11反比例函数(1)
知识清单11 反比例函数- 2020年中考数学知识清单大全25讲(附例释)
知识清单11：反比例函数1. 反比例函数的概念2. 反比例函数的图像与性质3. 确定反比例函数表达式4. k 值的几何意义5. 反比例函数与一次函数交点问题6. 反比例函数的实际应用1.反比例函数的概念（1）定义：形如y ＝kx (k ≠0)的函数称为反比例函数，k 叫做比例系数， 自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y ＝kx ；②y=kx -1; ③xy=k.(其中k 为常数，且k ≠0)2.反比例函数的图象和性质3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x 轴和y 轴，但都不会与x 轴和y 轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条 对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例 函数系数k 即可.名师点睛：（1）例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．（2）判断点是否在反比例函数图象上的方法： ①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式； ②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k（3）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.（4）例：若(a ，b)在反比例函数ky x=的图象上，则(－a ，－b)在该函数图象上.（5）例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则反比例函数解析式的k=(-3)·(-1)=3，它的解析式是3y x=.（1）意义：从反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂 线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为2k.（2）反比例函数的|k |越大，则图像越远离原点.6.反比例函数与一次函数的综合（1）确定交点坐标：①已知一个交点坐标为（a ，b ），则根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为（-a ，-b ）；②联立两个函数解析式，利 用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代 入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数 的关系，可采用假设法，分k ＞0和k ＜0两种情况讨论，看哪个选项 符合要求即可，也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图 象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. （5）两函数交点个数问题：①若两函数有两个交点，则联立后的一元二次方程△＞0； ②若两函数有唯一交点，则联立后的一元二次方程△＝0； ③若两函数有没有交点，则联立后的一元二次方程△＜0；7.实际应用的一般步骤（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.名师点睛：（6）已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k ＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3y x =或3y x=-.（7）涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k 的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S △AOC =S △BOD ＜S △OPE .（8）k 值几何意义：（9）例：若一次函数6y x =-+向右平移m 个单位后与反比例函数2y x=有唯一交点，则m 的值为_____. 解：令()26x m x-++=，化简得：()2620xm x +-+=因为两函数有唯一交点，则△=0， 即()2680m --=，解得226m =±+.函数的平移规律：上加下减，左加右减，上、下平移直接在解析式后加减，左、右平移在自变量x的地方加减.例题：函数723yx=-+并非y关于x的反比例函数，但可以看成是由y关于x的反比例函数7yx=向左平3个单位和向下平移2个单位得到，图像在平移的过程中，“临界线”也跟着发生了相应的平移，如图所示：临界线：x轴和y轴7yx =。
11.1 反比例函数(第1课时)(备作业)(苏科版)
第11章反比例函数11.1 反比例函数（第1课时）一、单选题（共6小题）1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝C．y＝x+3D．y＝x22.已知x与y成反比例，z与x成正比例，则y与z的关系是（）A．成正比例B．成反比例C．既成正比例也成反比例D．以上都不是3.下列说法中，两个量成反比例关系的是（）A．商一定，被除数与除数B．比例尺一定，图上距离与实际距离C．圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高D．圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高4.下列函数：①y＝﹣2x；②y＝；③y＝x﹣1；④y＝5x2+1，是反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5.将x＝代入反比例函数y＝﹣中，所得函数记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数记为y2，再持x＝y2+1代入函数中，所得函数记为y3，如此继续下去，则y2009值为（）A．2B．C．D．6.若xy≠0，x+y≠0，与x+y成反比，则（x+y）2与x2+y2（）A．成正比B．成反比C．既不成正也不成反比D．的关系不确定二、填空题（共6小题）7.若是反比例函数，则m满足的条件是．8.已知函数y＝（k+2）x是反比例函数，则k＝．9.函数y＝是y关于x的反比例函数，那么m的值是﹣．10.已知反比例函数y＝（k﹣1）x，那么k的值是．11.若（xy﹣2）（x2y2+1）＝0，则y与x之间的函数关系式为．12.已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．y与x 之间的函数关系式，当x＝4时，求y＝．三、解答题（共6小题）13.已知函数y＝是反比例函数，求m的值．14.反比例函数y＝（m﹣2）x2m+1的函数值为3时，求自变量x的值．15.已知y＝（m2+2m）x是关x于的反比例函数，求m的值及函数的解析式．16.已知函数y＝（m2+2m）（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．17.列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．18.已知函数y＝2y1﹣y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝3，求y与x的函数关系式．。
第11讲 反比例函数（含答案点拨）
第11讲 反比例函数考纲要求命题趋势1．理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式探索并理解其基本性质．3．能用反比例函数解决简单实际问题.反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考查形式以选择题、填空题为主.知识梳理一、反比例函数的概念一般地，形如________________(k 是常数，k ≠0)的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y ＝k x 中的kx是一个分式，所以自变量________，函数与x 轴、y 轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于已知常数k .二、反比例函数的图象与性质 1．图象反比例函数的图象是双曲线． 2．性质(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________；当k ＜0时，双曲线的两支分别在________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y ＝x 或y ＝－x 是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．三、反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式由于反比例函数y ＝kx中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x ，y 值，或已知其图象上一个______的坐标即可求出k ，进而确定反比例函数的解析式．2．反比例函数的实际应用 解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．自主测试1．如图，是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝4xC ．y ＝－3xD ．y ＝12x2．已知点P (－1,4)在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上，则k 的值是( )A ．－14B ．14C ．4D ．－43．若点A (1，y 1)，B (2，y 2)是双曲线y ＝3x上的点，则y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．考点一、反比例函数的图象与性质【例1】反比例函数y ＝m －1x 的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是__________．解析：∵函数的图象在第一、三象限，∴m －1＞0，∴m ＞1. 答案：m ＞1方法总结 1．.由于双曲线自变量的取值范围是x ≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y 随x 的变化而变化的情况．2．反比例函数图象的分布取决于k 的符号，当k ＞0时，图象在第一、三象限，当k ＜0时，图象在第二、四象限．触类旁通 1 若双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是__________．考点二、反比例函数解析式的确定【例2】如图，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限的交点为A ，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，已知OB ＝1，求点A 的坐标和这个反比例函数的解析式．解：∵AB 垂直x 轴于点B ，OB ＝1，且点A 在第一象限，∴点A 的横坐标为1.又∵直线y ＝2x 的图象经过A ，∴y ＝2x ＝2×1＝2，即点A 的坐标为(1,2)．∵y ＝k x 的图象过点A (1,2)，∴2＝k1.∴k ＝2.∴这个反比例函数的解析式为y ＝2x.方法总结 反比例函数只有一个基本量k ，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x ，y 的一对对应值．触类旁通2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－2x 的图象与反比例函数y ＝kx的图象的一个交点为A (－1，n )．(1)求反比例函数y ＝kx的解析式；(2)若P 是坐标轴上一点，且满足P A ＝OA ，直接写出点P 的坐标． 考点三、反比例函数的比例系数k 的几何意义【例3】已知点P 在函数y ＝2x(x ＞0)的图象上，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，则矩形OAPB 的面积为__________．解析：矩形OAPB 的面积等于|xy |＝|k |＝2. 答案：2方法总结 过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S ＝12|k |.触类旁通3 一个反比例函数的图象如图所示，若A 是图象上任意一点，AM ⊥x 轴于M ，O 是原点，如果△AOM 的面积是3，那么这个反比例函数的解析式是__________．1．(浙江台州)点(－1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝6x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 22．(湖南常德)对于函数y ＝6x，下列说法错误的是( )A ．它的图象分布在第一、三象限B ．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小3.(贵州铜仁)如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝kx的图象经过点A ，则k的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－44．(兰州)如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝3x上，且AB ∥x 轴，点C 和点D 在x 轴上．若四边形ABCD 为矩形，则矩形ABCD 的面积为__________．5．(四川成都)如图，一次函数y ＝－2x ＋b (b 为常数)的图象与反比例函数y ＝kx(k 为常数，且k ≠0)的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(－1,4)．(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B 的坐标．6．(四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？1．某反比例函数的图象经过点(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是( ) A ．(－3,2) B ．(3,2) C ．(2,3) D ．(6,1)2．若函数y ＝m ＋2x的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜－2C ．m ＞2D ．m ＜23．对于反比例函数y ＝1x，下列说法正确的是( )A ．图象经过点(1，－1)B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大4．已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 15．反比例函数y ＝kx的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的点P 的坐标为__________．6．在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为__________．7．如图，已知点A 在反比例函数图象上，AM ⊥x 轴于点M ，且△AOM 的面积是1，则反比例函数的解析式为__________．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于点B ，A ，与反比例函数的图象分别交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的解析式； (2)求直线AB 的解析式．参考答案导学必备知识 自主测试1．B 因为图象的两个分支在第一、三象限，所以k ＞0，A ，D 选项不是反比例函数，故选B.2．D k ＝xy ＝－1×4＝－4.3．＞ 因为当x ＝1时，y 1＝3；当x ＝2时，y 2＝32，所以y 1＞y 2. 探究考点方法触类旁通1．k ＜12 ∵图象经过第二、四象限，∴2k －1＜0，∴k ＜12.触类旁通2．分析：(1)把A 的坐标代入函数解析式即可求得k 的值，即可得到函数解析式；(2)以A 为圆心，以OA 为半径的圆与坐标轴的交点就是P . 解：(1)∵点A (－1，n )在一次函数y ＝－2x 的图象上， ∴n ＝－2×(－1)＝2.∴点A 的坐标为(－1,2)．∵点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，∴k ＝－2.∴反比例函数的解析式为y ＝－2x .(2)点P 的坐标为(－2,0)或(0,4)．触类旁通3．y ＝6x 设反比例函数为y ＝kx(k ≠0)．∵△AOM 的面积可表示为S △AOM ＝12|k |，又∵S △AOM ＝3，∴12|k |＝3.∴|k |＝6.∵双曲线在第一、三象限，∴k ＞0.∴k ＝6.∴反比例函数的解析式为y ＝6x.品鉴经典考题1．D 因为k ＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y 随x 的增大而减小，所以0＜y 3＜y 2，点(－1，y 1)在第三象限，所以y 1＜0＜y 3，所以y 1＜y 3＜y 2.2．C 因为k ＝6＞0，所以函数图象的的两个分支分别在第一、三象限，各象限内y 随x 的增大而减小，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，所以A ，B ，D 正确，C 错误．3．D 因为正方形ABOC 的边长为2，所以面积为4，根据反比例函数系数k 的几何意义，又图象在第二象限，所以k ＝－4.4．2 延长BA 交y 轴于点E ，则矩形EBCO 的面积为3，矩形EADO 的面积为1，所以矩形ABCD 的面积为3－1＝2.5．解：(1)把A (－1,4)代入y ＝kx 得k ＝－4，∴反比例函数的解析式为y ＝－4x .把A (－1,4)代入y ＝－2x ＋b 得－2×(－1)＋b ＝4， 解得b ＝2.∴一次函数解析式为y ＝－2x ＋2.(2)将y ＝－4x和y ＝－2x ＋2组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4x，y ＝－2x ＋2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，所以B 点坐标是(2，－2)．6．解：(1)药物燃烧后，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 1x .把B (25,6)代入得6＝k 125，解得k 1＝150.∴药物燃烧后，y 与x 的函数关系式为y ＝150x.令y ＝150x ＝10，解得x ＝15.∴A (15,10)．药物燃烧时，设y 与x 的函数关系式为y ＝k 2x . 把A (15,10)代入得10＝15k 2，解得k 2＝23.∴药物燃烧时y 与x 的函数关系式为y ＝23x (0≤x ＜15)，药物燃烧后y 与x 的函数关系式为y ＝150x(x ≥15)．(2)把y ＝2代入y ＝150x ，得150x＝2，解得x ＝75，∴从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能进入教室．研习预测试题1．A 因为反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积相等，－3×2＝－1×6，故选A. 2．B 因为在象限内y 的值随x 值的增大而增大，所以图象两分支在第二、四象限，得m ＋2＜0，即m ＜－2，故选B.3．C 因为k ＝1＞0，所以双曲线两分支位于第一、三象限，y 随x 的增大而减小，图象关于原点中心对称，故选C.4．A ∵k ＝－4，∴图象两分支在第二、四象限，在每个象限y 随x 增大而增大．∵x 1＜x 2＜0，∴0＜y 1＜y 2.∵x 3＞0，∴y 3＜0，∴y 3＜y 1＜y 2，故选A.5．(－1，－2)(答案不唯一) 因为图象过点A (1,2)，所以k ＝2，只需点P 的横纵坐标均为负数且乘积为2即可．6．⎝⎛⎭⎫8，32 ∵AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，∴AB ＝6， ∴OB ＝8.∵点C 是OA 中点，∴OC ＝5，∴C 点的坐标为(4,3)，∴k ＝12.∵D 点横坐标为8，∴纵坐标为128＝32.7．y ＝－2x8．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝2＋4＝6. ∵CE ⊥x 轴于点E ，∴tan ∠ABO ＝CE BE ＝12，∴CE ＝3.∴点C 的坐标为(－2,3)．设反比例函数的解析式为y ＝mx (m ≠0)．将点C 的坐标代入，得3＝m－2，m ＝－6.∴该反比例函数的解析式为y ＝－6x .(2)∵OB ＝4，∴B (4,0)．∵tan ∠ABO ＝OA OB ＝12，∴OA ＝2，∴A (0,2)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将点A ，B 的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，4k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.∴直线AB 的解析式为y ＝－12x ＋2.。
中考一轮复习--第11讲 反比例函数及其应用
1
∴a=2,∴直线 OB 的函数表达式为 y=2x.
(2)如图,作 CD⊥OA 于点 D,∵C(1,2),
∴OC= 12 + 22 = 5.
在平行四边形 OABC 中,
CB=OA=3,AB=OC= 5,
∴四边形 OABC 的周长为 3+3+ 5 + 5
=6+2 5,
即四边形 OABC 的周长为 6+2 5.
动程序.若在水温为30 ℃时接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关
系如图所示.
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水,请问她最多需要等待多长时间?
考法1
考法2
考法3
考法4
分析:(1)根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式,注意
函数图象是循环出现的;(2)根据(1)中的函数解析式可以解答本题.
(1)求k的值及直线OB的函数表达式;
(2)求四边形OABC的周长.
考法1
考法2
考法3
考法4
解:(1)依题意有:点 C(1,2)在反比例函数 y= (k≠0)的图象上,
∴k=xy=2.
∵A(3,0),∴CB=OA=3.又 CB∥x 轴,∴B(4,2).设直线 OB 的函数表达
式为 y=ax,∴2=4a,
考法1
考法2
考法3
考法4
反比例函数的图象和性质
例2(2019·江苏镇江)已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=- 2
的图象上,则y1
y2.(填“>”或“<”)
答案:<
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第11章 反比例函数-2021年中考数学一轮复习(考点梳理+重难点讲解+过关演练)
2021年中考数学一轮复习(通用版)第11章反比例函数考点梳理考点一反比例函数的概念、图象和性质1．反比例函数的概念一般地，函数y＝(k为常数，且k≠0)叫做反比例函数．【点拨】(1)函数y＝kx－1或xy＝k都是反比例函数；(2)反比例函数中自变量的取值范围是x≠0. 2．反比例函数的图象和性质(1)反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)的图象是．(2)反比例函数的图象无限接近，但永不与相交．(3)反比例函数的图象和性质第一、三象限第二、四象限一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小．3．确定反比例函数的表达式(1)求反比例函数的表达式可用待定系数法．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值即可．(2)求反比例函数表达式的一般步骤：①设反比例函数的表达式；①把已知的一组对应值代入函数表达式，建立方程；①解方程求得待定系数的值．4．反比例函数的系数k的几何意义如图，设点P(x，y)是反比例函数y＝kx图象上任一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，则①OP A的面积＝12OA·P A＝12|xy|＝12|k|，这就是反比例函数的系数k的几何意义．【点拨】根据比例系数k的几何意义，求k值时，要根据双曲线所在的象限正确确定k的符号.考点二反比例函数的应用1．反比例函数与一次函数的综合应用(1)求函数解析式一般先通过一个已知点求出反比例函数解析式，再由反比例函数的解析式求出另一个交点的坐标，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式中，解方程(组)即可．(2)求交点坐标将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立成方程组求解即可；对于正比例函数与反比例函数，其均关于原点对称，只要知道一个交点的坐标，就可以求出其关于原点对称的另一个交点的坐标．(3)求面积①当有一边在坐标轴上时，通常将坐标轴上的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；①当两边均不在坐标轴上时，一般可采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来求解．此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“坐标”．(4)比较两个函数值的大小，求自变量的取值范围2．反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题，首先要建立反比例函数的数学模型，这也是关键一步，一般地，建立反比例函数模型有两种思路：(1)题目中明确指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下，可利用待定系数法求反比例函数的解析式.(2)题目中未指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下可利用基本数量关系求反比例函数的关系式，反比例函数模型建立后，进一步地可利用反比例函数的图像及性质解决问题．重难点讲解考点一正确理解反比例函数的概念，会求k值和反比例函数的解析式方法指导：因为反比例函数的解析式y＝kx(k≠0)中只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式，因而只需给出一组x，y的值或图象上一点的坐标，代入y＝kx(k≠0)中即可求出k的值，从而确定反比例函数的解析式．另外，反比例函数解析式y＝kx(k≠0)也可以变形为k＝xy(k≠0)，所以要求的k值就等于双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之积．进一步理解得到反比例函数解析式y＝kx(k≠0)中，比例系数k的几何意义是过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为|k|.经典例题1 (2020•安徽滁州模拟)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx(x＞0)经过矩形ABOC的对角线OA的中点M，已知矩形ABOC的面积为16，则k的值为()A．2B．4C．6D．8【解析】设A(a，b)，则ab＝16，∵点M是OA的中点，∴M(12a，12b)，∵反比例函数y＝kx(x＞0)经过点M，∴k＝12a﹒12b＝14ab＝14×16＝4．【答案】B考点二一次函数与反比例函数的综合方法指导：这类问题常有以下四种主要题型：(1)利用k值与图象的位置关系，综合确定系数符号或图象位置．解题策略：分k>0和k<0两种情况考虑．(2)已知直线与双曲线的表达式求交点坐标．解题策略：联立直线与双曲线的方程组成方程组求解．(3)用待定系数法确定直线与双曲线的表达式．解题策略：待定系数法．(4)应用函数图象的性质比较一次函数值与反比例函数值的大小．解题策略：看图象，以两个图象的交点为界，图象在上方的函数值比图象在下方的要大．经典例题2 (2020•黑龙江大庆模拟)如图，一次函数y＝－x＋5的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B两点．(1)求反比例函数的解析式与点B坐标；(2)求△AOB的面积．【解析】(1)利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题．(2)构建方程组求出交点B坐标，直线y＝－x ＋5交y轴于E(0，5)，根据S△AOB＝S△OBE－S△AOE计算即可．解：(1)∵A(1，n)在直线y＝－x＋5上，∴n＝－1＋5＝4，∴A(1，4)，把A(1，4)代入y＝kx得到k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x．(2)由45y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，，解得14x y =⎧⎨=⎩，或41x y =⎧⎨=⎩，， ∴B (4，1)，直线y ＝－x ＋5交y 轴于E (0，5)， ∴S △AOB ＝S △OBE －S △AOE ＝12×5×4－12×5×1＝7.5．考点三 反比例函数的应用 方法指导：利用反比例函数解决实际问题，我们应抽象概括出反比例函数关系，建立反比例函数模型．根据已知条件写出反比例函数的解析式，并能把实际问题反映在函数的图象上，结合图象和性质解决实际问题．因此，利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数模型，即求出反比例函数解析式．一般地，建立反比例函数模型有以下两种常用方法：(1)待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为y ＝kx(k ≠0)，然后求出k 的值即可．(2)列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数(y )和自变量(x )的方程，进而解出函数，得到函数解析式．经典例题3 (2020·江西模拟)小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y (℃)与开机时间x (分)成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0≤x ≤10时，求水温y (℃)与开机时间x (分)的函数关系式； (2)求图中t 的值；(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？解：(1)当0≤x≤10时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系为y＝kx＋b，依据题意，得2010100 bk b⎧⎨⎩＝，＋＝，解得820kb⎧⎨⎩＝，＝，故此函数解析式为y＝8x＋20.(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为y＝mx，依据题意，得100＝10m，即m＝1000，故y＝1000x，当y＝20时，20＝1000t，解得t＝50.(3)∵57－50＝7＜10，∴当x＝7时，y＝8×7＋20＝76.答：小明散步57分钟回到家时，饮水机内的温度约为76℃.过关演练1．(2020·河南一模)已知点A(2，a)，B(－3，b)都在双曲线y＝－6x上，则()A．a＜b＜0B．a＜0＜b C．b＜a＜0 D．b＜0＜a2．(2020•山东德州中考)函数y＝kx和y＝－kx＋2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A B C D 3．(2020•贵州黔西南州中考)如图，在菱形ABOC中，AB＝2，①A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx(k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为()A ．y ＝－x B ．y ＝－x C ．y ＝－3xD ．y ＝x4．(2020·湖南长沙模拟)若点A (3，4)是反比例函数y ＝kx图象上一点，则下列说法正确的是( ) A ．图象分別位于二、四象限 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．点(2，－6)在函数图象上 D ．当y ≤4时，x ≥3 5．(2020·安徽合肥模拟)在同一坐标系中，函数y ＝kx和y ＝－kx ＋3的大致图象可能是( )A B C D6．(2020·安徽合肥一模)如图，若反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点(－12，4)，点A 为图象上任意一点，点B 在x 轴负半轴上，连接AO ，AB ，当AB ＝OA 时，①AOB 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法确定7. (2020•湖北孝感中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位：A)与电阻R (单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为( )A．I＝24RB．I＝36RC．I＝48RD．I＝64R8. (2020•湖南长沙中考)2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v(单位：m3/天)与完成运送任务所需时间t(单位：天)之间的函数关系式是()A．v＝610tB．v＝106t C．v＝6110t2D．v＝106t29．(2020·河北一模)已知反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx＋b的图象相交于点A(4，1)，B(a，2)两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为(1，0)，则①ACD的面积为()A．12B．9C．6D．510．(2020·广东广州一模)如图所示，已知A(13，y1)，B(3，y2)为反比例函数y＝1x图象上的两点，动点P(x，0)在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是()A．(13，0) B．(43，0) C．(23，0) D．(103，0)11．(2020·湖北十堰一模)已知反比例函数y＝24kx+(k是常数，且k≠－2)的图象有一支在第二象限，则k的取值范围是．12．(2020•江苏无锡模拟)如果反比例函数y＝3ax-(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是．13．(2020•山东滨州中考)若正比例函数y＝2x的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则该反比例函数的解析式为．14．(2020•四川甘孜州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数y＝2 x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且①ABP的面积是①AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为．15．(2020·安徽阜阳模拟)如图，菱形ABCD的顶点A，B的横坐标分别为1，4，BD①x轴，双曲线y＝5 x (x＞0)经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．16．(2020•山东青岛)如图所示，点A是反比例函数y＝kx(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝．17．(2020•浙江台州中考)小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(单位：秒)与训练次数x(单位：次)之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较(y1－y2)与(y2－y3)的大小：y1－y2y2－y3．18．(2020•山东济宁中考)在①ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，①ABC的面积为2．(1)y关于x的函数关系式是，x的取值范围是；(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；(3)将直线y＝－x＋3向上平移a(a＞0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．19．(2020·安徽合肥三模)如图，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交于点A(－3，m)，与x轴交于点B(－2，0)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若直线y＝3与直线AB交于点C，与双曲线交于点D，求CD的长；(3)根据图象，直接写出不等式－x＋b＜kx＜3的解集．20．(2020·浙江金华模拟)如图，一次函数y1＝－x＋4的图象与反比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B两点，与y轴和x轴分别交于C，D两点，AM①y轴，BN①x轴，垂足分别为M，N两点，且AM与BN交于点E.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)直接写出反比例函数图象位于第一象限且y1＜y2时自变量x的取值范围；(3)求①OAB与①ABE的面积的比．21．(2020•四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，过点A的直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于B，C两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)若①AOB的面积为①BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．22．(2020•山东聊城中考)如图，已知反比例函数y＝kx的图象与直线y＝ax＋b相交于点A(－2，3)，B(1，m)．(1)求出直线y＝ax＋b的表达式；(2)在x轴上有一点P使得①P AB的面积为18，求出点P的坐标．23．(2020·江西南昌模拟)制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800①，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600①.煅烧时温度y(①)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(①)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是26①.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据工艺要求，当材料温度低于400①时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？参考答案考点梳理考点一 1.kx2. (1)双曲线 (2)坐标轴 坐标轴 (3)减小 增大 中心 过关演练1. B 【解析】①双曲线y ＝6x，k ＝－6＜0，①双曲线在第二、四象限，①2＞0，－3＜0，①点A (2，a )在第四象限，点B (－3，b )在第二象限，①a ＜0＜b .2. D 【解析】在函数y ＝k x 和y ＝－kx ＋2(k ≠0)中，当k ＞0时，函数y ＝kx的图象在第一、三象限，函数y ＝－kx ＋2的图象在第一、二、四象限，故选项A 、B 错误，选项D 正确；当k ＜0时，函数y ＝kx的图象在第二、四象限，函数y ＝－kx ＋2的图象在第一、二、三象限，故选项C 错误．3. B 【解析】①在菱形ABOC 中，①A ＝60°，菱形边长为2，①OC ＝2，①COB ＝60°，①点C 的坐标为(－1，，①顶点C 在反比例函数y ═k x 的图象上，＝1k，得k y ＝－x ．4. B 【解析】①点A (3，4)是反比例函数y ＝kx图象上一点，①k ＝xy ＝3×4＝12，①此反比例函数的解析式为y ＝12x.①k ＝12＞0，①此函数的图象位于一、三象限，故选项A 错误；①k ＝12＞0，①在每一象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确；①2×(－6)＝－12≠12，①点(2，－6)不在此函数的图象上，故选项C 错误；当y ≤4时，即y ＝12x≤4，解得x ＜0或x ≥3，故选项D 错误． 5. D 【解析】由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＞0，则k ＜0，故选项A 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＞0，则k ＜0，故选项B 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＜0，根据一次函数图象可得－k ＜0，则k ＞0，故选项C 错误；由反比例函数图象得函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中k ＞0，根据一次函数图象可得－k ＜0，则k ＞0，故选项D 正确．6. B 【解析】①反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点(－12，4)，①k ＝－12×4＝－2，过A 点作AC ①OB于点C，①①ACO的面积为12×2＝1，①AO＝AB，①OC＝BC，①S①AOB＝2S①AOC＝2.7. C 【解析】设I＝kR，把(8，6)代入得：k＝8×6＝48，故这个反比例函数的解析式为I＝48R．8. A 【解析】①运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，①106＝vt，①v＝6 10t．9. D 【解析】①点A(4，1)在反比例函数y＝mx上，①m＝xy＝4×1＝4，①y＝4x.把B(a，2)代入y＝4x得2＝4a，①a＝2，①B(2，2)．①把A(4，1)，B(2，2)代入y＝kx＋b.①1422k bk b⎧⎨⎩＝＋，＝＋，解得123kb⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，①一次函数的解析式为y＝12x＋3，①点C在直线y＝12x＋3上，①当x＝0时，y＝3，①C(0，3)．过A作AE①x轴于点E.①S①ACD＝S梯形AEOC－S①COD－S①DEA＝(13)42+⨯－12×1×3－12×1×3＝5.10. D 【解析】把A(13，y1)，B(3，y2)代入反比例函数y＝1x得y1＝3，y2＝13，①A(13，3)，B(3，13)．连接AB，在①ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，①延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，P A－PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝ax＋b(a≠0)，把点A，B的坐标代入得133133a ba b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋，＝＋，解得1103ab⎧⎪⎨⎪⎩＝－，＝，①直线AB的解析式是y＝－x＋103，当y＝0时，x＝103，即P(103，0)．11. k＜－2 【解析】①反比例函数y＝24kx+的图象有一支在第二象限，①2k＋4＜0，解得k＜－2.12. a＞3 【解析】∵反比例函数y＝3ax-(a是常数)的图象在第一、三象限，∴a－3＞0，∴a＞3．13. y＝2x【解析】当y＝2时，即y＝2x＝2，解得x＝1，故该点的坐标为(1，2)，将(1，2)代入反比例函数表达式y＝kx，解得k＝2，故该反比例函数的解析式为y＝2x．14. 2【解析】①当点P在AB下方时作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则①ABP的面积是①AOB的面积的2倍，直线AB与x轴交点的坐标为(－1，0)，则直线l与x轴交点的坐标C(1，0)，设直线l的表达式为y＝x＋b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝－1，故直线l的表达式为y＝x－1①，而反比例函数的表达式为y＝2x①，联立①①并解得x＝2或－1(舍去)；①当点P在AB上方时，同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x＋3①，联立①①并解得x舍去负值)．15. 452【解析】连接AC，与BD交于点M，①菱形对角线BD①x轴，①AC①BD，①点A，B横坐标分别为1和4，双曲线y＝5x(x＞0)经过A，B两点，①AM＝5－54＝154，BM＝4－1＝3，①AC＝152，BD＝6，①菱形ABCD的面积12AC·BD＝452.16. －4 【解析】设反比例函数的解析式为y＝kx．∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，△AOB的面积＝12|k|，∴12|k|＝2，∴k＝±4；又反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k＝－4．17. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx，把(3，400)代入y＝kx得，400＝3k，解得k＝1200，①y与x之间的函数关系式为y＝1200x；(2)＞提示：把x＝6，8，10分别代入y＝1200x得，y1＝12006＝200，y2＝12008＝150，y3＝120010＝120，①y1－y2＝200－150＝50，y2－y3＝150－120＝30，①50＞30，①y1－y2＞y2－y3．18. 解：(1)y＝4xx＞0 提示：①在①ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，①ABC的面积为2，①12xy＝2，①xy＝4，①y关于x的函数关系式是y＝4x，x的取值范围为x＞0.(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；(3)将直线y ＝－x ＋3向上平移a (a ＞0)个单位长度后解析式为y ＝－x ＋3＋a ，解34y x a y x =-++⎧⎪⎨=⎪⎩，， 整理得，x 2－(3＋a )x ＋4＝0，①平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，①①＝(3＋a )2－16＝0，解得a ＝1，a ＝－7(不合题意舍去)，故此时a 的值为1．19. 解：(1)由点B (－2，0)在一次函数y ＝－x ＋b 上，得b ＝－2，①一次函数的表达式为y ＝－x －2；由点A (－3，m )在y ＝－x －2上，得m ＝1，①A (－3，1)，把A (－3，1)代入数y ＝kx(x ＜0)得k ＝－3，①反比例函数的表达式为y ＝－3x. (2)y ＝3，即y C ＝y D ＝3，当y C ＝3时，－x C －2＝3，解得x C ＝－5，当y D ＝3时，3＝－3Dx ，解得x D ＝－1，①CD ＝x D －x C ＝－1－(－5)＝4. (3)不等式－x ＋b ＜kx＜3的解集为－3＜x ＜－1. 20. 解：(1)当x ＝1时，a ＝－x ＋4＝3，①点A 的坐标为(1，3)．将点A (1，3)代入y ＝kx中，①k ＝1×3＝3，①反比例函数的表达式为y ＝3x ，联立34y xy x ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝－＋，解得13x y ⎧⎨⎩＝，＝，或31x y ⎧⎨⎩＝，＝， ①B (3，1)． (2)反比例函数图象位于第一象限且y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜1或x ＞3. (3)①A (1，3)，B (3，1)，①E (3，3)，AE ＝2，BE ＝2，①S ①ABE ＝12×2×2＝2，①S ①OAB ＝S 四边形ONEM －S ①ABE －S ①AOM －S ①BON ＝3×3－2－12×3×1－12×3×1＝4，①①OAB 与①ABE 的面积的比是4①2＝2①1.21. 解：(1)①反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点A(3，4)，①k＝3×4＝12，①反比例函数的表达式为y＝12x；(2)①直线y＝kx＋b过点A，①3k＋b＝4，①过点A的直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于B，C两点，①B(－b k ，0)，C(0，b)，①①AOB的面积为①BOC的面积的2倍，①12×4×|－bk|＝2×12×|－bk|×|b|，①b＝±2，当b＝2时，k＝23，当b＝－2时，k＝2，①直线的函数表达式为y＝23x＋2，y＝2x－2．22. 解：(1)将点A(－2，3)的坐标代入反比例函数表达式y＝kx，解得k＝－2×3＝－6，故反比例函数表达式为y＝－6x，将点B的坐标代入上式，解得m＝－6，故点B(1，－6)，将点A，B的坐标代入一次函数表达式得326=a ba b=-+⎧⎨-+⎩，，解得3=3ab=-⎧⎨-⎩，，故直线的表达式为y＝－3x－3；(2)设直线与x轴的交点为E，当y＝0时，x＝－1，故点E(－1，0)，分别过点A，B作x轴的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，则S①P AB＝12PE•CA＋12PE•BD＝32PE＋62PE＝92PE＝18，解得PE＝4，故点P的坐标为(3，0)或(－5，0)．23. 解：(1)材料锻造时，设y＝kx(k≠0)，由题意得600＝8k，解得k＝4800，当y＝800时，4800x＝800，解得x＝6，①点B的坐标为(6，800)．材料煅烧时，设y＝ax＋26(a≠0)，由题意得800＝6a＋26，解得a＝129，①材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝129x＋26(0≤x≤6).4800÷26＝184.6，①锻造操作时y与x的函数关系式为y＝4800x(6＜x＜184.6)．(2)把y＝400代入y＝4800x，得x＝12，12－6＝6(分)．答：锻造的操作时间为6分钟．。
2025年广东省中考数学一轮复习课件：第11讲反比例函数
−
解：(1)把点 A (－1， m )， B (n，－1)分别代入 y ＝ ，
−
−
得 m ＝ ，－1＝ .解得 m ＝2， n ＝2.
−
所以点 A 的坐标为(－1，2)，点 B 的坐标为(2，－1).
把点 A (－1，2)， B (2，－1)代入 y ＝ kx ＋ b ，
(1)求 y1＝ 与 y2＝ mx ＋ n 的解析式；
解：∵反比例函数 y1＝ 和一次函数 y2＝ mx ＋ n 的图象相交于点
3
3
A (－3， a )， B (a＋ ，－2)两点，∴ k ＝－3 a ＝－2(a＋ ).
2
2
9
∴ a ＝3.∴点 A (－3，3)， B ( ，－2).∴ k ＝－3×3＝－9.
③在每个象限内， y 随 x 的 ③在每个象限内， y 随 x 的
增大而减小.
增大而增大.
(2) k 的几何意义：
过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段，两条垂线段以及两
坐标轴围成的矩形的面积为 .
(3)反比例函数的实际应用：
常见应用问题：电学问题(I＝ )、力学问题(p＝ )、排水问
C. － 6
)
D. －12
典型例题
考查点
反比例函数的综合
2. (2020·广州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
▱
OABC 的边
OC 在 x 轴上，对角线 AC ， OB 交于点 M ，函数 y ＝ (x＞0)的图
象经过点 A (3，4)和点 M .
第11章 反比例函数小结与思考
∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
4．函数y= (a 2a) x
2
a2 a 1
中,当a=_____时,是正比例 在每个象限内,y随x的减小
函数;当a=___时, 是反比例函数.
5．已知函数y=
而减小,则k的取值范围是_______. 6．已知反比例函数y= kx12 k ,当x>0时,y随x的 ________而增大. 7．点 A（ a，b ）、B( a-1, c )均在反比例函数
∆
（3）求⊿ODC的面积。
D
课堂练习
∆ ∆ ∆
1、下列函数中，y是x反比例函数的是
A
y
x 2
B
y
1 x2
C
y
1 2 x
D
xy 2
（
）
2 、已知反比例函数的图像经过点 （ 2 ， -3 ），则它的图像一定也经过 （ ） A (－2,－3) B
y
∆ ∆ ∆ ∆
(3,－2)
C
(－1，-6)
y y y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
∆ ∆
k2 2 y 7、函数 图像上三点(-2，y1)，(-1，y2 )， x
(
1 ，y3 2
)，y1 ，y2 ，y3 的大小为 ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗；
m2 2
∆ ∆
8、若反比例函数y=(2m-1) x
的图像在第一、三象限,则
函数的解析式为___________. 9、已知反比例函数 y
D
3、下列函数
y (1 m) x
A. 3个
m ( x 0) ， x
考点11 反比例函数(精讲)(原卷版)
考点11.反比例函数（精讲）【命题趋势】反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考查的重点。
【知识清单】1：反比例函数的概念（☆☆）反比例函数的概念：一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）1）反比例函数的图象和性质表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．3：反比例函数中|k|的几何意义（☆☆☆）1）反比例函数图象中有关图形的面积2）涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．4：反比例函数与一次函数的综合（☆☆☆）1）涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
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如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为y （N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略 去不计.杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
给我一个支点，我 可以撬起地球！
——阿基米德
阻 1000 力
y 5000 x
y动 力
阻力臂
5
动力臂 x
如果动力臂扩大到
x nd … 50 100 250 500 d
反比例函数的解析式： y k k是常数,k 0
x
下列函数中，哪些是 y 关于 x 的反比例函数？说
出反比例函数的比例系数。
①y 1x 2
② y 3 ③ xy 1
x
k 3 k 1
④⑦
yy
m6 xx2
4
m为⑤常y数
2 7x
乘⑥胜y追击x
2
3
当m≠- 4时
k 2
小提示：
7
(1)反比例函数有时也会以xy=k的形式出现。(2)k≠0
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为y （N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略 去不计.杠杆平衡时：阻力×阻力臂=动力×动力臂）
(2)求当x =50时，函数y的值，
并说明这个值的实际意义；
阻 1000 力
y 5000 x
y动 力
求当x =100时；当x =250呢？ 阻力臂
反比例函数的解析式： y k k是常数,k 0
x
y 2x1 y 2
x
k 2
小提示：
反比例函数有时也会以y=kx -1的形
式出现.
正比例函数
反比例函数
形式
y kx
yk
x
比例系数 k(k为常数，k 0) k(k为常数，k 0)
自变量范
围
x为全体实数 x 0的全体实数
① 已知函数y 3xm7是反比例函数,则m _6___.
(3)利用y 关于x 的函数解析式，
阻 1000 力
y 5000 x
y动 力
说明当动力臂扩大到原来的 n倍时，所需动力将怎样变化？
阻力臂
5
动力臂 x
如果动力臂扩大到
x nd … 50 100 250 500 d
… 原来的 n倍 ，所需
动力将怎样变化？
y … 100 50 20 10 5000 5000 … d nd
x天用完，平均每天用y张.
3）为了环保，减少污染，小丽家准备
减少用纸量，小丽家原本x天用完，现 在打算用nx天时（n>1)，平均每天的 用纸量y是原来的多少？
给我一个支点，我可以撬起地球！
—— 阿基米德
古希腊著名的数学家、物理学家， 是具有传奇色彩的人物。
背景知识
杠 杆 原
阻 力
支点
动 力
理
阻力臂
动力臂
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为
y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受
重力略去不计.杠杆平衡时：阻力×阻力臂=动
力×动力臂）
阻 1000 力
动 y力
阻力臂
5
(1) 求y关于x的函数解析式.
动力臂 x
这个函数是反比例函数吗?
如果是，请说出比例系数,自变量的取值 范围；
② 已知函数y 3xm7是正比例函数,则m ___8_.
③ 若函数y m 1 xm2m1是反比例函数,则m _0___
面巾纸已成为很多人生活 中必不可少的一种卫生清洁用 品， 一刀200抽的面巾纸，若
小丽家 x天用完，平均每天用 y张.
1）求y关于x的函数解析式，
判断是反比例函数吗？并求比
其中 x是 自变 量, y是x的 函数 ， k是 比 例系数.
自变量x的取值范围： x为全体实数
v 27 t
y 1200 x
v 27 y 1200
t
x
yk x
形如 y k k为常数，k 0的函数称为
反比例函数x .
其中 x是自变量, y 是 x 的函数，
k 是比例系数.
自变量x的取值范围： x≠0为全体实数
为了宣传世界地球日，八年级同学决定
制作一条宽为0.5(m)，长为x(m)的宣传 横幅，面积为y(m2).
则y与 x之间的关系式为: y 0.5x .
七年级同学决定制作一块宽为x (cm)， 长为 y (cm)，面积为1200 (cm2) 的宣传 牌.则y与 x之间的关系式为:
xy 1200
你能用x的代数式来表示y吗？y 1200 x
x
3、数学思想.
类比 函数建模
⑴ 已知变量x,y满足（x+y)2=x2+y2-2，问x,y是否成反比例？
请说明理由.
⑵ 有一面积为60cm的梯形，其上底为下底的一半，若下
底长为xcm,高为ycm，
①求y与x的函数解析式，并求出
y
自变量的取值范围；
x
②当梯形的下底为15cm，高为多少？
⑶ 已知反比例函数 y 20 x ①写出一个实例，要求实例中两个变量的相互关系
…原来的n倍，所需动
力将怎样变化？
y … 100 50 20 10 5000 5000 … d nd
1、一个概念： 形如 y k k是常数,k 0的函数称为反比例函数.
x
x k 其中x是自变量, y 是 的函数， 是比例系数.
注：两个不为零：k 0, x 0
2、三种形式：
y k xy k y kx1
例系数和自变量x的取值范围.
面巾纸已成为很多人生活中 必不可少的一种卫生清洁用品， 一刀200抽的面巾纸，若小丽家
x天用完，平均每天用y张.
2）当x=10时，求出y的值，并说明这个
值的实际意义.
若根据你的实际情况，取一个x的值，求出 y的值，并说明这个值的实际意义.
面巾纸已成为很多人生活中必 不可少的一种卫生清洁用品， 一刀200抽的面巾纸，若小丽家
动力臂Leabharlann x =500呢？x
如果动力臂扩大到 原来的n倍 ，所需动
x … 50 100 250 500 … 力将怎样变化？
y … 100 50 20 10 …
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力为y
（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略
去不计.杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
可以用这个函数表达。
②求x=4时的函数值，并说明这个值的实际意义。
正方形的周长 C与边长 a 的关系式可
表示为——C——4—a—
老师驾车从家里出到到学校，汽车旅 程表显示为7km，请你说出行驶速度v km/h与行使时间t, h之间的关系式.
vt 7
v7 t
y 0.5x C 4a v 27
t
这些等式中，有你熟悉的函数吗？ 正比例函数
y 1200 x
形如 y kx k为常数，k 0 的函数称为正比例函数.