11反比例函数1

第十七章 反比例函数 17.1.1 反比例函数的意义知识技能目标1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式． 过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系． 二、探究归纳问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以vt 15=从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．2.自变量v 的取值是v ＞0．问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x (米)，求另一边的长y (米)与x 的函数关系式．分析 根据矩形面积可知xy ＝24，即 xy 24=从这个关系中发现： 1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大； 2.自变量的取值是x ＞0．上述两个函数都具有x k y =的形式，一般地，形如xky =(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function )．说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y ＝kx ，即k xy=，k 是常数，且k ≠0；反比例函数xky =，则xy ＝k ，k 是常数，且k ≠0．可利用定义判断两个量x 和y 满足哪一种比例关系．2.反比例函数的解析式又可以写成：1-==kx xky ( k 是常数，k ≠0)．3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k 即可． 三、实践应用例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是a cm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积s 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系． (4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y (吨)与该乡人口数x 的函数关系式．分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合xky =(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解 (1)ha 12=，是反比例函数；(2)F ＝ps ，是正比例函数；(3)s WF =，是反比例函数；(4)xmy =，是反比例函数．例2 当m 为何值时，函数224-=m xy 是反比例函数，并求出其函数解析式．分析 由反比例函数的定义易求出m 的值．解 由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，23=m ．所以反比例函数的解析式为xy 4=．例3 将下列各题中y 与x 的函数关系与出来．(1)zy 1=，z 与x 成正比例；(2)y 与z 成反比例，z 与3x 成反比例；(3)y 与2z 成反比例，z 与x 21成正比例；解 (1)根据题意，得z ＝kx (k ≠0)．把z ＝kx 代入z y 1=，得kx y 1=，即xk y 1=．因此y 是x 的反比例函数．(2)根据题意，得xkz z k y 3,21==(k 1，k 2均不为0)． 把x k z 32=代入z k y 1=，得x k k xk k y 212133==，即x k ky 213=．因此y 是x 的正比例函数． (3)根据题意，得x k z z k y 2121,2==．把zk y x k z 22112==代入，得 x k k y 21212⨯=，即y ＝xkk 21．因此y 是x 的反比例函数．例4 已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值．分析 因为y 与 x 2成反比例，所以设2xky =，再用待定系数法就可以求出k ，进而再求出y 的值．解 设2xk y =．因为当x ＝3时，y ＝2，所以92k=，k ＝18．当x ＝1.5时，8)5.1(181822===x y ． 例5 已知y ＝y 1＋y 2， y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析 y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则222xk y =，又由y ＝y 1＋y 2，可知，221x k x k y +=，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系式． 解 因为y 1与x 成正比例，所以 y 1＝k 1x ； 因为y 2与x 2成反比例，所以 222xk y =， 而y ＝y 1＋y 2，所以 221x k x k y +=， 当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．所以,.931942192121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=k k k k 解得⎩⎨⎧==36521k k 所以2365x x y +=．四、交流反思本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如xk y =(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function )．要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k 值，即可确定．17.1.2 反比例函数的图像和性质知识技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；2.利用反比例函数的图象解决有关问题． 过程性目标1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题． 教学过程 一、创设情境上节的练习中，我们画出了问题1中函数vst =的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数xky =（k 是常数，k ≠0）的图象，探究它有什么性质． 二、探究归纳1.画出函数xy 6=的图象．分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．解 1．列表：这个函数中自变量x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出x 与y 的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．上述图象，通常称为双曲线(hyperbola )．提问 这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数xy 6-=的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）．学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数xy 6=的图象有什么不同？2.反比例函数xky =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x 的增加，函数y 将怎样变化？有什么规律？反比例函数xky =有下列性质：(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加． 注 1．双曲线的两个分支与x 轴和y 轴没有交点； 2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？ 在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少．在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．三、实践应用例1 若反比例函数22)1(m x m y -+=的图象在第二、四象限，求m 的值．分析 由反比例函数的定义可知：122-=-m ,又由于图象在二、四象限，所以m ＋1＜0，由这两个条件可解出m 的值．解 由题意，得⎩⎨⎧<+-=-01,122m m 解得3-=m ．例2 已知反比例函数xky =(k≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，求一次函数y ＝kx －k 的图象经过的象限．分析 由于反比例函数xky =(k≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，因此k ＜0，而一次函数y ＝kx －k 中，k ＜0，可知，图象过二、四象限，又－k ＞0，所以直线与y 轴的交点在x 轴的上方．解 因为反比例函数xky =(k≠0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以k ＜0，所以一次函数y ＝kx －k 的图象经过一、二、四象限．例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A (－5,m )在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解 (1)设：反比例函数的解析式为：xky =(k≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．所以12k=-，k ＝－2．即反比例函数的解析式为：x y 2-=．(2)点A (－5,m )在反比例函数x y 2-=图象上，所以5252=--=m ， 点A 的坐标为)52,5(-．点A 关于x 轴的对称点)52,5(--不在这个图象上；点A 关于y 轴的对称点)52,5(不在这个图象上；点A 关于原点的对称点)52,5(-在这个图象上；例4 已知函数23)2(m xm y --=为反比例函数．(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？(3)当－3≤x ≤21-时，求此函数的最大值和最小值．解 (1)由反比例函数的定义可知：⎩⎨⎧≠--=-.02,132m m 解得，m ＝－2．(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随x 的增大而增大．(3)因为在第个象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x ＝21-时，y 最大值＝8214=--；当x ＝－3时，y 最小值＝3434=--． 所以当－3≤x ≤21-时，此函数的最大值为8，最小值为34．例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．(1)写出用高表示长的函数关系式； (2)写出自变量x 的取值范围； (3)画出函数的图象．解 (1)因为100＝5xy ,所以xy 20．(2)x ＞0．(3)图象如下：说明 由于自变量x ＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．四、交流反思本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola )．2.反比例函数有如下性质：(1)当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 随x 的增加而减少；(2)当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 随x 的增加而增加.17．2实际问题与反比例函数（1）一、教学目标1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力 二、重点、难点1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 三、例题的意图分析教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。