江苏省盐城市伍佑中学2018-2019学年高二上学期期末数学(文)试题

江苏省盐城市伍佑中学2018-2019学年高二上学期期末数学(文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．命题“1x x ∃>≤-”的否定为__________．2．已知()3,m i n i m n R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则m n +=_______. 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为_________．4．“6πα=”是“1sin 2α=”的 条件．(填“充分不必要”、“必要不充 分”、“充要”、“既不充分也不必要”)5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为__________.6．已知()e x f x x =，则(1)f '= .7．给出下列等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯L由以上等式可推出一个一般结论：对于*n N ∈，()2314121 ++=12223212n n n n +⨯⨯+⨯⨯⨯+L __________________． 8．已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则z 2x 3y =-的最大值为______．9．直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为__________．10．已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为________.11．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若||2OA b =，则该双曲线的渐近线方程为_____________.12．已知正实数,x y 满足11123x y x y+=++，则x y +的最小值为______________. 13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆221259x y +=的焦点重合，左准线方程为1x =-，设1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右两个焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为_____________.14．若函数2()(1)||f x x x a =+-在区间[1,3]-上单调递增，则实数a 的取值范围是______________.15．已知命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根，则－3＜m ＜－1；命题q ：若关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，则t ＜－2.(1)写出命题p 的否命题r ，并判断命题r 的真假；(2)判断命题“p 且q”的真假，并说明理由．16．已知抛物线C 关于x 轴对称，顶点在坐标原点O ，直线220x y --=经过抛物线C 的焦点.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若抛物线C 的焦点是对称轴为坐标轴的双曲线E 的一个焦点，并且双曲线E 的离心率为2，求双曲线E 的标准方程.17．已知函数321()33f x x x x a =-+++（a R ∈）．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若函数()f x 在区间[]4,4-上的最大值为26，求a 的值．18．随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y （单位：千盒）与销售价格x （单位：元/盒）满足关系式24(16),12a y x x =+--其中1216x <<,a 为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.（1）求a 的值；（2）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M （2，0）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，F 1为椭圆的左焦点． ①若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点；②试求椭圆C 上是否存在点P ，使F 1APB 为平行四边形？若存在，求出F 1APB 的面积，若不存在，请说明理由．20．已知函数()()ln f x ax x a R =+∈，2()ln x g x x x=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点123,,x x x （123x x x <<）.①求实数a 的取值范围；②求证：2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.参考答案1．0x ∀>1x >- 【解析】特称命题“1x x ∃>≤- ”的否定是全称命题“1x x ∀>>-”．2．2【解析】【分析】 先化简3m i n i i+=+，求出m,n 的值，即得m+n 的值. 【详解】 因为3m i n i i+=+，所以3-mi=n+i ,所以m=-1,n=3,所以m+n=2. 故答案为2【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．(2,0)-【解析】Q 抛物线方程为28y x =-，28,4,2,2p p p ∴=-=-=-∴抛物线方程为28y x =-的焦点坐标为()2,0-，故答案为()2,0-.4．充分不必要【解析】 试题分析：如果6πα=，那么1sin 2α=，所以“6πα=”是“1sin 2α=”的充分条件，如果1sin 2α=，那么不一定有6πα=，例如还有56πα=等，所以“6πα=”是“1sin 2α=”的不必要条件，综上所以“6πα=”是“1sin 2α=”的充分不必要条件. 考点：充分条件和必要条件.5； 【解析】【分析】由已知渐近线的方程可知2a b =，结合222c a b =+可求离心率.【详解】 解：由双曲线的标准方程可知，其渐近线为b y x a =±.因为一条渐近线为12y x =. 所以12b a =，则2a b =，从而e ==== . 故答案为:. 【点睛】 本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的离心率.6．2e【解析】试题分析：x x xe e x f +=)('，所以e f 2)1('= 考点：导数7．11(1)2n n -+ 【解析】【分析】由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为()2112n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为()112n n +，由此即可得到结论．【详解】 由已知中的等式：222233311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯L…由以上等式我们可以推出一个一般结论： 对于()()*2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．故答案为：()1112n n -+． 【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．-9【解析】画出03,0,30,x x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域，如图，平移直线2133y x z =-，当直线经过点()0,3时，直线截距最小，z 最大，z 最大值为20339z =⨯-⨯=-，故答案为9-.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.91【解析】【详解】由题意，以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点以及A B 、两点为顶点得一矩形．直线y =的倾斜角为120︒，所以矩形宽为c，长为．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即2?1c c a e a =∴．＝1．【点睛】本题考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形．10．1e【解析】 因为()ln f x bx x =+，所以1()f x b x=+'，设过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切于点000(,ln )x bx x +，则切线方程为00001(ln )()()y bx x b x x x -+=+-，因为该切线过原点，所以000(ln )(1)bx x bx -+=-+，解得00ln 1,e x x ==，即1e k b =+，即1e k b -=. 点睛：本题考查导数的几何意义；在利用导数的几何意义求曲线的切线时，要注意“曲线在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别，“在某点处的切线”，即该点就是切点，且在曲线上，但“过某点的切线”，则该点不一定在曲线上，且也不一定是切点.11．12y x =±. 【解析】【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA ，由角平分线及垂直可知，2PF PQ =，由双曲线的定义可知12FQ a =，结合三角形的中位线性质，可求出1224FQ a OA b ===，即2a b =，进而可求渐近线的方程.【详解】解：延长2F A 交1PF 于点Q ，连接OA .由2,QPA F PA PA PA ∠=∠=知2PF PQ =.由双曲线的定义知，12112PF PF PF PQ QF a -=-==，由122,FO F O QA F A ==，可知1242FQ OA b a === 则2a b =，所以12b y x x a =±=±. 故答案为: 12y x =±.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线求解.难点在于构造辅助线，推出,a b 的关系.12； 【解析】【分析】将x y +变形成()()212355x y x y +++，则根据已知进行1的代换，可得212125535532x y x y x y x yx y +=++⋅++⋅+++，结合基本不等式即可求出最值. 【详解】 解：因为()()212355x y x y x y +=+++，所以()()11231x y x x y y x y ⎛⎫+ ⎪+++⎝⋅+⎭= ()()1121223555321213235552x y x y x y x yx y x y x y x y ⎛⎫++⎛⎫+++⋅ ⎪+=++⋅+ ⎪++++⎝⎭⎝⎭,0x y >Q ，0,20323x y x x y y x y ∴>+++>+，则原式35≥+=当且仅当21525233x y x y y x x y ⋅=+⋅+++，即x y == 时等号成立.从而x y +≥. 故答案为:35+. 【点睛】 本题考查了基本不等式.本题属于基本不等式中，“1”的代换.本题的难点在于，对所求式子进行变形.13．16.【解析】【分析】由焦点重合可知2216a b +=，由左准线方程可知21a c -=-，从而可求2,4a b c ===，设2PF t =，根据双曲线的定义可知，14PF t =+，则212168PF t PF t=++，结合基本不等式可求其最值. 【详解】解：由焦点重合可知，2225916a b +=-=；由左准线方程可知，21a c -=-， 又由双曲线的定义可知，222c a b =+,从而可求出2,4a b c ===.因为P 为右支上任意一点，所以1224PF PF a -==.设2,2PFt t c a =≥-=， 则14PF t =+,则()22124168816t PF t PF t t +==++≥+= 当且仅当16t t=，即4t =时等号成立.即21216PF PF ≥. 故答案为:16.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的准线方程，考查了椭圆的焦点求解，考查了基本不等式.本题的关键是由双曲线的定义，将所求的式子用一个变量来表示.利用基本不等式求最值时，一定要注意，一正二定三相等缺一不可.14．(,1][5,)-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性可得关于a 的不等式，解出求并集即可. 【详解】解：由题意知，()()()()()2221,(1)1,x x a x a f x x x a x a x x a⎧+-≥⎪=+-=⎨+-<⎪⎩在区间[1,3]-上单调递增. 当x a ≥ 时，令()()'213103a fx x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，则解得12211,3a x x -=-=， 要使()f x 在[1,3]-上单调递增，则在[1,3]-上，()'0f x ≥，即2113a -≤-，解得1a ≤-. 当x a < 时，令()()'213103a fx x x -⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，则解得12211,3a x x -=-=， 要使()f x 在[1,3]-上单调递增，则在[1,3]-上，()'0f x ≥，即2133a -≥，解得5a ≥. 综上所述：(,1][5,)a ∈-∞-⋃+∞. 故答案为: (,1][5,)-∞-⋃+∞. 【点睛】本题考查了分段函数，考查了函数的单调性，考查了导数的应用.本题的关键是由单调性，得到关于a 的不等式. 15．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）若命题p 为真命题，解得实数m 的取值范围，对其求补集.（2）命题“p 且q”为真，需要p ，q 都是真命题，当p ，q 一真一假或都假时，则“p 且q”为假． 【详解】(1)命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，则m≤－3或m≥－1. ∵关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，∴Δ≥0.∵Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12≥0，化简，得m 2＋4m ＋3≥0.解得m≤－3或m≥－1. ∴命题r 为真命题．(2)对于命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根， 则Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12＜0. 化简，得m 2＋4m ＋3＜0.解得－3＜m ＜－1. ∴命题p 为真命题．对于命题q ：关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，有240t t ⎧->⎨->⎩，解得t＜－2.∴命题q 为真命题． ∴命题“p 且q”为真命题． 【点睛】本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于基础题.16．（1）抛物线C 的方程为24y x =;（2）双曲线E 的方程为2211344x y -= 【解析】 【分析】（1）由题意知焦点在x 轴上，令0y =，由220x y --=可求出焦点坐标，继而可求出抛物线的方程.（2）由焦点坐标可知1c =，由离心率可求出12a =，继而可求出234b =，从而得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）解：因为抛物线C 关于x 轴对称，则焦点在x 轴上.因为焦点在直线220x y --=上，则令0y = ，解得1x =，所以焦点坐标为()1,0. 设抛物线的方程为22y px =，则12p=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =. （2）解：由题意知，双曲线E 的焦点为()1,0，即1c =，因为离心率为2， 所以12c e a a ===，解得12a =，所以22213144b c a =-=-=.所以双曲线的标准方程为2211344x y -=. 【点睛】本题考查了抛物线的方程，考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的离心率.本题的易错点是混淆了椭圆和双曲线中,,a b c 的关系.本题第一问的关键是判断交点所在的坐标轴. 17．（1）(1,3)-；（2）23a =． 【解析】试题分析：()1求出导数，令()'0f x >，解不等式可得到所求的增区间；()2求得()f x 在区间[]4,4-内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最大值，解方程可得a 的值。