电子在库仑场中的运动氢原子类氢原子
氢原子与类氢原子的波函数与能级
1
故径向本征波函数的归一化的表达式应写为：
r 0
Rn2,l
(r)r 2dr
1
E＜0时库仑场中电子状态的定态波函数为:
n,l,m(r, ,) Rn,l (r)Yl,m( ,)
n 1,2,3
n --- 称为主量子数。
l 0,1,2,3(n 1) l ---- 称为角量子数。
m 0,1,2,3 l m ---- 称为磁量子数。
1﹑定态薛定格方程:
[ 2 2 U (r )] E
U(r) Ze2
4 0r
2m
( U( r )为中心力场 )
该方程的极坐标形式为：
2 2mr 2
r
r 2
r
1
s in
s in
1
sin2
2
2
Ze2 E
4 0r
2﹑分离变量:
设： (r,,) R(r)Y (,)
1 r2
r
(r 2
dR(r dr
4 0r
r2
R(r)
0
①
和
1
s in
s in
Y
( ,
)
1
sin 2
2Y ( ,) 2
Y ( ,)
②
二﹑方程的解:
1﹑方程②就是角动量平方算符的本征值方程。
Lˆ2
2
s in
s in
s
in
2 2
2
2
Lˆ2Yl,m(,) l(l 1)2Yl,m(,)
(sin
)
s
1 in2
2 2
22 ,
二.角动量平方算符的本征值与本征函数:
1.角动量平方算符的本征值方程:
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
类氢原子椭圆轨道及其能量
类氢原子椭圆轨道及其能量韩久松（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导老师：张青林摘要: 电子在原子核的库仑场中运动，正如行星绕太阳运动，是受着与距离的平方成反比的力。
本文介绍从比耐公式出发,结合玻尔——索末菲量子化条件,对类氢原子电子的量子化椭圆轨道,给出了一个简化的推导,并在此基础上,对轨道的稳定性进行进一步的讨论；根据电子受到平方反比引力作用的动力学经典理论,从椭圆轨道方程出发，结合有心力场中角动量守恒和索末菲量子化通则，简明的推出了类氢原子的量子化椭圆轨道和能级。
关键词：类氢原子，椭圆轨道，索末菲量子化通则，轨道稳定性。
1 引言类氢原子是原子核外边只有一个电子的原子体系，但原子核带有大于一个单元的正电荷，这些是具有类似氢原子的结构的离子。
这里有一次电离的氦离子 He +,二次电离的锂离子 Li + +，三次电离的铍离子 Be + + + 等。
对于氢原子和类氢原子中电子的轨道和能量,已有文献[1,2]进行了多次探讨,类氢原子椭圆轨道的能级及量子化半长轴、半短轴是原子物理学的一个重要内容。
本文利用能量守恒、角动量守恒、椭圆轨道几何性质，以及玻尔—索末菲量子化条件，在能级简并的情况下，对椭圆轨道与能量量子化公式给出一个简化的推导。
2 讨论类氢原子轨道关于类氢原子电子的量子化椭圆轨道及能量的讨论,在大学物理[2,3]刊物上已有多篇文章从椭圆的几何性质及角动量守恒等方面入手做了研究。
本文介绍以比耐公式[4]为出发点,推导出类氢原子的量子化椭圆轨道,比耐公式的表达式为：2222d u Fh uu d m θ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦（1） 其中2h r θ=为面积速度常数,u 为r 的倒数。
类氢原子体系中，电子与原子核之间存在引力22K F Ku r =-=- 20()4Ze K πε= （2）代入（1）式得：22222d u Ku h u u d m θ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦即： 222d u Ku d h mθ+= (3） 如令2ku h mζ=+则 （3）式为： 220d d ζζθ+= 其解为： ()0cos A ζθθ=-所以 022cos()K Ku A h m h mζθθ=+=-+ 其中，A ，0θ为积分常数，将极轴转动一个角度，可使00θ=，则 2211cos mh K r Amh uK ==+（4）将它和在极坐标下的标准圆锥曲线方程 1cos pr e θ=+ 比较，可知轨道是原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点，其中 2mh p K=。
2022北京重点校高二(下)期末物理汇编：原子结构和波粒二象性章节综合
2022北京重点校高二（下）期末物理汇编原子结构和波粒二象性章节综合一、单选题 1．（2022·北京·清华附中高二期末）真空中有一平行板电容器，两极板分别由铂和钾（其极限波长分别为1λ和2λ）制成，板面积为S ，间距为d 。
现用波长为λ（12λλλ<<）的单色光持续照射两板内表面，则最终电容器的内表面带电量Q 正比于（ ） A ．11d S λλλλ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．12d S λλλλ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11S d λλλλ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．22S d λλλλ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·北京·清华附中高二期末）普朗克在1900年将“能量子”引入物理学，开创了物理学的新纪元。
人们在解释下列哪组实验现象时，都利用了“量子化”的观点（ ） A ．光电效应现象 氢原子光谱实验 B ．光电效应现象 α粒子散射实验 C ．光的折射现象 氢原子光谱实验D ．光的折射现象 α粒子散射实验3．（2022·北京·清华附中高二期末）根据量子理论：光子既有能量也有动量；光子的能量E 和动量p 之间的关系是E pc =，其中c 为光速。
由于光子有动量，照到物体表面的光子被物体吸收或被反射时都会对物体产生一定的冲量，也就对物体产生了一定的压强。
某激光器发出激光束的功率为0P ，光束的横截面积为S 。
当该激光束垂直照射到某物体表面时，激光被完全反射，则激光束对此物体产生的压强为（ ） A ．0P cSB ．P cSC ．02P cSD ．2P cS4．（2022·北京·清华附中高二期末）如图所示，图甲和图乙所示的是a 、b 两束单色光分别用同一单缝装置进行实验，在距装置恒定距离的屏上得到的图样，图甲是a 光照射时形成的图样，图乙是b 光照射时形成的图样。
下列说法正确的是（ ）A ．a 光光子的能量较大B ．在水中a 光波长较短C ．甲、乙图样分别为a 、b 两单色光的干涉图样D ．若用a 光照射某金属有光电子逸出，则用b 光照射该金属时也有光电子逸出5．（2022·北京·清华附中高二期末）如图所示，一束复色光由空气斜射到一块平行板玻璃砖的上表面，经折射后分成a 和b 两束单色光，并从玻璃砖的下表面射出。
物理-氢原子和类氢原子
r
驻波
计算表明径向波函数
的节点数
通常把节点数为零（
）的“态”，称为
圆轨道，例如：1s, 2p, 3d, …，它们极大值的位
置：
，其中 是第一玻尔轨道半径。
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
➢电子的几率密度随角度的变化
电子在 附近的立体角 内的几率：
Y0,0 ( ,)
1
4
Y2,0 ( ,)
1 (3 cos2 1) 4
Y1,0 ( ,)
1 cos 4
Y2,1 ( ,)
1 sin cos ei 4
Y1,1 ( ,)
1
4
sin ei
Y2,2 ( ,)
1 sin2 ei2 4
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
粒子概率分布随角度的变化|Ylm|2，与φ角无关
Y00 2
Y10 2
实验数据和理论结果之差异可以通过考虑原子核的质量得
到消除。即把电子质量m用约化质量 = mM/(m+M)替代。
对类氢离子（He+, Li++, Be+++等），结果都适用。 只需把核电荷+e换为+Ze（Z为核所带正电荷数）。
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
2）氢原子的几个光谱线系
赖曼（Lyman,1914）系：
Y11 2
Y20 2
Y21 2
Y22 2
Y30 2
Y31 2
Y32 2
Y33 2
§2. 量子力学对（类）氢原子的描述
概率密度: 2 Rnl (r)Ylm ( ,) 2 Rnl2 (r) Ylm ( ,) 2 “电子（几率）云”图象
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
第四章 氢原子和类氢原子的波函数和能级
[( s )( s 1) l ( l 1)]b s 2
1
[ ( s )]b s 1 0
0
即
b0 0 s 1
令 ν'=ν-1 第一个求和改为:
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
可见若 f (ρ) 是无 穷级数，则波函数 R不满 足有限性条件，所以必须 把级数从某项起截断。
u( ) e / 2 f ( ) R e / 2
e / 2
令 则
最高幂次项的 νmax = nr
bnr 0 于是递推公式改写为 bnr 1 0
8 | E | 2
2Z 8 Z 2 e 4 2 Ze 2 2 2 2 n 2 n 2 na0
其中
2 a0 e 2
第一Borh 轨道半径
注意到：
2Z r r a0 n
l
则径向波函数公式：
Rnl ( r ) N nl e
Z r a0 n
0
b l 1
n l 1
b0
l 1
0
b b0
n l 1 (n l 1)( n l 2) 2 f ( ) b0 1 2!(2l 2)( 2l 3) 1!(2l 2) (n l 1)( n l 2) 1 n l 1 n l 1 (1) (n l 1)!(2l 2)( 2l 3) (n l ) (2l 1)!(n l 1)! l 1 2l 1 b0 Ln 1 ( ) 2 [( n l )!]
量子力学-第五章-2
m = 0, ± 1, ± 2,L ,±l
讨
论:
ˆ L ˆ （1）{ψnlm (r, θ, ϕ)} 是 H 、ˆ2 Lz 的共同本征函数系
ˆ Hψnlm (r, θ, ϕ) = Enψnlm (γ , θ, ϕ)
ˆ L2ψnlm (r,θ, ϕ) = l(l + 1)h2ψnlm (γ,θ, ϕ)
Zes2 电子受核的吸引，其势为库仑势 电子受核的吸引，其势为库仑势 U(r) = − r
es = e e 4πε 0 ( SI ) (CGS )
中心力场的一种形式
能量本征值
电子的能量本征值与波函数 2 4 µ z es
En = − 2n 2 h 2
库仑场中运动电子处在束缚态时波函数
ψn l m(r,θ,ϕ) = R n l (r)Ylm(θ,ϕ)
第五章
中心力场 中心力场
§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 §5.2 无限深球方势阱 §5.3 电子在库仑场中的运动 §5.4 氢原子
回顾
§5.3 电子在库仑场中的运动
电子在核的电场中运动， 电子在核的电场中运动，核带正电荷 Ze ，Z 为原子序数
Z =1 Z >1
（氢原子） 氢原子） （类氢原子） 类氢原子）
（三） 玻尔氢原子理论 (1913年) 年
1. 定态假设 稳 定 状 态 • 电子作圆周运动 • 不辐射电磁波 • 这些定态的能量不连续
2. 跃迁假设 原子从一个定态跃迁到另一定态， 原子从一个定态跃迁到另一定态， 会发射或吸收一个光子， 会发射或吸收一个光子，频率
Ek En
| Ek − En | ν= h
(2l +1) = 1+ 3 + 5 +L+ (2n −1) = n2 ∑
电子在库仑场中的运动.
可令 R r 变换函数（12）并 r 得 U 所满足 r 的方程: Zes2 l l 1 d 2U 2 2 E U 0 (13) 2 2 r dr r
U r
（2）在代换：
8 E 2 Zes2 Zes2 r, 2 , 2 2 E
,与 e 相 若级数为幂级数，则当 ,（19） 2 同行力,而 R U e f ,会使 R r 在 发散，不满足波函数条件。必须使 f 在有限项处断为 1
多项式！
拉盖尔多项式： L0 x 1, L1 x x 1, L2 x x 2 4 x 2,
(5)
2.分离变量 设 r , , R r Y ,
将（6）代入（5）式，并 1
2
(6)
2
ˆ 中有 L2 ， U r 与 , 无关 理由： H
2 r 2 Zes 1 d 2 d 2 r r 2 E R dr dr r
1 2 1 2
(14)
变换自变量。变换的目的：化为某种已知的数理方程 标准形式。
方程（13）变为
d 2U 1 l l 1 U 0 2 2 d 4
(15)
1 (3)求公式（15）的渐近解：令 则[ ]只有 ： 4
限性相抵触，舍去。所以取
(3) (4)
1 1 2 l2 T sin 2 2 2 sin 2 r 2 2 r sin
2
Zes2 而势能 U r 仅与 r 有关，与 , 无关，提示 r （1）可将第一项+U r 与二、三项分离变量，（回忆
量子力学 第三章3.3电子在库仑场中的运动
<4> 能级：
由于 2Zes Zes ( )1 / 2 、 n n r 1 ，考虑 2
2 2
2E
到 E 0 ，则有：
Z e s En 2n 2 2
2
4
， n 1,2,3,
(21)
即束缚态的能量是量子化的，它来源于粒子的波 动性及波函数的有限性。
ˆ 而角向方程 L2 Y L2 Y 的解与辏力场的具体形式无关，即：
L2 ( 1) 2 ，Y Ym (, )
o 所以径向 Schrdinger 方程可以表述为：
1 2 2 ˆ Tr [ 2 (r )] 2 r r r
( 1) 2 ˆ [Tr U(r) E]R 0 2 2r 2 2 ( 1) 2 (r ) U(r ) ]R (r ) ER (r ) 即：[ 2 2 r 2r r 2r
ˆ ˆ 即：[Tr T U(r )] E
球坐标系下的拉 普拉斯算符形式
ˆ 2 pr 1 ˆ T 其中： r [ 2 (r 2 )] 2 r r r 2 ˆ ˆ 1 r r ˆ ˆ ˆ pr ( p p ) 2 r r
2
为径向动能算符
有限性相矛盾，应否定它（不能是无穷级数）。
b.若 f () 级数是有限项，即 f () b s 为多项式，
nr
其最高次幂项为
bnr ，
n r s
0
nr 2 s 1 0。 于是 R e f () e 2 b 0 s b 由 b 1 (s )(s 1) ( 1)
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8 E
( 2
)1/ 2 ,
2Zes 2
Ze2s
( )1/ 2
2E
能量本征值：
En
Z 2es4
22n2
,
n 1, 2, 3, ...
束缚态的波函数 nlm Rnl (r)Ylm ( , )
nlm与三个量子数都有关，而能量只与量子数n有关，
2
1 r2
[ r
(r 2
) r
1
sin
(sin
)
1 sin 2
2
2
]
Zes2
r
E
利用
Lˆ2
2
s
1
in
(sin
)
1 s in 2
2
2
[ 1 (r 2 ) 1 Lˆ2 ] 2 (E Ze 2 ) 0
r 2 r r r 2 2
2
r
应用分离变量法解此方程，设方程的解为
(r, ,) R(r)Y ( ,)
l(l
1)
b
波函数的有限性要求f()为中断多项式
s 0 s nr 0 以nr代替 s nr
另外，幂级数是从＝0开始的，所以b－1＝0， 因为b0 0
s(s -1)=l(l+1) 得到s1=l+1, s2=-l (舍去)
将s＝l+1代入 s nr 0
l 1 nr n
R(r )是r的径向函数。Y(, )是, 的函数。
将试解代入薛定谔方程，
1 r2
[ r
r2( r
R)]Y
(
1 r2
Lˆ2 2
Y )R
2
2
(E
Ze 2 r
)RY
0
1 R
[ r
r2( r
R)]
1 Y
(
Lˆ2 2
Y
)
2r 2
2
(E
Ze 2 r
)
0
1 R
[ r
r2( r
R)]
2r 2
2
(E
Ze 2 r
能量的归一化本征函数为
n00 Rn0 (r)Y00 ( ,)
2
sin
nr
a
ar
1
4
习题：P102 3.9, 3.10
所以能级En是简并的
对应一个n， l ＝0, 1, 2, …, n-1， 共n个值， 对应一个l， m可以取2l+1个值。
基态波函数
100 R10 (r)Y00
2 ( Z )3/2 exp( Zr )
4 a0
a0
2
a0 es2
为玻尔半径
氢原子
当Z＝1，得到氢原子的能级为
En
es4
22n2
(x) cn n
n
cn
a 0
n*
(
x)
(
x)dx
a 0
2 sin n x Ax(a x)dx
aa
2 60
(n )3
[1
(1)n ]
粒子取能量为En的几率密度为
cn
2
240
(n )6
[1
(1)n ]2
能量的平均值为：
E
(x)
p2 2
(x)dx
2
A2
a
x(a x)
d2
[x(a x)]dx
代入方程，得到f()所满足的方程：
d 2 f df l(l 1)
d 2
d
[
2
]f 0
f 可由幂级数展开
f ( ) bν ρsν , b0 0 ν0
为了保证 R(r) u(r) 在r=0处有限，s必须不小于1。 r
由 s+1的系数等于零，得到bv 所满足的关系式
b 1
(s
s )(s 1)
Ax(a x) 2 dx A2 a x2 (a x)2dx
0
A2 a (a2 x2 2ax3 x4 )dx 1 0
A
30 a5
(x)
30 a5
x(
a
x)
一维无限深势阱中的能量的本征值及本征函数为
En
22n2
2ma 2
,
n
2 sin n x
aa
因为任一个波函数都可由一维无限深势阱中的定态波函数 展开
,
n 1, 2, 3, ...
当n=1,
E1 13.60eV
当n, E =0, 电离能＝ E －E1＝13.6 eV
例题 1 在一个无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a， 如果粒子的状态由波函数：
(x) Ax(a x)
描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的 平均值。
解：
2m 0
dx2
52 10
ma 2 2 E1 1.014 E1
例题2. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
, r a
U
(r)
0,
ra
求粒子的基态能级和波函数
解： 因为势能是球对称性的，因而波函数为
nlm RnlYlm ( , )
2 d 2R 2 dR l(l 1)了简化方程，作变换 R(r) u(r) r
得到u(r )所满足的方程：
d 2u dr 2
2
2
(E
Ze s 2 r
)
l(l 1) r2
]u
0
令
8 E
( 2
)1/ 2 ,
2Zes 2
Ze2s
(
2E
)1/ 2
作代换： ＝r
d 2u
d 2
1 4
l
(l 1)
2
u
0
当，
d 2u
d 2
1 4
u
0
取 u() 的形式如下：u( ) e 2 f ( )
)
1 Y
Lˆ2 2
Y
Lˆ2Y 2Y
即角动量平方算符的本征值方程，＝l(l+1), 代入径向方程
1 R(r)
[ r
r2( r
R)]
2r 2
2
(E
Ze 2 r
)
1 r2
[ r
r
2
( r
R)]
2
2
(E
Ze 2 r
)R
l(l 1) r2
R
0
E>0， 体系能量为连续谱，电子已电离，可运动到无 限远处。
E<0， 具有分立谱，电子的状态是束缚态。
dr
r2
R] U (r)R ER
令 R(r) (r) / r
（1）阱内
'
'[
2
2
E
l
(l r2
1)
]
0
对于基态，l=0，并令
k 2E / , (E 0)
利用边界条件
(0) (a) 0
得
ka n , n 1, 2, ...
(r) ~ sin kr
能量的本征值为
22 n2 En 2 a2
3.3 电子在库仑场中的运动（氢原子、类氢原子）
考虑一个电子在一个带正电的核所产生的电场中运动，核的电 荷数为Ze，取核为坐标原点，电子受核的库仑吸引势能为：
U Zes2 , r
es
e
(4 0 )1/ 2
哈密顿算符为：
Hˆ 2 2 Ze 2s
2
r
本征值方程为：
(
2
2
Ze
2 s
)
E
2
r
2