外点罚函数法
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
外点罚函数法
外点罚函数法外点罚函数法(Outlier Penalty Function Method)是一种求解优化问题的新方法。
它能够很好地处理多维优化问题，并且可以有效地处理异常点，可以考虑由于特定原因不能完全遵循假定分布的情况。
传统的优化方法，如最小二乘法，有时无法处理多维数据和不符合传统假设的异常数据。
这种复杂的数据结构可能会导致一些传统方法的失败。
此外，这种方法还能够提供更高的估计精度。
Outlier Penalty Function Method是基于罚函数的优化法，不同于传统的优化法，它为每个数据点添加一个罚函数，以便处理异常点。
这里的罚函数表示每个点的离群程度。
对于不同的离群点，我们可以采用不同的罚函数来处理。
比如，下面是一个二元优化问题：最小化函数f (x1, x2) = (x1-3)^2 + (x2-2)^2+ 0.5，其中x1和x2是两个自变量。
使用Outlier Penalty Function Method，我们可以将罚函数添加到优化函数中：最小化函数f (x1, x2) + β* penalty(x1, x2) =(x1-3)^2 + (x2-2)^2+ 0.5 + β * penalty (x1, x2)其中，penalty(x1, x2)是一个罚函数，表示每个点的离群程度，比如多项式罚函数或者指数罚函数。
β是一个正常参数，反映了每个离群点的影响力。
此外，Outlier Penalty Function Method还可以用于非线性优化问题。
其运作原理是将罚函数添加到原始优化函数中。
使用这种方法，即使存在异常点，也可以从优化函数的迭代解中找出最优的解决方案。
总的来说，外点罚函数法是一种新的、有效的、可以应用到非线性优化问题中的优化方法。
它可以有效地处理异常点，并且在计算结果的准确度上有很大的提升。
它还可以很好地应用于多维优化问题，并且可以改善传统方法对数据异常值的处理效果。
因此，希望未来能够有更多的工作来探索和开发Outlier Penalty Function Method。
外点罚函数法
f1+=g[i]*g[i];
for(i=0;i<NH;i++)
f1+=h[i]*h[i];
f+=mr*f1;
return f;
}
/*计算f(xk+as)*/
double xkadd(double x[],double d[],double a)
{
int i;
double x1[N];
**********初始惩罚因子：r0= 1.00**********
**********递增系数：c0=10.00**********
初始坐标：
x( 0)=[ 0.0000000, 0.0000000], f( 0)= 1.0000200
迭代轮数k= 1
x( 1)=[ 0.5000044, 0.0000007], f( 1)= 0.5000100
a=a1;
a1=a2;
f1=f2;
a2=a+0.618*(b-a);
f2=xkadd(x,d,a2);
}
else
{
b=a2;
a2=a1;
f2=f1;
a1=b-0.618*(b-a);
f1=xkadd(x,d,a1);
}
}while(b-a>ebsin);
for(i=0;i<N;i++)
x[i]+=(b+a)*d[i]/2;
{
double a1,a2,a3,f1,f2,f3;
a2=0.0;
a3=a2+h;
f2=xkadd(x,d,a2);
f3=xkadd(x,d,a3);
matlab用外点罚函数法求解等式约束最优化问题
一、引言我们需要明确什么是等式约束最优化问题。
在实际应用中，经常会遇到这样的问题：在满足一定的条件约束下，寻找一个使得某个目标函数达到最优值的解。
而等式约束最优化问题就是在满足一系列等式约束条件的前提下，求解出目标函数的最优值和对应的解向量。
在数学领域，等式约束最优化问题有着重要的理论和实际意义，对于工程、经济、管理等领域都有着广泛的应用。
二、问题描述一个典型的等式约束最优化问题可以用如下的数学形式来描述：minimize f(x)subject to:g(x) = 0其中，f(x)是目标函数，x是自变量向量，g(x)是等式约束条件函数。
三、外点罚函数法外点罚函数法是一种常用的方法，用于求解等式约束最优化问题。
它的基本思想是通过对目标函数和约束条件进行适当的变换，将等式约束问题转化为无约束问题。
具体地，外点罚函数法通过引入罚函数，将约束条件融入到目标函数中，构造出一个新的优化问题。
然后将这个新问题求解为原问题的近似解。
在优化的过程中，罚函数的惩罚项会惩罚那些违反约束条件的解，从而使得优化过程能够逼近满足约束条件的最优解。
四、matlab中的外点罚函数法求解在matlab中，可以利用现成的优化工具箱来求解等式约束最优化问题。
其中，fmincon函数是用来求解带有等式约束的最优化问题的。
它允许用户自定义目标函数和约束条件函数，并指定优化的初始点和其他参数。
通过在fmincon函数中调用外点罚函数法求解等式约束最优化问题，可以得到目标函数的最优值和对应的解向量。
五、实例分析为了更加直观地理解matlab中外点罚函数法的应用，我们来举一个简单的实例。
假设我们要求解如下的等式约束最优化问题：minimize f(x) = x1^2 + x2^2subject to:g(x) = x1 + x2 - 1 = 0我们需要将目标函数和约束条件转化成matlab可以识别的形式。
我们可以利用fmincon函数来求解这个最优化问题。
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
惩罚函数的外点法
惩罚函数的外点法（理论及仿真）一、算法理论基本原理设原目标函数为(X)f ，在不等式约束(X)0 (1,2,,)u g u m ≥=条件下外点惩罚函数法求极小，外点法常采用如下形式的泛函：[][]{}2(X)min 0,(X)u u G g g = （1） 由此，外点法所构造的相应的惩罚函数形式为：[]{}2(k)(k)1(X,)(X)min 0,(X)m u u r f r gϕ==+∑ （2） 式中，惩罚因子(k)r 是一个递增的正值数列，即：(1)(2)(k)0r r r <<<<< (k)lim k r →∞=+∞ 惩罚项中： [](X),(X)0(X)(X)min 0,(X)20,(X)0u u u u u u g g g g g g <⎧-==⎨≥⎩若若 （3） 由此可见，当迭代点X 位于可行域内满足约束条件时，惩罚项为零，这时不管(k )r 取多大，新目标函数就是原目标函数，亦即满足约束条件时不受“惩罚”，此时求式（2）的无约束极小，等价于求原目标函数(X)f 在已满足全部约束条件下的极小；而当点X 位于可行域外不满足约束条件时，惩罚项[]{}2(k)1min 0,(X)m u u r g =∑为正值，惩罚函数的值较原目标函数的值增大了，这就构成对不满足约束条件的一种“惩罚”。
由式（2）可知,每一次对罚函数(k)(X,)r ϕ求无约束的极值，其结果将随该次所给定的罚因子(k)r 值而异。
在可行域外，离约束边界越近的地方，约束函数(X)u g 的值越大，[](X)u G g 的值也就越小，惩罚项的作用也就越弱，随着罚因子(k)r 逐次调整增大，有增大惩罚项的趋势，但一般说来泛函值下降得更快一些。
此时尽管(k)r 但泛函值亦趋于零，满足式（3）。
最后当k →∞，(k)r →∞，泛函值和惩罚项值均趋近于零。
外点法在寻优过程中，随着罚因子的逐次调整增大，即取(1)(2)(k)0r r r <<<<<，所得的最优点序列可以看作是以为参数的一条轨迹，当时，最优点点列{}*()X (1,2,)k 从可行域的外部一步一步地沿着这条轨迹接近可行域，所得的最优点列*()X k 逼近原问题的约束最优点*X 。
0422 罚函数法
Page 17
所以
1 r x r r
令 r 0 有：
x( r ) x 1, 0
*
T
则最优解及最优值分别为：
x 1, 0
* T
8 , f . 3
*
3. 算法实现
Page 18
Step1: 给出 x 0 R n (要求是可行点)， 0 104 罚因子 r1 r1 10 , 缩小系数 c 0.1 , 令 k 1. Step2: 以 x k 1 为初始点求无约束问题：
2 2 min f x x1 x2
Page 7
s.t
解：作辅助函数
x1 1 0
2 1 2 2 2
F x, x x max 0, x1 1
2 2 x x x1 1 0 1 2 即：F x , 2 2 2 x1 1 0 x1 x2 x1 1 x1 1 因此： F 2 x1 x1 2 x1 2 x1 1 x1 1 F 2 x2 x2
i 1 j 1
0 是很大的正数．
P ( x ) 0, F ( x , ) f ( x ). 当 x是可行点时， 分析： 当 x不是可行点时， P x 0, 又因 是大正数．
故此 x 很难成为 F x， 的极小点. 因此，按上策略 得到的 F x, 的极小点应充分靠近可行域，逐渐
“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数值陡然增大,
这相当于对它进行惩罚，从而阻止迭代点穿越边界，
这样就可以把最优解“挡”在可行域内了．
注意： 内点法只适合于不等式约束问题，并且要求 可行域的内点集非空．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0[i]=0.0; return; } /*目标函数*/ double hanshu1(double x[]) { double f; f=x[0]*x[0]+x[1]*x[1]; return f; } /*不等式约束方程*/ void strain(double x[],double g[],double h[]) { double eb; eb=EPSIN; g[0]=x[0]-1.0-eb*10.0; // g[1]=1.0-(x[0]+x[1])-eb*10.0; h[0]=0.0; return; } /***********以上为修改部分***********/ /*惩罚函数*/ double hanshu(double x[]) { int i; double f,f1,g[NG],h[NH]; f=hanshu1(x); strain(x,g,h); f1=0.0; for(i=0;i<NG;i++) if(g[i]<0.0) f1+=g[i]*g[i]; for(i=0;i<NH;i++) f1+=h[i]*h[i]; f+=mr*f1; return f; } /*计算 f(xk+as)*/ double xkadd(double x[],double d[],double a) { int i; double x1[N]; for(i=0;i<N;i++) x1[i]=x[i]+a*d[i]; return hanshu(x1); /*至少有一个为 0 的等式约束*/
迭代轮数
k= x(
9 9)=[ 1.0000100, 0.000000346 -0.0000011], f( 9)= 1.0000200
迭代精度：
********************* 外点惩罚函数法优化最优点及目标函数值为： x( *)=[ 1.0000100, 0.000000346 -0.0000011], f( *)= 1.0000200
迭代精度：
迭代轮数
k= x(
7 7)=[ 1.0000090, 0.000009112 0.0000006], f( 7)= 1.0000190
迭代精度：
迭代轮数
k= x(
8 8)=[ 1.0000099, 0.000001643 -0.0000007], f( 8)= 1.0000199
迭代精度：
机械优化设计
日 期 成绩评定
机测 2 班 陈明鑫
实验室
机械馆机房
老师签名
利用外点罚函数法求解相关函数的极小值点
实 验 原 理 步 骤 、
外点罚函数法计算结果 **********外点惩罚函数法计算结果**********
**********无约束优化方法：鲍威尔法********** ++++++一维搜索方法：黄金分割法++++++
迭代精度：
k= x(
2 2)=[ 0.9090993, 0.409094982 -0.0000014], f( 2)= 0.9091091
迭代精度：
k= x(
3 3)=[ 0.9901088, 0.081009509 0.0000007], f( 3)= 0.9901188
迭代精度：
迭代轮数
k= x(
else { b=a2; a2=a1; f2=f1; a1=b-0.618*(b-a); f1=xkadd(x,d,a1); } }while(b-a>ebsin); for(i=0;i<N;i++) x[i]+=(b+a)*d[i]/2; return; } /*二次插值法*/ int rccz(double x[],double d[],double h,double ebsin) { double a1,a2,a3,a4,f1,f2,f3,f4,c1,c2,ab[2]; int i,p=0,k=0; csssqj(x,d,h,ab); a1=ab[0]; a3=ab[1]; a2=(a1+a3)/2; f1=xkadd(x,d,a1); f2=xkadd(x,d,a2); f3=xkadd(x,d,a3); while(1) { c1=(f3-f1)/(a3-a1); c2=((f2-f1)/(a2-a1)-c1)/(a2-a3); if(0==c2) { p=1; break; } a4=0.5*(a1+a3-c1/c2); if((a4-a1)*(a3-a4)<=0.0) { p=2; break; } f4=xkadd(x,d,a4); if(1==k&&fabs(a4-a2)<=ebsin) break; if(a4<a2) {
**********外点惩罚函数法计算结果********** **********无约束优化方法：鲍威尔法********** ++++++一维搜索方法：黄金分割法++++++ **********初始惩罚因子：r0= 1.00********** ********** 初始坐标： x( 0)=[ 2.0000000, 2.0000000], f( 0)= 18.0000000 递增系数：c0=10.00**********
迭代精度： 迭代轮数 k= 10 x( 10)=[ 迭代精度： *********************
0.8228757, 0.000000011
0.9114378],
f( 10)=
1.3934650
外点惩罚函数法优化最优点及目标函数值为： x( *)=[ 0.8228757, 0.000000011 0.9114378], f( *)= 1.3934650 迭代精度：
4 4)=[ 0.9990110, 0.008902129 -0.0000008], f( 4)= 0.9990210
迭代精度：
迭代轮数
k= x(
5 5)=[ 0.9999100, 0.000899031 0.0000007], f( 5)= 0.9999200
迭代精度：
迭代轮数
k= x(
6 6)=[ 1.0000000, 0.000090004 -0.0000008], f( 6)= 1.0000100
太原理工大学机械学院机测系课程上机实验报告
课 程 名 称：
班级 姓名 实验 名称 所用 软件 实验目的： 实 验 目 的 及 内 容 1.掌握并能够建立最优化基本类型本方法，奠定最优化的理论基础。 3.能够熟练编制和调试最优化方法的程序，奠定解决实际中的优化问题的基础 实验内容： 理解外点罚函数法并编写相关程序求其极小值点。
min f ( x) ( x1 2) 2 ( x 2 1) 2 2 1 0 0.25 x12 x 2 s . t . x [2, 2]T x1 2 x 2 1 0 内点 ： ，其初始迭代点为 0 ，中止误
差 1e 5
算法程序实现
//*鲍威尔法*/ #include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> #define N 2 #define EPSIN 0.000001 #define H_QJ 1.0 #define Y_F 1 #define MC 10.0 #define NG 1 #define NH 1 FILE *fp; double mr=1.0; /*给出初始点坐标*/ void csd_x(double x0[]) { int i; for(i=0;i<N;i++) /*初始点为坐标原点的情况*/ /*外点惩罚因子*/ /*计算结果输出文件*/ char outname[50]="外点惩罚函数法计算结果.txt"; /*优化设计维数*/ /*迭代精度*/ /*初始区间搜索步长*/ /*一维搜索方法选择：1——黄金分割法*/ /* /*惩罚因子递增系数*/ /*不等式约束个数*/ /*等式约束个数*/ 2——二次插值法*/
} /*输出选定的一维迭代方法*/ void ywddf(int yw) { switch(yw) { case 1: fprintf(fp,"++++++一维搜索方法：黄金分割法++++++\n\n"); break; case 2: fprintf(fp,"++++++一维搜索方法：二次插值法++++++\n\n"); break; } return; } /*输出当前迭代点坐标及目标函数值*/ double xfout(double x[],int m) { int j; double f; f=hanshu(x); fprintf(fp," for(j=0;j<N-1;j++) fprintf(fp,"%15.7lf,",x[j]); fprintf(fp,"%15.7lf], return f; } /*初始搜索区间的确定*/ void csssqj(double x[],double d[],double h,double ab[]) { double a1,a2,a3,f1,f2,f3; a2=0.0; a3=a2+h; f2=xkadd(x,d,a2); f3=xkadd(x,d,a3); if(f3>f2) { a2=a3; a3=0.0; f1=f2; f2=f3; f3=f1; h=-h; } f(%3d)=%15.7lf\n",x[N-1],m,f); x(%3d)=[",m);