，，a n的算术平均数C． A 和 B 分别是 a1， a2，， a n中最大的数和最小的数D ．A 和 B 分别是 a1， a2，， a n中最小的数和最大的数考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出 a1，a2，， a n中最大的数和最小的数．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出 a1， a2，， a n中最大的数和最小的数其中A 为 a1， a2，， a n中最大的数，B 为 a1， a2，， a n中最小的数故选： C．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．10．（ 5 分）设 z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若 z 2≥0，则 z 是实数 B ．若 z2＜ 0，则 z 是虚数C ．若 z 是虚数，则 z 2≥0 D ． 若 z 是纯虚数， 则z 2＜0考点： 命题的真假判断与应用． 专题：计算题．分析：设出复数 z ，求出 z 2，利用 a ， b 的值，判断四个选项的正误即可． 解答： 解：设 z=a+bi ， a ，b ∈R ，z 2=a 2﹣ b 2+2abi ，对于 A ，z 2≥0，则 b=0，所以 z 是实数，真命题；对于 B ，z 2＜ 0，则 a=0，且 b ≠0， ? z 是虚数；所以 B 为真命题；对于 C ，z 是虚数，则 b ≠0，所以 z 2≥0 是假命题．对于 D ，z 是纯虚数，则 a=0， b ≠0，所以 z 2＜ 0 是真命题；故选 C ． 点评：本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算．11．（5 分）观察（ x 2） ′=2x ，（ x 4） ′=4x 3，（ cosx ） ′=﹣ sinx ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f （ x ）满足 f （﹣ x ） =f （ x ），记 g （ x ）为 f （ x ）的导函数，则 g （﹣ x ） =（）A ．﹣ g （ x ）B ． f （ x ）C ．﹣ f （ x ）D ． g （ x ）考点： 专题：分析：归纳推理．规律型．由已知中（x 2） '=2x ，（ x 4） '=4x 3，（ cosx ）'=﹣ sinx ， 分析其规律，我们可以归纳推断出，偶函数的导函数为奇函数，再结合函数奇偶性的性质，即可得到答案．2（ x 4） '=4x 3 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；（ c osx ） '=﹣sinx 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在 R 上的函数 f （ x ）满足 f （﹣ x ）=f （x ）， 则函数 f （ x ）为偶函数，又∵ g （ x ）为 f （ x ）的导函数，则 g （ x ）奇函数故 g （﹣ x ） +g （ x ）=0 ，即 g （﹣ x ） =﹣ g （ x ），故选 A ．点评： 本题考查的知识点是归纳推理， 及函数奇偶性的性质， 其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键．12．（ 5 分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为a 0 1 2 i ∈{0 ， 1} （ i=0 ， 1，2），传输信息为 00121a a ， a h a a a h ，其中 h 0=a 0⊕ a 1， h 1=h 0⊕ a 2．⊕ 运算规则为： 0⊕0=0 ， 0⊕ 1=1 ，1⊕ 0=1 ，1⊕ 1=0，例如原信息为 111，则传输信息为 01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则 下列接收信息一定有误的是（） A ．10111 B ． 01100C ． 11010D ． 00011考点： 进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析： 根据题意， 只需验证是否满足 h 0=a 0⊕ a 1，h 1=h 0⊕ a 2．经验证， A ，B ，C 都符合． D中， h 1=h 0⊕ a 2=0⊕ 1=1 ，故错误解答：解： A 选项原信息为101，则 h 0=a 0⊕ a 1=1 ⊕ 0=1 ，h 1=h 0⊕ a 2=1⊕1=0 ，所以传输信息为 11010， A 选项不正确；B 选项原信息为 110，则 h 0=a 0⊕ a 1=1⊕ 1=0 ，h 1=h 0⊕ a 2=0 ⊕ 0=0，所以传输信息为 01100，B 选项正确；C 选项原信息为 110，则 h =a ⊕ a =1 ⊕ 0=1 ，h =h ⊕ a =1 ⊕ 1=0 ，所以传输信息为 11010，C0 0 11 0 2选项正确；D 选项原信息为 001，则 h 0=a 0⊕ a 1=0⊕ 0=0 ，h 1=h 0⊕a 2=0⊕ 1=1 ，所以传输信息为 00011，D 选项正确； 故选： A ．点评： 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意正确理解题意，根据要求进行计算．二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．（ 5 分）观察下列等式： 12=1221 ﹣2=﹣ 312﹣22+3 2=6 12﹣22+3 2﹣ 42=﹣ 10照此规律， 第 n 个等式可为．考点： 归纳推理． 专题：压轴题；规律型．分析： 等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n 个等式左边为 2221 ﹣2 +3 ﹣ 42+ （﹣ 1）n ﹣ 1n 2．再分 n 为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．解答：解：观察下列等式：21 =1 12﹣22=﹣ 3 12﹣22+3 2=6 12﹣22+3 2﹣ 42=﹣ 10分 n 为奇数和偶数讨论：22 22n ﹣1 2．第 n 个等式左边为 1 ﹣2 +3 ﹣ 4 + （﹣ 1） n当 n 为偶数时，分组求和（12﹣22） +（ 32﹣ 42） + +=﹣ ，2 2 2 222．当 n 为奇数时，第 n 个等式左边 =（ 1 ﹣ 2 ）+（ 3 ﹣ 4 ）+ ++n =﹣ +n =综上，第 n 个等式为 ．故答案为：．点评：本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．14．（ 5 分）已知复数 z=（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解： |z|= = = ．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．15．（ 5 分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1： 2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：8．考点：类比推理．专题：立体几何．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．解答：解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1： 2，则它们的面积比为1： 4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1： 2，则它们的体积比为1： 8故答案为： 1： 8．点评：本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：① 找出两类事物之间的相似性或者一致性．② 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．16．（5 分）甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球， 3 个白球和 3 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A 1，A 2和 A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是②④ （写出所有正确结论的编号）．① P（B）=；② P（ B|A1）= ；③事件 B 与事件 A 1相互独立；④ A 1， A 2， A3是两两互斥的事件．考点：条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：由题意 A1， A 2， A 3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（ B|A 1），P（ B）=P（ A 1B ） +P（ A 2B） +P（ A 3B ），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．解答：解：由题意 A 1，A 2，A3是两两互斥的事件，P（ A 1）==，P（A2）==，P （A 3）=；P（ B|A 1） ===，由此知，②正确；P（B|A 2）=，P（B|A3）=；而 P（ B ）=P（ A 1B）+P（ A 2B ）+P（A 3B）=P（ A 1） P（ B|A 1）+P（ A 2）P（ B|A 2）+P（A 3）P（B|A 3）=×+×+ + =．由此知①③不正确；A 1， A 2， A 3是两两互斥的事件，由此知④ 正确；对照四个命题知②④正确；故答案为：②④．点评：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点．三、解答题17．（ 10 分）实数 m 为何值时，复数 z=21）+（ m +m ﹣ 2） i（ i 为虚数单位）是（实数；（ 2）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）根据复数为实数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出 m 的值即可；（2）根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，注意分母不为零，求出m 的值即可．解答：解：（ 1）复数 z 为实数的充要条件是，解得 m=1，所以 m=1 时复数 z 为实数（ 5 分）（2）复数 z 为纯虚数的充要条件是，解得m=﹣3，所以 m=﹣ 3 时复数 z 为纯虚数（ 10 分）点评：本题考查复数为纯虚数、于基础题．实数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属18．（12 分）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位： mm）的值落在（ 29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500 件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组优质品360 320 680非优质品140 180 320合计500 500 1000≈7.35＞ 6.635，所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k 值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．19．（ 12 分）设直线 l ： y=k x+1 ， l ： y=k x﹣ 1，其中实数k ， k2 满足 k k +3=0 ．1 12 2 1 1 2 （1）证明 l1与 l2相交；（2）设 l1与 l2的交点为（ a ， b），求证 3a 2+b2为定值．考点：直线的一般式方程．专题：反证法；直线与圆．分析：（1）用反证法，假设 l1与 l 2不相交，则 l 1∥ l 2，k1=k 2，得出矛盾，从而证明命题成立；（2）根据点 P 的坐标满足两直线方程，求出2 2是否为定值即可．3a +b解答：解：（ 1）证明：反证法，假设是l 1与 l2 不相交，则 l 1与 l 2平行，有 k1=k2，代入 k1k2+3=0，得+3=0 ，此时与 k1为实数的事实相矛盾；从而 k1≠k2，即 l1与 l 2相交；（ 6 分）（2 ）因为交点P 的坐标（ a， b）满足，即（ b﹣ 1）（ b+1） =k1k2a 2=﹣ 3a2，2 2所以 3a 2+b2为定值 1．（12 分）点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了反证法的应用问题，是基础题目．20．（ 12 分）从某居民区随机抽取10 个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i（单位：千克）与月储蓄 y i i=80，i=20 ，i i=184 ，xi 2（单位：千元）的数据资料，计算得x y x y =720．（Ⅰ ）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程=x+ ，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（Ⅱ ）若该居民区某家庭月收入为7 千元，预测该家庭的月储蓄．注：线性回归方程= x+中，=，其中，为样本平均值．考点：专题：线性回归方程．计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ ）由题意可知n=10，= x i=8 ，= y i=2 ，代入可得 b 值，进而可得 a 值，可得方程，由回归方程x 的系数 b 的正负可判；（Ⅱ ）把 x=7 代入回归方程求其函数值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意，n=10，= x i =8，= y i =2，∴==0.3，=2﹣ 0.3×8=﹣ 0.4，∴=0.3x ﹣ 0.4，∵0.3＞ 0，∴变量 x 与 y 之间是正相关；（Ⅱ ） x=7 时，=0.3×7﹣0.4=1.7 千元．点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．21．（ 12 分）已知数学、英语的成绩分别有优、良、及格、不及格四个档次，某班共60 人，在每个档次的人数如表：优良及格不及格优 1 3 1 1良 1 0 7 6及格 2 4 0 9不及格 1 b 7 a+4（ 1）求数学及格且英语良的概率；（ 2）在数学及格的条件下，英语良的概率；（3）若数学良与英语不及格是相互独立的，求 a ， b 的值．考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．分析：（1）记数学及格且英语良为事件A ，由题中表格知数学及格且英语良的人数为7人，根据概率公式计算即可得到答案；（2）数学及格的共有 15 人，其中英语良的7 人，即可求出在数学及格的条件下，英语良的概率；（ 3）记数学良为事件 B ，英语不及格为事件 C ，分别求出 P （ B ）， P （C ），再根据概率公式计算即可得到答案． 解答： 解：（ 1）记数学及格且英语良为事件 A ，由题中表格知数学及格且英语良的人数为7 人，故 P （A ）=（3分）（2）数学及格的共有15 人，其中英语良的7 人， 故数学及格的条件下，英语良的概率为 （6 分）（ 3）表中所有数字和为 a+b+47=60 ， ∴a+b=13 ，记数学良为事件 B ，英语不及格为事件C ．则 P （ B ） = ， P （C ） = = ，P （ BC ） = ， B 与 C 独立，故 m= ﹣3，P （ BC ） =P （B ）P （ C ），即﹣=，得 b=5 ， a=8 （ 12 分）点评： 本题考查了相互独立事件的乘法公式， 考查了古典概型的概率加法公式， 考查了学生的读取图表的能力，是中档题22．（ 12 分）已知函数 f （ x ） =ae x ﹣ x 2（其中 a ∈R ， e 是自然对数底数） ．（ 1）若 a=﹣2，试判断函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）上的单调 性；（ 2）若 f （ x ）有两个极值点 x 1， x 2（ x 1＜ x 2），求 a 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，试证明 0＜ f （ x 1）＜ 1． 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．分析： （1）将 a=﹣ 2 代入函数 f （ x ）的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（2）问题转化为方程 a = 有两个根，设 h （ x ） = ，求出 h （ x ）的导数，得到 h （ x ）的单调区间，得到0＜ a＜ h（ 1）=，从而求出 a 的范围；（3）先求出 a 的值，从而表示出 f （ x1）的表达式，进而求出 f （x1）的单调区间，从而证出结论．解答：解：（ 1） a=﹣2 时， f（ x） =﹣ 2e x﹣x2， f′（ x） =﹣ 2ex﹣2x，当 x∈（ 0，+∞）时， f′（ x）＜ 0，函数 f（ x）在（ 0， +∞）递减；（2）函数 f（x）有两个极值点 x1， x2，则 x1， x2是 f′（ x） =ae x﹣ 2x=0 的两个根，即方程 a= 有两个根，设 h（ x） = ，则 h′（ x）= ，令h′（x）＞0，解得：x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，要使 a= 有两个根，只需 0＜ a＜ h（ 1） = ，故实数 a 的范围是（0，）；（3）证明：由（2）得：函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜ 1＜x2，由 f ′（ x1）=a ﹣2x1=0 得a= ，∴f （x1） =a ﹣=﹣+2x 1，由于 f（ x1） =﹣+2x1在（ 0， 1）递增，由 0＜ x1＜ 1 得： 0=f （ 0）＜ f （ x1）＜ f （ 1） =1 ．点评：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，本题是一道中档题．。
河南南阳市14-15学年高二下学期期中质量评估数学(理)试题 (Word版含答案)
南阳市2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）一．选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在复平面内，复数2(1)1ii++的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设A ．三个内角都不大于60oB ．三个内角都大于60oC ．三个内角至多有一个大于60oD ．三个内角至多有两个大于60o3. 用数学归纳法证明aa a a a n n --=++++++111322 （*,1N n a ∈≠），在验证当1n =时，等式左边应为A ． 1B ．1+aC ．21+a a +D ．231+a a a ++ 4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(e)ln f x xf x '=+，则(e)=f ' A ．1 B ．－1 C ．－e －1D ．－e 5．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为A B C D ．36．若220a x dx =⎰,230b x dx =⎰,2sin c xdx =⎰,则,,a b c 的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 7．已知函数()12()ln ,(2f x xg x x a a ==+为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为 A ． 1B ． 12- C ． 1- D ．28．将正奇数按照如下规律排列，则2015所在的列数为第1列 第2列 第3列 第4列 ……第1行： 1第2行： 3 5第3行： 7 9 11第4行： 13 15 17 19 ……A.16B.17C.18D.199.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是10．已知函数3()()f x x x m =-在x=2处取得极小值，则常数m 的值为 A ． 2 B ． 8 C ． 2或8 D ．以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R，'()f x >2， 则()f x >2x+4的解集为A ．(-l ，1)B ．(-1，+∞)C ．(- ∞，-1)D ．(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x=+的零点的个数 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 0或2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.若等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ，则数列{nS }为等差数列，公差为d 2.类似地，若正项等比数列{b n }的公比为q,前n 项积为T n ，则数列为等比数列，公比为_________. 14.由曲线y =，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 15．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是16．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x 1∈[-1,2]，总存在x 2，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知复数22(232)(32)i z m m m m =--+-+． （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当0m =时，化简252iz z ++．A ．B ．C ．D ．18.( 本小题满分12分)已知函数()22()x f x e x x R =-+∈. (Ⅰ)求()f x 的最小值；(Ⅱ)求证：0x >时，221xe x x >-+.19( 本小题满分12分）已知点P 在曲线21y x =-上，它的横坐标为(0)a a >，过点P 作曲线2y x =的切线. （Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求证：由上述切线与2y x =所围成图形的面积S 与a 无关20．( 本小题满分12分) 设()111123n a n N n*=++++∈，是否存在一次函数()g x ，使得 ()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论.21．（本小题满分12分） 设函数3221(),()243f x x ax axg x x x c =--=++. （Ⅰ）试问函数)(x f 能否在1-=x 时取得极值？说明理由；（Ⅱ）若,1-=a 当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，求c 的取值范围.22．( 本小题满分12分)已知函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3. （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，求k 的最大值.2015年春期期中质量评估高二数学试题（理）参考答案一、选择题：CBDCC DBCAB BA 二、填空题：13、q 14、1283π 15、(]1-∞，- 16、112⎛⎫- ⎪⎝⎭，三、解答题：17.解：（Ⅰ）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． …………………（5分） （Ⅱ）当0m =时，22i z =-+，28i 8i(34i)3224i 52i 34i 252525z z ---===--+++ ………（10分）18. 解：(Ⅰ)由()22(xf x e x x R =-+∈）得()2x f x e '=-，………（2分）令()20xf x e '=-=得ln 2x =， ………（3分）当ln 2x >时，()0f x '>；当ln 2x <时，()0f x '<， ………（4分） 故当ln 2x =时，()f x 有极小值也是最小值为(ln 2)2(2ln 2)f =-.………（6分） (Ⅱ) 设2()21(0)x g x e x x x =-+->，则()22xg x e x '=-+，………（7分） 由(Ⅰ) 知()22xg x e x '=-+有最小值(ln 2)2(2ln 2)0g '=-> ………（9分） 于是对于0x >，都有()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上递增， ………（10分） 而(0)0g =，从而对任意(0,)x ∈+∞，()0g x >，即221xe x x >-+.………（12分）19.解：（Ⅰ）点P 的坐标为）（1,2-a a ，设切点Q 的坐标为）（200,x x ， 221PQ a x k a x --=-，又002PQ x x k y x ='==，所以220012a x x a x --=-解得01x a =+或01x a =-.所求切线方程为22(1)(1)y a x a =---或22(1)(1)y a x a =+-+…………（6分） （Ⅱ）S ＝2212(1)(1)aa x a x a dx -⎡⎤--+-⎣⎦⎰＋+12222(+1)(+1)=3a a x a x a dx ⎡⎤-+⎣⎦⎰. 故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数． ………………（12分）20. 解：假设存在一次函数()()0g x kx b k =+≠，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-对2n ≥的一切自然数都成立，则当n=2时有，()()1221a g a =-，又()1211,1,222a a g ==+∴=即22kb +=……①.当n=3时有，()()12331a a g a +=-，又1231111,1,1,223a a a ==+=++()33g ∴=，即33k b +=……②，由①②可得1,0k b ==，所以猜想：()g x x =，…………………………（5分） 下面用数学归纳法加以证明：（1）当n=2时，已经得到证明； ……………………………………（6分） （2）假设当n=k （2,k k N ≥∈）时，结论成立，即存在()g k k =，使得()()12311k k a a a a g k a -++++=-对2k ≥的一切自然数都成立，则当1n k =+时，()1231231+k k k a a a a a a a a a -++++=++++()()=11k k k k a a k a k -+=+-， ……………………（8分）又11111112311k k a a k k k +=+++++=+++，111k k a a k -∴=-+， ()()()1231111111k k k a a a a k a k k a k ++⎛⎫∴++++=+--=+- ⎪+⎝⎭，∴当1n k =+时，命题成立.………………………………………………（11分）由（1）（2）知，对一切n ，（2,n n N *≥∈）有()g n n =，使得()()12311n n a a a a g n a -++++=-都成立.…………………………（12分）21.解：(Ⅰ）由题意a ax x x f --=2)('2，假设在1-=x 时)(x f 取得极值，则有021)1('=-+=-a a f ，∴1-=a 而此时，0)1(12)('22≥+=++=x x x x f ，函数)(x f 在1-=x 处无极值. ………（4分）（Ⅱ）设)()(x g x f =，则有033123=---c x x x ，∴32133c x x x =--， 设c x G x x x x F =--=)(,331)(23，令032)('2=--=x x x F ，解得11x =-或3x =. 随着x 值变化时)(),(x F x F '的变化情况如下表：由此可知：F （x)在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数.当x=-1时，F （x)取得极大值F （-1）=35；当x=3时，F （x)取得极小值 F （-3）=F （3）=9-，而F （4）=320-. ………………………（10分）如果函数)(x f 与)(x g 的图像有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点， 所以35320<<-c 或9-=c . ………………………………（12分） 22解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x x =+，所以()'ln 1f x a x =++……………………（2分） 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点x e =处的切线斜率为3， 所以，()'3f e =，即lne 1=3a ++，所以，1a =.……………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()ln f x x x x =+，所以，()1f x k x <-对任意2x e >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意2x e >恒成立.……（5分） 令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 2'1x x g x x --=-…………………………………………（6分） 令()()2ln 2h x x x x e =-->，则()11'10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()2,+e ∞上单调递增……………………………………………………（8分）所以()()2240h x h e e >=->，可得()'0g x >故函数()ln 1x x xg x x +=-在()2,e +∞上单调递增.所以()()()22223333,411e g x g e e e >==+∈--……………（11分） ()2k g e ∴≤故整数k 的最大值是3.………………………………………………………………（12分）。
2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科试题和参考答案(数学文)
2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科（文科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．命题0)(),2,0(:<∈∀x f x p π，则p ⌝： ．2．已知复数i Z 43+= （i 为虚数单位），则Z = ． 3．设全集{}3,2,1,0,1{},42-=≤≤-∈=A x Z x U ，若A C B U ⊆，则集合B 的个数是 ．4．已知复数i Z i Z 34,221-=+= 在复平面内的对应点分别为点A 、B ，则A 、B 的中点所对应的复数是 ．5．已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 ． 6．已知ni i+=-112，其中i R n ,∈ 是虚数单位，则n = ． 7．函数)3lg(1)(2x x x f --=的定义域为 ．8． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,10,2)(2x x x x f x 的值域为 ． 9．若函数2+-=x b x y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为),2(+∞，则=+b a ． 10．若命题“存在04,2≤++∈a x ax R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．11. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=-1,21,3)21()(1x x a x a x f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 12. 记12x x -为区间],[21x x 的长度．已知函数)0](,2[,2≥-∈=a a x y x，其值域为],[n m ，则区间],[n m 的长度的最小值是 ．13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ． 14．设][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[,1]5.1[-=-=．若函数x xaa x f +=1)( )1,0(≠>a a ，则]21)-([]21)([)(-+-=x f x f x g 的值域为 ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分） 已知}42{},71{},9{2<-=≤<-=≥=x x C x x B x x A ．（1）求A ∩B 及A ∪C ；（2）若U=R ，求A ∩∁U （B ∩C ）16．（本小题满分14分）已知复数Z 满足：Z i Z -+=31，求Zi i 2)43()1(2++的值．17．（本小题满分15分）设a 为实数，给出命题:p 关于x 的不等式a x ≥-1)21(的解集为φ，命题:q 函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题""q p ∨为真，""q p ∧为假，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当204≤<x 时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．（1）当200≤<x 时，求v 关于x 的函数表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．19．（本小题满分16分）若)(x f 为二次函数，1-和3是方程04)(=--x x f 的两根，1)0(=f（1）求)(x f 的解析式；（2）若在区间]1,1[-上，不等式m x x f +>2)(有解，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数0(2log )(>-+=a x m x x f a且)1≠a 的定义域为2{>x x 或}2-<x ． （1）求实数m 的值；（2）设函数)2()(xf xg =，对函数)(x g 定义域内任意的21,x x ，若021≠+x x ，求证：)1()()(212121x x x x g x g x g ++=+； （3）若函数)(x f 在区间),4(r a -上的值域为),1(+∞，求r a -的值．2015-2016学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）参考答案一、填空题： 1. 0)(),2,0(≥∈∃x f x π2. 53. 44. i -35. xx x f +=1)( 6. 1 7. 5]30[-2，（）， 8. ]1,(-∞ 9. 10- 10. ），（∞+2 11. )21,0[ 12. 3 13. )(),1(4)2(*22N n n n n ∈+=-+ 14. 1}-{0，二、解答题：15.解：（1）集合A 中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；--2分 集合C 中的不等式解得：﹣2＜x ＜6，即C={x|﹣2＜x ＜6}，-------- -------------4分 ∴A∩B={x|3≤x≤7}，----------------------- ------------------------------6分 A∪C={x|x≤﹣3或x ＞﹣2}；-----------------------------------------------8分（2）∵B∩C={x|﹣1＜x ＜6}，-----------------------------------------------10分 全集U=R ，∴∁U （B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，--------------------------------12分 则A∩∁U （B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．--------------------------------------14分16.解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），---------------------------------------------2分 而|z|=1+3i ﹣z ，即，-------------------------------4分 则-----------------------------------------------------6分 解得，z=﹣4+3i ，--------------------------------------------------8分 ∴==1．-------------14分17.解：命题p ：|x ﹣1|≥0，∴，∴a＞1；---------------------4分命题q ：不等式的解集为R ，∴，解得；---------------------------------------------------------------8分若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；----------------------10分p真q 假时，，解得a≥8；----------------------------------12分p假q 真时，，解得；-----------------------------------14分∴实数a 的取值范围为：．----------------------------15分18.解（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2； ----------------------------------2分当4＜x≤20时，设v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，---------------------4分故函数v=；-------------------------------------------6分（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）=-----------------------8分当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；-----------------10分当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，f（x）max=f（10）=12.5．--------------------------------------------------12分所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．-------------------------------14分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．--------------------------------------------------------------------15分19. 解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由f（0）=1可得c=1，------------------------------------------------------2分故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=，解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1；----------------------------------------8分（2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，--------------------------------------10分故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，--------------------------14分∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）------------------------------------------16分20.解：（1）m=2时，解得，x＞2，或x＜﹣2；∴m=2；-----------------1分（2）证明：，；------------2分∴g（x1）+g（x2）==；=；∴；------------------------------------6分（3）；∴①若a＞1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减；∴；∴；∴；∴；-----------------------------12分②若0＜a＜1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递增；∴；∴；∴，或（舍去）；∴．-----------------16分。