回归分析及进阶分析多元回归与结构方程模型
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多元统计分析讲座-结构方程模型
02 结构方程模型的理论基础
线性代数基础
向量与矩阵
线性变换与矩阵表示
了解向量的基本概念、矩阵的运算规 则以及矩阵的逆、转置等基本性质。
理解线性变换的概念，掌握如何通过 矩阵表示一个线性变换。
特征值与特征向量
掌握特征值和特征向量的定义、性质 以及求解方法。
概率统计基础
概率论基础
理解概率的基本概念、条件概率 、独立性等基本概验的基本 原理和方法，包括最大似然估计 、贝叶斯估计等参数估计方法和 假设检验方法。
模型设定与识别
01
02
03
模型设定
理解模型设定的基本原则 和方法，包括对变量之间 关系的假设、对误差项的 假设等。
模型识别
掌握模型识别的基本方法， 包括基于样本数据的模型 识别和基于先验知识的模 型识别。
结构方程模型需要大量的样本数据，对于小样本数据可 能不太适用。
该模型对于数据的分布假设较为严格，如果数据不满足 正态分布假设，可能会导致估计结果的不准确。
未来发展方向与挑战
未来发展方向
随着大数据时代的到来，结构方程模型将与机器学习、人工智能等技术结合，实现更高效、 准确的因果关系推断。
随着研究领域的不断拓展，结构方程模型将应用于更多领域，如心理学、经济学、社会学等。
未来发展方向与挑战
01
未来发展挑战
02
03
04
需要进一步研究如何处理非正 态分布的数据，以提高模型的
适用性和稳健性。
需要进一步研究如何处理高维 度的数据，以适应大数据时代
的需求。
需要进一步研究如何将结构方 程模型与其他统计方法结合， 以更好地揭示数据背后的复杂
关系。
06 结论
研究总结
multinomial logistic regression 结构方程模型
多元逻辑回归模型（Multinomial Logistic Regression）和结构方程模型（Structural Equation Model, SEM）**是两种不同的统计方法，它们各自有独特的结构和应用。
多元逻辑回归模型（Multinomial Logistic Regression）：
多元逻辑回归模型是一种用于处理分类变量的回归模型。
它用于预测一个或多个分类结果，而不是连续的数值结果。
在这种模型中，自变量和因变量之间的关系是通过逻辑函数来描述的，即一个转换函数将线性回归的结果转化为概率。
多元逻辑回归可以用于探索多个自变量与一个或多个因变量之间的关系，例如，预测疾病的风险因素，或者预测用户对产品或服务的响应类型。
结构方程模型（Structural Equation Model, SEM）：
结构方程模型是一种更复杂的统计方法，它允许研究者测试一组关于特定变量间关系的假设。
SEM结合了因素分析、多元回归分析和多元协方差分析等多种统计技术。
它允许研究者检验一组关于变量间关系的假设，并评估这些假设与观察数据的一致性。
SEM通常用于探索复杂的心理、社会或经济现象，例如，研究心理特质如何影响行为，或者评估经济政策对多个经济指标的影响。
总结：多元逻辑回归和结构方程模型在目标和实现方式上有所不同。
多元逻辑回归主要用于分类预测，而结构方程模型则更适用于检验一组复杂的假设关系。
常用多变量统计分析方法简介
表 14-5 对例 14.1 回归分析的部分中间结果
回归方程中包含的
平方和（变异）
自变量
SS回归
SS剩余
① X1 , X2 , X3 , X4 ② X2 , X3 , X4 ③ X1 , X3 , X4 ④ X1 , X2 , , X4 ⑤ X1 , X2 , X3
133.7107 133.0978 121.7480 113.6472 105.9168
2
多变量统计分析方法概述
对于多变量医学问题，如果用单变量统计方法就要对 多方面分别进行分析,而一次分析一个方面,同时忽视了各 方面之间存在的相关性,这样会丢失很多信息,分析的结果 不能客观全面地反映情况。
多变量统计方法不仅能够研究多个变量之间的相互关 系以及揭示这些变量之间内在的变化规律，而且能够使复 杂的指标简单化,并对研究对象进行分类和简化。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
27
3、标准化偏回归系数
变量
回归系数bj
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
方程组中： lij l ji (Xi Xi )(X j X j ) Xi X j [(Xi )(X j )]/ n liy (Xi Xi )(Y Y ) XiY [(Xi )(Y)]/ n
第5章多元线性回归分析1
k 个解释变量的多元线性回归模型的 n 个观测
样本，可表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 ... k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 ... k X k 2 u 2
Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n ... k X k n u n
相关系数，即全部自变量参与回归的总体相
关系数，Rmxi 为去掉xi 的复相关系数。可见
部分相关系数的平方是在总体拟合效果中扣 除了其他变量综合拟合效果之后剩余部分。
15
16
多元线性回归模型
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验
17
§5.1多元线性回归模型及古典假定
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
20
多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
YALKu
取自然对数
l n Y ln A l n L l n K l n u
21
多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
因为 Xe=0 ，则正规方程为：
XXβˆ =XY
32
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
XXβˆ =XY ( X X ) k k 是 满 秩 矩 阵 ,其 逆 存 在
βˆ=(XX)-1XY
ˆ1Y-β ˆ2X2-β ˆ3X3
ˆ2(
yix2 i)( x3 2 i)-( yix3 i)( x2 ix3 i) ( x2 2 i)( x3 2 i)-( x2 ix3 i)2
样本，可表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 ... k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 ... k X k 2 u 2
Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n ... k X k n u n
相关系数，即全部自变量参与回归的总体相
关系数，Rmxi 为去掉xi 的复相关系数。可见
部分相关系数的平方是在总体拟合效果中扣 除了其他变量综合拟合效果之后剩余部分。
15
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多元线性回归模型
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验
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§5.1多元线性回归模型及古典假定
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
20
多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
YALKu
取自然对数
l n Y ln A l n L l n K l n u
21
多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
因为 Xe=0 ，则正规方程为：
XXβˆ =XY
32
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
XXβˆ =XY ( X X ) k k 是 满 秩 矩 阵 ,其 逆 存 在
βˆ=(XX)-1XY
ˆ1Y-β ˆ2X2-β ˆ3X3
ˆ2(
yix2 i)( x3 2 i)-( yix3 i)( x2 ix3 i) ( x2 2 i)( x3 2 i)-( x2 ix3 i)2
最新文档-第6讲 多元线性回归分析-PPT精品文档
1. 线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地 进行一次或多次检验
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
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从回归分析到结构方程模型：线性因果关系的建模方法论
［ 作者简介 】 金玉 国（９４ ， ， １６ 一）男 山东青州人 ， 山东经济学院统计与数学 学院教授 。主要研究方 向： 计量经济学。
・
ｌ ・ ９
维普资讯
经济 发展 这几个 方 面 。
多元 回归模 型 的路径关 系 图如 下 ：
只 能有一 个 因变量 （） ｙ。然 而 ， 研究 的经济 学 因 在被 果关 系 中往往 存在 多个 因变 量 。而且传 统 的 回归模
１８ 出版 的《 ８９年 自然 遗传 》 Ｎ ｔ ａ ｅｉｎｅ － 书提 （ ａ ｒｌＨ ｒａｅ） ｕ ｌ ｔ
出的， 其后逐 步发展 完善 ， 在生物学 、 并 社会学 、 济 经 学、 医学 等领 域 内得 到 广泛 应 用 。在 回归分 析 的理
论和 方法基 础之上 ， 计量 经济学 于 ２ ０世纪 前期 建立
念是 英 国生物 学 家高 尔顿 （ ．ａｏ，８２ ｌｌ） Ｆ Ｇｈｎ ｌ２一 ９１在
析 经济结 构 ， 价政 策决策 ， 评 仿真 经济 系统 以及 预测
＊ 本文是 国家统计局 ２Ｏ Ｏ７年度全国统计科学研 究计划项 目“ 非经典计 量经济建模方法论 的理论分析 与比较研究” 项 目 （ 编号 ：０ｒ ２ＯＩ ７嘲 ） 的阶段性成果 。
维普资讯
２Ｏ ０８年 ３月
山
东
经
济
Ｍａ 。 ２ ０ ｒ，０８
总 １５ ４期
第 ２期
Ｓ ＨＡＮＤＯＮ Ｅ Ｇ ＣＯＮ ０ＭＹ
Ｇｅ １ ５ Ｎｏ ２ ｎ． ４ 。
从 回归 分析 到 结构 方 程 模 型 ： 性 线 因果关 系的建 模 方 法论 ＊
因果 关系是 经 济 学 中最 常 见 的关 系 类 型 ， 多 许 经 济学 实证研 究 的 目的就 是测定 经济变 量之 间 因果 关 系的方 向和具 体 形式 ， 而验 证 经 济理 论 和进 行 从 结构 分析 ， 这就 经 常用 到 计 量经 济 学 中处 理 因果 关 系的模 型。而线 性 模 型是 最 易 于处 理 的模 型 ， 以 所 在经 济学 实证研 究 中， 性 因果 关 系建 模 方 法 是最 线 常用分析 方法 之一 。 从 经济学 实证研 究 的实践看 ， 应用最 早 、 迄今 为 止应用最 多 的线性 因果 模 型是 回归模 型 ； 然后 ， 回归 模 型逐 步发展 为路径 分析模 型 ； 后 ， 径分析 模 型 最 路
结构方程模型
KT HAU SEM p. 3
8-4
结构方程模型分析:结构方程模型是一种 建立、估计和检验因果关系模型的方法 。模型中既包含有可观测的显在变量， 也可能包含无法直接观测的潜在变量。 结构方程模型可以替代多重回归、通径 分析、因子分析、协方差分析等方法， 清晰分析单项指标对总体的作用和单项 指标间的相互关系。
8-24
例子：员工工作满意度的测量
概念模型：
x
工作方式选择
工作自主权
y
目前工作满意度 工作兴趣 工作乐趣 工作厌恶程度
工作目标调整
任务完成时间充裕度
工作负荷轻重 工作节奏快慢 工作内容丰富程度 工作单调性 工作多样性程度
工作负荷
工作满意度
8-25
（2）模型拟合（model fitting）
8-3
线性相关分析:线性相关分析指出两个随机变 量之间的统计联系。两个变量地位平等，没有 因变量和自变量之分。因此相关系数不能反映 单指标与总体之间的因果关系。 线性回归分析:线性回归是比线性相关更复杂 的方法，它在模型中定义了因变量和自变量。 但它只能提供变量间的直接效应而不能显示可 能存在的间接效应。而且会因为共线性的原因， 导致出现单项指标与总体出现负相关等无法解 释的数据分析结果。
8-9
线性回归模型及其局限性
y b0 b1 x1 b2 x2
1）无法处理因变量（Y）多于一个的情况； 2）无法处理自变量（X）之间的多重共线性； 3）无法对一些不可直接测量的变量进行处理，主 要是一些主观性较强的变量进行测量。如幸福感、 组织认同感、学习能力等； ）没有考虑变量（自变量、因变量）的测量误差 ，以及测量误差之间的关系
结构方程模型
相对于多元回归分析，结构方程模型在应用上的限制也较少，关键的亮点包括在进行 「路径分析」的时候，即使自变量间存在明显的共线性 (multi-collinearity)，结构方程模型 依然可以照单全收，丝毫不影响其解释上的有效性。利用结构方程模型来进行「验证性因子 分析」，更可以通过将多个可观测变量指定给单一潜变量，从而可以在根源处直接降低衡量 误差。尤其在残差的处理上，很少有统计方法可以这么方便地直接检查每一个可观测变量的 残差，甚至操弄这些残差之间的相关。结构方程模型在路径系数的处理上也高人一等，不仅 可以同时估计多个自变量对多组因变量的关系，还能够进行多样本多模型之间的系数比较。 最重要的优势是，结构方程模型不仅仅可以估计单一参数的系数，还能够直接估计整体模型 的拟合度，这是许多传统统计方法所望尘莫及的。
研究者真正想要的其实是「过度识别 (over identification)」，「过度识别」代表已知变 量间的协方差数量，大于未知的待估计参数的数量，所以这时模型的自由度将会是正的数值， 我们才能够应用结构方程模型的软件来估计参数，同时计算出模型的各种「拟合指标」来。 事实上由信度的立场来看这个问题，越多的「可观测变量」通常其结构信度也较佳，这可由 Cronbach's alpha 信赖系数的计算即可清晰观察出来，在同一个构念中，当我们放入的近似的 衡量题项愈多，Cronbach's alpha 的值很容易就可以升高。
所以在构造衡量题项的时候，最好尽可能从多维度多视角的多元观点来广泛采纳「可观 测变量」，不要吝惜于「可观测变量」被纳入研究工具中的数量。毕竟在研究工具接受前测 中效度信度检查的时候，就可能开始删减题项了，再加上田野调查之后，根据大规模数据进 行衡量模型的效度信度检查时，还可能继续删减题项，如果原始题项不足，在最后的结构模 型分析阶段，就很可能发生「识别不足」或是「恰好识别」的问题，为研究过程带来无谓的 麻烦。
研究者真正想要的其实是「过度识别 (over identification)」，「过度识别」代表已知变 量间的协方差数量，大于未知的待估计参数的数量，所以这时模型的自由度将会是正的数值， 我们才能够应用结构方程模型的软件来估计参数，同时计算出模型的各种「拟合指标」来。 事实上由信度的立场来看这个问题，越多的「可观测变量」通常其结构信度也较佳，这可由 Cronbach's alpha 信赖系数的计算即可清晰观察出来，在同一个构念中，当我们放入的近似的 衡量题项愈多，Cronbach's alpha 的值很容易就可以升高。
所以在构造衡量题项的时候，最好尽可能从多维度多视角的多元观点来广泛采纳「可观 测变量」，不要吝惜于「可观测变量」被纳入研究工具中的数量。毕竟在研究工具接受前测 中效度信度检查的时候，就可能开始删减题项了，再加上田野调查之后，根据大规模数据进 行衡量模型的效度信度检查时，还可能继续删减题项，如果原始题项不足，在最后的结构模 型分析阶段，就很可能发生「识别不足」或是「恰好识别」的问题，为研究过程带来无谓的 麻烦。
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可以证明，在一元线性回归条件下，ESS和 RSS分 别服从自由度为 1和 n-2 的 卡方 分布
H0：B2＝B3＝0
等同于零假设H0：R2=0
这个假设表明两个解释变量一起对应变量Y无影响，
这是对估计的总体回归直线的显著性检验。
Note：书上的写反了。
如果分子比分母大，也即Y被回归解释的部分比未被回 归解释的部分大，F值越大，说明解释变量对应变量Y的 变动的解释的比例逐渐增大，就越有理由拒绝零假设。
年龄是否影响智商（IQ）
◦ 定量---定量
年龄是否影响对电脑品牌的选择
◦ 定量---定性
性别是否影响对电脑品牌的选择
◦ 定性---定性
。。。。。。
考虑家庭月可支配收入如何影响消费支出。 可支配收入 X（千元） 消费支出 Y（千元）
假设样本为10，
为了拟合这样一条直线，需要某种准则。准则不同，
能大一些，样本量太小时，估计量的稳定性肯定不 会很好。
拟合优度：
◦ 样本数据聚集在样本回归直线周围的密集程度，从而判断 回归方程对样本数据的代表程度。
◦ 判定系数
回归方程的显著性检验：
◦ F检验
◦ 对因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著的一种假 设检验
回归系数的显著性检验
◦ 根据样本估计的结果对总体回归系数的有关假设进行检验 ◦ T检验
用样本回归直线与推断总体回归直线 用一些指标来判断推断的是否合理（接近）
Байду номын сангаас 样本回归方程
求出参数
需要一个公式/准则：
◦ 所有观测点与直线的垂直距离
（称为残差
Residual）都尽可能地小，即让所有的观测点与直线的垂
直距离之和∑e为最小。
◦ 有些观测点在直线之下，因此有些e是正的，有些是负的。
每次回归的F值及其显著性 每个自变量的系数，及其T检验的显著性 判定系数 判定系数的变化及其显著性
33
34
曲线检验——U形、倒U形 中介与调节 对曲线的调节作用 曲线调节 如何画调节效应图
36
因变量y
自变量x
37
曲线估计
◦ P.220
多元回归—2个以上的自变量
研究一个变量（被解释变量/因变量）对另一个或 多个变量（解释变量/自变量）的依赖关系。变量 之间的关系可分为线性关系和非线性关系。
因变量y
自变量x
x1
y2
y1
x2
y3
自变量x与因变量y皆为定量（定距变量、定比变 量），而非定性（定类变量、定序变量）
如果要将定类、定序变量放入回归，须转化为虚拟 变量（dummy variable）。如未转换，则有可能 造成就对结果解释的偏误。
回归分析 一元回归 多元回归
回归分析是研究一个变量（被解释变量/因变量） 对另一个或多个变量（解释变量/自变量）的依赖 关系。变量之间的关系可分为线性关系和非线性关 系。
在进行回归分析之前，要先分析变量之间是否存在 线性相关关系，如果变量间不存在线性相关关系， 则使用基于最小二乘法的回归分析所得的的结果是 不可靠的。
相加后正负抵销，有可能总和∑e很小但是个别是的e还是
很大。为了克服这个问题，我们先将e平方使它们都变成
正的，然后再求和并使之变成最小，这就是所谓的“普通 最小二乘法（OLS——Ordinary Least Squares）准则”
目标函数：min 变量：b0和b1
要想使 b0和 b1更稳定，在收集数据时，就应该 考虑 X 的取值尽可能分散一些；样本容量也应尽可
期望：拒绝零假设，即，F检验要显著
当样本为小样本时，回归参数估计值的标准化变换 变量并不遵循正态分布规律，而是服从自由度为
n-2 的ｔ分布
H0：B2＝0。 X对Y的影响为0 期望：拒绝零假设，要显著
如果 t 的绝对值大于临界值（或者 p<α） ，就拒 绝原假设，接受备择假设，说明 X 对 Y具有显著的 影响作用；反之，如果 t 的绝对值小于临界值的绝 对值（或者 p>α） ， 则接受原假设，说明 X 对Y 没有显著的影响
选择R square最大的函数式进行回归检验
◦ 曲线估计没能包括控制变量
38
加入自变量的二次项
◦ 中心化
跟据二次项的方向，判断是U形还是倒U形 Note:
◦ 仍要放入一次项
39
40
中介： Baron3步检验：
调节： 1. 整体模型的F检验 2. 交互项的系数的T检验 3. R Square change的显著性
自变量的中心化问题
43
加入自变量的二次项×调节变量
◦ 中心化
乘积项与二次项方向一致——加强——更陡 Note:
◦ 控制变量放入一次项与调节变量的乘积项
判定系数是对回归模型拟合程度的综合
度量，判定系数越大，模型拟合程度越
高。判定系数越小，则模型对样本的拟 合程度越差。大于0，小于1
如果比例值 ESS/RSS 较大，说明 X 对 Y 的解释程
度高，可以认为总体存在线性关系，反之总体可能 不存在线性关系。做利用这个值 ESS/RSS 进行推
断。由于对不同的样本，这个比值可能不同，因此 对给定的样本，利用这个比值进行推断，必须在统 计假设检验的基础上进行
实际观测值与理论回归 值的离差
，它是不能由回归直 线加以解释的残差ｅ
因变量的理论回归值与其 样本均值的离差 ， 它可 以看成是能够由回归直线 解释的部分，称为可解释
离差
平方，对所有的点求和，最终可得
总离差平方和（Total Sum of Squares） 残差平方和(Residual Sum of Squares) 回归平方和(Explained Sum of Squares)
拟合的方法也就不同，拟合出来的直线就不一样。 最常用的准则是普通最小二乘准则。
残差
可以 计算
误差 •客观现象 的随机性质 •测量误差
总体回归直线 未知的
残差e——根据样本所拟合出来的直线上的y值与样 本实际观测到的y之间的距离。这个值可以观测到。
误差E/Ksi——总体直线中，x与常数项不能解释的 总体y的部分。不可观测。它来自随机性与测量误 差。
H0：B2＝B3＝0
等同于零假设H0：R2=0
这个假设表明两个解释变量一起对应变量Y无影响，
这是对估计的总体回归直线的显著性检验。
Note：书上的写反了。
如果分子比分母大，也即Y被回归解释的部分比未被回 归解释的部分大，F值越大，说明解释变量对应变量Y的 变动的解释的比例逐渐增大，就越有理由拒绝零假设。
年龄是否影响智商（IQ）
◦ 定量---定量
年龄是否影响对电脑品牌的选择
◦ 定量---定性
性别是否影响对电脑品牌的选择
◦ 定性---定性
。。。。。。
考虑家庭月可支配收入如何影响消费支出。 可支配收入 X（千元） 消费支出 Y（千元）
假设样本为10，
为了拟合这样一条直线，需要某种准则。准则不同，
能大一些，样本量太小时，估计量的稳定性肯定不 会很好。
拟合优度：
◦ 样本数据聚集在样本回归直线周围的密集程度，从而判断 回归方程对样本数据的代表程度。
◦ 判定系数
回归方程的显著性检验：
◦ F检验
◦ 对因变量与所有自变量之间的线性关系是否显著的一种假 设检验
回归系数的显著性检验
◦ 根据样本估计的结果对总体回归系数的有关假设进行检验 ◦ T检验
用样本回归直线与推断总体回归直线 用一些指标来判断推断的是否合理（接近）
Байду номын сангаас 样本回归方程
求出参数
需要一个公式/准则：
◦ 所有观测点与直线的垂直距离
（称为残差
Residual）都尽可能地小，即让所有的观测点与直线的垂
直距离之和∑e为最小。
◦ 有些观测点在直线之下，因此有些e是正的，有些是负的。
每次回归的F值及其显著性 每个自变量的系数，及其T检验的显著性 判定系数 判定系数的变化及其显著性
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曲线检验——U形、倒U形 中介与调节 对曲线的调节作用 曲线调节 如何画调节效应图
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因变量y
自变量x
37
曲线估计
◦ P.220
多元回归—2个以上的自变量
研究一个变量（被解释变量/因变量）对另一个或 多个变量（解释变量/自变量）的依赖关系。变量 之间的关系可分为线性关系和非线性关系。
因变量y
自变量x
x1
y2
y1
x2
y3
自变量x与因变量y皆为定量（定距变量、定比变 量），而非定性（定类变量、定序变量）
如果要将定类、定序变量放入回归，须转化为虚拟 变量（dummy variable）。如未转换，则有可能 造成就对结果解释的偏误。
回归分析 一元回归 多元回归
回归分析是研究一个变量（被解释变量/因变量） 对另一个或多个变量（解释变量/自变量）的依赖 关系。变量之间的关系可分为线性关系和非线性关 系。
在进行回归分析之前，要先分析变量之间是否存在 线性相关关系，如果变量间不存在线性相关关系， 则使用基于最小二乘法的回归分析所得的的结果是 不可靠的。
相加后正负抵销，有可能总和∑e很小但是个别是的e还是
很大。为了克服这个问题，我们先将e平方使它们都变成
正的，然后再求和并使之变成最小，这就是所谓的“普通 最小二乘法（OLS——Ordinary Least Squares）准则”
目标函数：min 变量：b0和b1
要想使 b0和 b1更稳定，在收集数据时，就应该 考虑 X 的取值尽可能分散一些；样本容量也应尽可
期望：拒绝零假设，即，F检验要显著
当样本为小样本时，回归参数估计值的标准化变换 变量并不遵循正态分布规律，而是服从自由度为
n-2 的ｔ分布
H0：B2＝0。 X对Y的影响为0 期望：拒绝零假设，要显著
如果 t 的绝对值大于临界值（或者 p<α） ，就拒 绝原假设，接受备择假设，说明 X 对 Y具有显著的 影响作用；反之，如果 t 的绝对值小于临界值的绝 对值（或者 p>α） ， 则接受原假设，说明 X 对Y 没有显著的影响
选择R square最大的函数式进行回归检验
◦ 曲线估计没能包括控制变量
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加入自变量的二次项
◦ 中心化
跟据二次项的方向，判断是U形还是倒U形 Note:
◦ 仍要放入一次项
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中介： Baron3步检验：
调节： 1. 整体模型的F检验 2. 交互项的系数的T检验 3. R Square change的显著性
自变量的中心化问题
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加入自变量的二次项×调节变量
◦ 中心化
乘积项与二次项方向一致——加强——更陡 Note:
◦ 控制变量放入一次项与调节变量的乘积项
判定系数是对回归模型拟合程度的综合
度量，判定系数越大，模型拟合程度越
高。判定系数越小，则模型对样本的拟 合程度越差。大于0，小于1
如果比例值 ESS/RSS 较大，说明 X 对 Y 的解释程
度高，可以认为总体存在线性关系，反之总体可能 不存在线性关系。做利用这个值 ESS/RSS 进行推
断。由于对不同的样本，这个比值可能不同，因此 对给定的样本，利用这个比值进行推断，必须在统 计假设检验的基础上进行
实际观测值与理论回归 值的离差
，它是不能由回归直 线加以解释的残差ｅ
因变量的理论回归值与其 样本均值的离差 ， 它可 以看成是能够由回归直线 解释的部分，称为可解释
离差
平方，对所有的点求和，最终可得
总离差平方和（Total Sum of Squares） 残差平方和(Residual Sum of Squares) 回归平方和(Explained Sum of Squares)
拟合的方法也就不同，拟合出来的直线就不一样。 最常用的准则是普通最小二乘准则。
残差
可以 计算
误差 •客观现象 的随机性质 •测量误差
总体回归直线 未知的
残差e——根据样本所拟合出来的直线上的y值与样 本实际观测到的y之间的距离。这个值可以观测到。
误差E/Ksi——总体直线中，x与常数项不能解释的 总体y的部分。不可观测。它来自随机性与测量误 差。